근방 필터

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

근방 필터는 위상 공간의 부분 집합의 근방 전체가 이루는 필터로, 위상 공간의 각 점에 대해 정의된다. 근방 필터는 해당 점의 근방계, 국소 기저, 근방 부분 기저로 구성되며, 필터의 수렴, 분리 공리, 그물과의 관계, 제1 가산 공간, 평행 이동과 밀접한 관련이 있다. 이산 공간, 비이산 공간, 거리 공간, 유클리드 공간 등 다양한 위상 공간에서 구체적인 예시를 통해 근방 필터의 개념을 이해할 수 있다.

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근방 필터
개요
분야	위상수학
정의	한 점의 근방들의 모임
성질	필터 수렴 개념 정의에 사용
정의
근방계 (Neighbourhood system)	어떤 점 x의 근방계는 x를 포함하는 모든 집합들의 모임이다.
근방 필터 (Neighbourhood filter)	어떤 점 x의 근방 필터는 x를 포함하는 모든 열린 집합들의 모임이다.
설명
역할	위상 공간에서 점의 "주변"을 공식화하는 데 사용된다. 수렴과 같은 위상적 개념을 정의하는 데 사용된다.
중요성	위상 공간의 구조를 연구하는 데 필수적인 도구이다.
관련 개념
근방	점을 포함하는 열린 집합
필터	공집합을 포함하지 않고, 유한 교집합에 대해 닫혀 있으며, superset을 포함하는 집합족
수렴	점열이 특정 점에 한없이 가까워지는 것
참고 문헌

2. 정의

위상 공간 $(X, \mathcal{T})$ 의 부분 집합 $S \subseteq X$ 의 근방은, $S$ 를 포함하는 열린 집합 $U \in \mathcal{T}$ 를 포함하는 $X$ 의 부분 집합 $N$ 이다. 즉, $S \subseteq U \subseteq N$ 를 만족한다. 점 $x \in X$ 의 근방은, 한원소 집합 $\{x\}$ 의 근방을 의미하며, $x$ 를 포함하는 열린 집합을 포함하는 집합이다.^[3]

달리 표현하면, $N$ 은 $x \in U \subseteq N$ 을 만족하는 열린 부분 집합 $U$ 가 존재할 때만 $X$ 에서 $x$ 의 근방이다.^[4]

"근방"은 반드시 열린 집합일 필요는 없다. 열린 집합이기도 한 근방은 "열린 근방"이라고 한다. 마찬가지로, 닫힌 집합, 콤팩트, 연결) 집합이기도 한 근방은 각각 닫힌 근방, 콤팩트 근방, 연결 근방 등으로 불린다.

세미 노름 공간에서, 즉 위상이 세미 노름에 의해 유도된 벡터 공간에서, 모든 근방계는 원점에 대한 근방계를 평행이동하여 구성할 수 있다.

: $\mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(0) + x.$

이는 벡터 덧셈이 유도된 위상에서 별도로 연속이기 때문이다. 따라서 위상은 원점에서의 근방계에 의해 결정된다. 더 일반적으로, 이는 공간이 위상군이거나 위상이 유사 거리에 의해 정의될 때마다 참이다.

2. 1. 근방 필터 (근방계)

위상 공간

(X, \mathcal{T})

의 부분 집합

S \subseteq X

의 근방들의 집합

:

\mathcal N_S=\uparrow\left(\mathcal T\cap\uparrow S\right)=\{N\subseteq X\colon S\subseteq U\subseteq N,\;U\in\mathcal T\}

은 멱집합

\mathcal P(X)

속의 필터를 이루며, 이를

S

의 '''근방 필터''' 또는 '''근방계'''(近傍系, neighbo(u)rhood system^영어)

\mathcal N_S

라고 한다.

X

의 점

x\in X

의 '''근방 필터'''는 한원소 집합

\{x\}

의 근방 필터를 뜻하며,

\mathcal N_x

로 표기한다.

점(또는 비어 있지 않은 부분 집합)

x

에 대한 근방 시스템은 필터이며, 이를 '''

x

에 대한 근방 필터'''라고 한다. 점

x \in X

에 대한 근방 필터는 싱글톤 집합

\{x\}.

의 근방 필터와 같다.

위상 공간 ''X''와 그 임의의 원소 ''x''에 대해, ''x''의 (전) '''근방계'''

\mathcal{V}(x)

는, ''x''의 근방 전체가 이루는 필터를 말한다.

2. 2. 국소 기저 (근방 기저)

근방 필터

\mathcal{N}_x

의 공종착 집합(즉,

\uparrow \mathcal{B} = \mathcal{N}_x

가 되는 부분 집합

\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}_x

)을

x

의 국소 기저 또는 근방 기저라고 한다. 즉, 임의의 근방

V \in \mathcal{N}(x)

에 대해,

B \subseteq V

를 만족하는

B \in \mathcal{B}

가 존재한다.^[2]

다르게 표현하면,

\mathcal{B}

는 다음 등식이 성립하는 경우에만

x

에서의 국소 기저이다.^[2]

:

\mathcal{N}(x) = \left\{ V \subseteq X ~:~ B \subseteq V \text{ for some } B \in \mathcal{B} \right\}\!\!\;.

\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)

인 집합족은

\mathcal{B}

가 부분 순서 관계

\supseteq

에 대해

\left(\mathcal{N}(x), \supseteq\right)

의 코피널 집합인 경우에만

x

에 대한 근방 기저이다. 여기서 중요한 점은 이 부분 순서 관계가 상위 집합 관계이지 부분 집합 관계가 아니라는 것이다.

어떤 위상 공간에서든, 한 점에 대한 근방계는 그 점의 근방 기저이기도 하다. 한 점에서의 모든 열린 근방의 집합은 그 점에서의 근방 기저를 형성한다.

거리 공간의 모든 점

x

에 대해, 반지름이

1/n

인

x

주변의 열린 공의 수열은 가산 근방 기저

\mathcal{B} = \left\{B_{1/n} : n = 1,2,3,\dots \right\}

를 형성한다. 이는 모든 거리 공간이 제1 가산 공리임을 의미한다.

이산 위상을 갖는 공간

X

가 주어지면, 임의의 점

x

에 대한 근방계는 전체 공간만 포함하며,

\mathcal{N}(x) = \{X\}

이다.

공간

E

에 대한 측도의 공간에 대한 약한 위상에서,

\nu

에 대한 근방 기저는 다음과 같이 주어진다.

:

\left\{\mu \in \mathcal{M}(E) : \left|\mu f_i - \nu f_i\right| < r_i, \, i = 1,\dots,n\right\}

여기서

f_i

는 실수로의

E

에서 연속 유계 함수이고,

r_1, \dots, r_n

은 양의 실수이다.

점 ''x''에서의 '''기본 근방계''' fundamental system of neighbourhoods|펀더멘털 시스템 오브 네이버후즈^영어, '''근방 기저''' neighbourhood basis|네이버후드 베이시스^영어 또는 '''국소 기저''' local basis|로컬 베이시스^영어는, 근방 필터의 필터 기저를 말한다. 즉,

\mathcal{V}(x)

의 부분 집합

\mathcal{B}(x)

가 기본 근방계라는 것은, 각 근방 ''V''에 대해

\mathcal{B}(x)

의 원소 ''B''로 ''V''에 포함되는 것을 택할 수 있다는 것을 의미하며, 기호로 나타내면,

:

\forall V \in \mathcal{V}(x) \quad \exists B \in \mathcal{B}(x) \mbox{ with } B \subset V

가 성립하는 것을 말한다.

반대로, 임의의 필터 기저와 마찬가지로, 기본 근방계

\mathcal{B}(x)

로부터 근방 필터

\mathcal{V}(x)

를 얻을 수 있다. 이를 위해서는

:

\mathcal{V}(x) =\left\{ V \subset X \mid \exists B \in \mathcal{B}(x) \ \mathrm{s.t.} \ B \subset V \right\}

로 정의하면 된다^[5]。

2. 3. 근방 부분 기저

점 x에서의 근방 부분기저는 X의 부분 집합족

\mathcal{S}

로, 각 집합은 x를 포함하며,

\mathcal{S}

의 원소들의 가능한 모든 유한 교집합의 모임이 x에서의 근방 기저를 형성한다.

3. 성질

위상 공간에서 점 또는 부분 집합의 근방은 그 점이나 부분 집합의 "주변"에 대한 정보를 제공하며, 위상적 성질을 연구하는 데 중요한 역할을 한다.

위상 공간 $X$ 위의 자명한 필터 $\mathcal P(X)$ 는 모든 점에 수렴한다.
공집합이 아닌 집합 ''A''의 임의의 근방계는 ''A''의 근방 필터를 이룬다.

3. 1. 필터의 수렴

위상 공간

X

위의 필터

\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)

및 점

x \in X

가 주어졌다고 하자. 만약

\mathcal{N}_x \subseteq \mathcal{F}

라면,

\mathcal{F}

가

x

로 수렴한다(converge^영어)고 하고,

:

\mathcal{F} \to x

로 표기한다. 이 경우,

x

를

\mathcal{F}

의 극한(limit^영어)이라고 한다.

보다 일반적으로,

X

위의 필터 기저

\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)

및 점

x \in X

에 대하여, 만약

\mathcal{N}_x \subseteq \uparrow \mathcal{B}

라면,

\mathcal{B}

가

x

로 수렴한다고 한다.

3. 2. 분리 공리

위상 공간

(X, \mathcal T)

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

$\mathcal P(X)$ 전체가 아닌, $\mathcal P(X)$ 위의 모든 필터가 수렴하는 점의 수는 1개 이하이다.
임의의 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여, $x\ne y$ 라면, $\mathcal N_x\setminus\mathcal N_y\ne\varnothing$ 이자 $\mathcal N_y\setminus\mathcal N_x\ne\varnothing$ 이다.
임의의 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여, $x\in U$ 이자 $y\in V$ 이며 $U\cap V=\varnothing$ 인 열린집합 $U,V\in\mathcal T$ 가 존재한다.
하우스도르프 공간이다.

3. 3. 그물과의 관계

임의의 그물이 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 유도 필터가 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다. 마찬가지로, 임의의 필터가 주어진 점으로 수렴하는지 여부는 이에 대응되는 그물이 그 점으로 수렴하는지 여부와 동치이다.

3. 4. 제1 가산 공간

위상 공간

X

의 모든 점

x \in X

이 가산 집합인 국소 기저를 갖는다면,

X

를 '''제1 가산 공간'''이라고 한다.

3. 5. 평행 이동

세미 노름 공간에서, 즉 위상이 세미 노름에 의해 유도된 벡터 공간에서, 모든 근방계는 원점에 대한 근방계의 평행이동에 의해 구성될 수 있다.^[5]

:

\mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(0) + x.

이는 벡터 덧셈이 유도된 위상에서 별도로 연속이기 때문이다. 따라서 위상은 원점에서의 근방계에 의해 결정된다. 더 일반적으로, 이는 공간이 위상군이거나 위상이 유사 거리에 의해 정의될 때마다 참이다.

4. 예

이산 공간, 비이산 공간, 거리 공간 등에서 근방의 예를 살펴볼 수 있다.

위상 공간 $X$ 의 열린 부분 집합 $U$ 는 모든 $u \in U$ 의 근방이다. 또한, $N \subseteq X$ 에 대해 $\operatorname{int}_X N$ 이 $X$ 에서 $N$ 의 위상 내부를 나타낸다면, $N$ 은 모든 점 $x \in \operatorname{int}_X N$ 의 근방이며, 다른 점의 근방은 아니다. 즉, $N$ 은 $x \in \operatorname{int}_X N$ 일 경우에만 $x$ 의 근방이다.

어떤 위상 공간에서든 한 점에 대한 근방계는 그 점의 근방 기저이기도 하다. 한 점에서의 모든 열린 근방의 집합은 그 점에서의 근방 기저를 형성한다.^[2]

세미 노름 공간에서 모든 근방계는 원점에 대한 근방계의 평행이동으로 구성할 수 있다.

: $\mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(0) + x.$

이는 벡터 덧셈이 유도된 위상에서 별도로 연속이기 때문이다. 따라서 위상은 원점에서의 근방계에 의해 결정된다. 이는 공간이 위상군이거나 위상이 유사 거리로 정의될 때도 마찬가지이다.

4. 1. 이산 공간

이산 공간

X

의 점

x \in X

의 근방 필터는 주 필터

\uparrow \{x\}

이다.

4. 2. 비이산 공간

비이산 공간

X

의 점

x \in X

의 근방 필터는

\mathcal N_x=\{X\}

이다.

4. 3. 거리 공간

거리 공간

(X, d)

에서, 점

x \in X

의 국소 기저는 다음과 같은 집합으로 구성된다.

:

\{\operatorname{ball}(x,1/n)\colon n\in\mathbb Z^+\}=\left\{\{y\in X\colon d(x,y)<1/n\}\colon n\in\mathbb Z^+\right\}

이는 모든 거리 공간이 제1 가산 공리임을 의미한다. 즉, 거리 공간의 모든 점

x

에 대해, 반지름이

1/n

인

x

주변의 열린 공의 수열은 가산 근방 기저

\mathcal{B} = \left\{B_{1/n} : n = 1,2,3,\dots \right\}

를 형성한다.

4. 4. 유클리드 공간

\mathbb{R}

이 일반적인 유클리드 위상을 갖는다면,

0

의 근방은

(-r, r) \subseteq N

을 만족하는 실수

r > 0

이 존재하는 모든 부분 집합

N \subseteq \mathbb{R}

이다.^[3]

\mathbb{R}

에서

0

의 근방인 집합의 예시는 다음과 같다.

:

(-2, 2), \; [-2,2], \; [-2, \infty), \; [-2, 2) \cup \{10\}, \; [-2, 2] \cup \mathbb{Q}, \; \mathbb{R}

0

의 근방이 아닌 집합의 예시는 다음과 같다.

:

\{0\}, \; \mathbb{Q}, \; (0,2), \; [0, 2), \; [0, 2) \cup \mathbb{Q}, \; (-2, 2) \setminus \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\}

여기서

\mathbb{Q}

는 유리수를 나타낸다.

4. 5. 약한 위상

공간

E

에 대한 측도의 공간에 대한 약한 위상에서,

\nu

에 대한 근방 기저는 다음과 같이 주어진다.

:

\left\{\mu \in \mathcal{M}(E) : \left|\mu f_i - \nu f_i\right| < r_i, \, i = 1,\dots,n\right\}

여기서

f_i

는

E

에서 실수로의 연속 유계 함수이고,

r_1, \dots, r_n

은 양의 실수이다.

참조

_[1] 서적 Introduction to Topology Dover 1990
_[2] 서적 General Topology https://archive.org/[...] Addison-Wesley Publishing 1970
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 서적 General Topology Addison-Wesley Publishing 1970

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