한원소 집합

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1. 개요

한원소 집합은 원소가 단 하나뿐인 집합을 의미하며, 여러 가지 동치 조건을 통해 정의된다. 집합의 크기가 1이거나, 임의의 두 원소가 같고, 부분 집합이 두 개이며, 집합 범주에서 끝 대상인 경우 등이 이에 해당한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 정칙성 공리는 한원소 집합이 그 원소와 구별됨을 보장하며, 공리적 집합론에서는 쌍 공리의 결과로 한원소 집합의 존재를 유도한다. 모든 한원소 집합은 집합 범주에서 끝 대상이며, 단사 함수 속성을 갖는다. 한원소 집합은 또한 위상 공간, 대수 구조, 범주론 등 다양한 수학적 구조에서 중요한 역할을 하며, 특히 범주론에서는 끝 대상 또는 영 대상으로 작용한다. 화이트헤드와 러셀은 지시 함수와 기호를 사용하여 한원소 집합을 정의하고, 이를 자연수 1을 정의하는 데 사용했다.

한원소 집합

수학적 정의

정의	단 하나의 원소만을 포함하는 집합이다.
예시	{x}는 단일 집합이며, 여기서 x는 임의의 원소이다.
특징	모든 원소가 같은 집합이다. 공집합과는 다르다.

집합론적 관점

집합론	집합론에서 단일 집합은 원소와 동일시될 수 있다.
함수와의 관계	함수 f에 대해, f(x)가 단일 집합이면, f는 상수 함수이다.

활용

범주론	범주론에서 단일 집합은 끝 대상이다.
프로그래밍	일부 프로그래밍 언어에서 단일 집합을 사용하여 특정 값을 표현한다.

참고

관련 개념	집합, 공집합, 수학

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 위상 공간
5. 대수 구조
6. 범주론
7. 지시 함수를 이용한 정의
8. ''프린키피아 마테마티카''에서의 정의

2. 정의

집합 $S$ 가 다음 조건들을 만족하면 한원소 집합이라고 한다.

* 집합의 크기가 1이다.
* $S\ne\emptyset$ 이며, 임의의 $a,b\in S$ 에 대하여, $a=b$ 이다.
* $S$ 는 멱집합 $\mathcal P(S)$ 의 크기가 2이므로, 두 개의 부분 집합을 가진다.
* 집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ 에서의 끝 대상이다. 즉, 임의의 집합 $T$ 에 대하여, $T$ 에서 $S$ 로 가는 함수는 유일하다.
* 임의의 집합 $T$ 및 함수 $f\colon S\to T$ 에 대하여, $f$ 는 단사 함수이다.
* 임의의 집합 $T$ 및 함수 $f\colon T\to S$ 에 대하여, $f$ 는 전사 함수이다.
* 임의의 집합 $T$ 에 대하여, 곱집합 $S\times T$ 는 $T$ 와 같은 크기를 갖는다. 즉, 전단사 함수 $\pi_2\colon S\times T\to T$ 가 존재한다.

3. 성질

체르멜로-프렝켈 집합론에서 정칙성 공리는 어떤 집합도 자기 자신을 원소로 가질 수 없음을 보장한다. 이는 한원소 집합(싱글톤)이 반드시 그것이 포함하는 원소와 구별된다는 것을 의미한다. 예를 들어, 1과 {1}은 같은 것이 아니며, 공집합은 공집합만을 포함하는 집합과 구별된다.

공리적 집합론에서 싱글톤의 존재는 쌍 공리의 결과이다. 임의의 집합 *A*에 대해, *A*와 *A*에 적용된 공리는 {*A*, *A*}의 존재를 주장하며, 이는 싱글톤 {*A*}와 동일하다.

만약 *A*가 임의의 집합이고 *S*가 임의의 싱글톤이면, *A*에서 *S*로 가는 정확히 하나의 함수가 존재하며, 이 함수는 *A*의 모든 원소를 *S*의 단일 원소로 보낸다. 따라서 모든 싱글톤은 집합 범주에서 끝 대상이다.

싱글톤은 그것에서 임의의 집합으로 가는 모든 함수가 단사 함수라는 속성을 가진다. 이 속성을 가진 유일한 비-싱글톤 집합은 공집합이다.

모든 싱글톤 집합은 극대 전여과이다. 만약 $X$ 가 집합이고 $x \in X$ 이면, $X$ 에서 $\{x\}$ 의 상위 집합, 즉 집합 $\{S \subseteq X : x \in S\},$ 는 $X$ 에 대한 주 극대여과이다.

4. 위상 공간

위상 공간 $X$ 가 다음 조건들을 만족시키면 한원소 공간(singleton space^영어)이라고 한다.

* 이산 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
* 콜모고로프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
* 하우스도르프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
* 이산 공간이자 연결 공간이며, 공집합이 아니다.

5. 대수 구조

임의의 부호수에 대하여, 한원소 집합 위에는 유일한 대수 구조를 줄 수 있다. 예를 들어, 군의 구조를 주면 자명군, 환의 구조를 주면 자명환이 된다. 이는 대수 구조 다양체 범주에서 끝 대상을 이룬다.

6. 범주론

단원소 집합을 기반으로 구축된 구조는 다양한 범주론에서 끝 대상 또는 영 대상의 역할을 한다.

* 집합의 범주인 Set에서 단원소 집합은 끝 대상이다.
* 모든 단원소 집합에는 유일한 위상 공간 구조를 줄 수 있으며, 이러한 단원소 위상 공간은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서 끝 대상이 된다.
* 모든 단원소 집합에는 유일한 군 구조(유일한 원소가 항등원 역할을 한다)를 줄 수 있으며, 이러한 단원소 군은 군과 군 준동형의 범주에서 영 대상이 된다.

7. 지시 함수를 이용한 정의

집합 S를 지시 함수 1_S: X → {0, 1}로 정의할 때, S가 한원소 집합이기 위한 필요충분조건은 해당 지시 함수 1_S 가 적절한 y ∈ X에 대해
: 1_S(x) = (x = y)　　(∀ x ∈ X)
(우변은 아이버슨 괄호)를 만족하는 것이다.

8. ''프린키피아 마테마티카''에서의 정의

화이트헤드와 러셀은 다음과 같은 정의를 도입하였다.

: $\iota$ ‘ $x = \hat{y}(y = x)$ Df.

기호 $\iota$ ‘ $x$ 는 단일 집합 $\{x\}$ 를 나타내며, $\hat{y}(y = x)$ 는 $x$ 와 동일한 객체들의 집합, 즉 $\{y : y=x\}$ 를 나타낸다.

이 정의는 주요 텍스트에서 명제 51.01로 나타나는 논증을 부분적으로 단순화한다.

이후 이 명제는 기수 1을 다음과 같이 정의하는 데 사용된다.

: $1=\hat{\alpha}((\exists x)\alpha=\iota$ ‘ $x)$ Df.

즉, 1은 단일 집합들의 집합이다. 이것은 정의 52.01이다.