원기둥

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 종류
3. 성질
- 3.1. 원기둥 단면
- 3.2. 부피와 겉넓이
4. 방정식
5. 활용
- 5.1. 투영기하학
6. 같이 보기
참조

1. 개요

원기둥은 밑면이 원인 기둥 모양의 3차원 도형이다. 원기둥은 밑면과 옆면이 수직인 직원기둥과 기울어진 사원기둥으로 분류되며, 정단면의 형태에 따라 타원기둥, 포물기둥, 쌍곡기둥으로 나뉜다. 원기둥은 직사각형을 회전시켜 만들 수 있으며, 부피는 밑면의 면적과 높이의 곱으로, 겉넓이는 밑넓이와 측면적의 합으로 계산한다. 원기둥 단면은 원기둥의 곡면과 평면이 만나는 교선으로, 평행사변형, 직사각형, 타원, 원 등의 형태를 가질 수 있다. 아르키메데스는 구의 부피와 겉넓이를 원기둥과의 관계를 통해 계산했으며, 투영기하학에서는 원기둥을 꼭짓점이 무한대에 있는 원뿔로 간주한다.

더 읽어볼만한 페이지

이차 곡면 - 이차 초곡면
이차 초곡면은 체 K에 대한 n변수 2차 다항식 P에 의해 정의되며, 좌표 변환을 통해 표준형으로 표현 가능하고, 1차원에서는 원뿔 곡선, 2차원에서는 이차 곡면으로 불리며, 건축 구조 등 다양한 분야에 응용된다.
유클리드 공간기하학 - 입체각
입체각은 3차원 공간에서 한 점을 기준으로 물체가 보이는 범위를 나타내는 각도의 일반화된 개념으로, 구의 중심에서 바라본 물체의 겉넓이와 구 반지름의 제곱의 비율로 정의되며 스테라디안 단위를 사용하고, 천문학, 물리학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 활용된다.
유클리드 공간기하학 - 이면각
이면각은 두 평면 또는 반평면이 교차하여 생기는 각을 의미하며, 수학, 과학, 기하학 등 다양한 분야에서 활용되고, 직교 좌표계, 비틀림각, 코사인 법칙 등과 관련되어 계산된다.

원기둥

2. 종류

원기둥은 밑면의 모양과 옆면의 기울기에 따라 여러 종류로 분류할 수 있다.

직원기둥: 밑면이 원이고 옆면이 밑면에 수직인 원기둥이다. 자세한 내용은 직원기둥 문서를 참조.
사원기둥: 밑면이 원이지만 옆면이 밑면에 수직이 아닌 원기둥이다. 자세한 내용은 사원기둥 문서를 참조.
타원기둥: 밑면이 타원인 원기둥이다. 자세한 내용은 타원기둥 문서를 참조.
포물기둥: 정단면이 포물선인 원기둥이다. 자세한 내용은 포물기둥 문서를 참조.
쌍곡기둥: 정단면이 쌍곡선인 원기둥이다. 자세한 내용은 쌍곡기둥 문서를 참조.

이 외에도, 기하학과 위상수학의 일부 영역에서는 '원기둥'이라는 용어가 '''원기둥 곡면'''을 가리키는 경우가 있다. 원기둥 곡면은 주어진 직선과 평행하고 주어진 직선과 평행하지 않은 평면상의 고정된 평면곡선을 지나는 모든 직선상의 모든 점들의 집합으로 정의된다. 이러한 원기둥은 때때로 ''일반화된 원기둥''으로 불리기도 한다.

2. 1. 직원기둥 (Right Circular Cylinder)

밑면이 원이고 옆면이 밑면에 수직인 원기둥이다. 일상생활에서 가장 흔하게 볼 수 있는 원기둥 형태이며, 단순히 '원기둥'이라고 하면 직원기둥을 의미하는 경우가 많다.^[2]

직원기둥은 직사각형을 한 변을 축으로 회전시켜 생성되는 회전체로 생각할 수도 있다.

키가 크고 가는 ''바늘 원기둥''은 높이가 지름보다 훨씬 크고, 짧고 넓은 ''원판 원기둥''은 지름이 높이보다 훨씬 크다.

2. 2. 사원기둥 (Oblique Cylinder)

밑면이 원이지만 옆면이 밑면에 수직이 아닌 원기둥을 사원기둥(oblique cylinder)이라고 한다. 원기둥의 요소가 밑면을 포함하는 평면에 수직이면 직원기둥이다.^[2]

2. 3. 타원기둥 (Elliptic Cylinder)

밑면이 타원인 원기둥이다. 정단면이 타원인 원기둥을 타원기둥이라고 하며, 이는 퇴화된 2차곡면의 일종이다.^[5]

2차곡면의 주축이 기준 좌표계와 정렬될 때, 3차원에서 2차곡면의 일반 방정식은 다음과 같이 주어진다.

:

f(x,y,z)=Ax^2 + By^2 + C z^2 + Dx + Ey + Gz + H = 0,

여기서 계수는 실수이고, ''A'', ''B'', ''C'' 중 모두 0이 아니다. 하나의 변수가 누락된 경우, 적절한 좌표축 회전을 통해 변수 ''z''가 나타나지 않는다고 가정할 수 있으며, 이러한 유형의 퇴화된 2차곡면의 일반 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[2]

:

A \left ( x + \frac{D}{2A} \right )^2 + B \left(y + \frac{E}{2B} \right)^2 = \rho,

여기서

:

\rho = -H + \frac{D^2}{4A} + \frac{E^2}{4B}.

AB > 0

인 경우, 이는 타원 원통의 방정식이다.^[2] 좌표축 이동 및 스칼라 곱셈을 통해 더 간단하게 표현할 수 있다. ρ가 계수 ''A''와 ''B''와 같은 부호를 갖는다면, 타원 원통의 방정식은 직교 좌표계에서 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\left(\frac{x}{a}\right)^2+ \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1.

이 타원 원통의 방정식은 일반적인 원기둥 (''a'' = ''b'') 방정식의 일반화이다.

ρ가 계수와 다른 부호를 갖는 경우, 우리는 ''허수 타원 원통''을 얻는다.

:

\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1,

이는 실수점을 갖지 않는다. (

\rho = 0

는 하나의 실수점을 준다.)

2. 4. 포물기둥 (Parabolic Cylinder)

정단면이 포물선인 원기둥이다.

Parabolic cylinders^영어의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[5]

:

x^2 + 2ay = 0.

2. 5. 쌍곡기둥 (Hyperbolic Cylinder)

정단면이 쌍곡선인 원기둥이다.

2차곡면의 주축이 기준 좌표계와 정렬될 때, 3차원에서 2차곡면의 일반 방정식은 다음과 같이 주어진다.

:

f(x,y,z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dx + Ey + Gz + H = 0,

여기서 계수는 실수이고, ''A'', ''B'', ''C'' 중 모두 0은 아니다. 방정식에 적어도 하나의 변수가 나타나지 않으면 2차곡면은 퇴화된다. 하나의 변수가 누락된 경우, 적절한 좌표축 회전을 통해 변수 ''z''가 나타나지 않는다고 가정할 수 있으며, 이러한 유형의 퇴화된 2차곡면의 일반 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[5]

:

A \left ( x + \frac{D}{2A} \right )^2 + B \left(y + \frac{E}{2B} \right)^2 = \rho,

여기서

:

\rho = -H + \frac{D^2}{4A} + \frac{E^2}{4B}.

만약 ''A''와 ''B''가 다른 부호를 가지고

\rho \neq 0

이라면, 다음 방정식을 얻는다.

:

\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1.

이 방정식은 쌍곡선 원기둥을 나타낸다.

3. 성질

반지름이 , 높이가 인 원기둥의 부피(V)와 겉넓이(A)는 다음과 같다.

: $V=\pi r^2h\,$

: $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)\,$

3. 1. 원기둥 단면

원기둥 단면은 원기둥의 곡면과 평면이 만나는 교선이다. 일반적으로 곡선이며, 특별한 종류의 평면 단면이다. 원기둥의 두 모선을 포함하는 평면에 의한 원기둥 단면은 평행사변형이다.^[2] 직원기둥의 이러한 원기둥 단면은 직사각형이다.^[2]

원기둥의 모든 모선과 수직으로 만나는 교차 평면에 의한 원기둥 단면을 '''직교 단면'''이라고 한다.^[2] 원기둥의 직교 단면이 원이라면 그 원기둥은 원기둥이다. 더 일반적으로, 원기둥의 직교 단면이 원뿔곡선(포물선, 타원, 쌍곡선)이라면 그 입체 원기둥은 각각 포물선형, 타원형, 쌍곡선형이라고 한다.

직원기둥의 경우, 평면이 원기둥과 만나는 방식에는 여러 가지가 있다. 첫째, 밑면과 최대 한 점에서 만나는 평면이 있다. 평면이 원기둥의 단일 모선에서 원기둥과 만나면 평면은 원기둥에 접한다. 직교 단면은 원이며, 다른 모든 평면은 원기둥 곡면과 타원에서 만난다.^[3] 평면이 원기둥의 밑면과 정확히 두 점에서 만나는 경우, 이 두 점을 잇는 선분은 원기둥 단면의 일부이다. 이러한 평면이 두 모선을 포함하는 경우, 직사각형을 원기둥 단면으로 갖는다. 그렇지 않으면 원기둥 단면의 변은 타원의 일부이다. 마지막으로, 평면이 밑면의 두 점 이상을 포함하는 경우, 밑면 전체를 포함하며 원기둥 단면은 원이다.

타원인 원기둥 단면을 갖는 직원기둥의 경우, 원기둥 단면의 이심률 ''e''과 원기둥 단면의 장반축 ''a''은 원기둥의 반지름 ''r''과 할선 평면과 원기둥 축 사이의 각도 ''α''에 다음과 같이 의존한다.

:

\begin{align}e &= \cos\alpha, \\[1ex]a &= \frac{r}{\sin\alpha}.\end{align}

3. 2. 부피와 겉넓이

반지름이 , 높이가 인 원기둥의 부피 와 겉넓이 는 다음과 같다.

:

V=\pi r^2h\,

:

A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)\,

원기둥의 밑면이 반지름 인 원이고 높이가 이면, 부피는 다음과 같다.

:

V = \pi r^2h

이 공식은 원기둥이 직원기둥인지 아닌지에 관계없이 성립한다.^[4]

이 공식은 카발리에리의 원리를 이용하여 증명할 수 있다.

더 일반적으로, 같은 원리에 의해 임의의 원기둥의 부피는 밑면의 면적과 높이의 곱이다. 예를 들어, 밑면이 장축 , 단축 이고 높이가 인 타원기둥의 부피는 이며, 여기서 는 밑면 타원의 면적()이다. 직사각형 타원기둥에 대한 이 결과는 적분을 통해서도 얻을 수 있는데, 원기둥의 축을 양의 -축으로 하고, 를 각 타원형 단면의 면적으로 하면 다음과 같다.

:

V = \int_0^h A(x) dx = \int_0^h \pi ab dx = \pi ab \int_0^h dx = \pi a b h.

원통 좌표계를 사용하면, 직원기둥의 부피는 다음과 같이 적분으로 계산할 수 있다.

:

\begin{align}V &= \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^r s \,\, ds \, d\phi \, dz \\[5mu]&= \pi\,r^2\,h.\end{align}

반지름 과 높이 를 갖는 직원기둥의 겉넓이는 축이 수직으로 향하게 놓았을 때 세 부분으로 구성된다.

윗면 넓이:
아랫면 넓이:
옆면 넓이:

윗면과 아랫면의 넓이는 같으며, 이를 '밑넓이' 라고 한다. 옆면의 넓이는 '측면적' 이라고 한다.

'열린 원기둥'에는 윗면이나 아랫면이 포함되지 않으므로 겉넓이(측면적)는 다음과 같다.

:

L = 2 \pi r h

고체인 직원기둥의 겉넓이는 윗면, 아랫면, 옆면의 넓이의 합으로 이루어진다. 따라서 겉넓이는 다음과 같다.

:

A = L + 2B = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2 \pi r (h + r) = \pi d (r + h)

여기서 는 원형 윗면이나 아랫면의 지름이다.

주어진 부피에 대해 겉넓이가 가장 작은 직원기둥은 이다. 마찬가지로, 주어진 겉넓이에 대해 부피가 가장 큰 직원기둥은 이며, 이는 원기둥이 옆면의 길이가 높이와 같은 정육면체에 꼭 맞게 들어간다는 것을 의미한다.^[4]

직원기둥이 아닐 수도 있는 원기둥의 측면적 은 일반적으로 다음과 같이 주어집니다.

:

L = e \times p,

여기서 는 모선의 길이이고 는 원기둥의 직각 단면의 둘레이다. 원기둥이 직원기둥일 때 이 식은 앞서 제시된 측면적 공식이 된다.

4. 방정식

원기둥은 좌표계에서 다양한 방정식으로 표현할 수 있다. 데카르트 좌표계에서는 $x^2 + y^2 = r^2$ 와 같이 나타낼 수 있으며, 매개변수 방정식으로도 표현 가능하다.

만약 $A$ 와 $B$ 가 다른 부호를 가지고 $\rho \neq 0$ 이라면, ''쌍곡선 원기둥''을 얻으며, 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1.$

4. 1. 데카르트 좌표계

원기둥의 축을 z축으로 둔 데카르트 좌표계에서 원기둥의 방정식은 다음과 같다.

:

x^2+y^2=r^2

매개변수 방정식으로도 표현 가능하다.

:

x=r\cos\theta

:

y=r\sin\theta

:

z=\varphi

여기서 , 는 매개변수이다.

4. 2. 매개변수 방정식

원기둥은 다음과 같은 매개변수 방정식으로도 표현할 수 있다.

:

x=r\cos\theta

:

y=r\sin\theta

:

z=\varphi

여기서 θ|θ^영어 ∈ [0, 2π], φ|φ^영어 ∈ ℝ는 매개변수이다.

4. 3. 타원기둥, 포물기둥, 쌍곡기둥의 방정식

정단면이 타원, 포물선, 또는 쌍곡선인 원기둥을 각각 '''타원기둥''', '''포물기둥''', '''쌍곡기둥'''이라고 한다.^[5] 이들은 퇴화된 2차곡면이다.

2차곡면의 주축이 기준 좌표계와 정렬될 때, 3차원에서 2차곡면의 일반 방정식은 다음과 같이 주어진다.

:

f(x,y,z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dx + Ey + Gz + H = 0

여기서 계수는 실수이고 ''A'', ''B'', ''C'' 중 모두 0은 아니다. 하나의 변수가 누락된 경우, 적절한 좌표축 회전을 통해 변수 ''z''가 나타나지 않는다고 가정할 수 있으며, 이러한 유형의 퇴화된 2차곡면의 일반 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[5]

:

A \left(x + \frac{D}{2A} \right)^2 + B \left(y + \frac{E}{2B} \right)^2 = \rho

여기서

:

\rho = -H + \frac{D^2}{4A} + \frac{E^2}{4B}

이다.

''AB'' > 0 인 경우, 이는 타원기둥의 방정식이다. 좌표축 이동 및 스칼라 곱셈을 통해 더 간단하게 표현할 수 있다. ρ가 계수 ''A''와 ''B''와 같은 부호를 갖는다면, 타원기둥의 방정식은 직교 좌표계에서 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

::

\left ( \frac{x}{a} \right )^2 + \left ( \frac{y}{b} \right )^2 = 1

:이 타원기둥의 방정식은 일반적인 원기둥 (''a'' = ''b'') 방정식의 일반화이다.

ρ가 계수와 다른 부호를 갖는 경우, ''허수 타원기둥''을 얻는다.

::

\left ( \frac{x}{a} \right )^2 + \left ( \frac{y}{b} \right )^2 = -1

:이는 실수점을 갖지 않는다.

''A''와 ''B''가 다른 부호를 가지고 $\rho \ne 0$ 이라면, 다음과 같이 방정식을 다시 쓸 수 있는 ''쌍곡기둥''을 얻는다.

::

\left ( \frac{x}{a} \right )^2 - \left ( \frac{y}{b} \right )^2 = 1

''AB'' = 0 이라고 가정하면, 일반성을 잃지 않고 ''B'' = 0 이고 ''A'' = 1 이라고 가정하여 다음과 같은 방정식으로 나타낼 수 있는 '포물기둥'을 얻을 수 있다.

::

x^2 + 2ay = 0

5. 활용

구의 부피와 겉넓이는 밑면을 포함한 외접하는 원기둥의 부피와 겉넓이의 2/3이다.

원기둥은 건축, 공학, 디자인 등 다양한 분야에서 활용된다. 아르키메데스는 저서 《구와 원기둥에 관하여》에서 구에 외접하는 직원기둥과의 관계를 이용하여 구의 부피와 겉넓이를 구하는 공식을 제시했다. 아르키메데스는 구의 부피가 외접하는 원기둥 부피의 2/3이고, 겉넓이는 원기둥(밑면 포함) 겉넓이의 2/3임을 밝혀냈다.

일반적으로 원기둥은 정원기둥을 유한한 길이로 잘라 양 끝을 두 개의 원판으로 막은 형태를 의미한다. 반지름이 ''r''이고 길이(높이)가 ''h''인 원기둥의 부피 ''V''와 겉넓이 ''S''는 다음과 같다.

:

V = \pi r^2 h \,

:

S = 2 \pi r ( r + h ) \,

주어진 부피에서 겉넓이가 최소가 되거나, 주어진 겉넓이에서 부피가 최대가 되는 원기둥은

h = 2r

관계를 가진다. 이는 반지름 ''r''인 구에 외접하는 원기둥이며, 구와 원기둥의 부피 및 겉넓이 비는 모두 2:3이다.

몇 가지 특이한 종류의 원기둥도 존재한다.

'''허타원기둥면'''： $\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1$
'''쌍곡기둥면'''： $\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$
'''포물기둥면'''： $x^2 + 2y = 0$

5. 1. 투영기하학

투영기하학에서 원기둥은 꼭짓점이 무한대에 있는 원뿔로 간주된다.^[6] 원뿔이 이차원뿔면인 경우, 무한대 평면(꼭짓점을 통과하는 평면)은 원뿔과 두 직선, 한 직선(실제로는 겹쳐진 두 직선), 또는 꼭짓점에서만 교차할 수 있다. 이러한 경우 각각 쌍곡선기둥면, 포물선기둥면, 타원기둥면이 생성된다.^[6]

이 개념은 원기둥 모양의 이차곡선을 포함할 수 있는 퇴화 이차곡선을 고려할 때 유용하다.

6. 같이 보기

프리즘 (기하학): 원기둥은 n-각형 프리즘의 n이 무한대로 접근할 때의 극한으로 볼 수 있다.^[7]
쌍대다면체: 다면체의 관점에서 원기둥은 무한한 면을 가진 쌍뿔체의 쌍대인 이면체로도 볼 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 A Greek-English Lexicon https://www.perseus.[...] 2013-07-30
_[2] 서적 Geometry W. H. Freeman and Co.
_[3] 웹사이트 Cylindric section http://mathworld.wol[...]
_[4] 서적 Calculus With Applications https://books.google[...] Springer
_[5] 서적 Geometry Cambridge University Press
_[6] 서적 Geometry a Comprehensive Course Dover
_[7] 서적 Solid Geometry with Problems and Applications http://www.gutenberg[...] Allyn and Bacon

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com