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단항식

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목차

1. 개요

단항식은 변수의 멱곱과 계수의 곱으로 표현되는 다항식의 일종이다. 단항식은 다항식의 기저를 형성하며, 다항식의 구조를 연구하는 데 중요한 개념이다. 단항식의 개수는 중복 조합으로 표현되며, 힐베르트 급수를 통해 주어진 차수의 단항식의 수를 표현할 수 있다. 다중 지표 표기법은 여러 변수가 있을 때 유용하며, 단항식의 차수는 모든 변수의 지수의 합으로 정의된다. 대수기하학에서, 단항식 방정식으로 정의된 다양체는 특별한 균질성 속성을 가지며, 토러스 임베딩과 관련이 있다.

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단항식
정의
설명하나의 항으로만 이루어진 다항식
어원단일을 뜻하는 그리스어 "mono-"에서 유래
라틴어 "poly-" (많은) + 그리스어 "νομός" (규칙)에서 유래
라틴어 "nomós" (계산, 또는 법률)에서 유래
"단항식"의 "단(單)"은 "홑"을 의미
용어영어: monomial
단항식은 때때로 "mononomial"이라고도 함
예시
단항식5
2x
3xy2
2x2
3xy2( = 3·x·y·y)
변수x
y

2. 정의

단항식은 변수의 멱곱(몇 개의 멱을 곱으로 연결한 것)과 계수라고 불리는 상수의 곱으로 표현되는 다항식의 일종이다. 예를 들어 변수가 이고, 계수가 복소수이면,

: 나

등이 단항식의 예시이다.

다항식에서 변수의 멱 지수는 0 이상의 정수로 제한되므로, 단항식에 나타나는 멱 지수도 0 이상의 정수이다.

에 관해서 공곱의 규약에 따라 로 보기 때문에, 상수는 상수항만으로 이루어진 단항식으로 간주하는 것이 일반적이다.[9]

계수를 갖지 않는 변수의 멱곱이라는 의미로 한정하여 "단항식"이라고 부르는 경우도 있다.[10] 이 경우, 단항식은 변수 에 대해 를 0 이상의 정수로 하여

: x^a y^b z^c

의 형태이다.

3. 단항식 기저

모든 다항식은 단항식의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 따라서 단항식은 모든 다항식의 벡터 공간에 대한 기저를 형성하며, 이를 ''단항식 기저''Monomial basis영어라고 부른다. 이는 다항식환의 구조를 이해하는 데 중요한 개념이며, 수학에서 끊임없이 암묵적으로 사용되는 사실이다.

더 명확하게 쓰자면, 가환체 ''K'' 위의 변수 에 대한 다항식 전체의 집합 를 ''K'' 위의 벡터 공간으로 볼 때, 에 관한 단항식 전체는 의 기저를 이룬다.

특히, 일변수 의 다항식 전체 의 기저는 단항식 열 로 주어진다.

4. 단항식의 개수

''n''개의 변수에서 차수가 d 이하인 단항식의 개수는 \binom{n+d}{n} = \binom{n+d}{d}이다. 이는 n+1개의 변수에서 차수가 d인 단항식과 n개의 변수에서 차수가 d 이하인 단항식 사이의 일대일 대응이 존재하기 때문이며, 이 대응은 추가 변수를 1로 치환하는 것으로 구성된다.

4. 1. 중복 조합 공식

''n''개의 변수에서 차수 ''d''인 단항식의 개수는 ''n''개의 변수 중에서 선택된 ''d''개의 원소의 중복조합(변수는 여러 번 선택될 수 있지만 순서는 중요하지 않음)의 수이며, 이는 중복집합 계수 \left(\!\!\binom{n}{d}\!\!\right)로 주어진다. 이 식은 또한 ''d''의 이항 계수, ''d''의 다항식 표현식, 또는 ''d''+1의 상승 계승 멱의 형태로 제공될 수 있다.

:\left(\!\!\binom{n}{d}\!\!\right)

= \binom{n+d-1}{d} = \binom{d+(n-1)}{n-1}

= \frac{(d+1)\times(d+2)\times\cdots\times(d+n-1)}{1\times2\times\cdots\times(n-1)}

= \frac{1}{(n-1)!}(d+1)^{\overline{n-1}}.

후자의 형태는 변수의 수를 고정하고 차수를 변경할 때 특히 유용하다. 이러한 표현식에서 고정된 ''n''에 대해 차수 ''d''인 단항식의 수는 d의 n-1차 다항식 표현식이며 최고차항의 계수는 \frac{1}{(n-1)!}이다.

예를 들어, 차수 ''d''인 세 변수(n=3)의 단항식의 수는 \frac{1}{2}(d+1)^{\overline2} = \frac{1}{2}(d+1)(d+2)이다. 이 수들은 1, 3, 6, 10, 15, ...의 삼각수 수열을 형성한다.

힐베르트 급수는 주어진 차수의 단항식의 수를 표현하는 간결한 방법이다. n개의 변수에서 차수 d인 단항식의 수는 다음의 형식적 멱급수 전개의 차수 d의 계수이다.

: \frac{1}{(1-t)^n}.

4. 2. 힐베르트 급수

힐베르트 급수는 주어진 차수의 단항식의 수를 표현하는 방법이다. n개의 변수에서 차수 d인 단항식의 수는 형식적 멱급수 전개에서 다음 식의 차수 d의 계수이다.

: \frac{1}{(1-t)^n}.

5. 다중 지표 표기법

다중 지표 표기법은 여러 변수를 가진 단항식을 간결하게 표현하는 방법이다. 사용되는 변수가 x_1, x_2, x_3, \ldots와 같이 첨자화된 족을 형성하는 경우, 다음과 같이 설정할 수 있다.

:x=(x_1, x_2, x_3, \ldots),

그리고

:\alpha = (a, b, c,\ldots).

그러면 단항식 x_1^a x_2^b x_3^c \cdots은 x^{\alpha}와 같이 간결하게 쓸 수 있다.

이 표기법은 편미분 방정식론 등의 분야에서 유용하게 사용된다.[1]

5. 1. 표기법 예시

다중 지표 표기법을 사용하면, 다중 지수 \alpha = (a, b, c)에 대해, 단항식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]

:x^{\alpha} = x_1^a\, x_2^b\, x_3^c

이 표기법으로 두 단항식의 곱은 지수 벡터의 덧셈으로 간단하게 표현할 수 있다.[1]

:x^\alpha x^\beta=x^{\alpha+\beta}

6. 단항식의 차수

단항식의 차수는 모든 변수의 지수를 더한 값이며, 지수가 표시되지 않은 변수는 암묵적으로 지수가 1이라고 가정한다.[1] 예를 들어 xyz^2의 차수는 1+1+2=4이다.[1] 0이 아닌 상수의 차수는 0이다.[1] 예를 들어 -7의 차수는 0이다.[1]

단항식의 차수는 급수와 관련하여 "order"라고 불리기도 하며, 변수가 하나일 때의 차수와 구별하기 위해 "총 차수"라고도 한다.[1]

단항식의 차수는 다항식 이론의 기초이다.[1] 다항식의 차수, 동차 다항식의 개념을 정의하고, 그뢰브너 기저를 만들고 계산하는 데 사용되는 단항식 순서의 അടിസ്ഥാന이 된다.[1] 또한 여러 변수의 테일러 급수에서 항을 묶는 데 사용된다.[1]

6. 1. 차수와 관련된 용어

단항식의 차수는 모든 변수의 지수의 합으로 정의되며, 지수가 없이 나타나는 변수의 암묵적인 지수 1도 포함한다.[1] 예를 들어, xyz^2의 차수는 1+1+2=4이다.[1] 0이 아닌 상수의 차수는 0이다.[1] 예를 들어, -7의 차수는 0이다.[1]

단항식의 차수는 다항식 이론의 기본이다.[1] 다항식의 차수와 동차 다항식의 개념을 정의하는 데 사용되며, 그뢰브너 기저를 공식화하고 계산하는 데 사용되는 단항식 순서에도 사용된다.[1] 여러 변수의 테일러 급수의 항을 그룹화하는 데도 사용된다.[1]

  • 총 차수: 모든 변수의 지수의 합[1]
  • 위수: 급수에서 0이 아닌 항의 최소 차수 (단항식의 경우 차수와 동일)[1]

7. 단항식의 기하학적 의미

대수기하학에서, 단항식 방정식 x^{\alpha} = 0으로 정의된 다양체는 일부 α 집합에 대해 특별한 균질성 속성을 갖는다. 이는 대수군의 언어로 표현될 수 있으며, 대수적 토러스의 군 작용의 존재와 관련이 있다(또는 대각 행렬의 곱셈군에 의해). 이 분야는 토러스 임베딩이라는 이름으로 연구된다.[1][2]

대수기하학에서, 다중 지수 α 집합에 대해 단항식 방정식계 x^{\alpha} = 0으로 정의되는 대수다양체는 제차성의 특별한 성질을 가지고 있다. 이는 대수군의 용어를 통해 Algebraic torus|대수적 토러스영어의 군 작용의 존재 관점에서 (같은 의미로 대각 행렬의 곱셈군에 의해) 표현할 수 있다. 이러한 연구를 수행하는 분야는 토러스 다양체론 또는 토러스 매입(torus embeddings)이라고 불린다.[2]

참조

[1] 서적 Algebra Springer Verlag
[2] 서적 Abstract Algebra John Wiley and Sons
[3] 서적 Fundamentals of Complex Analysis Pearson Education
[4] 서적 Calculus John Wiley & Sons
[5] 문서 American Heritage Dictionary of the English Language
[6] 서적 Using Algebraic Geometry https://archive.org/[...] Springer Verlag
[7] 간행물 Monomial
[8] 문서 American Heritage Dictionary of the English Language
[9] 웹사이트 화적 적화 https://books.google[...]
[10] 서적 Using Algebraic Geometry Springer Verlag
[11] 간행물 Monomial
[12] PlanetMath monomial


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