4차원

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1. 개요
2. 4차원의 정의 및 개념
- 2.1. 유클리드 공간에서의 4차원
- 2.2. 시공간으로서의 4차원
3. 4차원 도형
- 3.1. 정다포체
- 3.2. 기타 4차원 도형
4. 4차원의 성질
5. 물리학에서의 4차원
6. 4차원과 관련된 인물
- 6.1. 수학, 과학
- 6.2. 철학, 문학
7. 대중문화와 4차원
- 7.1. 문학
- 7.2. 예술
참조

1. 개요

4차원은 어떤 집합의 한 점을 지정하는 데 4개의 다른 집합에서 하나를 선택해야 하는 경우를 의미하며, 3차원 공간에 독립적인 네 번째 방향을 더한 것으로 생각할 수 있다. 수학적으로는 4개의 실수 좌표 (x, y, z, w)로 표현되는 점들의 집합이며, 4차원 유클리드 공간에서 내적, 노름, 각도 등을 계산할 수 있다. 현대 물리학에서는 3차원 공간과 1차원 시간을 결합한 시공간으로 사용되며, 특수 및 일반 상대성 이론의 기반이 된다. 4차원 도형으로는 정다포체, 초구 등이 있으며, 4차원 공간의 기하학은 3차원보다 복잡하다. 4차원과 관련된 인물로는 라그랑주, 뫼비우스, 슐레플리, 힌턴 등이 있으며, 대중문화에서는 시간 여행이나 평행 우주를 묘사하는 데 자주 활용된다.

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4차원
개요
4차원 공간의 개념
설명	4차원 공간은 3차원 공간의 확장으로, 수학, 물리학 등 다양한 분야에서 다루어진다.
수학적 접근
정의	4차원 공간은 4개의 매개변수를 사용하여 지정할 수 있는 공간이다. 이는 좌표계를 통해 수학적으로 표현될 수 있다.
유클리드 4차원 공간	유클리드 4차원 공간은 4개의 직교하는 방향으로 확장된 공간이다. 이는 3차원 공간에 직교하는 또 다른 차원을 추가하여 얻어진다.
좌표계	4차원 공간의 점은 (x, y, z, w)와 같은 4개의 좌표로 표현된다. 여기서 x, y, z는 일반적인 3차원 공간의 좌표이며, w는 추가된 네 번째 차원의 좌표이다.
기하학적 특징
초입방체 (테서랙트)	초입방체는 4차원 공간에서의 입방체에 해당하며, 테서랙트라고도 불린다. 이는 3차원 입방체를 한 방향으로 이동시켜 얻을 수 있다.
초구	초구는 4차원 공간에서의 구에 해당한다. 이는 3차원 구의 표면의 모든 점이 중심에서 동일한 거리에 있는 점들의 집합으로 정의된다.
회전	4차원 공간에서는 3차원 공간에서와 다른 방식으로 물체를 회전시킬 수 있다. 예를 들어, 두 개의 직교하는 평면을 축으로 하는 이중 회전이 가능하다.
물리학적 접근
시공간	상대성 이론에서 4차원 시공간은 3차원 공간과 1차원 시간을 결합한 개념이다.
끈 이론	끈 이론과 같은 일부 이론에서는 우주가 10차원 또는 11차원과 같은 더 높은 차원을 가질 수 있다고 가정한다.
시각화의 어려움
한계	인간은 3차원 공간에 살고 있기 때문에 4차원 공간을 직접적으로 시각화하는 것은 매우 어렵다. 따라서 투영, 단면, 유사성 등을 이용하여 간접적으로 이해하려는 시도가 이루어진다.
참고
관련 개념	차원 3차원 공간 시공간 테서랙트 초구

2. 4차원의 정의 및 개념

4차원은 어떤 점의 위치를 나타내기 위해 서로 독립적인 4개의 좌표가 필요한 공간을 의미한다. 이는 우리가 일상적으로 경험하는 3차원 공간을 확장한 개념이다.

기하학적으로 4차원을 이해하는 한 가지 방법은 차원을 하나씩 늘려가는 과정을 유추하는 것이다. 1차원인 선을 그와 수직인 방향으로 움직이면 2차원인 평면이 되고, 평면을 다시 그와 수직인 새로운 방향으로 움직이면 3차원인 입체 공간이 만들어진다. 같은 방식으로, 3차원 공간 전체를 기존의 세 방향(가로, 세로, 높이)과 모두 직교하는 네 번째 방향으로 움직인다고 상상하면 4차원 공간을 개념적으로 생각해볼 수 있다. 물론 이 네 번째 방향은 우리가 직접 지각하기는 어렵다.

이 네 번째 차원은 반드시 공간적인 방향일 필요는 없다. 예를 들어 시간을 네 번째 차원으로 생각할 수도 있다. 이 경우, 3차원 물체가 시간에 따라 변화하며 움직이는 궤적은 4차원 시공간 속의 한 모습으로 표현될 수 있다.^[1] 이러한 아이디어는 라그랑주가 역학을 분석하면서 처음 제시했으며^[3], 이후 헤르만 민코프스키에 의해 상대성 이론의 맥락에서 시공간이라는 개념으로 발전했다.^[8]^[9]

수학에서는 4개의 좌표축이 모두 동등하고 서로 직교하는 4차원 유클리드 공간을 주로 다루며, 이는 루드비히 슐레플리와 같은 수학자들에 의해 연구되었다. 반면, 물리학에서 다루는 4차원 시공간(민코프스키 공간)은 시간 차원이 공간 차원과 다른 특성을 가지는 비유클리드 기하학적 구조를 가진다. 이처럼 '4차원'이라는 용어는 사용되는 맥락에 따라 순수한 수학적 공간을 의미하기도 하고, 물리적 시공간을 의미하기도 한다.

2. 1. 유클리드 공간에서의 4차원

어떤 집합 S의 한 점을 지정하는 데 다른 4개의 집합에서 각각 하나씩 원소를 선택해야 할 때, 그 집합 S는 4차원이라고 한다. 4차원 유클리드 공간은 이러한 개념을 바탕으로 정의된다. 1차원인 선을 그와 독립적인 방향으로 나열하면 2차원인 평면이 되고, 2차원인 평면을 다시 독립적인 방향으로 나열하면 3차원인 입체가 되는 것처럼, 4차원 공간은 3차원의 입체를 우리가 직접 지각할 수 없는 네 번째 방향으로 나열한 것이라고 생각할 수 있다.^[1] 이 네 번째 방향으로 시간 축을 생각하면, 3차원 물체가 시간에 따라 움직이는 궤적을 4차원으로 볼 수도 있다.^[1]

수학적으로 4차원 유클리드 공간은 4개의 실수 좌표 (예: x, y, z, w)를 사용해야 그 안의 점 하나를 특정할 수 있는 공간이다.^[1] 이 공간의 한 점은 위치 벡터

\mathbf{a}

로 나타낼 수 있으며, 다음과 같이 4개의 성분으로 표현된다.

:

\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}.

이 벡터는 서로 직교하는 네 개의 표준 기저 벡터

(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4)

의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

:

\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},

따라서 일반적인 벡터

\mathbf{a}

는 다음과 같이 나타낸다.

:

\mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3 + a_4\mathbf{e}_4.

4차원 벡터의 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱은 3차원에서와 동일한 방식으로 계산된다.^[1]

3차원 유클리드 공간의 내적은 4차원으로 자연스럽게 확장된다. 두 벡터

\mathbf{a}

와

\mathbf{b}

의 내적은 각 성분끼리의 곱을 모두 더한 값이다.

:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4.

이 내적을 사용하여 벡터의 노름 또는 길이를 계산할 수 있다.

:

\left| \mathbf{a} \right| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} } = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2},

또한, 0이 아닌 두 벡터 사이의 각도

\theta

는 다음과 같이 정의된다.

:

\theta = \arccos{\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right|}}.

한편, 3차원에서 유용하게 사용되는 외적은 4차원에서는 일반적으로 정의되지 않는다.^[1] 대신, 외대수 곱이라는 연산이 사용되기도 한다. 두 벡터

\mathbf{a}

와

\mathbf{b}

의 외대수 곱은 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_{12} + (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{e}_{13} + (a_1b_4 - a_4b_1)\mathbf{e}_{14} + (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{e}_{23} \\+ (a_2b_4 - a_4b_2)\mathbf{e}_{24} + (a_3b_4 - a_4b_3)\mathbf{e}_{34}. \end{align}

이 결과는 이중 벡터라고 하며, 4차원 공간에서 이중 벡터들이 이루는 공간은 6차원 선형 공간이 된다. 이 외대수 곱은 4차원에서의 회전을 다루는 데 사용될 수 있다.^[1]

2. 2. 시공간으로서의 4차원

이 우주는 3차원 공간과 1차원 시간으로 이루어진 '''4차원 시공간'''(민코프스키 공간)으로 이해된다.

조제프루이 라그랑주는 1788년 출판된 저서 Mécanique analytique|분석 역학^fra에서 역학을 3차원의 공간과 1차원의 시간, 즉 4차원 공간에서 작용하는 것으로 볼 수 있다고 일찍이 언급했다.^[3] 그러나 현대 물리학에서 다루는 4차원 시공간 개념은 헤르만 민코프스키에 의해 확립되었다. 1908년, 민코프스키는 특수 상대성 이론의 수학적 기초를 마련하면서 시간을 공간과 동등한 네 번째 차원으로 통합한 민코프스키 공간 개념을 제시했다.^[8]^[9]

특수 상대성 이론에 근거한 현대의 표준적인 역학, 전자기학, 양자장론은 공간 3차원, 시간 1차원의 민코프스키 공간 위에서 기술된다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 중력을 설명하기 위해 이 4차원 시공간이 질량과 에너지에 의해 '휘어지는' 개념을 도입했다. 이처럼 현대 물리학의 기본 틀에서 우리가 존재하는 시공간은 '공간 3차원 + 시간 1차원'의 4차원으로 다루어진다.

물리학에서 말하는 4차원 시공간은 수학에서 다루는 4차원 유클리드 공간과는 중요한 차이가 있다. 유클리드 공간에서는 모든 차원이 동등하지만, 민코프스키 시공간에서는 시간 차원이 공간 차원과 구별되는 특성을 가진다. 이는 비유클리드 기하학의 일종으로, 베른하르트 리만의 연구에 기초한다. 수학자 H. S. M. 콕세터는 네 번째 유클리드 차원을 단순히 시간으로 간주하는 것은 상대성 이론에 대한 오해를 낳을 수 있다고 지적하며, 민코프스키 시공간의 고유한 기하학적 특성을 이해하는 것이 중요함을 강조했다. 그는 민코프스키의 시공간 기하학은 유클리드적이지 않으며, 따라서 순수 기하학적 4차원 논의와는 다르다고 설명했다.

3. 4차원 도형

4차원 공간의 기하학은 자유도가 하나 더 존재하기 때문에 3차원 공간의 기하학보다 훨씬 더 복잡하다. 3차원에서 2차원 다각형으로 이루어진 다면체가 있듯이, 4차원에서는 3차원 다면체들로 이루어진 다포체라는 도형이 존재한다. 4차원에는 3차원의 정다면체에 대응하는 다양한 종류의 정다포체들이 있으며, 그 종류와 구조는 3차원보다 훨씬 다채롭다. 이 외에도 3차원 도형을 확장하거나 4차원 공간의 특성을 이용한 여러 가지 독특한 도형들을 생각해볼 수 있다.

3. 1. 정다포체

3차원에서 2차원 다각형으로 이루어진 다면체가 있는 것처럼, 4차원에서는 3차원 다면체로 이루어진 폴리코라(다포체)가 있다. 3차원에는 정다면체로 알려진 5개의 볼록 정다면체가 존재한다. 이와 유사하게 4차원에는 정다면체의 아날로그인 6개의 볼록 정4포체가 있다. 이들은 각각 정오포체, 정팔포체(테서랙트), 정십육포체, 정이십사포체, 정백이십포체, 정육백포체이다.

정규성에 대한 조건을 완화하면, 3차원의 13개의 반정규 아르키메데스 입체와 유사하게 추가적인 58개의 볼록 균일 4-포체가 생성된다. 볼록성에 대한 조건을 완화하면 추가로 10개의 비볼록 정4포체(슐레플리-헤스 다포체)가 생성된다.

4차원의 정다포체
(각 콕서터 평면 대칭의 직교 투영으로 표시)
A₄, [3,3,3]	B₄, [4,3,3]		F₄, [3,4,3]	H₄, [5,3,3]
정오포체 정오포체 {3,3,3}	정팔포체(테서랙트) 테서랙트 {4,3,3}	정십육포체 정십육포체 {3,3,4}	정이십사포체 정이십사포체 {3,4,3}	정육백포체 정육백포체 {3,3,5}	정백이십포체 정백이십포체 {5,3,3}

3. 2. 기타 4차원 도형

유클리드 4차원 공간에서 고정된 한 점으로부터 같은 거리 ''R''에 있는 점들의 집합은 초표면을 이루며, 이를 3-구라고 부른다. 이는 3차원 공간에서의 구를 4차원으로 확장한 개념으로 생각할 수 있다. 3-구로 둘러싸인 공간의 초부피는

V = \frac{1}{2} \pi^2 R^4

이다. 이 3-구 개념은 일반 상대성 이론의 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에서도 사용되는데, 이때 반지름 ''R''은 시간에 따라 변하는 함수 ''R''(''t'')로 표현되어 우주의 팽창 또는 수축을 설명하는 데 쓰인다.^[11]

3차원에서 원을 돌출시켜 원기둥을 만드는 것처럼, 4차원에서도 비슷한 방식으로 새로운 도형을 만들 수 있다. 예를 들어, 3차원의 구를 4차원 방향으로 돌출시키면 양 끝이 구면인 구형 원기둥(스피린더, spherinder)이 되고, 3차원의 원기둥을 돌출시키면 원통형 각기둥(큐빈더, cubinder)이 된다.

또한 4차원 공간의 독특한 특성 중 하나는 매듭과 관련이 있다. 3차원 공간에서는 선만이 매듭을 이룰 수 있고 면은 스스로 교차하지 않고는 매듭을 만들 수 없지만, 4차원 공간에서는 2차원 표면 자체가 자기 교차 없이 복잡한 매듭을 형성하는 것이 가능하다. 이러한 4차원 매듭 표면의 대표적인 예로는 클라인 병과 실수 사영 평면이 있다. 그림으로 보이는 클리포드 토러스 역시 4차원 공간에 존재하는 도형의 한 예이다.

4. 4차원의 성질

4차원에는 다음과 같은 성질이 있다.

유클리드 공간에 이종 미분 구조가 있는 유일한 차원이다(도널드슨 정리).^[1]
2차원 구면을 자기 교차 없이 뒤집을 수 있다.^[2]
4차원을 2차원으로 나타내는 것은 3차원을 1차원으로 나타내는 것과 유사하다. 이 페이지는 2차원 평면이므로 여기에 4차원을 정확히 그리기는 어렵지만, 4차원의 성질을 통해 유추해 볼 수 있다.

아래 표는 '공간 3차원 + 시간 1차원'이 아닌 '공간 4차원'으로서의 특징을 보여준다.

차원	0차원	1차원	2차원	3차원	4차원
입방체 모양	점	선	면	블럭	4차원 입방체
점(0차원)의 개수	1	2	4	8	16
선(1차원)의 개수	0	1	4	12	32
면(2차원)의 개수	0	0	1	6	24
공간(3차원)의 개수	0	0	0	1	8
4차원의 개수	0	0	0	0	1

수학적으로 4차원 공간은 해당 공간 내의 점을 지정하기 위해 4개의 매개변수가 필요한 공간이다. 예를 들어, 일반적인 점은 위치 벡터 $\mathbf{a}$ 를 가질 수 있으며, 이는 다음과 같이 표현된다.

: $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}.$

이는 네 개의 표준 기저 벡터 $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_4)$ 로 표현할 수 있다.

: $\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \mathbf{e}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},$

따라서 일반적인 벡터 $\mathbf{a}$ 는 다음과 같다.

: $\mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3 + a_4\mathbf{e}_4.$

벡터는 3차원에서와 같이 더하고, 빼고, 스케일링된다.

유클리드 3차원 공간의 내적은 4차원으로 다음과 같이 일반화된다.

: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4.$

이를 사용하여 벡터의 노름 또는 길이를 계산할 수 있다.

: $\left| \mathbf{a} \right| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} } = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2},$

그리고 두 개의 0이 아닌 벡터 사이의 각도를 계산하거나 정의할 수 있다.

: $\theta = \arccos{\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right|}}.$

민코프스키 시공간은 내적과 다른 비퇴화 페어링으로 정의된 기하학을 가진 4차원 공간이다.

: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 - a_4 b_4.$

예를 들어, 점 $(0,0,0,0)$ 과 $(1,1,1,0)$ 사이의 거리 제곱은 유클리드 및 민코프스키 4차원 공간에서 모두 3이지만, $(0,0,0,0)$ 과 $(1,1,1,1)$ 사이의 거리 제곱은 유클리드 공간에서 4이고 민코프스키 공간에서 2이다. $b_4$ 를 증가시키면 메트릭 거리가 감소하는데, 이는 상대성 이론에서 나타나는 현상과 관련이 있다.

외적은 3차원과 달리 4차원에서는 일반적으로 정의되지 않는다. 대신, 일부 응용 분야에서는 외대수의 쐐기곱이 사용되며, 다음과 같이 정의된다.

: $\begin{align}\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_{12} + (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{e}_{13} + (a_1b_4 - a_4b_1)\mathbf{e}_{14} + (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{e}_{23} \\+ (a_2b_4 - a_4b_2)\mathbf{e}_{24} + (a_3b_4 - a_4b_3)\mathbf{e}_{34}. \end{align}$

이것은 이중 벡터 값을 가지며, 4차원의 이중 벡터는 기저 $(\mathbf{e}_{12}, \mathbf{e}_{13}, \mathbf{e}_{14}, \mathbf{e}_{23}, \mathbf{e}_{24}, \mathbf{e}_{34})$ 를 갖는 6차원 선형 공간을 형성한다. 이를 사용하여 4차원에서 회전을 생성할 수 있다.

일상생활에서 익숙한 3차원 공간에는 세 개의 좌표축—일반적으로 x, y, z로 표시됨—이 있으며, 각 축은 다른 두 축에 직교한다. 이 공간의 여섯 가지 주요 방향은 '위', '아래', '동', '서', '북', '남'이라고 부를 수 있다. 이러한 축을 따른 위치는 '고도', '경도', '위도'라고 부를 수 있으며, 길이는 '높이', '너비', '깊이'라고 할 수 있다.

이에 비해 4차원 공간에는 다른 세 축에 직교하는 추가 좌표축이 있으며, 일반적으로 w로 표시된다. 두 개의 추가 주요 방향을 설명하기 위해 찰스 하워드 힌턴은 그리스어 단어에서 따온 '아나(ana)'와 '카타(kata)'라는 용어를 만들었다. 각각 "위로"와 "아래로"를 의미한다.^[6]

헤르만 민코프스키는 유한한 빛의 속도를 포함한 우주론을 논의하기 위해 4차원의 아이디어를 활용했다. 시간 차원을 3차원 공간에 추가하면서 그는 쌍곡 직교성이라는 대체 수직성을 명시했다. 이 개념은 그의 4차원 공간에 전자기 관계에 적합한 수정된 동시성의 상대성을 제공하며, 이는 기존의 3개의 공간 차원과 1개의 시간 차원을 사용했던 절대 공간과 시간 우주론의 문제점을 극복하는 데 기여했다.

4차원 공간의 기하학은 자유도가 하나 더 존재하기 때문에 3차원 공간의 기하학보다 훨씬 더 복잡하다.

3차원에 2차원 다각형으로 이루어진 다면체가 있는 것처럼, 4차원에는 다면체로 이루어진 4차원 다포체(폴리코론)가 있다. 3차원에는 5개의 정다면체가 있다. 4차원에는 정다면체의 4차원 버전인 6개의 볼록 정4포체가 있다. 정규성 조건을 완화하면 3차원의 13개 아르키메데스 다면체와 유사한 추가적인 58개의 볼록 균일 4-포체가 생성된다. 볼록성 조건을 완화하면 추가로 10개의 비볼록 정4포체가 생성된다.

4차원의 정다포체
(각 콕서터 평면 대칭의 직교 투영으로 표시)
A₄, [3,3,3]	B₄, [4,3,3]		F₄, [3,4,3]	H₄, [5,3,3]
5-세포 {3,3,3}	테서랙트 {4,3,3}	16-세포 {3,3,4}	24-세포 {3,4,3}	600-세포 {3,3,5}	120-세포 {5,3,3}

3차원에서 원을 돌출하여 원기둥을 만들 수 있다. 4차원에는 여러 가지 원기둥과 같은 물체가 있다. 구를 돌출하여 구형 원기둥(스페린더)을 얻을 수 있고, 원기둥을 돌출하여 원통형 각기둥(큐빈더)을 얻을 수 있다. 이들은 모두 4차원 공간에서 "구를" 수 있으며 각각 고유한 특성을 갖는다.

3차원에서는 곡선이 매듭을 형성할 수 있지만 표면은 자기 교차하지 않는 한 그럴 수 없다. 그러나 4차원에서는 곡선으로 만든 매듭을 네 번째 방향으로 이동하여 쉽게 풀 수 있지만, 2차원 표면은 4차원 공간에서 자명하지 않은(non-trivial) 자기 교차하지 않는 매듭을 형성할 수 있다.^[16] 이러한 표면은 2차원이기 때문에 3차원 공간의 끈보다 훨씬 더 복잡한 매듭을 형성할 수 있다. 클라인 병은 이러한 매듭 표면의 한 예이다. 또 다른 예는 실수 사영 평면이다.

3차원 물체가 2차원 평면을 통과할 때, 이 평면에 있는 2차원 존재는 이 평면 내의 3차원 물체의 단면만 관찰할 수 있다. 예를 들어, 구가 종이를 통과하면 종이 안의 존재는 처음에는 단일 점을 보고, 점차 커지는 원을 보다가 구의 지름에 도달한 후 다시 작아져 점으로 축소되어 사라진다. 2차원 존재는 3차원 존재와 같은 방식으로 구를 보지 못하고, 오히려 자신의 1차원 "망막"에서 구의 1차원 투영만 본다. 마찬가지로, 4차원 물체가 3차원 (초)표면을 통과하면 4차원 물체의 3차원 단면을 관찰할 수 있다. 예를 들어, 초구는 처음에는 점으로 나타나고, 그 다음에는 점점 커지는 구(초구의 "초지름"에 도달할 때까지)로 나타나며, 이 구는 다시 단일 점으로 축소된 다음 사라진다.^[17] 이러한 4차원 측면을 시각화하는 방법은 소설 ''플랫랜드''와 찰스 하워드 힌턴의 여러 작품에서 사용되었다.^[6] 그리고 3차원 존재(2차원 망막을 가진 인간과 같은)가 2차원 모양의 모든 면과 내부를 동시에 볼 수 있는 것처럼, 4차원 존재는 3차원 망막으로 3차원 모양의 모든 면과 내부를 한 번에 볼 수 있다고 상상할 수 있다.

고차원 시각화를 위한 차원적 유추의 유용한 적용은 투영에 있다. 투영은 $n$ 차원 객체를 $n-1$ 차원으로 표현하는 방법이다. 예를 들어, 컴퓨터 화면은 2차원이며, 3차원 사람, 장소, 사물의 모든 사진은 객체를 평면에 투영하여 2차원으로 표현된다. 이렇게 하면 화면에 수직인 차원(''깊이'')이 제거되고 간접 정보로 대체된다. 눈의 망막 역시 2차원 배열 수용체이지만, 뇌는 간접 정보(예: 음영, 원근법, 양안시 등)로부터 추론하여 3차원 객체의 특성을 인식할 수 있다. 예술가는 종종 원근법을 사용하여 2차원 그림에 3차원 깊이의 환상을 부여한다. 그림에 표시된 것처럼, 회전하는 테서랙트의 가상 그리드 모델이 평면 표면에 드리운 ''그림자'' 역시 투영의 결과이다.

마찬가지로, 4차원의 객체는 친숙한 3차원으로 수학적으로 투영될 수 있으며, 여기서 더 편리하게 검사할 수 있다. 이 경우 4차원 눈의 '망막'은 3차원 수용체 배열이라고 상상할 수 있다. 그러한 눈을 가진 가상 존재는 망막의 3차원 이미지의 간접 정보로부터 4차원 깊이를 추론하여 4차원 객체의 특성을 인식할 것이다.

3차원 객체를 눈의 망막에 투영하는 원근법은 뇌가 3차원의 깊이로 해석하는 착시 효과를 도입한다. 같은 방식으로, 4차원에서 3차원으로의 원근 투영은 유사한 원근법 효과를 발생시킨다. 차원적 유추를 적용함으로써 이러한 효과로부터 4차원 "깊이"를 추론할 수 있다.

이 원리의 예로, 다음 이미지 시퀀스는 3차원 정육면체의 다양한 뷰를 4차원 테서랙트의 유사한 3차원 공간 투영과 비교한다.

정육면체	테서랙트	설명
정면에서 본 정육면체	테서랙트의 셀 우선 원근 투영	왼쪽 이미지는 정면에서 본 정육면체이다. 4차원 테서랙트의 유사한 관점은 오른쪽에 표시된 셀 우선 원근 투영이다. 두 가지 사이의 유추를 그릴 수 있다: 정육면체가 정사각형으로 투영되는 것처럼 테서랙트는 정육면체로 투영된다. 정육면체의 다른 5개 면은 여기서 보이지 않으며, 보이는 면에 의해 가려져 있다. 마찬가지로, 테서랙트의 다른 7개 셀은 여기서 보이지 않으며, 보이는 셀에 의해 가려져 있다.
모서리에서 본 정육면체	테서랙트의 면 우선 원근 투영	왼쪽 이미지는 모서리에서 본 동일한 정육면체를 보여준다. 테서랙트의 유사한 관점은 오른쪽에 표시된 면 우선 원근 투영이다. 정육면체의 모서리 우선 투영이 두 개의 사다리꼴로 구성되는 것처럼 테서랙트의 면 우선 투영은 두 개의 잘린뿔로 구성된다. 이 관점에서 정육면체의 가장 가까운 모서리는 빨간색 면과 녹색 면 사이에 있는 것이다. 마찬가지로, 테서랙트의 가장 가까운 면은 빨간색 셀과 녹색 셀 사이에 있는 것이다.
꼭지점에서 본 정육면체	테서랙트의 모서리 우선 원근 투영	왼쪽은 꼭지점을 먼저 본 정육면체이다. 이것은 오른쪽에 표시된 테서랙트의 모서리 우선 원근 투영과 유사하다. 정육면체의 꼭지점 우선 투영이 꼭지점을 둘러싼 3개의 연으로 구성되는 것처럼 테서랙트의 모서리 우선 투영은 모서리를 둘러싼 3개의 육면체 부피로 구성된다. 정육면체의 가장 가까운 꼭지점이 세 면이 만나는 곳인 것처럼 테서랙트의 가장 가까운 모서리는 세 셀이 만나는 투영 부피의 중심에 있는 것이다.
		테서랙트의 모서리 우선 투영과 정육면체의 모서리 우선 투영 사이에 다른 유추를 그릴 수 있다. 정육면체의 모서리 우선 투영은 모서리를 둘러싼 두 개의 사다리꼴을 가지고 있는 반면, 테서랙트는 모서리를 둘러싼 세 개의 육면체 부피를 가지고 있다.
	테서랙트의 꼭지점 우선 원근 투영	왼쪽은 꼭지점을 먼저 본 정육면체이다. 테서랙트의 꼭지점 우선 원근 투영이 오른쪽에 표시된다. 정육면체의 꼭지점 우선 투영은 꼭지점을 둘러싼 3개의 사변형을 가지고 있지만, 테서랙트의 꼭지점 우선 투영은 꼭지점을 둘러싼 네 개의 육면체 부피를 가지고 있다. 정육면체의 가장 가까운 꼭지점이 이미지의 중심에 있는 것처럼, 테서랙트의 가장 가까운 꼭지점은 투영된 부피의 경계가 아니라 그 중심 내부에 있으며, 여기서 네 개의 셀이 모두 만난다. 정육면체의 6개 면 중 3개만 여기서 볼 수 있다. 왜냐하면 다른 3개 면이 정육면체의 반대쪽, 이 3개 면 뒤에 있기 때문이다. 마찬가지로, 테서랙트의 8개 셀 중 4개만 여기서 볼 수 있다. 나머지 4개는 테서랙트의 반대쪽, 네 번째 방향으로 이 4개 뒤에 있다.

5. 물리학에서의 4차원

현대 물리학에서는 우리가 사는 우주를 3차원의 공간과 1차원의 시간이 결합된 '''4차원 시공간'''으로 이해한다. 이는 헤르만 민코프스키가 1908년 특수 상대성 이론을 설명하기 위해 도입한 민코프스키 시공간 개념에 기반한다.^[8]^[9]

특수 상대성 이론뿐만 아니라 현대의 표준적인 역학, 전자기학, 양자장론 등 많은 물리 법칙이 이 4차원 민코프스키 시공간 위에서 기술된다. 특수 상대성이론을 중력을 기술하도록 확장한 일반 상대성 이론은 이 4차원 시공간에 '곡선' 또는 '굽음'을 도입하여 중력을 시공간의 기하학적 성질로 설명한다. 이처럼 현대 물리학의 기본 틀에서는 우리가 존재하는 시공간을 '공간 3차원 + 시간 1차원'의 4차원으로 다룬다.

물리학에서 말하는 4차원 시공간은 수학에서 일반적으로 다루는 4차원 유클리드 공간과는 다르다는 점에 유의해야 한다. 민코프스키 시공간은 시간을 다른 공간 차원과 구별하여 다루는 비유클리드 기하학을 따른다. 수학자 H. S. M. 콕세터는 네 번째 유클리드 차원을 단순히 시간으로 여기는 것이 상대성 이론에 대한 심각한 오해를 불러일으킬 수 있다고 지적한 바 있다.

한편, 일부 현대 물리학 이론에서는 우리가 인지하는 "공간 3차원, 시간 1차원"을 넘어선 추가적인 공간 차원이나 시간 차원의 존재를 가정하기도 한다. 이러한 5차원 이상의 차원을 물리학에서는 '''여분 차원'''(Extra Dimension)이라고 부른다. 예를 들어, 초끈 이론에서는 이 우주가 실제로는 "공간 9차원 + 시간 1차원"으로 이루어져 있다고 보며, 헤테로틱 끈 이론에서는 "공간 25차원 + 시간 1차원"의 시공간을 가정한다. 이러한 이론들에 따르면, 우리가 여분의 차원을 관측하지 못하는 이유는 그것들이 통상적인 방법으로는 감지할 수 없을 정도로 매우 작게 말려 있기 때문일 수 있다. 그러나 이러한 여분 차원을 가진 이론들은 아직 실험적인 증거를 얻지 못했으며, 현재로서는 가설 단계에 머물러 있다.

6. 4차원과 관련된 인물

4차원 개념의 발전에는 여러 수학자, 과학자, 철학자들이 기여했다. 주요 인물과 그들의 기여는 다음과 같다.

인물	주요 기여 또는 관련 내용
라그랑주	역학을 3차원 공간과 1차원 시간을 결합한 4차원 공간에서 파악할 수 있다고 보았다.^[3]
뫼비우스	4차원 회전을 통해 3차원 물체를 거울상으로 변환할 수 있다는 아이디어를 제시했다.
루드비히 슐레플리	19세기 중반, 임의 차원의 유클리드 공간 개념을 정립하고 고차원의 정다포체를 발견했다.
윌리엄 로언 해밀턴	1843년, 4개의 차원을 갖는 대수 체계인 사원수를 정의했다.
빅토르 슐레겔	1886년, 슐레겔 도표를 고안하여 4차원 도형을 시각화하는 방법을 제시했다.^[4]
찰스 하워드 힌턴	1880년대부터 4차원 개념을 대중에게 소개했으며, 테서랙트와 같은 용어를 만들었다.^[5]^[6]^[7]
베른하르트 리만	1854년, 고차원 비유클리드 공간 연구의 기초를 마련했다.
헤르만 민코프스키	1908년, 시간을 네 번째 차원으로 하는 시공간 개념을 도입하여 상대성 이론의 수학적 틀을 제공했다.^[8]^[9]
이마누엘 칸트	1783년, 공간이 3차원이라는 것은 경험 이전에 주어진 직관적 사실이라고 주장했다.^[18]
구스타프 페히너	1846년, 4차원 개념을 다룬 소설을 발표하여 철학적 상상력을 자극했다.^[19]
사이먼 뉴컴	1898년, "초공간의 철학"이라는 글을 통해 4차원에 대한 철학적 논의를 제시했다.^[20]
P. D. 우스펜스키	4차원을 형이상학적, 신비주의적으로 해석한 "초공간 철학자" 중 한 명이다.^[22]

6. 1. 수학, 과학

라그랑주는 그의 저서 Mécanique analytique|메카니크 아날리티크^프랑스어(1788년 출판, 1755년경 작업)에서 역학을 3차원의 공간과 1차원의 시간을 합친 4차원 공간에서 작용하는 것으로 볼 수 있다고 언급했다.^[3] 1827년에는 뫼비우스가 네 번째 차원을 이용하면 3차원 물체를 그 거울상으로 회전시킬 수 있다는 점을 발견했다. 임의의 차원을 가진 유클리드 공간에 대한 일반적인 개념은 19세기 중반 스위스 수학자 루드비히 슐레플리에 의해 완전히 개발되었다. 당시에는 케일리, 그라스만, 뫼비우스 정도만이 3차원 이상의 기하학 가능성을 고려하고 있었다. 슐레플리는 1853년까지 정다포체를 포함하여 고차원에 존재하는 모든 정규 다포체를 발견했는데, 이는 플라톤 다면체의 4차원 버전이라 할 수 있다.

4개의 공간 차원을 다루는 산술인 사원수는 1843년 윌리엄 로언 해밀턴에 의해 정의되었다. 이 결합 대수는 3차원 벡터 해석의 기초가 되었다. 이후 테서린과 공사원수 같은 다른 4차원 대수들도 소개되었다. 1886년 빅토르 슐레겔은 슐레겔 도표를 이용하여 4차원 객체를 시각화하는 방법을 제시했다.^[4]

네 번째 차원을 대중에게 알린 초기 인물 중 한 명은 찰스 하워드 힌턴이다. 그는 1880년 더블린 대학교 잡지에 ''4차원이란 무엇인가?''라는 에세이를 발표하며 시작했다.^[5] 그의 저서 ''사고의 새로운 시대''에서는 '테서랙트', 'ana', 'kata'와 같은 용어를 만들었고, ''Fourth Dimension''에서는 입방체를 이용해 4차원을 시각화하는 방법을 소개했다.^[6]^[7] 힌턴의 아이디어는 마틴 가드너가 1962년 ''사이언티픽 아메리칸''의 "수학 게임 칼럼"에서 소개한 "4차원의 교회" 이야기에 영감을 주기도 했다.

고차원 비유클리드 공간은 베른하르트 리만의 1854년 논문 Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen|위버 디 휘포테젠 벨헤 데어 게오메트리 추 그룬데 리겐^de을 통해 확고한 기반을 마련했다. 이 논문에서 그는 '점'을 좌표의 임의의 순서 (''x''₁, ..., ''x''_n)로 간주했다. 1908년 헤르만 민코프스키는 특수 및 일반 상대성 이론의 기초가 되는 시공간 개념에서 시간의 역할을 네 번째 차원으로 통합하는 논문을 발표했다.^[8]^[9] 그러나 민코프스키가 제시한 시공간의 기하학은 비유클리드적이며, 슐레플리가 탐구하고 힌턴이 대중화한 4차원 유클리드 공간과는 매우 다르다. 이 둘의 차이는 리만의 수학을 필요로 하는 민코프스키 공간 연구가 4차원 유클리드 공간 연구와는 다른 방향으로 발전하게 만들었다. 하지만 대중적인 인식 속에서는 이러한 구분이 명확하지 않아 혼동이 생기기도 했다. 이 때문에 1973년 H. S. M. 콕세터는 그의 저서 ''Regular Polytopes''에서 "네 번째 유클리드 차원을 '시간'으로 표현함으로써 얻는 것은 거의 없다. 사실, 타임머신의 H. G. 웰스가 매력적으로 개발한 이 아이디어는 시간과의 실험의 존 윌리엄 던과 같은 저자들을 상대성 이론에 대한 심각한 오해로 이끌었다. 민코프스키의 시공간 기하학은 유클리드적이지 않으며, 따라서 현재 조사와는 아무런 관련이 없다."라고 지적하며, 네 번째 유클리드 차원을 단순히 '시간'으로 여기는 것은 오해를 낳을 수 있으며, 특히 민코프스키의 시공간 기하학은 유클리드적이지 않으므로 유클리드 4차원 공간 논의와는 관련이 없음을 강조했다.

최근 가상 현실을 이용한 연구에 따르면, 인간은 3차원 세계에 살고 있음에도 불구하고 특별한 훈련 없이도 4차원 공간에 놓인 선분의 길이(1차원)와 각도(2차원)를 바탕으로 공간적 판단을 내릴 수 있는 능력이 있다는 결과가 나왔다.^[12] 연구자들은 참가자들이 최소한의 연습만 했기 때문에, 4차원 가상 환경 경험이 늘어남에 따라 더 명확하고 풍부한 4차원 표상을 얻을 수 있을지는 아직 확실하지 않다고 덧붙였다.^[12] 또 다른 연구에서는^[13] 인간의 2D, 3D, 4D 미로 탐색 능력을 시험했다. 참가자들은 존 매킨토시의 무료 4D 미로 게임을 기반으로 한^[14] 환경에서 경로를 탐색한 후 시작점으로 돌아가는 방향을 추정해야 했다. 연구 결과, 일부 참가자들은 약간의 연습 후 4D 미로에서도 자신의 경로를 정신적으로 통합할 수 있었다.

그러나 2020년의 한 리뷰 논문은 이러한 연구들이 소수의 피험자, 주로 대학생을 대상으로 했다는 한계를 지적했다. 또한, 연구 과정에서 나타날 수 있는 아티팩트(예: 4차원적 사고 없이 문제를 해결하는 전략 사용, 연구자의 피드백 영향)를 제거하고, 피험자 간의 능력 차이(4차원 인지 능력이 특정 연령대나 특정 개인에게만 가능한지 등)를 분석하는 것이 향후 연구 과제라고 언급했다. 4차원을 효과적으로 투영하는 방법에 대한 연구도 더 필요하다고 보았다. 연구자들은 인간이 4차원 공간 인식을 습득할 경우 뇌의 시각 영역과 내측 측두엽 피질이 활성화될 수 있으며, 이것이 4차원 인식 습득의 강력한 지표가 될 수 있다고 가설을 세웠다. 더불어 다양한 신경망 아키텍처를 이용하여 어떤 모델이 4차원 학습 능력을 보이는지 연구할 것을 제안했다.^[15]

6. 2. 철학, 문학

이마누엘 칸트는 1783년에 공간이 세 개의 차원을 가진다고 주장했다. 그는 한 점에서 직각으로 교차할 수 있는 선이 세 개를 넘지 않는다는 사실이 개념만으로는 증명될 수 없으며, 순수한 선험적 직관에 의존하는 명백한 사실이라고 보았다.^[18]

독일의 철학자이자 실험 심리학자인 구스타프 페히너는 1846년 "미제스 박사"라는 필명으로 "공간은 네 차원을 가진다"라는 단편 소설을 발표했다. 이 소설은 2차원 표면에 갇힌 그림자가 세 번째 차원을 시간으로 인식한다는 내용을 다루며, 이는 플라톤이 기원전 약 380년경 ''국가''에서 제시한 동굴의 비유와 유사하다.^[19]

1898년 사이먼 뉴컴은 ''미국 수학회 회보''에 "초공간의 철학"이라는 글을 기고했다.^[20] 이후 린다 달림플 헨더슨은 1983년 자신의 저서에서 더 높은 차원을 이용하여 형이상학적 주제를 탐구하는 경향을 설명하기 위해 "초공간 철학"이라는 용어를 사용했다.^[21] 이러한 "초공간 철학자"의 예로는 1888년 '테서랙트'라는 용어를 처음 사용한 찰스 하워드 힌턴과 러시아의 신비주의 사상가인 P. D. 우스펜스키 등이 있다.^[22]

7. 대중문화와 4차원

대중문화, 특히 과학 소설과 같은 픽션 작품에서 4차원이라는 개념은 흥미로운 소재로 자주 활용된다. 대표적으로 시간을 네 번째 차원으로 설정하여 시간 여행을 다루는 작품(H. G. 웰스의 소설 『타임머신』 등)이 많이 존재한다.

반면, 시간을 네 번째 차원으로 설정하지 않고 다른 방식으로 4차원을 묘사하는 작품들도 있다. 예를 들어, 마유무라 타쿠의 소설 『수수께끼 전학생』에서는 시간축이 아닌 다른 차원을 다루며, 만화 『도라에몽』에 등장하는 4차원 주머니는 시간과 관계없이 무한히 물건을 수납할 수 있는 4차원 공간이라는 설정이다.

4차원 공간의 개념을 이해시키기 위해 '차원 유추'라는 방법이 사용되기도 하는데, 이는 3차원 존재가 2차원 세계에 미치는 영향을 통해 4차원 존재가 3차원 세계에 미칠 영향을 추론하는 방식이다.^[16] 이러한 방식은 에드윈 애벗의 소설 ''플랫랜드''와 같은 작품에서 잘 나타난다.

7. 1. 문학

픽션 작품에서는 '시간을 4번째 차원으로 다루는 설정'이 많이 등장한다. H. G. 웰스의 소설 『타임머신』에서는 '시간은 4번째의 차원이다'라는 이론이 작중에 제시된다.

4차원 공간의 본질을 이해하기 위해 '차원 유추'라는 방법이 흔히 사용된다. 차원 유추는 ''n'' − 1 차원이 ''n'' 차원과 어떻게 관련되는지 살펴본 다음, ''n'' 차원이 ''n'' + 1 차원과 어떻게 관련될지 추론하는 방식이다.^[16]

이러한 차원 유추는 에드윈 애벗이 쓴 책 ''플랫랜드''에서 사용되었다. 이 책은 종이 표면과 같은 2차원 세계에 사는 사각형의 이야기를 다룬다. 이 사각형의 관점에서 보면, 3차원 존재는 마치 신과 같은 능력을 가진 것으로 보인다. 예를 들어, 금고를 부수지 않고 물건을 꺼낼 수 있고(세 번째 차원을 통해 이동시키므로), 2차원 관점에서는 벽 뒤에 있는 모든 것을 볼 수 있으며, 3차원에서 조금만 떨어져 있어도 완전히 보이지 않게 될 수 있다.

차원 유추를 적용하면, 4차원 존재가 3차원 관점에서 이와 비슷한 능력을 가질 수 있다고 추론할 수 있다. 루디 러커는 자신의 소설 ''스페이스랜드''에서 주인공이 이러한 능력을 보여주는 4차원 존재를 만나는 장면을 통해 이를 묘사했다.

과학 소설에서는 종종 평행 우주나 대체 우주, 또는 상상된 존재의 평면을 언급할 때 "차원"이라는 개념을 사용하기도 한다. 이는 다른 우주나 평면으로 이동하려면 우리가 아는 표준적인 차원 외의 다른 방향이나 차원으로 이동해야 한다는 생각에서 비롯된 것이다. 즉, 다른 우주/평면은 우리 세계에서 약간 떨어져 있지만, 그 거리는 표준 차원이 아닌 4차원(또는 그 이상) 공간 차원에 있다는 설정이다.

진정한 기하학적 4차원을 다룬 가장 유명한 과학 소설 중 하나이자, 이 주제를 처음 접하는 사람들에게 종종 추천되는 작품은 에드윈 애벗의 1884년 소설 ''플랫랜드''이다. 아이작 아시모프는 1984년 시그넷 클래식스 판 서문에서 ''플랫랜드''를 "차원을 인식하는 방식을 이해하는 데 가장 좋은 입문서"라고 평가했다.

다른 차원에 대한 아이디어는 많은 초기 과학 소설에 등장했다. 예를 들어 마일스 J. 브루어의 '부록과 안경'(1928)과 머레이 레인스터의 '제5차원 투석기'(1931)에서 두드러지게 나타났으며, 1940년대까지 과학 소설에서 꾸준히 다루어졌다. 다른 차원을 다룬 고전적인 이야기로는 다음과 같은 작품들이 있다.

로버트 A. 하인라인의 ''—그리고 그는 삐딱한 집을 지었다'' (1941): 테서랙트의 3차원 투영을 기반으로 집을 설계하는 건축가 이야기.
앨런 E. 노스의 '꼬리 잡기'와 '그 사이의 우주' (둘 다 1951).
월터 테비스의 '[https://archive.org/stream/galaxymagazine-1957-04/Galaxy_1957_04#page/n59/mode/2up Oofth의 Ifth]' (1957).
매들린 렝글의 소설 ''시간의 주름'' (1962): 5차원을 이용해 공간을 "접어서"("테서랙트화") 빠르게 이동하는 방식 묘사.
윌리엄 슬레이터의 책 ''스스로를 거꾸로 한 소년'': 4차원과 5차원이 핵심 요소.

한편, '시간을 네 번째 차원으로 다루지 않는' 작품도 존재한다. 마유무라 타쿠의 소설 『수수께끼 전학생』(및 이를 원작으로 한 텔레비전 드라마)에서는 차원을 초월한 세계가 그려지지만, 시간은 네 번째 차원이 아닌 5차원 이상의 차원축으로 설명된다. 만화 『도라에몽』에 등장하는 4차원 주머니 역시 시간 요소 없이 4차원 공간에 무한히 물체를 수납할 수 있다는 설정이다.

7. 2. 예술

(내용 없음)

참조

_[1] 학술지 Origins of Fourth Dimension Concepts https://www.tandfonl[...] 1926
_[2] 서적 Relativity and the Dimensionality of the World https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[3] 서적 Men of Mathematics Simon and Schuster 1965
_[4] 서적 Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper
_[5] 서적 Speculations on the Fourth Dimension: Selected writings of Charles H. Hinton Dover Publishing 1980
_[6] 서적 The Fourth Dimension https://books.google[...] Health Research 1993
_[7] 서적 Mathematical Carnival: From Penny Puzzles. Card Shuffles and Tricks of Lightning Calculators to Roller Coaster Rides into the Fourth Dimension Knopf Publishing 1975
_[8] 학술지 Raum und Zeit https://en.wikisourc[...]
_[9] 서적 The Theory of Relativity https://archive.org/[...] Clarendon Press 1972
_[10] 서적 Knotted Surfaces and Their Diagrams https://books.google[...] American Mathematical Society
_[11] 서적 Introducing Einstein's Relativity Clarendon Press 1998
_[12] 학술지 Human four-dimensional spatial intuition in virtual reality 2009-10
_[13] 학술지 Four-dimensional spatial reasoning in humans https://grazianolab.[...] 2008
_[14] 웹사이트 4D Maze Game https://www.urticato[...] 2016-12-16
_[15] 학술지 Perception, Cognition, and Action in Hyperspaces: Implications on Brain Plasticity, Learning, and Cognition Frontiers Media 2020-01-22
_[16] 서적 Hyperspace: A Scientific Odyssey Through Parallel Universes, Time Warps, and the Tenth Dimension Oxford University Press 1995
_[17] 서적 The Fourth Dimension: A Guided Tour of the Higher Universe Houghton Mifflin 1996
_[18] 문서 Prolegomena to Any Future Metaphysics That Will Be Able to Present Itself as a Science
_[19] 학술지 From Flatland to Hypergraphics: Interacting with Higher Dimensions http://www.geom.uiuc[...]
_[20] 학술지 The Philosophy of Hyperspace https://archive.org/[...]
_[21] 학술지 Art in the Fourth Dimension: Giving Form to Form – The Abstract Paintings of Piet Mondrian http://ler.letras.up[...]
_[22] 기타 The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics Sterling Publishing

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