초자연 변환

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1. 개요

초자연 변환은 범주론에서 사용되는 개념으로, 두 함자 사이의 자연 변환을 일반화한 것이다. 구체적으로, 범주 $\mathcal A$ , $\mathcal B$ , $\mathcal C$ , $\mathcal D$ 와 두 함자 $F\colon \mathcal A\times\mathcal B^{\operatorname{op}}\times\mathcal B \to \mathcal D$ , $G\colon \mathcal A\times\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C \to \mathcal D$ 가 주어졌을 때, 초자연 변환 $\eta\colon F\xrightarrow{..} G$ 는 $\mathcal A$ 에 대해 자연적이고 $\mathcal B$ 와 $\mathcal C$ 에 대해 초자연적인 데이터로 구성된다. 초자연 변환은 끈 그림을 사용하여 표현하고 계산할 수 있으며, 닫힌 모노이드 범주에서 지수 대상과 관련된 예시가 존재한다.

초자연 변환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 자연성 및 초자연성 조건
3. 연산
- 3.1. 끈 그림 표현
- 3.2. 합성 규칙
4. 성질
5. 예
- 5.1. 닫힌 모노이드 범주
- 5.2. 벡터 공간의 내적

2. 정의

주어진 범주 $\mathcal A$ , $\mathcal B$ , $\mathcal C$ , $\mathcal D$ 와 두 함자 $F\colon \mathcal A\times\mathcal B^{\operatorname{op}}\times\mathcal B \to \mathcal D$ 및 $G\colon \mathcal A\times\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C \to \mathcal D$ 사이의 초자연 변환 $\eta\colon F\xrightarrow{..} G$ 는 특정 조건을 만족하는 사상들의 모임이다. 구체적으로, 이는 각 대상 $A\in\mathcal A$ , $B\in\mathcal B$ , $C\in\mathcal C$ 에 대해 정의된 사상 $\eta_{A,B,C}\colon F(A,B,B) \to G(A,C,C)$ 들의 집합으로, 다음의 조건들을 만족해야 한다.

* $\mathcal A$ 에 대해서는 자연 변환의 조건을 만족한다 (자연성).
* $\mathcal B$ 와 $\mathcal C$ 에 대해서는 각각 초자연성 조건을 만족한다.

이 조건들은 특정 가환 도표들을 통해 구체화된다.

2.1. 기본 정의

범주 $\mathcal A$ , $\mathcal B$ , $\mathcal C$ , $\mathcal D$ 와 두 함자
$F\colon \mathcal A\times\mathcal B^{\operatorname{op}}\times\mathcal B \to \mathcal D$
$G\colon \mathcal A\times\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C \to \mathcal D$
가 주어졌다고 하자.

$\mathcal A$ 에 대하여 자연적이고, $\mathcal B$ 와 $\mathcal C$ 에 대하여 초자연적인 초자연 변환 $\eta\colon F\xrightarrow{..} G$ 는 각 대상 $A\in\mathcal A$ , $B\in\mathcal B$ , $C\in\mathcal C$ 에 대해 사상 $\eta_{A,B,C}\colon F(A,B,B) \to G(A,C,C)$ 들의 모임으로 구성된다. 이 사상 모임은 다음 조건들을 만족해야 한다.

* $\mathcal A$ 에서의 자연성: 고정된 $B\in\mathcal B$ 와 $C\in\mathcal C$ 에 대해, $\eta_{-,B,C} \colon F(-,B,B)\Rightarrow G(-,C,C)$ 는 자연 변환이어야 한다. 즉, 임의의 사상 $f\colon A \to A'$ ( $A, A' \in \mathcal A$ )에 대하여 다음 그림이 성립한다.
: $\begin{matrix}F(A,B,B) & \xrightarrow{\eta_{A,B,C}} & G(A,C,C) \\{\scriptstyle F(f,1,1)}\downarrow \qquad & & \qquad \downarrow{\scriptstyle G(f,1,1)} \\F(A',B,B) & \xrightarrow{\eta_{A',B,C}} & G(A',C,C)\end{matrix}$

* $\mathcal B$ 에서의 초자연성: 고정된 $A\in\mathcal A$ 와 $C\in\mathcal C$ 에 대해, 임의의 사상 $g\colon B \to B'$ ( $B, B' \in \mathcal B$ )에 대하여 다음 그림이 성립한다.
: $\begin{matrix}F(A,B',B) & \xrightarrow{F(1,1,g)} & F(A,B',B') \\{\scriptstyle F(1,g,1)}\downarrow\qquad & & \qquad \downarrow{\scriptstyle \eta_{A,B',C}} \\F(A,B,B) & \xrightarrow{\eta_{A,B,C}} & G(A,C,C)\end{matrix}$

* $\mathcal C$ 에서의 초자연성: 고정된 $A\in\mathcal A$ 와 $B\in\mathcal B$ 에 대해, 임의의 사상 $h\colon C \to C'$ ( $C, C' \in \mathcal C$ )에 대하여 다음 그림이 성립한다.
: $\begin{matrix}F(A,B,B) & \xrightarrow{\eta_{A,B,C'}} & G(A,C',C') \\{\scriptstyle \eta_{A,B,C}}\downarrow\qquad & & \qquad \downarrow{\scriptstyle G(1,h,1)} \\G(A,C,C) & \xrightarrow{G(1,1,h)} & G(A,C,C')\end{matrix}$

2.2. 자연성 및 초자연성 조건

다음이 주어졌다고 하자.

* 범주 $\mathcal A$ , $\mathcal B$ , $\mathcal C$ , $\mathcal D$
* 두 함자
*: $F\colon \mathcal A\times\mathcal B^{\operatorname{op}}\times\mathcal B \to \mathcal D$
*: $G\colon \mathcal A\times\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C \to \mathcal D$

그렇다면, $\mathcal A$ 에 대하여 자연적이며, $\mathcal B$ 와 $\mathcal C$ 에 대하여 초자연적인 초자연 변환 $\eta\colon F\xrightarrow{..} G$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 대상 $A\in\mathcal A$ , $B\in\mathcal B$ , $C\in\mathcal C$ 에 대하여, 사상 $\eta_{A,B,C}\colon F(A,B,B) \to G(A,C,C)$

이 데이터는 다음 세 가지 조건을 만족시켜야 한다.

# $\mathcal A$ 에서의 자연성: 각 $(B,C)\in\mathcal B\times\mathcal C$ 에 대하여, $\eta_{-,B,C} \colon F(-,B,B)\Rightarrow G(-,C,C)$ 는 자연 변환이어야 한다. 즉, $\mathcal A$ 의 임의의 사상 $f\in\hom_{\mathcal A}(A,A')$ 에 대하여 다음 가환 그림이 성립해야 한다.
#: $\begin{CD}F(A,B,B) @>{\eta_{A,B,C}}>> G(A,C,C) \\@V{F(f,1,1)}VV @VV{G(f,1,1)}V \\F(A',B,B) @>>{\eta_{A',B,C}}> G(A',C,C)\end{CD}$
# $\mathcal B$ 에서의 초자연성: 각 $(A,C)\in\mathcal A\times\mathcal C$ 및 $\mathcal B$ 의 임의의 사상 $g\in\hom_{\mathcal B}(B,B')$ 에 대하여, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.
#: $\begin{CD}F(A,B',B) @>{F(1,1,g)}>> F(A,B',B') \\@V{F(1,g,1)}VV @VV{\eta_{A,B',C}}V \\F(A,B,B) @>>{\eta_{A,B,C}}> G(A,C,C)\end{CD}$
# $\mathcal C$ 에서의 초자연성: 각 $(A,B)\in\mathcal A\times\mathcal B$ 및 $\mathcal C$ 의 임의의 사상 $h\in\hom_{\mathcal C}(C,C')$ 에 대하여, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.
#: $\begin{CD}F(A,B,B) @>{\eta_{A,B,C'}}>> G(A,C',C') \\@V{\eta_{A,B,C}}VV @VV{G(1,h,1)}V \\G(A,C,C) @>>{G(1,1,h)}> G(A,C,C')\end{CD}$

3. 연산

초자연 변환의 합성 연산은 끈 그림(string diagram^영어)이라는 위상수학적 도구를 사용하여 시각적으로 표현하고 계산할 수 있다. 다만, 모든 초자연 변환이 임의로 합성될 수 있는 것은 아니며, 합성이 가능한 특정 조건이 필요하다.

3.1. 끈 그림 표현

임의의 초자연 변환은 항상 합성될 수 있는 것은 아니지만, 합성이 가능한 경우에는 끈 그림(string diagram^영어)이라는 위상수학적 모형을 이용해 계산할 수 있다.

구체적으로, 초자연 변환은 다음과 같은 형태의 끈 그림(string diagram^영어)으로 나타낼 수 있다.


A B B
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

두 초자연 변환의 합성은 위와 같은 끈 그림을 이어 붙이는 방식으로 표현된다. 이때 중요한 점은, 합성된 끈 그림이 순환 구조를 가지면 안 된다는 것이다. 예를 들어, 아래와 같은 합성은 가능하다.


A
╭─╮ │
A A A
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

이러한 합성은 아래와 같은 새로운 초자연 변환을 정의한다.


A
│
│ ╭─╮
A C C

반면, 아래와 같이 끈 그림을 합성했을 때 순환이 생기는 경우는 불가능하다.


A
│ ╭─╮
A B B
│ ╰─╯
A

이처럼 끈 그림은 초자연 변환의 합성이 가능한지 여부를 시각적으로 판단하고 계산하는 데 도움을 준다.

3.2. 합성 규칙

임의의 초자연 변환은 임의로 합성될 수 없으나, 합성이 가능한 경우는 끈 그림(string diagram^영어)이라는 위상수학적 모형으로 계산될 수 있다.

예를 들어, 특정 형태의 초자연 변환은 다음과 같은 꼴의 끈 그림(string diagram^영어)으로 나타낼 수 있다.


A B B
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

두 초자연 변환의 합성은 위와 같은 끈 그림의 합성으로 나타내어지는데, 이 경우 합성된 끈 그림이 순환을 갖지 않아야 한다. 예를 들어, 다음과 같은 합성은 가능하다.


A
╭─╮ │
A A A
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

이는 아래와 같은 초자연 변환을 정의한다.


A
│
│ ╭─╮
A C C

반면, 예를 들어 아래와 같이 순환을 만드는 끈 그림 합성은 불가능하다.


A
│ ╭─╮
A B B
│ ╰─╯
A

4. 성질

초자연 변환은 끝을 정의하는 데 사용될 수 있으며, 이중적으로 코끝(coend)을 정의하는 데도 사용된다. 이중자연 변환은 초자연 변환의 특수한 경우이다.

5. 예

닫힌 모노이드 범주에서 정의되는 지수 대상 관련 함자들 사이의 평가 사상(evaluation map^영어)은 초자연 변환의 한 예시이다. 구체적으로, 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간과 그 쌍대 공간 사이의 내적 역시 이러한 초자연 변환의 특별한 경우로 볼 수 있다.

5.1. 닫힌 모노이드 범주

닫힌 모노이드 범주 $(\mathcal C,\otimes)$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 지수 대상의 텐서곱 함자
: $(\hom\otimes\operatorname{id}) \colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\otimes\mathcal C\to \mathcal C$
: $(\hom,\operatorname{id})\colon (x,y,z) \mapsto x^y\otimes z$
및 항등 함자
: $\operatorname{id}_{\mathcal C} \colon \mathcal C\to\mathcal C$
가 존재한다. 이 사이에는 다음과 같은 초자연 변환이 존재한다.
: $\operatorname{eval} \colon (\hom\otimes\operatorname{id}) \xrightarrow{..}\operatorname{id}$
: $\operatorname{eval}_{X,Y} \colon X^Y\otimes Y\to X$
이는 $X$ 에 대하여 자연적이며, $Y$ 에 대하여 초자연적인 초자연 변환이다.

예를 들어, 만약 $(\mathcal C,\otimes)$ 가 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간의 범주 $\operatorname{fgMod}_K$ 이며, $X = K$ 일 때, 이는 벡터 공간과 그 쌍대 공간 사이의 내적
: $\langle-,-\rangle \colon V^* \otimes_K V \to K$
에 해당한다.

5.2. 벡터 공간의 내적

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간들의 범주 $\operatorname{fgMod}_K$ 를 생각해보자. 이 범주에서, 벡터 공간 $V$ 와 그 쌍대 공간 $V^*$ 사이의 내적은 초자연 변환의 한 예시가 된다. 구체적으로, 내적은 다음과 같은 사상으로 볼 수 있다.
: $\langle-,-\rangle \colon V^* \otimes_K V \to K$
이는 더 일반적인 닫힌 모노이드 범주에서의 평가 사상 $\operatorname{eval}_{X,Y} \colon X^Y\otimes Y\to X$ 에서 $X=K$ 이고 $Y=V$ 인 특별한 경우에 해당하며, 이때 $K^V$ 는 쌍대 공간 $V^*$ 와 동형이다.