최소 모형 (등각 장론)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

최소 모형 (등각 장론)은 특정 중심 전하 값을 갖는 2차원 등각장론의 한 종류이다. 비라소로 대수를 기반으로 하며, 유니터리 최소 모형은 정수 k를 사용하여 정의된다. 최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타내며, 중심 전하 c와 일차장 무게 h를 갖는 일차장들을 포함한다. 최소 모형은 Kac 표를 통해 표현되며, A, D, E-시리즈로 분류된다. A-시리즈는 대각 모형, D-시리즈는 p 또는 q가 짝수인 경우에 존재하며, E-시리즈는 q가 12, 18, 30일 때 존재한다. 최소 모형은 이징 모형, 자유 페르미온 등 다양한 물리 시스템과 관련이 있으며, 코셋 표현, 일반화된 최소 모형, 리우빌 이론, 최소 모형 곱, 페르미온 확장 등과 연관되어 연구된다.

더 읽어볼만한 페이지

격자 모형 - 이징 모형
이징 모형은 유한 그래프에서 스핀들의 상호작용과 외부 자기장에 의해 결정되는 에너지를 통해 스핀 배열 확률을 계산하고, 다양한 물리적 시스템 및 현상을 묘사, 설명하는 데 응용되는 통계역학 모형이다.
격자 모형 - 브라베 격자
브라베 격자는 결정학에서 결정 구조를 분류하는 격자로, 단위 세포 모양과 격자점 배열에 따라 2차원에서 5개, 3차원에서 14개로 분류되며 격자계, 점군, 격자점 추가 방식으로 특징지어진다.
등각 장론 - 임계점 (열역학)
임계점은 상평형 그림에서 액체와 기체, 또는 두 액체 상 사이의 경계가 사라지는 특정 온도와 압력의 지점으로, 액체-기체 임계점은 증기압 곡선의 종점에 해당하며, 그 이상의 온도에서는 압력을 가해도 액체 상태를 유지할 수 없는 지점이다.
등각 장론 - 임계 현상
임계 현상은 물리, 화학, 사회과학 등에서 시스템의 매개변수가 임계값에 도달했을 때 시스템의 거동이 질적으로 변하는 현상으로, 임계점 근처에서 물리량 발산, 임계 지수, 보편성 등의 특징을 가지며 재정규화군 등의 도구로 연구되고 사회 현상 설명에도 응용된다.

최소 모형 (등각 장론)
기본 정보
유형	등각 장론
발견자	알렉산드르 벨라빈, 알렉산드르 폴랴코프, 알렉산드르 자몰로드치코프
발견 연도	1984년
수학적 구조
대수	비라소로 대수
중심 전하	c (실수)
표현	최고 무게 표현
연산자 곱셈 확장	퓨전 규칙
파티션 함수	모듈 불변
속성
합리적	중심 전하 c가 특정 이산 값을 가짐
가역적	모든 필드의 연산자 곱셈 확장이 알려짐
해결 가능	모든 상관 관계 함수가 알려짐
예시
아이징 모형	임계 온도에서
삼중 임계 아이징 모형	삼중 임계 온도에서
포츠 모형	임계 온도에서
양자 홀 효과	특정 채우기 인자에서
끈 이론	칼라비-야우 다양체의 컴팩트화

2. 비라소로 대수와 표현

최소 모형은 비라소로 대수의 기약 표현을 기반으로 구성된다. 최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다.^[12]

: $h = h_{r,s}(c) = \frac{((k+3)r-(k+2)s)^2-1 }{4(k+2)(k+3)}$

여기서

: $r=1,2,3,\dots,k+1$

: $s=1,2,3,\dots r$

이다.

최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공 $h=0$ 은 생략하였다.)

k	중심 전하 c	1차장 무게 h	설명
1	1/2	1/16, 1/2	임계 이징 모형. 여기서 일차장들은 각각 단위원, 스핀 밀도, 에너지 밀도이다.
2	7/10	3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2	삼중 임계(tricritical) 이징 모형
3	4/5	1/40, 1/15, 1/8, 2/5, 21/40, 2/3, 7/5, 13/8, 3	임계 3상태 포츠 모형
4	6/7	1/56, 1/21, 5/56, 1/7, 3/8, 10/21, 33/56, 5/7, 4/3, 85/56, 12/7, 23/8, 22/7, 5	삼중임계(tricritical) 3상태 포츠 모형

2. 1. 중심 전하

유니터리 최소 모형은 하나의 정수

k=0,1,2,\dots

으로 정의된다. 이 경우 중심 전하는 다음과 같다.^[12]

:

c=\frac{3k}{k+2}+1-\frac{3(k+1)}{k+3}=1-\frac6{(k+2)(k+3)}

최소 모형에서 비라소로 대수의 중심 전하는 다음과 같은 값을 갖는다.

:

c_{p,q} = 1 - 6 {(p-q)^2 \over pq}\ .

여기서

p, q

는 서로 소인 정수이며

p,q \geq 2

를 만족한다.

처음 몇 개의 최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다.

k	중심 전하 c
1	1/2
2	7/10
3	4/5
4	6/7

2. 2. 퇴화 표현과 등각 차원

퇴화 표현의 등각 차원은 다음과 같다.^[12]

:

h_{r,s} = \frac{(pr-qs)^2-(p-q)^2}{4pq}\ , \quad \text{with}\ r,s\in\mathbb{N}^*\ ,

등각 차원은 다음 항등식을 만족한다.^[12]

:

h_{r,s} = h_{q-r,p-s} = h_{r+q,s+p}\ .

2. 3. Kac 표

최소 모형의 스펙트럼은 비라소로 대수의 기약적이고 퇴화된 최저 무게 표현으로 구성되며, 이들의 등각 차원은 :math:`h_{r,s}`의 형태를 가진다. 여기서 :math:`1\leq r \leq q-1` 이고 :math:`1\leq s \leq p-1`이다.

이러한 표현들의 집합을 매개변수 :math:`(p, q)`를 갖는 '''Kac 표'''라고 한다. Kac 표는 일반적으로 크기가 :math:`(q-1)\times (p-1)`인 직사각형으로 그려지며, 각 표현은 :math:`\mathcal{R}_{r,s} = \mathcal{R}_{q-r,p-s}` 관계에 의해 두 번 나타난다.

:

h_{r,s} = \frac{(pr-qs)^2-(p-q)^2}{4pq}\ , \quad \text{with}\ r,s\in\mathbb{N}^*\ ,

:

h_{r,s} = h_{q-r,p-s} = h_{r+q,s+p}\ .

2. 4. 융합 규칙

:

\mathcal{R}_{r_1,s_1} \times \mathcal{R}_{r_2,s_2} = \sum_{r_3\overset{2}{=}|r_1-r_2|+1}^{\min(r_1+r_2,2q-r_1-r_2)-1}\ \sum_{s_3\overset{2}{=}|s_1-s_2|+1}^{\min(s_1+s_2,2p-s_1-s_2)-1} \mathcal{R}_{r_3,s_3}\ ,

^[1]

여기서 합은 2씩 증가하면서 실행된다.

3. 최소 모형의 분류

최소 모형은 A-시리즈, D-시리즈, E-시리즈로 분류할 수 있다.

A-시리즈 최소 모형 (대각 모형): 서로소인 두 정수 $p, q$ ( $p,q\geq 2$ )에 대해, Kac 표의 각기 다른 표현을 하나씩 포함한다. $(p, q)$ 모형과 $(q, p)$ 모형은 같다.
D-시리즈 최소 모형: 중심 전하 $c_{p,q}$ 를 가지며, $p$ 또는 $q$ 가 짝수이고 최소 6 이상일 때 존재한다.
E-시리즈 최소 모형: 세 가지 계열이 있으며, 각 계열은 $q\in\{12,18,30\}$ 의 값에 대해 존재하고, $q$ 와 서로소인 모든 $p\geq 2$ 에 대해 존재한다.

\mathcal N=2

최소 모형의 비라소로 1차장은 세 정수

(l,k,s)

로 결정된다.^[13] 짝수

s

는 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건, 홀수

s

는 라몽(R) 경계 조건에 해당한다.

NS 경계 조건의 초1차장은

(k+1)(k+2)/2

개, R 경계 조건의 초1차장은

(k+1)(k+2)/2

개 존재하며, 이 중

k+1

개는 라몽 바닥 상태이다.^[11]

3. 1. A-시리즈 최소 모형 (대각 모형)

임의의 서로소 정수

p,q

(

p,q\geq 2

)에 대해, 스펙트럼이 Kac 표의 각기 다른 표현의 사본을 하나씩 포함하는 대각 최소 모형이 존재한다.

:

\mathcal{S}_{p,q}^\text{A-series} = \frac12 \bigoplus_{r=1}^{q-1}\bigoplus_{s=1}^{p-1} \mathcal{R}_{r,s}\otimes \bar{\mathcal{R}}_{r,s}\ .

(p,q)

모형과

(q,p)

모형은 동일하다.

두 장의 연산 전개 (OPE)는 해당 표현의 융합 규칙에 의해 허용되는 모든 장을 포함한다.

3. 2. D-시리즈 최소 모형

중심 전하

c_{p,q}

를 갖는 D-계열 최소 모형은

p

또는

q

가 짝수이고 최소

6

이상일 때 존재한다. 대칭

p\leftrightarrow q

를 사용하여

q

는 짝수이고

p

는 홀수라고 가정한다. 스펙트럼은 다음과 같다.

:

\mathcal{S}_{p,q}^{\text{D-series}} \ \ \underset{q\equiv 0\operatorname{mod} 4,\  q\geq 8}{=}\ \ \frac12 \bigoplus_{r\overset{2}{=}1}^{q-1} \bigoplus_{s=1}^{p-1} \mathcal{R}_{ r,s} \otimes \bar{\mathcal{R}}_{r,s}\oplus \frac12\bigoplus_{r\overset{2}{=}2}^{q-2} \bigoplus_{s=1}^{p-1} \mathcal{R}_{r,s} \otimes \bar{\mathcal{R}}_{q-r,s}\ ,

:

\mathcal{S}_{p,q}^{\text{D-series}} \ \ \underset{q\equiv 2\operatorname{mod} 4,\ q\geq 6}{=}\ \ \frac12 \bigoplus_{r\overset{2}{=}1}^{q-1} \bigoplus_{s=1}^{p-1} \mathcal{R}_{ r,s} \otimes \bar{\mathcal{R}}_{r,s}\oplus \frac12\bigoplus_{r\overset{2}{=}1}^{q-1} \bigoplus_{s=1}^{p-1} \mathcal{R}_{r,s} \otimes \bar{\mathcal{R}}_{q-r,s}\ ,

여기서

r

에 대한 합은 2씩 증가한다.

주어진 스펙트럼에서 각 표현은

q\equiv 2\ \mathrm{mod}\ 4

일 경우

\mathcal{R}_{\frac{q}{2},s}\otimes \bar{\mathcal{R}}_{\frac{q}{2},s}

유형의 표현을 제외하고 중복도 1을 가지며, 이는 중복도 2를 갖는다. 이러한 표현은 실제로 스펙트럼에 대한 공식의 두 항에 모두 나타난다.

두 장의 연산자 곱 전개(OPE)는 해당 표현의 융합 규칙에 의해 허용되고, '''대각성 보존'''을 준수하는 모든 장을 포함한다. 즉, 하나의 대각선 장과 하나의 비대각선 장의 OPE는 비대각선 장만 생성하며, 동일한 유형의 두 장의 OPE는 대각선 장만 생성한다.

이 규칙에 따라 표현

\mathcal{R}_{\frac{q}{2},s}\otimes \bar{\mathcal{R}}_{\frac{q}{2},s}

의 한 복사본은 대각선으로 간주되고, 다른 복사본은 비대각선으로 간주된다.

3. 3. E-시리즈 최소 모형

E-시리즈 최소 모형에는 세 가지 계열이 있다. 각 계열은

q\in\{12,18,30\}

의 주어진 값에 대해 존재하며,

q

와 서로소인 모든

p\geq 2

에 대해 존재한다. (실제로

p\geq 5

임을 의미한다.)

|\mathcal{R}|^2 = \mathcal{R}\otimes \bar{\mathcal{R}}

표기법을 사용하여 스펙트럼은 다음과 같다.

:

\mathcal{S}^\text{E-시리즈}_{p,12} = \frac12 \bigoplus_{s=1}^{p-1} \left\{\left| \mathcal{R}_{1,s}\oplus \mathcal{R}_{7,s}\right|^2\oplus \left| \mathcal{R}_{4,s} \oplus \mathcal{R}_{8,s}\right|^2\oplus \left| \mathcal{R}_{5,s} \oplus \mathcal{R}_{11,s} \right|^2\right\}\ ,

:

\mathcal{S}^\text{E-시리즈}_{p,18} = \frac12 \bigoplus_{s=1}^{p-1} \left\{ \left|\mathcal{R}_{9,s}\oplus 2\mathcal{R}_{3,s}\right|^2 \ominus 4\left|\mathcal{R}_{3,s}\right|^2 \oplus \bigoplus_{r\in\{1, 5, 7\}} \left|\mathcal{R}_{r,s}\oplus \mathcal{R}_{18-r,s}\right|^2 \right\}\ ,

:

\mathcal{S}^\text{E-시리즈}_{p,30} = \frac12 \bigoplus_{s=1}^{p-1} \left\{\left|\bigoplus_{r\in\{1,11,19,29\}} \mathcal{R}_{r,s}\right|^2 \oplus\left|\bigoplus_{r\in\{7,13,17,23\}} \mathcal{R}_{r,s}\right|^2\right\}\ .

3. 4. 장들의 목록

\mathcal N=2

최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 세 개의 수

(l,k,s)

로 정해진다.^[13] 여기서

:

l=0,1,2,\dots,k

:

m\in\mathbb Z/(2k+4)

:

s\in\mathbb Z/4

:

l+m+s\equiv0\pmod2

이며,

:

(l,m,s)\sim(k-l,m+k+2,s+2)

이면 같은 등각장을 나타낸다.

s

가 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약

:

|m-s|\le l

이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하

q

및 등각 무게

h

는 다음과 같다.

:

q=-\frac m{k+2}+\frac s2

:

h=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}+\frac{s^2}8

스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다.

:

(l,m,s)\mapsto(l,m-2\eta,s-2\eta)

이에 따라

:

h_{l,m,s}\mapsto h_{l,m,s}-\eta q+\eta^2c/6

:

q_{l,m,s}\mapsto q_{l,m,s}-c\eta/3

이 된다.

3. 5. NS 장

NS 경계 조건의 초1차장들은 다음 조건을 만족시킨다.

$0\le l\le k$
$-l\le m\le l$
$s=0$

이에 따라 총

(k+1)(k+2)/2

개의 초1차장이 존재한다.

\mathcal N=2

최소 모형에서 손지기장(chiral field^영어,

h=q/2

인 장)은

l=-m

,

s=0

을 만족하고, 반손지기장(antichiral field^영어,

h=-q/2

인 장)은

l=m

,

s=0

을 만족시킨다. 이들은 진공을 제외하면 각각

k

개 존재한다. 라몽 바닥 상태(

h=c/24

인 장)는

(m,s)=(\pm(l+1),\pm1)

이며, 이 때

q=\pm(k-l)/2(k+2)

이다. 라몽 바닥 상태는 총

k+1

개가 있으며, 진공을 포함한 손지기장과 대응한다.

손지기장들은

G^+_{-1/2}

코호몰로지를 통해 환으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환의 몫환

:

H^\bullet(\mathcal H_k,G^+_{-1/2})\cong\mathbb C[x]/(x^{k+1})

이다. 여기서

x^l

은

(l,m,s)=(l,-l,0)

에 해당한다.

3. 6. R 장

R 경계 조건의 초1차장들은 다음 조건들을 만족시킨다.^[11]

:

0\le l\le k

:

m\in[-l+1,l-1]\cup\{l+1\}

:

s=1

이 가운데

m=l+1

인 경우는 라몽 바닥 상태이다. 총

(k+1)(k+2)/2

개의 라몽 초1차장이 존재하며, 이 가운데

k+1

개는 라몽 바닥 상태,

k(k+1)/2

개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다.

4. 예시

A-series^영어 최소 모형과 D-series^영어 최소 모형은 특정한 물리 시스템과 관련이 있다.^[3]

(p,q)=(3,2) : 자명한 등각 장론(CFT)이다.
(p,q)=(5,2) : 양-리 경계 특이점을 나타낸다.
(p,q)=(4,3) : 임계 아이징 모형을 나타낸다.
(p,q)=(5,4) : 삼중 임계 아이징 모형을 나타낸다.
(p,q)=(6,5) : 사중 임계 아이징 모형 또는 임계 상태의 3-상태 포츠 모형이다.
(p,q)=(7,6): 삼중 임계 3-상태 포츠 모형이다.

2차원 이징 모형은

\mathbb Z/2

대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 스핀이 정렬, 높은 온도에서는 무질서한 상을 보인다. 두 상 사이의 2차 상전이가 일어나는 임계 온도에서 이징 모형은

c=1/2

최소 모형으로 나타내어진다. 평균 스핀 장은 무게가 $(h,\bar h)=(1/2,1/2)$인 스칼라장에, 평균 에너지 장은 $(h,\bar h)=(1/16,1/16)$인 스칼라장에 대응된다.

2차원 마요라나-바일 스피너장은 정칙 및 반정칙 성분으로 분해되며, 각 성분은 특정 무게를 갖는다. 스피너장의 경계 조건에 따라 느뵈-슈워츠(NS) 및 라몽(R) 조건이 존재하며, 이들 사이를 전환하는 연산자를 뒤틀림장(twist field^영어)이라고 한다. 정칙 자유 페르미온 이론은 $c=1/2$ 정칙 최소 모형을 이루며, 이 이론의 특정 부분은 임계 이징 모형과 동일하다. 이는 보손화의 한 예시이다.^[14]

4. 1. A-시리즈 최소 모형

다음 A-시리즈 최소 모형은 잘 알려진 물리 시스템과 관련이 있다.^[3]

(p,q)=(3,2) : 자명한 CFT.
(p,q)=(5,2) : 양-리(Yang-Lee) 경계 특이점.
(p,q)=(4,3) : 임계 아이징 모형.
(p,q)=(5,4) : 삼중 임계 아이징 모형.
(p,q)=(6,5) : 사중 임계 아이징 모형.

4. 2. D-시리즈 최소 모형

다음 D-계열 최소 모형은 잘 알려진 물리 시스템과 관련이 있다.^[3]

$(p,q)=(6,5)$ : 임계 상태의 3-상태 포츠 모형
$(p,q)=(7,6)$ : 삼중 임계 3-상태 포츠 모형.

4. 3. 이징 모형 표현

(외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형은

\mathbb Z/2

대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 위 또는 아래로 정렬돼 있는 상을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상을 보인다. 이 두 상 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 이 임계 온도에서 이징 모형은

c=1/2

최소 모형으로 나타내어진다.

2차원 이징 모형에서, 각 스핀이

\sigma_{i,j}=\pm1

이라고 할 때, 평균 스핀 장

\langle\sigma\rangle

을 생각할 수 있다. 그 2점 함수는

:

\langle\sigma_\alpha\sigma_\beta\rangle\sim d(\alpha,\beta)^{-\eta}

의 꼴을 갖는다. 여기서

d(\alpha,\beta)

는 두 점 사이의 거리이다.

또한, 평균 에너지 장

:

\epsilon_{\alpha}=\sum_{(\alpha,\beta)}\sigma_\alpha\sigma_\beta

를 생각할 수 있다. 여기서

\sum_{(\alpha,\beta)}

는

\alpha

와 근접한 모든

\beta

에 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수

:

\langle\epsilon_\alpha\epsilon_\beta\rangle\sim d(\alpha,\beta)^{2/\nu-2}

를 정의할 수 있다.

이 경우, 임계 지수

\alpha

와

\nu

는

c=1/2

최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 두 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가

(h,\bar h)=(1/2,1/2)

인 스칼라장에, 평균 에너지 장은

(h,\bar h)=(1/16,1/16)

인 스칼라장에 대응한다.

4. 4. 자유 페르미온

2차원 마요라나-바일 스피너장 $\psi(z,\bar z)$는 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식에 따라서 다음과 같이 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다.^[14]

:$\psi(z,\bar z)=\psi(z)+\bar\psi(\bar z)$

이 경우, $\psi(z)$는 무게가 $(h,\bar h)=(1/2,0)$인 장이며, $\bar\psi(\bar z)$는 무게가 $(0,1/2)$인 장이다.

스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, '''뒤틀림장'''(twist field^영어)이라고 한다.^[14] 정칙 성분의 뒤틀림장은 $(h,\bar h)=(1/16,0)$, 반정칙 성분의 뒤틀림장은 $(h,\bar h)=(0,1/16)$이다.

정칙 자유 페르미온의 이론은 $c=1/2$ 정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 이 경우 $\psi(z)\bar\psi(\bar z)$는 무게 $(h,\bar h)=(1/2,1/2)$인 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다.

5. 관련 등각 장론

(p,q)를 지표로 하는 A-계열 최소 모형은 WZW 모형의 코셋과 관련이 있으며, 일반화된 최소 모형, 리우빌 이론과의 관계, 최소 모형 곱셈 및 페르미온 확장 등 다양한 형태로 나타난다.^[1]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

5. 1. 코셋 표현

(p,q)를 지표로 하는 A-계열 최소 모형은 다음과 같은 WZW 모형의 코셋과 일치한다.^[1]

:

\frac{SU(2)_k\times SU(2)_1}{SU(2)_{k+1}}

, 여기서

k = \frac{q}{p-q}-2

.

p>q

라고 가정하면, 레벨

k

는 최소 모형이 유니타리일 때, 즉

p=q+1

일 때 정수이다.

SU(2)

군에 기반하지 않고 WZW 모형의 코셋으로, 대각선 또는 비대각선 등 특정 최소 모형의 다른 구현도 존재한다.^[1]

5. 2. 일반화된 최소 모형

임의의 중심 전하 c|c^영어∈C|C^la에 대해, 스펙트럼이 모든 축퇴 표현으로 구성된 대각 CFT가 존재한다.

:

\mathcal{S}=\bigoplus_{r,s=1}^\infty \mathcal{R}_{r,s}\otimes \bar{\mathcal{R}}_{r,s} \ .

중심 전하가 c|c^영어_p,q로 접근함에 따라, 일반화된 최소 모형은 해당 A-계열 최소 모형으로 접근한다.^[4] 이는 특히 Kac 표에 없는 축퇴 표현이 분리된다는 것을 의미한다.

5. 3. 리우빌 이론

리우빌 이론의 장들이 축퇴 상태가 되면 일반화된 최소 모형으로 축소되며,^[4] 중심 전하가

c_{p,q}

로 보내질 때 A-계열 최소 모형으로 더욱 축소된다.

A-계열 최소 모형은

c\to 1

로 가는 극한에서 잘 정의된 극한을 가지며, 연속 스펙트럼을 가진 대각선 CFT (Runkel–Watts 이론)가 된다.^[5] 이 이론은

c\to 1^+

일 때 리우빌 이론의 극한과 일치한다.^[6]

5. 4. 최소 모형의 곱

두 개의 최소 모형의 곱으로 나타낼 수 있는 최소 모형은 세 가지 경우가 있다.^[7]

스펙트럼 수준에서 관계는 다음과 같다.

:

\mathcal{S}^\text{A-series}_{2,5}\otimes \mathcal{S}^\text{A-series}_{2,5} = \mathcal{S}^\text{D-series}_{3,10}\ ,

:

\mathcal{S}^\text{A-series}_{2,5}\otimes \mathcal{S}^\text{A-series}_{3,4} =\mathcal{S}^\text{E-series}_{5,12} \ ,

:

\mathcal{S}^\text{A-series}_{2,5}\otimes \mathcal{S}^\text{A-series}_{2,7} =\mathcal{S}^\text{E-series}_{7,30} \ .

5. 5. 최소 모형의 페르미온 확장

만약

q\equiv 0\bmod 4

라면, A-계열과 D-계열

(p,q)

최소 모형은 각각 페르미온 확장을 갖는다. 이 두 페르미온 확장은 반정수 스핀을 가진 장들을 포함하며, 패리티-이동 연산에 의해 서로 관련되어 있다.^[8]

참조

_[1] Scholarpedia A-D-E Classification of Conformal Field Theories http://www.scholarpe[...]
_[2] 논문 Structure constants for the D series Virasoro minimal models https://arxiv.org/ab[...]
_[3] 서적 Conformal Field Theory
_[4] 논문 Conformal field theory on the plane https://arxiv.org/ab[...]
_[5] 논문 A Nonrational CFT with c = 1 as a limit of minimal models https://arxiv.org/ab[...]
_[6] 논문 Rolling tachyons from Liouville theory https://arxiv.org/ab[...]
_[7] 논문 Reflection and Transmission for Conformal Defects https://arxiv.org/ab[...]
_[8] 논문 Fermionic CFTs and classifying algebras
_[9] 저널 Conformal invariance, unitarity, and critical exponents in two dimensions http://www.physics.r[...] 2015-03-18
_[10] 저널
_[11] 저널 The $\hat c=\tfrac23$ minimal $N=1$ superconformal system and its realisation in the critical O(2) Gaussian model 1988-01-21
_[12] 서적 Introduction to conformal field theory with applications to string theory Springer-Verlag
_[13] 저널
_[14] 저널 Applied conformal field theory https://archive.org/[...]
_[15] 서적 Introduction to Conformal Invariance and Its Applications to Critical Phenomena
_[16] 저널
_[17] 저널 Chiral rings in $N=2$ superconformal theories http://www.mth.kcl.a[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com