임계 현상

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1. 개요

임계 현상은 물질의 물리적 성질이 급격하게 변하는 현상으로, 특정 임계 온도에서 나타난다. 이징 모형을 통해 임계 현상을 설명하며, 임계 온도 이상에서는 상자성, 이하에서는 강자성 정렬을 보인다. 임계점에서는 상관 길이가 발산하며, 자화율과 같은 물리량도 발산한다. 임계 현상은 임계 지수와 보편성으로 특징지어지며, 동적 임계 지수와 임계 둔화 현상도 나타난다. 에르고딕성 깨짐 현상과 재정규화군, 등각 장론, 변분 섭동 이론 등의 수학적 도구가 임계 현상 연구에 활용된다. 임계 현상은 물리학, 화학뿐만 아니라 사회학 등 다양한 분야에 응용되며, 정치 지형 변화, 사회 운동 분석 등에 활용될 수 있다.

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임계 현상 - 퀴리 온도
퀴리 온도는 강자성체의 자성이 사라지고 상자성으로 변하는 임계 온도를 의미하며, 물질의 종류, 복합 재료, 입자 크기 등 다양한 요인에 의해 조절 가능하고, 정보 저장 매체 등 다양한 분야에 응용된다.
임계 현상 - 임계점 (열역학)
임계점은 상평형 그림에서 액체와 기체, 또는 두 액체 상 사이의 경계가 사라지는 특정 온도와 압력의 지점으로, 액체-기체 임계점은 증기압 곡선의 종점에 해당하며, 그 이상의 온도에서는 압력을 가해도 액체 상태를 유지할 수 없는 지점이다.
재규격화군 - 점근 자유성
점근 자유성은 양자 색역학의 특징으로, 높은 에너지에서 쿼크가 자유 입자처럼 행동하며, 이는 쿼크와 글루온의 상호작용을 설명하는 양-밀스 이론의 중요한 성질이고, 높은 에너지에서는 결합 상수가 0으로 수렴하지만 낮은 에너지에서는 결합 상수가 무한대로 발산하는 색 가둠 현상과 관련되어 있다.
재규격화군 - 임계점 (열역학)
임계점은 상평형 그림에서 액체와 기체, 또는 두 액체 상 사이의 경계가 사라지는 특정 온도와 압력의 지점으로, 액체-기체 임계점은 증기압 곡선의 종점에 해당하며, 그 이상의 온도에서는 압력을 가해도 액체 상태를 유지할 수 없는 지점이다.
등각 장론 - 임계점 (열역학)
임계점은 상평형 그림에서 액체와 기체, 또는 두 액체 상 사이의 경계가 사라지는 특정 온도와 압력의 지점으로, 액체-기체 임계점은 증기압 곡선의 종점에 해당하며, 그 이상의 온도에서는 압력을 가해도 액체 상태를 유지할 수 없는 지점이다.
등각 장론 - 최소 모형 (등각 장론)
최소 모형 (등각 장론)은 비라소로 대수를 기반으로 하며, 격자 모형의 임계 현상을 나타내는 특정 중심 전하 값을 갖는 2차원 등각장론의 한 종류이다.

임계 현상
일반 정보
이름	임계 현상
영어 이름	Critical phenomena
분야	통계역학, 응집물질물리학
관련 현상	상전이
설명
정의	물질의 상전이 근처에서 나타나는 특이한 물리적 현상
특징	거시적 변동의 증가 척도 불변성 보편성
중요 지수	임계 현상을 설명하는 지수
예시	액체-기체 상전이 강자성체-상자성체 상전이 초전도체 상전이
이론적 배경
이론	평균장 이론 렌노르말리제이션 그룹 척도 불변성
관련 개념	오더 파라미터 섭동 이론 정준 앙상블
연구 동향
연구 분야	고체물리학 액정 고분자 생물리학 사회물리학
응용 분야	새로운 물질 개발 상전이 제어 복잡계 연구

2. 이징 모형과 임계 현상

2차원 이징 모형은 임계 현상을 설명하는 데 사용되는 모델이다. 이 모형은 특정 온도에서 +1 또는 -1의 값을 가지는 스핀들이 해밀토니안을 통해 상호작용하는 정사각형 배열로 구성된다.

임계 온도(퀴리 온도) ( $T_c$ )를 기준으로, 이 온도보다 낮으면 시스템은 강자성을 띄며 장거리 정렬을 나타내고, 이 온도 이상에서는 상자성을 나타내며 무질서한 상태가 된다.

온도가 0일 때는 모든 스핀이 +1 또는 -1 중 하나의 값을 가지며 정렬된 상태를 유지한다. 온도가 증가하여 $T_c$ 에 가까워지면, 반대 부호의 스핀 클러스터들이 나타나고, 이 클러스터들은 더 작은 클러스터를 포함하는 구조를 가진다. 상관 길이 ( $\xi$ )는 이러한 클러스터의 크기를 나타내며, $T_c$ 에서 무한대로 발산한다. 이는 시스템 전체가 하나의 클러스터가 되어 전체 자화가 사라짐을 의미한다.

$T_c$ 이상에서는 시스템이 무질서해지지만, 정렬된 클러스터들이 존재하며, 상관 길이는 온도에 따라 감소한다. 무한대 온도에서는 시스템이 완전히 무질서해지고 상관 길이는 0이 된다.

2. 1. 2차원 이징 모형

이징 모형은 해밀토니안을 통해 상호작용하는 2차원 고전 스핀으로 구성된 정사각형 배열이다. 이 스핀은 특정 온도

T

에서 +1과 -1의 두 가지 값만 가질 수 있다. 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같다.

:

H= -J \sum_{[i,j]} S_i\cdot S_j

여기서 합은 가장 가까운 이웃 쌍에 걸쳐 있으며,

J

는 고정된 결합 상수이다. 퀴리 온도 또는 임계 온도라고 하는 특정 온도

T_c

가 있는데, 이 온도보다 낮으면 시스템은 강자성 장거리 정렬을 나타내고, 이 온도 이상에서는 상자성을 띄며 겉보기에 무질서하다.

온도가 0일 때, 시스템은 +1 또는 -1 중 하나의 부호만 가질 수 있다.

T_c

미만의 더 높은 온도에서는 상태가 여전히 전체적으로 자화되어 있지만, 반대 부호의 클러스터가 나타난다. 온도가 증가함에 따라 이러한 클러스터는 러시아 인형 그림처럼 더 작은 클러스터 자체를 포함하기 시작한다. 상관 길이라고 하는 이러한 클러스터의 전형적인 크기

\xi

는

T_c

에서 발산할 때까지 온도에 따라 증가한다. 이는 전체 시스템이 그러한 클러스터이고 전체 자화가 없음을 의미한다. 그 온도 이상에서는 시스템이 전체적으로 무질서하지만, 그 안에 정렬된 클러스터가 있으며, 그 크기를 다시 ''상관 길이''라고 부른다. 이 상관 길이는 온도에 따라 감소하며, 무한대 온도에서는 시스템이 완전히 무질서하여 0이 된다.

2. 2. 퀴리 온도 (임계 온도)

이징 고전 해밀토니안을 통해 상호작용하는 2차원 정사각형 배열의 고전 스핀을 생각해 보자. 이 스핀은 특정 온도

T

에서 +1과 -1의 두 가지 값만 가질 수 있다.

:

H= -J \sum_{[i,j]} S_i\cdot S_j

여기서 합은 가장 가까운 이웃 쌍에 걸쳐 있으며,

J

는 고정된 결합 상수이다. 퀴리 온도 또는 임계 온도라고 하는 특정 온도

T_c

가 존재한다. 이 온도보다 낮으면 시스템은 강자성 장거리 정렬을 나타내고, 이 온도 이상에서는 상자성을 띄며 겉보기에 무질서하다.

온도가 0일 때, 시스템은 +1 또는 -1 중 하나의 전체 부호만 가질 수 있다.

T_c

미만의 더 높은 온도에서는 상태가 여전히 전체적으로 자화되어 있지만, 반대 부호의 클러스터가 나타난다. 온도가 증가함에 따라 이러한 클러스터는 더 작은 클러스터들을 포함하며, 러시아 인형 그림과 같은 구조를 띈다. 상관 길이라고 하는 이러한 클러스터의 전형적인 크기

\xi

는

T_c

에서 발산할 때까지 온도에 따라 증가한다. 이는 전체 시스템이 그러한 클러스터이고 전체 자화가 없음을 의미한다. 그 온도 이상에서는 시스템이 전체적으로 무질서하지만, 그 안에 정렬된 클러스터가 있으며, 그 크기를 다시 ''상관 길이''라고 부르지만, 이제는 온도에 따라 감소한다. 무한대 온도에서는 시스템이 완전히 무질서하므로 다시 0이 된다.

2. 3. 임계점에서의 물리적 변화

이징 고전 해밀토니안을 통해 상호작용하는 2차원 고전 스핀 배열을 생각해보자. 이 스핀들은 특정 온도

T

에서 +1과 -1의 두 가지 값만 가질 수 있다. 퀴리 온도 또는 임계 온도라고 하는 특정 온도

T_c

가 존재하는데, 이 온도보다 낮으면 시스템은 강자성 장거리 정렬을 나타내고, 이 온도 이상에서는 상자성을 띄며 무질서해 보인다.

온도가 0일 때, 시스템은 +1 또는 -1 중 하나의 전체 부호만 가질 수 있다.

T_c

미만의 더 높은 온도에서는 상태가 여전히 전체적으로 자화되어 있지만, 반대 부호의 클러스터가 나타난다. 온도가 증가함에 따라 이러한 클러스터는 더 작은 클러스터를 포함하며, 상관 길이라고 하는 이러한 클러스터의 전형적인 크기

\xi

는

T_c

에서 발산할 때까지 온도에 따라 증가한다. 이는 전체 시스템이 그러한 클러스터이고 전체 자화가 없음을 의미한다. 그 온도 이상에서는 시스템이 전체적으로 무질서하지만, 그 안에 정렬된 클러스터가 있으며, 그 크기를 다시 ''상관 길이''라고 부르지만, 이제는 온도에 따라 감소한다. 무한대 온도에서는 시스템이 완전히 무질서하므로 다시 0이 된다.

이처럼 상관 길이는 임계점에서 발산한다. 즉,

T\to T_c

일 때,

\xi\to\infty

가 된다.

자화율은 임계점에 있는 시스템에 아주 작은 자기장을 가했을 때, 큰 결맞음 클러스터를 자화시킬 수는 없지만, 프랙탈 클러스터에서는 가장 작은 크기의 클러스터에 쉽게 영향을 미친다는 특징을 보인다. 이는 가장 작은 클러스터들이 거의 상자성적인 거동을 보이기 때문이다. 이러한 변화는 그 다음 규모의 클러스터에 영향을 미치고, 이러한 섭동은 전체 시스템이 근본적으로 변할 때까지 이어진다. 따라서, 임계 시스템은 환경의 작은 변화에 매우 민감하다.

비열과 같은 다른 관측값들도 이 지점에서 발산할 수 있다. 이러한 모든 발산은 상관 길이의 발산에서 기인한다.

임계점은 등각 장론으로 묘사된다. 재정규화군 이론에 따르면 임계성의 정의적 속성은 물리적 시스템 구조의 특징적인 길이 척도, 즉 상관 길이 ''ξ''가 무한대가 된다는 것이다. 이는 위상 공간에서 ''임계선''을 따라 발생할 수 있다. 이러한 효과는 이성분 유체 혼합물이 액체-액체 임계점에 접근할 때 관찰될 수 있는 임계 유백광의 원인이다.

평형 상태의 시스템에서 임계점은 제어 매개변수를 정확하게 조정해야만 도달할 수 있다. 그러나 일부 비평형 열역학 시스템에서 임계점은 시스템 매개변수에 대해 강건한 방식으로 역학의 끌개이며, 이는 자기 조직 임계성이라고 불리는 현상이다.^[6]

3. 임계 지수와 보편성

임계점에 접근함에 따라, 발산하는 관측 가능량은 어떤 지수에 대해 $A(T)\propto (T-T_c)^\alpha$ 로 행동하며, 일반적으로 지수 $\alpha$ 의 값은 T_c의 위와 아래에서 동일하다. 이러한 지수들을 임계 지수라고 하며, 매우 다른 물리 시스템에서도 동일한 값을 갖는 견고한 관측량이다. 이 현상은 보편성이라고 불리며, 재정규화군에 의해 질적으로, 그리고 양적으로 설명된다.^[1]

3. 1. 임계 지수

보편성 현상은 재정규화군에 의해 질적으로, 그리고 양적으로 설명된다. 이에 따르면 임계점에 접근할 때, 발산하는 관측량은 어떤 지수

\alpha

에 대해

A(T)\propto (T-T_c)^\alpha

로 행동한다. 일반적으로 지수

\alpha

의 값은 임계 온도(

T_c

) 위와 아래에서 동일하다. 이러한 지수들을 임계 지수라고 하며, 매우 다른 물리 시스템에서도 동일한 값을 갖는 견고한 관측량이다.^[1]

3. 2. 보편성 (Universality)

임계점에 접근함에 따라, 발산하는 관측 가능량은 어떤 지수

\alpha

에 대해

A(T)\propto (T-T_c)^\alpha

로 행동하며, 일반적으로 지수 α의 값은 T_c의 위와 아래에서 동일하다. 이러한 지수들은 임계 지수라고 불리며 견고한 관측 가능량이다. 더욱이, 이들은 매우 다른 물리 시스템에 대해서도 동일한 값을 갖는다. 보편성이라고 불리는 이 흥미로운 현상은 재정규화군에 의해 질적으로, 그리고 양적으로 설명된다.^[1]

4. 임계 역학 (Critical Dynamics)

임계 현상은 정적인 양뿐만 아니라 동적인 양에서도 나타날 수 있다.^[2]

4. 1. 동적 임계 지수

시스템의 특성 시간(characteristic time)

\tau

의 발산은 동적 지수 ''z''를 도입하고

\tau =\xi^{\,z}

관계를 통해 열 상관 길이(correlation length)

\xi

의 발산과 직접적으로 관련된다.^[2] 시스템의 방대한 ''정적 보편성 클래스''는 서로 다른 ''z'' 값을 갖지만 공통적인 정적 임계 거동을 보이는, 덜 방대한 ''동적 보편성 클래스''로 분리되며, 임계점에 접근함으로써 모든 종류의 둔화 현상을 관찰할 수 있다. 임계점에서의 완화 시간

\tau

의 발산은 다양한 집단 수송량, 예를 들어 상호 확산 계수, 전단 점성

\eta\sim \xi^{x_\eta}

,^[3] 및 체적 점성

\zeta \sim \xi^{x_\zeta}

의 특이성을 초래한다. 동적 임계 지수는 특정 스케일링 관계, 즉

z=d+x_\eta

를 따르며, 여기서 d는 공간 차원이다. 독립적인 동적 임계 지수는 하나뿐이다. 이러한 지수의 값은 여러 보편성 클래스에 의해 결정된다. 호헨버그-할페린 명명법에 따르면,^[4] 모델 H^[5] 보편성 클래스(유체)의 경우

x_\eta \simeq 0.068, z \simeq 3.068

이다.

4. 2. 임계 둔화 현상

임계 현상은 '정적' 양뿐만 아니라 '동적' 양에서도 나타날 수 있다. 실제로, 시스템의 특성 '시간'

\tau

의 발산은 동적 지수 ''z''를 도입하고

\tau = \xi^{\,z}

관계를 통해 열 '상관 길이'

\xi

의 발산과 직접적으로 관련된다.^[2] 시스템의 방대한 '정적 보편성 클래스'는 서로 다른 ''z'' 값을 갖지만 공통적인 정적 임계 거동을 보이는, 덜 방대한 '동적 보편성 클래스'로 분리되며, 임계점에 접근함으로써 모든 종류의 둔화 현상을 관찰할 수 있다. 임계점에서의 완화 시간

\tau

의 발산은 다양한 집단 수송량, 예를 들어 상호 확산 계수, 전단 점성

\eta \sim \xi^{x_\eta}

,^[3] 및 체적 점성

\zeta \sim \xi^{x_\zeta}

의 특이성을 초래한다. 동적 임계 지수는 특정 스케일링 관계, 즉

z = d + x_\eta

를 따르며, 여기서 d는 공간 차원이다. 독립적인 동적 임계 지수는 하나뿐이다. 이러한 지수의 값은 여러 보편성 클래스에 의해 결정된다. 호헨버그-할페린 명명법에 따르면,^[4] 모델 H^[5] 보편성 클래스(유체)의 경우

x_\eta \simeq 0.068, z \simeq 3.068

이다.

5. 에르고딕성 깨짐 (Ergodicity Breaking)

에르고딕성은 주어진 온도에서 시스템이 전체 위상 공간을 탐색하며, 각 상태가 서로 다른 확률을 갖는다는 가정이다. 임계 온도( $T_c$ ) 미만의 아이징 강자성체에서는 이러한 현상이 발생하지 않는다. $T<T_c$ 이면, 아무리 가깝더라도 시스템은 전역 자화를 선택하며, 위상 공간은 두 영역으로 나뉜다. 이 중 한 영역에서 다른 영역에 도달하는 것은 자기장을 가하거나 온도를 $T_c$ 이상으로 올리지 않는 한 불가능하다.

참고: 초선택 부문

6. 임계 현상 연구의 수학적 도구

임계 현상을 연구하는 데 사용되는 주요 수학적 도구로는 재정규화군, 변분 섭동 이론, 등각장론 등이 있다. 재정규화군은 러시아 인형 그림 또는 자기 유사성을 활용하여 보편성을 설명하고 임계 지수를 예측한다. 변분 섭동 이론은 발산하는 섭동 전개를 수렴하는 강결합 전개로 변환한다. 2차원 시스템에서는 등각장론이 스케일 불변성을 활용하여 임계 시스템의 새로운 속성을 발견하는 데 기여한다.^[1]

6. 1. 재정규화군 (Renormalization Group)

임계점을 연구하는 주요 수학적 도구는 재정규화군이다. 이는 러시아 인형 그림 또는 자기 유사성을 활용하여 보편성을 설명하고 임계 지수를 수치적으로 예측한다. 변분 섭동 이론은 발산하는 섭동 전개를 임계 현상과 관련된 수렴하는 강결합 전개로 변환한다.^[1] 등각장론은 2차원 임계 시스템의 많은 새로운 속성을 발견한 강력한 도구이며, 스케일 불변성이 몇 가지 다른 요구 사항과 함께 무한 대칭군으로 이어진다는 사실을 활용한다.^[1]

6. 2. 등각 장론 (Conformal Field Theory)

재정규화군은 임계 현상을 연구하는 주요 수학적 도구로, 러시아 인형 그림이나 자기 유사성을 활용하여 보편성을 설명하고 임계 지수를 수치적으로 예측한다. 변분 섭동 이론은 발산하는 섭동 전개를 임계 현상과 관련된 수렴하는 강결합 전개로 변환한다. 2차원 시스템에서 등각장론은 2차원 임계 시스템의 많은 새로운 속성을 발견한 강력한 도구이며, 스케일 불변성이 몇 가지 다른 요구 사항과 함께 무한 대칭군으로 이어진다는 사실을 활용한다.^[1]

6. 3. 변분 섭동 이론 (Variational Perturbation Theory)

재정규화군과 함께 임계점을 연구하는 데 사용되는 주요 수학적 도구 중 하나는 변분 섭동 이론이다. 변분 섭동 이론은 발산하는 섭동 전개를 임계 현상과 관련된 수렴하는 강결합 전개로 변환한다.^[1] 등각장론은 2차원 시스템에서 2차원 임계 시스템의 많은 새로운 속성을 발견한 강력한 도구이며, 스케일 불변성이 몇 가지 다른 요구 사항과 함께 무한 대칭군으로 이어진다는 사실을 활용한다.^[1]

7. 비평형 열역학에서의 임계점

평형 상태의 시스템에서 임계점은 제어 매개변수를 정확하게 조정해야만 도달할 수 있다. 그러나 일부 비평형 열역학 시스템에서 임계점은 시스템 매개변수에 대해 강건한 방식으로 역학의 끌개이며, 이는 자기 조직 임계성이라고 불리는 현상이다.^[6]

8. 응용 분야

임계 현상은 물리학, 화학뿐만 아니라 사회학 등 여러 분야에서 응용된다. 예를 들어, 이징 모형으로 두 정당 시스템을 설명할 수 있다. 이때 한 정당이 과반수를 차지하다가 다른 정당으로 전환되는 시점에 임계 현상이 나타날 수 있다.^[7]

8. 1. 물리학 및 화학

임계 현상은 물리학, 화학뿐만 아니라 사회학 등 여러 분야에서 나타난다. 예를 들어, 이징 모형으로 두 정당 시스템을 설명할 수 있다. 이때 한 정당이 과반수를 차지하다가 다른 정당으로 전환되는 시점에 임계 현상이 나타날 수 있다.^[7]

8. 2. 사회 현상

임계 현상은 물리학, 화학뿐만 아니라 사회학 등 여러 분야에서 응용된다. 예를 들어, 이징 모형을 통해 두 정당 시스템을 설명할 수 있다. 이 경우 한쪽 정당이 과반수를 차지하다가 다른 쪽 정당으로 전환되는 시점에 임계 현상이 나타날 수 있다.^[7]

9. 참고 문헌

Phase Transition and Critical Phenomena^영어, 1~20권 (1972–2001), Academic Press, 편집: C. 돔, M.S. 그린, J.L. 레보비츠
J.J. 빈니 외 (1993): ''임계 현상 이론'', 클라렌던 출판사.
N. 골든필드 (1993): ''상전이 및 재정규화군에 대한 강의'', 애디슨-웨슬리.
H. 클라이너트 및 V. 슐테-프로린데, ''φ⁴-이론의 임계 특성'', World Scientific (싱가포르, 2001)
J. M. 이오먼스, ''상전이의 통계 역학'' (옥스포드 과학 출판, 1992)
M.E. 피셔, ''임계 거동 이론의 재정규화군'', 현대 물리학 리뷰, 46권, 597-616쪽 (1974)
H. E. 스탠리, ''상전이 및 임계 현상 소개''

참조

_[1] 논문 Renormalization group theory: Its basis and formulation in statistical physics 1998-04-01
_[2] 논문 Theory of dynamic critical phenomena 1977
_[3] 논문 Structure and dynamics of binary liquid mixtures near their continuous demixing transitions https://aip.scitatio[...] 2016-10-05
_[4] 논문 Theory of dynamic critical phenomena 1977-07-01
_[5] 논문 Critical dynamics: a field-theoretical approach 2006-05-31
_[6] 서적 Complexity and Criticality Imperial College Press
_[7] 서적 Sociodynamics Dover Publications 2006

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