등각 장론

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1. 개요
2. 전개
- 2.1. 등각 대칭
  - 2.1.1. 축척 대칭과 등각 대칭
- 2.2. 등각장
3. 성질
4. 2차원 등각 장론
5. 4차원 등각 장론
- 5.1. 4차원 등각 대수
- 5.2. 초등각 게이지 이론
6. 예
7. 응용
8. 역사
참조

1. 개요

등각 장론은 등각 대칭을 갖는 양자장론으로, 각도를 보존하는 변환 하에서 불변성을 유지한다. 2차원에서는 무한 차원 대수인 비라소로 대수로 등각 대칭이 확장되어 2차원 등각 장론이 중요한 연구 대상이 된다. 4차원 등각 장론은 4차원 등각 대수와 초등각 게이지 이론을 포함하며, 끈 이론, 통계 역학, AdS/CFT 대응 등 다양한 분야에 응용된다. 2차원 등각 장론은 벨라빈, 폴랴코프, 자몰로드치코프에 의해 1984년에 처음 정식화되었다.

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임계점은 상평형 그림에서 액체와 기체, 또는 두 액체 상 사이의 경계가 사라지는 특정 온도와 압력의 지점으로, 액체-기체 임계점은 증기압 곡선의 종점에 해당하며, 그 이상의 온도에서는 압력을 가해도 액체 상태를 유지할 수 없는 지점이다.
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등각 장론
개요
유형	양자장론
관련 분야	양자역학 통계역학 끈 이론 응집물질물리학
대칭
핵심 대칭	등각 대칭
관련 대칭	푸앵카레 군 초등각 대칭
수학적 구조
주요 개념	장 연산자 곱 전개 (OPE) 상관 함수 중심 전하 등각 블록 보텍스 연산자
관련 개념	경계장론 (BCFT) 꼭지점 연산자 대수 (VOA) 초대칭 끈 이론 AdS/CFT 대응성
응용
관련 분야	통계역학의 임계 현상 끈 이론 응집물질물리학

2. 전개

등각 장론(Conformal Field Theory, CFT)은 물리학, 특히 양자장론과 통계역학에서 중요한 위치를 차지하는 이론이다. 이 이론은 물리계가 특정 종류의 기하학적 변환, 즉 등각 변환에 대해 대칭성을 가질 때 나타나는 현상을 연구한다. 등각 변환은 각도는 보존하지만 길이는 바꿀 수 있는 변환으로, 기존의 푸앵카레 대칭 (평행 이동, 회전, 로런츠 변환)에 확대 변환(dilatation)과 특수 등각 변환(special conformal transformation)을 추가하여 구성된다.

등각 장론의 가장 큰 특징 중 하나는 시공간의 차원에 따라 그 성질이 크게 달라진다는 점이다. 특히 2차원 시공간에서는 등각 대칭군이 무한 차원이 되어 이론에 매우 강력한 제약을 가한다. 이러한 강력한 대칭성 덕분에 많은 2차원 등각 장론 모델, 예를 들어 이징 모형의 임계점이나 특정 끈 이론 배경 등을 정확하게 풀 수 있다. 2차원 등각 장론은 1984년 벨라빈(Belavin), 폴랴코프(Polyakov), 자몰로드치코프(Zamolodchikov)가 발표한 소위 BPZ 논문^[3]^[20] 이후 혁명적인 발전을 이루었다. 이 연구는 비라소로 대수와 표현론을 이용하여 2차원 등각 장론의 구조를 체계적으로 분석하는 길을 열었다.

반면, 3차원 이상의 고차원 시공간에서는 등각 대칭군이 유한 차원이기 때문에 2차원만큼 강력한 제약을 주지는 않는다. 이로 인해 고차원 등각 장론은 오랫동안 2차원 이론만큼 활발히 연구되지 못했다. 그러나 1990년대 후반 AdS/CFT 쌍대성의 발견은 고차원 등각 장론 연구에 새로운 전기를 마련했다. 이 쌍대성은 특정 중력 이론과 경계에 존재하는 등각 장론 사이의 깊은 관계를 보여주었으며, 양자 중력 연구에 중요한 실마리를 제공했다. 또한 2000년대 이후 발전한 등각 부트스트랩이라는 수치적 기법은 고차원 등각 장론의 비섭동적(non-perturbative) 성질을 탐구하는 강력한 도구로 부상했다.

등각 장론을 구성하는 핵심 요소로는 등각장(conformal field)과 그들의 상관 함수(correlation function)가 있다. 장들은 등각 변환 하에서 특정 규칙에 따라 변환하며, 이 변환 규칙은 각 장의 등각 차원(conformal dimension)과 스핀(spin)에 의해 결정된다. 특히 중요한 개념은 연산자 곱 전개(Operator Product Expansion, OPE)로, 이는 두 장이 서로 가까워질 때 다른 장들의 합으로 전개될 수 있음을 나타낸다. OPE 계수와 등각 차원 등은 등각 장론을 특정짓는 중요한 데이터이다.

일반적으로 축척 불변성을 가진 이론은 등각 불변성도 가지는 경우가 많지만, 항상 그런 것은 아니다. 그러나 양자장론의 맥락에서는, 특히 유니터리 이론의 경우, 축척 불변성이 등각 불변성을 함의하는 경우가 대부분이다.

등각 장론은 임계 현상을 보이는 통계역학계, 끈 이론의 세계면 이론, 양자 홀 효과, 응집물질물리학의 특정 문제 등 물리학의 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 수행하고 있다.

2. 1. 등각 대칭

리만 다양체

(M,g)

의 '''등각 대칭군'''

\operatorname{Conf}(M,g)

은 각도를 보존하는 변환들의 리 군으로, 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Conf}(M,g)=\{(f,\phi)\in\operatorname{Diff}(M)\times\mathcal C^\infty(M,\mathbb R^+)\colon f^*g=\phi g\}

여기서

f

는 미분동형사상이고,

\phi

는 양의 값을 갖는 매끄러운 함수(바일 변환 인자)이다. 즉, 등각 변환은 미분동형사상과 바일 변환의 합성으로, 변환 후의 계량 텐서

f^*g

가 원래 계량 텐서

g

에 스칼라 함수

\phi

를 곱한 것과 같은 변환을 의미한다. 이는 등거리변환의 개념을 일반화한 것이다.

등각 대칭군의 리 대수는 해당 변환을 생성하는 벡터장들로 구성된다. 계량 부호수가

(p,q)

인

d=p+q

차원 유클리드 공간 (

\mathbb{R}^{p,q}

)을 생각해보자. 만약

d>2

인 경우, 등각 대칭군은

SO(p+1,q+1)

군과 동형이며, 유한 차원이다. 이 군의 생성자는 다음과 같다.

$d$ 개의 시공 평행 이동 ( $P_\mu$ )
$d(d-1)/2$ 개의 로런츠 변환 (또는 회전 변환) ( $M_{\mu\nu}$ )
$1$ 개의 확대 변환(dilatation|확대 변환^영어, $D$ )
$d$ 개의 특수 등각 변환(special conformal transformation|특수 등각 변환^영어, $K_\mu$ )

특수 등각 변환

S_a

는 반전( inversion|반전^영어 )

I

와 평행 이동

T_a

를 사용하여

S_a=I\circ T_a\circ I

로 정의된다. 여기서 반전

I

는 좌표

x^\mu

를

x^\mu/x^2

로 보내는 변환이며, 평행 이동

T_a

는

x^\mu

를

x^\mu+a^\mu

로 보낸다. 즉, 먼저 반전을 적용하고,

a^\mu

만큼 평행 이동한 뒤, 다시 반전을 적용하는 변환이다. 구

S^d = \mathbb{R}^d \cup \{\infty\}

에서 반전은

0

과

\infty

를 교환한다. 평행 이동은

\infty

를 고정점으로 가지며, 특수 등각 변환은

0

을 고정점으로 가진다.

만약

x\to f(x)

가 등각 변환이라면, 그 야코비 행렬

J^\mu_\nu(x) = \frac{\partial f^\mu(x)}{\partial x^\nu}

는 다음과 같은 형태를 가진다.

:

J^\mu_\nu(x) = \Omega(x) R^\mu_\nu(x),

여기서

\Omega(x)

는 스케일 인자(확대 변환에 해당)이고,

R^\mu_\nu(x)

는 국소적인 회전 (유클리드 공간의 경우) 또는 로런츠 변환 (민코프스키 공간의 경우)을 나타내는 행렬이다.
2차원 시공간2차원 시공(

d=2

)의 경우, 국소적 등각군은 무한 차원이 된다는 특별한 성질을 가진다. 이 경우 등각 다양체는 국소적으로 리만 곡면과 동등하며, 등각 변환은 리만 곡면 위의 정칙 변환으로 나타난다. (민코프스키 부호수의 경우 윅 회전을 통해 유클리드 부호수로 변환하여 다룰 수 있다.) 이 무한 차원 대수는 고전적으로는 비트 대수( Witt algebra|비트 대수^영어 )로, 양자화하면 비라소로 대수로 나타난다.

리만 구

S^2 = \mathbb{C} \cup \{\infty\}

의 전역적 등각군은 유한 차원인 뫼비우스 변환 군

PSL_2(\mathbb{C})

이다. 반면, 무한소 등각 변환은 무한 차원 비트 대수를 형성한다. 2차원에서 컨포멀 킬링 방정식

\partial_\mu \xi_\nu + \partial_\nu \xi_\mu = (\partial \cdot\xi) \eta_{\mu \nu}

는 복소 좌표

z, \bar{z}

를 사용하면 코시-리만 방정식

\partial_{\bar{z}} \xi(z) = 0

과

\partial_z \xi (\bar{z}) = 0

으로 축소된다. 이는 임의의 정칙 함수

\xi(z)

와 반정칙 함수

\xi(\bar{z})

가 무한소 등각 변환을 생성함을 의미하며,

z^n\partial_z

와

\bar{z}^n\partial_{\bar{z}}

형태의 무한한 킬링 벡터장을 생성한다.

독립적인 등각 변환의 수가 2차원에서는 무한하고 고차원에서는 유한하다는 사실은, 등각 대칭이 2차원에서 훨씬 더 강력한 제약을 가한다는 것을 의미한다. 이 강력한 제약 덕분에 2차원 등각장론은 최소 모델과 같이 정확하게 풀 수 있는 경우가 많다. 반면 고차원에서는 수치적 접근법이 주로 사용된다. 모든 등각장론은 등각 부트스트랩의 아이디어와 기법을 공유한다.

2차원 등각장론의 발전은 벨라빈(Belavin), 폴랴코프(Polyakov), 자몰로드치코프(Zamolodchikov)의 1983년 논문(BPZ 논문)^[3]^[20] 이후 큰 진전을 이루었다. 이로 인해 때때로 "등각장론"이라는 용어 자체가 "2차원 등각장론"을 의미하는 데 사용되기도 했다.^[4] 고차원 등각장론은 1990년대 후반 AdS/CFT 쌍대성의 발견과 2000년대 수치 등각 부트스트랩 기법의 발달로 다시 주목받게 되었다.

엄밀히 말하면, 2차원 등각장론이 전역적

PSL_2(\mathbb{C})

대칭만 가지고 국소적 비트 대수 대칭은 가지지 않을 수도 있다. 이는 주로 비유니타리 이론에서 나타나는 현상이다.^[13]
양자 이론에서의 등각 대칭등각 불변 2차원 양자 이론에서, 무한소 등각 변환의 비트 대수는 중심 확장을 거쳐 비라소로 대수가 된다. 이 양자 대칭 대수는 '''중심 전하'''

c

라는 중요한 매개변수에 의존한다. 이 중심 확장은 등각 이상 현상과 관련이 있다.

알렉산더 자몰로드치코프는 2차원 양자장론의 재규격화군 흐름에서 단조롭게 감소하며 등각 고정점에서는 그 이론의 중심 전하와 일치하는 함수가 존재함을 보였다. 이는 자몰로드치코프 C-정리로 알려져 있으며, 2차원에서 재규격화군 흐름이 비가역적임을 나타낸다.^[17]

등각 불변 양자 이론의 대칭 대수는 중심적으로 확장될 뿐만 아니라 복소화되어 두 개의 비라소로 대수(정칙 부분과 반정칙 부분, 또는 로렌츠 시공에서는 좌향(left-moving) 부분과 우향(right-moving) 부분)를 생성한다. 두 대수는 동일한 중심 전하

c

를 가진다. 이론의 상태 공간은 이 두 비라소로 대수의 곱의 표현으로 구성된다. 이론이 유니타리하다면 이 상태 공간은 힐베르트 공간이다. 상태 공간에는 진공 상태 또는 열적 상태가 포함될 수 있다. 중심 전하가 0이 아닌 한, 전체 무한 차원 등각 대칭(비라소로 대수)을 보존하는 상태는 존재할 수 없다. 가능한 최선은 비라소로 대수의 생성자

L_{n\geq -1}

과

\bar{L}_{n\geq -1}

에 의해 소멸되는 상태(예: 진공 상태)를 고려하는 것이다. 이는 전역 등각 변환(

L_{-1}, L_0, L_1

과 그 반정칙 대응물)에 대해서는 불변이지만, 나머지 무한한 등각 대칭은 자발적으로 깨진 상태이다.
민코프스키 공간과 인과성민코프스키 공간

\mathbb{R}^{1,d-1}

에서 등각군은 국소적으로

SO(2,d)

와 동형이다. 이 군에는 평행 이동, 로런츠 변환, 확대 변환, 특수 등각 변환이 포함된다. 그러나 민코프스키 공간에서 특수 등각 변환과 반전은 인과성을 보존하지 않을 수 있다. 예를 들어, 시간꼴 분리된 두 점을 공간꼴 분리된 두 점으로 변환할 수 있다. 이 때문에 상관 함수와 같은 물리적 관측량은 등각 대수(무한소 변환)에 대해서는 불변이지만, 유한한 등각 변환(특히 특수 등각 변환)에 대해서는 일반적으로 불변이 아니다. 뤼셔(Lüscher)와 맥(Mack)은 민코프스키 공간을 등각적으로 로렌츠 원통

\mathbb{R} \times S^{d-1}

으로 확장하면 이 문제를 해결할 수 있음을 보였다.^[10] 이 원통 위에서는 전역 등각 변환이 인과성을 보존하며 잘 정의된다. 원래의 민코프스키 공간은 이 원통의 일부 영역(푸앵카레 패치)과 등각 동등하다.

2. 1. 1. 축척 대칭과 등각 대칭

푸앵카레 대칭과 확대 대칭(dilatation symmetry)을 따르는 대부분의 이론은 특수 등각 대칭 또한 따르므로, 축척 불변과 "등각 불변"을 명확히 구분하지 않고 사용하는 경우가 많다. 그러나 항상 그런 것은 아니며 예외도 존재한다.^[29]^[30]

양자장론의 관점에서 보면, 스케일 불변성은 비교적 흔하고 자연스럽게 나타나는 대칭성이다. 왜냐하면 재규격화군 흐름의 모든 고정점은 정의상 스케일 불변성을 가지기 때문이다. 반면, 등각 대칭성은 스케일 불변성보다 더 강력한 조건이며, 이것이 자연계에서 반드시 나타난다고 주장하기 위해서는 추가적인 가정이 필요하다.^[18] 기본적인 아이디어는 '국소적' 스케일 불변 이론은

T_{\mu \nu} \xi^\nu

형태로 주어지는 전류를 가진다는 것이다. 여기서

\xi^\nu

는 킬링 벡터이고,

T_{\mu \nu}

는 정확히

d

차원을 가지는 보존되는 연산자(응력-에너지 텐서)이다. 만약 관련된 대칭성이 스케일 변환은 포함하지만 등각 변환은 포함하지 않으려면, 응력-에너지 텐서의 트레이스(대각합)

T_\mu^\mu

가 0이 아닌 전체 미분(total derivative)이어야 한다. 이는 정확히

d - 1

차원을 갖는 보존되지 않는 연산자가 존재함을 의미한다.

하지만 특정 가정 하에서는 이러한 종류의 비재규격화(non-renormalization) 가능성을 완전히 배제하고, 양자장론에서 스케일 불변성이 등각 불변성을 함축함을 증명하는 것이 가능하다. 예를 들어, 2차원 유니타리 콤팩트 등각 장론이 대표적인 경우이다.

양자장론이 스케일 불변이면서 등각 불변이 아닌 경우는 매우 드물다.^[2] 이러한 이유로 양자장론의 맥락에서는 이 두 용어가 종종 서로 바꾸어 사용되기도 한다.

2. 2. 등각장

등각 장론에서 다루는 장 중 일부는 '''준일차장'''(準一次場, quasiprimary field^영어)이라고 불린다. 준일차장은 등각 변환 군 SO(p+1, q+1)에 대해 자연스럽게 변환하는 특성을 가진다. 등각 장론의 모든 장은 이러한 준일차장과 그 미분들의 선형결합으로 표현될 수 있다. 준일차장은 두 가지 주요한 양으로 특징지어진다: 하나는 축척 변환(dilatation^영어)

D

에 대한 고윳값인 '''등각 차원'''(conformal dimension)

\Delta

이고, 다른 하나는 로런츠 대칭

\operatorname{SO}(p,q)

의 표현

l

이다.

특히 2차원 등각 장론에서는 '''일차장'''(一次場, primary field^영어)이라는 특별한 종류의 준일차장이 존재한다. 일차장은 뫼비우스 변환 군 SO(1,3)뿐만 아니라, 임의의 (국소적) 등각 변환에 대해서도 자연스럽게 변환하는 장을 의미한다. 일차장이 아닌 준일차장은 '''이차장'''(二次場, secondary field^영어)이라고 부른다.

모든 등각 변환

x\to f(x)

는 장

O(x)

에 선형적으로 작용하며,

O(x) \to \pi_f(O)(x)

로 표현된다. 여기서

f\to \pi_f

는 등각군의 표현이며, 상관 함수는 이 변환에 대해 불변이다:

:

\left\langle\pi_f(O_1)(x_1)\cdots \pi_f(O_n)(x_n) \right\rangle = \left\langle O_1(x_1)\cdots O_n(x_n)\right\rangle.

일차장(주요 장)은 등각 변환

\pi_f

에 대해 다음과 같이 변환한다:

:

\pi_f(O)(x) = \Omega(x')^{-\Delta} \rho(R(x')) O(x'), \quad \text{where}\ x'=f^{-1}(x).

여기서

\Omega(x)

는 등각 변환

f

에 연관된 척도 인자(scale factor)이고,

R(x)

는 회전 변환이며,

\Delta

는 등각 차원,

\rho

는 회전 또는 로런츠 군의 표현이다. 스칼라장의 경우 표현

\rho

는 자명하며(

\rho=1

), 변환은 다음과 같다:

:

\pi_f(O)(x) = \Omega(x')^{-\Delta} O(x').

벡터장의 경우, 표현

\rho

는 기본 표현이며 변환은 다음과 같다:

:

\pi_f(O_\mu)(x) = \Omega(x')^{-\Delta} R_\mu^\nu(x') O_\nu(x').

등각 차원

\Delta

와 표현

\rho

로 특징지어지는 일차장은 팽창(dilatation^영어) 및 회전(rotation)으로 생성된 부분군으로부터 등각군의 유도 표현에서 최고 가중 벡터(highest-weight vector) 역할을 한다. 특히 등각 차원

\Delta

는 팽창 부분군의 표현을 결정한다. 2차원에서는 이 유도 표현이 Verma 모듈이며, 고차원에서는 포물선형 또는 일반화된 Verma 모듈로 알려져 있다.^[11]

일차장의 (임의 차수의) 도함수들은 '''후손 장'''(descendant field^영어)이라고 불린다. 후손 장의 등각 변환은 일차장보다 더 복잡하다. 예를 들어,

O

가 일차장일 때,

\pi_f(\partial_\mu O)(x) = \partial_\mu\left(\pi_f(O)(x)\right)

는 일반적으로

\partial_\mu O

와

O

의 선형 결합으로 표현된다. 후손 장의 상관 함수는 일차장의 상관 함수로부터 유도될 수 있다. 모든 장이 일차장 또는 그 후손 장으로 이루어진 일반적인 경우에도, 등각 블록(conformal block)이나 연산자 곱 전개(OPE)는 모든 후손 장에 대한 합을 포함하므로 후손 장은 중요한 역할을 한다.

확장(스케일) 차원

\Delta_p

와 표현

\rho_p

로 특징지어지는 모든 일차장

O_p

의 집합을 해당 이론의 '''스펙트럼'''이라고 한다.

등각 장론이 '''유니터리'''(unitary^영어)하다는 것은 상태 공간이 양의 정부호 스칼라 곱을 가지며 팽창 연산자가 자기 수반 연산자임을 의미한다. 이 경우 상태 공간은 힐베르트 공간 구조를 가진다. 유클리드 등각 장론에서 유니터리티는 상관 함수의 '''반사 양성'''(reflection positivity^영어)과 동등하며, 이는 오스터왈더-슈레이더 공리 중 하나이다.

유니터리티는 일차장의 등각 차원

\Delta

가 실수이고 특정 하한값 이상이어야 함을 의미한다. 이 하한값은 시공간 차원

d

와 일차장이 변환하는 회전 또는 로런츠 군의 표현에 따라 달라진다. 이를 '''유니터리 하한'''(unitarity bound^영어)이라고 한다. 푸앵카레 대칭에 대한 위그너 분류와 유사하게, 등각 대칭의 유니터리 표현들을 분류할 수 있다. 시공간 부호수가

(p,q)=(d-1,1)

일 때, 유니터리 등각 준일차장의 가능한 등각 차원 하한은 다음과 같다.

로런츠 표현	등각 차원의 하한	하한을 포화하는 예
스칼라	$\Delta\ge(d-2)/2$	자유 스칼라장
스피너	$\Delta\ge(d-1)/2$	자유 페르미온
벡터	$\Delta\ge d-1$	뇌터 보존류
$p$ 차 미분 형식 ( $0)$	$\Delta\ge d-p$	전자기장 텐서 ( $d=4,p=2$ )
완전 대칭 완전 무대각합 $\ell$ -텐서 ( $\ell\ge1$ )	$\Delta\ge d-2+\ell$	에너지-운동량 텐서 ( $\ell=2$ )

이 하한들은 종종 자유장에 의해 포화된다.^[31] 스칼라 장의 경우 일반적인 유니터리 하한은 $\Delta \geq \frac12(d-2)$ 이다.

이러한 유니터리 하한은 게이지 불변 연산자에만 적용된다. 예를 들어, 자유 전자기 퍼텐셜 $A_\mu$ 는 벡터이지만 $d=4$ 에서 등각 차원이 1 ( $\Delta=1$ )이어서 벡터에 대한 유니터리 하한 $\Delta \ge d-1 = 3$ 을 만족하지 않는다. 하지만 $A_\mu$ 는 게이지 불변이 아니며, 게이지 불변 연산자인 전자기 텐서 $F_{\mu\nu}$ 는 $d=4$ 에서 $p=2$ 인 2차 미분 형식으로, 등각 차원이 2 ( $\Delta=2$ )이므로 유니터리 하한 $\Delta \ge d-p = 4-2 = 2$ 를 만족시킨다.

차원별 유니터리 하한은 다음과 같다:

$d=2$ 인 경우, 유니터리 하한은 단순히 $h,\bar h\ge0$ 이다. (여기서 $h, \bar h$ 는 왼쪽/오른쪽 등각 차원)
$d=3$ 인 경우, 스핀이 $j\in\{0,1/2,1,\dots\}$ 인 표현의 유니터리 하한은 $\Delta\ge\min\{2j,j+1\}$ 이다.^[31]
$d=4$ 인 경우, 스핀이 $(j,\tilde\jmath)$ 인 표현의 유니터리 하한은 $\Delta\ge j+\tilde\jmath+1+\min\{1/2,j\}+\min\{1/2,\tilde\jmath\}$ 이다.^[31]

유니터리 이론에서는 삼점 상관 함수의 구조 상수(structure constant)가 실수여야 하며, 이는 사점 상관 함수가 특정 부등식을 만족해야 함을 의미한다. 등각 부트스트랩(conformal bootstrap)과 같은 강력한 수치적 방법들은 이러한 부등식을 활용하는 데 기반을 둔다.

3. 성질

등각 장론은 그 정의로부터 비롯되는 강력한 등각 대칭으로 인해 여러 독특하고 중요한 성질을 가진다. 이러한 성질들은 이론의 구조를 크게 제약하며, 특정 차원에서는 이론을 완전히 풀 수 있게 만들기도 한다.

대표적인 성질로는 양자 상태와 국소 연산자 사이에 일대일 대응 관계가 성립하는 상태-연산자 대응성이 있다. 이는 방사 양자화라는 독특한 양자화 방식을 통해 이해할 수 있다.

또한, 등각 대칭은 상관 함수의 형태를 강력하게 제약한다. 2점 함수와 3점 함수는 등각 대칭만으로 그 형태가 (구조 상수를 제외하고) 거의 완전히 결정되며, 4점 함수 역시 특정 함수 형태까지만 결정된다. 이론의 기본적인 장들은 주요 장(primary field)과 그 도함수인 후손 장(descendant field)으로 분류된다.

뇌터 정리에 따라 등각 대칭에 대응하는 보존류인 에너지-운동량 텐서는 대각합이 0이라는 중요한 특징을 가진다. 특히 2차원 등각 장론에서는 에너지-운동량 텐서로부터 무한 차원의 대칭성을 나타내는 비라소로 대수가 등장한다. 이 대수는 중심 전하(central charge)라는 중요한 값으로 특징지어지며, 무한 차원 대칭성 덕분에 2차원 등각 장론의 일부 모델은 정확하게 풀 수 있다.

마지막으로, 재규격화군 흐름과 관련된 중요한 정리들이 존재한다. 2차원에서는 자몰로드치코프의 c-정리가 성립하여 재규격화 흐름에 따라 중심 전하가 단조적으로 감소함을 보였고, 이는 고차원에서의 a-정리로 일반화되었다.

3. 1. 방사 양자화와 상태-연산자 대응성

등각 다양체로서,

\mathbb R^d\setminus\{0\}

과

S^{n-1}\times\mathbb R

은 서로 동치이다. 따라서, 초구

S^{n-1}

위에 정의된 등각 장론은 마치 원점을 제거한 유클리드 공간 위에 정의된 것으로 간주할 수 있다. 즉, 유클리드 공간에서의 직교좌표

x^i\in\mathbb R^d

가 주어지면, 원점으로부터의 거리

r=|x|

를 시간으로 삼아 양자화할 수 있다. 이러한 양자화를 '''방사 양자화'''(放射量子化, radial quantization^영어)라고 하며, 이는 일반적인 차원에서의 등각 장론에서 가능하다.^[32] 이에 따라, 일반적인 양자장론에서의 시간 순서(time ordering^영어)와 마찬가지로, '''방사 순서'''(radial ordering^영어) 연산자

:

R(A(x)B(y))=\begin{cases}A(x)B(y)&|x|>|y|\\B(y)A(x)&|x|<|y|\\\end{cases}

를 정의한다.^[21] 모든 상관 함수에서는 암묵적으로 방사 순서 연산자가 포함돼 있다. 즉, 아래에서 좌변과 같이 쓰더라도 암묵적으로 우변을 의미한다.

:

\langle1|O_1(z_1)O_2(z_2)\cdots O_n(z_n)|1\rangle=\langle1|R\left(O_1(z_1)O_2(z_2)\cdots O_n(z_n)\right)|1\rangle

또한, 원점에 국소 연산자를 삽입하는 것은 무한한 과거에서의 경계 조건을 결정하는 것과 같으며, 이는 경로 적분을 통해 현재 상태를 결정한다. 이와 반대로, 주어진 상태에 대하여, 이 상태를 만드는 국소 연산자를 정의할 수 있다. 즉, 등각 장론에서는 가능한 상태들과 가능한 국소 연산자들 사이의 일대일 대응이 존재한다. 이를 '''상태-연산자 대응성'''(state–operator correspondence^영어)이라고 한다. 이 정의에 따라서, 진공 상태

|1\rangle

에 대응하는 연산자는 항등 연산자

1

이다.

특히, 2차원의 경우 좌표는 보통 복소수

z\in\mathbb C

로 나타내게 된다. 이 경우,

C^\times=\mathbb C\setminus\{0\}

과

\mathbb C/2\pi i\cong S^1\times\mathbb R

사이의 등각 동형사상은 지수함수

:

z=\exp w=\exp(t+i\theta)

로 간편하게 나타내어진다. 이 경우, 원점

z=0

(

t=-\infty

)는 무한 과거에 대응하며, 반면

z=\widehat\infty

(

t=+\infty

)는 무한 미래에 해당한다.

이에 따라서, 등각 장론의 상태는 원점 근처에서의 데이터로 나타낼 수 있다. 즉, 국소 연산자

O(z,\bar z)

가 주어지면, 이 연산자를 원점(무한 미래)에 삽입하여, 연산자

O

에 대응하는 초기 상태(브라)

|O\rangle

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

|O\rangle=\lim_{z,\bar z\to0}O(z,\bar z)|1\rangle

연산자

O

가 좌표 변환

f(z)=1/z

에 대하여

:

(f^*O)(z,\bar z)=p(\partial f,\bar\partial f)O(f(z),f(z))

의 꼴로 변환한다고 하면, 연산자

O

에 대응하는 최종 상태(켓)

\langle O|

는

:

\langle O|=\lim_{w,\bar w\to0}\langle1|O(w,w)=\lim_{z,\bar z\to\infty}\langle1|\frac1{f(z)}O(z,\bar z)

가 된다. 무게가

(h,\bar h)

인 1차장의 경우

:

(f^*O)(z,\bar z)=(\partial f)^h(\bar\partial\bar f)^{\bar h}O(f(z),\bar f(\bar z))

의 꼴로 변환하므로,

:

\langle O|=\lim_{z,\bar z\to\widehat\infty}\langle1|z^{2h}\bar z^{2\bar h}O(z,\bar z)

이다. 1차장이 아닌 장들(예를 들어, 에너지-운동량 텐서

T(z,\bar z)

)의 경우 변환 법칙은 더 복잡하다.

3. 2. 상관 함수의 성질

임의 차원의 등각 장론에서, 2점 및 3점 상관 함수는 등각 대칭에 의해 그 형태가 완전히 결정된다. 이는 등각 대칭 변환을 통해 임의의 세 점

x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}^d

를 각각 특정 위치(예:

0, e_1, \infty

, 여기서

e_1=(1,0,0,\dots,0)

)로 보낼 수 있기 때문이다. 즉, 세 개의 점만으로는 등각 변환에 불변인 양을 만들 수 없다. 반면, 네 개의 점

x_1, x_2, x_3, x_4 \in \mathbb{R}^d

가 주어지면 비조화비라는 등각 불변량을 정의할 수 있다. 따라서 등각 대칭은 3점 함수까지는 완전히 결정하지만, 4점 함수는 완전히 결정하지 못한다. 등각 부트스트랩 접근 방식에서는 등각 장론을 여러 공리를 만족하는 상관 함수들의 집합으로 본다.

n

-점 상관 함수

\left\langle O_1(x_1)\cdots O_n(x_n)\right\rangle

는 위치

x_i

와 장

O_1,\dots ,O_n

의 다른 매개변수에 대한 함수이다. 부트스트랩 접근법에서 장 자체는 상관 함수의 맥락 속에서만 의미를 가지며, 상관 함수에 대한 공리를 기술하기 위한 표기법으로 간주될 수 있다. 상관 함수는 장에 대해 선형적이며, 특히 미분 연산에 대해

\partial_{x_1} \left\langle O_1(x_1)\cdots \right\rangle = \left\langle \partial_{x_1}O_1(x_1)\cdots \right\rangle

관계를 만족한다.

주로 유클리드 공간

\mathbb{R}^d

에서의 등각 장론을 다루며, 이때 상관 함수는 슈윙거 함수이다. 이 함수는 서로 다른 위치

x_i \neq x_j

에 대해 정의되고 장의 순서에 의존하지 않는다. 반면, 민코프스키 공간에서의 상관 함수는 와이트만 함수이며, 장들이 시공간적으로 분리된(spacelike separated) 경우에만 교환 가능하므로 일반적으로 장의 순서에 따라 달라질 수 있다. 유클리드 등각 장론과 민코프스키 등각 장론은 윅 회전을 통해 연결될 수 있으며(예: 오스터왈더-슈레이더 정리), 이 경우 민코프스키 상관 함수는 유클리드 상관 함수를 해석적으로 연속하여 얻어진다. 이때 장의 순서에 따라 다른 해석적 연속 경로를 따른다.

모든 등각 변환

x \to f(x)

는 장

O(x) \to \pi_f(O)(x)

에 선형적으로 작용하며,

f \to \pi_f

는 등각군의 표현이다. 상관 함수는 이 변환에 대해 불변이다.

:

\left\langle\pi_f(O_1)(x_1)\cdots \pi_f(O_n)(x_n) \right\rangle = \left\langle O_1(x_1)\cdots O_n(x_n)\right\rangle.

'''주요 장'''(primary field)은 등각 변환

\pi_f

에 대해 (상수배 및 회전을 제외하고) 자신으로 변환되는 장이다. 주요 장의 변환 성질은 '''등각 차원'''(conformal dimension)

\Delta

와 회전군 또는 로렌츠 군의 표현

\rho

로 특징지어진다. 주요 장

O

는 다음과 같이 변환한다.

:

\pi_f(O)(x) = \Omega(x')^{-\Delta} \rho(R(x')) O(x'), \quad \text{where}\ x'=f^{-1}(x).

여기서

\Omega(x)

와

R(x)

는 등각 변환

f

와 관련된 국소적인 스케일 인자(local scale factor)와 회전 행렬(rotation matrix)이다. 스칼라 장의 경우 표현

\rho

는 자명하여(trivial)

\pi_f(O)(x) = \Omega(x')^{-\Delta} O(x')

가 된다. 벡터장의 경우

\rho

는 기본 표현(fundamental representation)이며

\pi_f(O_\mu)(x) = \Omega(x')^{-\Delta} R_\mu^\nu(x') O_\nu(x')

와 같이 변환한다.

등각 차원

\Delta

와 표현

\rho

로 특징지어지는 주요 장은, 팽창(dilatation)과 회전(rotation)으로 생성되는 부분군으로부터 유도된 등각군의 유도 표현에서 최고 가중치 벡터(highest-weight vector) 역할을 한다. 특히 등각 차원

\Delta

는 팽창 부분군의 표현을 결정한다. 2차원에서는 이 유도 표현이 Verma 모듈에 해당한다는 것이 잘 알려져 있다. 고차원 등각 장론에서는 이 표현이 포물선형(parabolic) 또는 일반화된 Verma 모듈에 해당한다는 점이 최근 밝혀졌다.^[11]

주요 장의 (임의 차수) 도함수를 '''후손 장'''(descendant field)이라고 한다. 후손 장의 등각 변환은 더 복잡하다. 예를 들어,

O

가 주요 장이면

\pi_f(\partial_\mu O)(x) = \partial_\mu(\pi_f(O)(x))

는 일반적으로

\partial_\mu O

와

O

의 선형 결합으로 표현된다. 후손 장의 상관 함수는 주요 장의 상관 함수로부터 원리적으로 유도될 수 있다. 하지만 등각 블록(conformal block)이나 연산자 곱 전개(operator product expansion)가 모든 후손 장에 대한 합을 포함하기 때문에, 후손 장 역시 이론에서 중요한 역할을 한다.

이론의 '''스펙트럼'''(spectrum)은 등각 차원

\Delta_p

와 표현

\rho_p

로 특징지어지는 모든 주요 장

O_p

의 집합을 의미한다.

상관 함수는 등각 변환에 대해 불변이므로, 장의 위치에 대한 의존성이 크게 제한된다. 2점 및 3점 함수의 경우, 위치 의존성은 유한 개의 상수 계수(구조 상수 등)를 제외하고 등각 대칭에 의해 완전히 결정된다. 고차 점 함수는 더 많은 자유도를 가지며, 위치들의 등각 불변 조합(비조화비 등)의 함수 형태로 결정된다.

=== 2점 함수 ===

두 주요 장의 2점 함수는 등각 차원이 다르면 0이 된다.

:

\Delta_1\neq \Delta_2 \implies \left\langle O_{1}(x_1)O_{2}(x_2)\right\rangle= 0.

팽창 연산자가 대각화 가능하다면 (즉, 이론이 로그적(logarithmic)이지 않다면), 2점 함수가 대각적인 주요 장 기저가 존재한다 (

i\neq j\implies \left\langle O_i O_j\right\rangle = 0

). 이 경우, 스칼라 주요 장의 2점 함수는 다음과 같다.^[5]

:

\left\langle O(x_1)O(x_2) \right\rangle = \frac{1}{|x_1-x_2|^{2\Delta}},

여기서 상수 계수가 1이 되도록 장의 정규화(normalization)를 선택한다. 유사하게, 비스칼라 주요 장의 2점 함수도 상수 계수까지 결정되며, 이 계수 역시 규격화를 통해 1로 설정할 수 있다. 예를 들어, 스핀

\ell

인 대칭 무적(symmetric traceless) 텐서 장의 2점 함수는 다음과 같다.

:

\left\langle O_{\mu_1,\dots,\mu_\ell}(x_1) O_{\nu_1,\dots,\nu_\ell}(x_2)\right\rangle = \frac{\prod_{i=1}^\ell I_{\mu_i,\nu_i}(x_1-x_2) - \text{traces}}{|x_1-x_2|^{2\Delta}},

여기서 텐서

I_{\mu,\nu}(x)

는 다음과 같이 정의된다.

:

I_{\mu,\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} - \frac{2x_\mu x_\nu}{x^2}.

(

\eta_{\mu\nu}

는 민코프스키 계량 또는 유클리드 계량 텐서이다.)

=== 3점 함수 ===

세 스칼라 주요 장의 3점 함수는 다음과 같다.

:

\left\langle O_{1}(x_1)O_{2}(x_2)O_{3}(x_3)\right\rangle = \frac{C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta_1+\Delta_2-\Delta_3}|x_{13}|^{\Delta_1+\Delta_3-\Delta_2} |x_{23}|^{\Delta_2+\Delta_3-\Delta_1}},

여기서

x_{ij}=|x_i-x_j|

는 두 점 사이의 거리이고,

C_{123}

은 '''3점 구조 상수'''(three-point structure constant)이다. 이는 이론의 동역학을 결정하는 중요한 데이터이다. 스칼라가 아닌 주요 장의 경우, 등각 대칭은 유한 개의 가능한 텐서 구조를 허용하며, 각 텐서 구조에 해당하는 구조 상수가 존재한다. 예를 들어, 두 스칼라 장과 스핀

\ell

인 대칭 무적 텐서 장의 3점 함수는 단 하나의 텐서 구조만 가능하며 (하나의 구조 상수가 존재), 다음과 같이 주어진다.

:

\left\langle O_{1}(x_1)O_{2}(x_2)O_{\mu_1,\dots,\mu_\ell}(x_3)\right\rangle= \frac{C_{123}\left(\prod_{i=1}^\ell V_{\mu_i}-\text{traces}\right)}{|x_{12}|^{\Delta_1+\Delta_2-\Delta_3}|x_{13}|^{\Delta_1+\Delta_3-\Delta_2} |x_{23}|^{\Delta_2+\Delta_3-\Delta_1}},

여기서 벡터

V_\mu

는 다음과 같이 도입한다.

:

V_\mu = \frac{x_{13}^\mu x_{23}^2 - x_{23}^\mu x_{13}^2}

.

=== 4점 함수 ===

스칼라 주요 장의 4점 함수는 두 개의 비조화비(cross-ratio)

u, v

의 임의의 함수

g(u,v)

까지 결정된다.

:

u = \frac{x_{12}^2 x_{34}^2}{x_{13}^2 x_{24}^2} \ , \ v = \frac{x_{14}^2 x_{23}^2}{x_{13}^2 x_{24}^2}.

여기서

x_{ij}^2 = |x_i-x_j|^2

이다. 4점 함수는 다음과 같은 형태를 가진다.^[9]

:

\left\langle \prod_{i=1}^4O_i(x_i)\right\rangle = \frac{\left(\frac

\right)^{\Delta_1-\Delta_2} \left(\frac

\right)^{\Delta_3-\Delta_4}}{|x_{12}|^{\Delta_1+\Delta_2} |x_{34}|^{\Delta_3+\Delta_4}}g(u,v).

함수

g(u,v)

는 등각 대칭만으로는 결정되지 않으며, 특정 등각 장론의 동역학(dynamics)에 따라 달라진다. 이 함수는 이론의 스펙트럼과 구조 상수 정보를 담고 있으며, 등각 부트스트랩 프로그램의 주요 연구 대상이다.

3. 3. 에너지-운동량 텐서

뇌터 정리 및 워드-다카하시 항등식에 따라, 등각 장론의 에너지-운동량 텐서의 대각합은 0이다. 특히 2차원의 경우, 에너지-운동량 텐서를 진동 모드로 전개하여 비라소로 대수를 얻을 수 있다.

2차원 등각 불변 양자 이론에서는 무한소 등각 변환에 해당하는 비트 대수가 중심적으로 확장되어야 한다. 이 결과로 나타나는 양자 대칭 대수는 '''중심 전하'''(central charge)라는 값에 의존하는 비라소로 대수이다. 이러한 중심 확장은 등각 이상 현상이라는 관점에서 이해할 수도 있다.

알렉산더 자몰로드치코프는 2차원 양자장론의 재규격화군 흐름에서 단조롭게 감소하는 함수가 존재하며, 이 함수가 2차원 등각장론의 중심 전하와 같다는 것을 보였다. 이는 자몰로드치코프 C-정리로 알려져 있으며, 2차원에서의 재규격화군 흐름이 비가역적임을 시사한다.^[17]

등각 불변 양자 이론의 대칭 대수는 중심적으로 확장될 뿐만 아니라 복소화되어 두 개의 비라소로 대수를 생성한다. 유클리드 등각장론에서는 이들을 각각 정칙(holomorphic) 및 반정칙(anti-holomorphic) 사본이라고 부른다. 로렌츠 등각장론에서는 좌향(left-moving) 및 우향(right-moving) 사본이라고 부른다. 두 사본은 동일한 중심 전하 값을 가진다.

이론의 상태 공간은 이 두 비라소로 대수의 곱에 대한 표현으로 구성된다. 만약 이론이 유니타리(unitary)하다면, 이 상태 공간은 힐베르트 공간이 된다. 상태 공간에는 진공 상태 또는 통계 역학에서의 열적 상태가 포함될 수 있다. 중심 전하가 0이 아닌 이상, 전체 무한 차원 등각 대칭을 깨뜨리지 않는 상태는 존재할 수 없다. 가능한 최선은 비라소로 대수의 생성자

L_{n\geq -1}

(기저

(L_n)_{n\in\mathbb{Z}}

)에 대해 불변인 상태를 고려하는 것이다. 여기에는 전역 등각 변환을 생성하는

L_{-1}, L_0, L_1

이 포함된다. 나머지 등각군은 자발적으로 깨지게 된다.

2차원 등각장론은 1984년 벨라빈(Belavin), 폴랴코프(Polyakov), 자몰로드치코프(Zamolodchikov) (BPZ)에 의해 처음으로 체계적으로 정립되었다.^[20] 2차원 등각장론이 특별히 주목받는 이유는 다음과 같다.

일반적으로 3차원 이상의 시공간에서는 등각 변환군이 유한한 수의 생성자로 이루어진 유한 차원 리 군이다. 하지만 2차원(공간 1차원 + 시간 1차원) 등각장론의 경우, 등각 변환군 SO(2,2)는 정칙 함수의 등각 사상으로 구성된 변환군, 즉 무한 차원 리 군으로 확장된다. 이때 등각 변환군 SO(2,2)는 무한 개의 생성자를 가진 대수인 비라소로 대수의 부분 대수가 된다. 비라소로 대수로부터 얻어지는 힐베르트 공간에 대한 제약 조건은 매우 강력하다. 이 덕분에 미니멀 모형(minimal model)이라 불리는 특정 모형들(임계점 상의 2차원 이징 모형 포함)에 대해서는 모든 상관 함수의 거동을 비라소로 대수와 워드-다카하시 항등식만으로 엄밀하게 계산할 수 있다. 즉, 해를 정확히 구할 수 있는(가해, solvable) 특징을 가진다. 이러한 가해성은 2차원 등각장론을 2차원 통계 시스템이나 1+1차원 양자계를 이해하는 데 매우 강력한 도구로 만들었다.

3. 4. ''c''-정리와 ''a''-정리

임의의 2차원 양자장론에는 ''c''라는 값이 존재한다. 이 값은 다음과 같은 특징을 가진다.

$c$ 는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다.
$c$ 의 재규격화군 부동점 $g_i=g_i^*$ 에서는 $c(g_i^*,\mu)$ 가 에너지에 상관없이 일정하며, 이 값은 비라소로 대수의 중심원소 값과 일치한다.

이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 점차 무시되면서 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 $c$ -정리(

c

-theorem^영어)라고 부른다.

최근에는 고차원에서도 유사한 정리들이 발견되고 있다. 예를 들어, 4차원의 경우 2011년에 ''c''와 유사한 ''a''라는 값이 정의되었다.

4. 2차원 등각 장론

2차원 등각 장론은 다른 차원의 등각 장론과 구별되는 특징을 보인다. 가장 두드러진 차이는 2차원에서 등각 대칭이 무한 차원 대수인 비라소로 대수로 확장된다는 점이다. 이는 독립적인 등각 변환의 수가 2차원에서는 무한하지만, 고차원에서는 유한하기 때문이다. 결과적으로 2차원에서의 등각 대칭은 훨씬 더 강력한 제약을 가한다. 모든 등각 장론은 등각 부트스트랩의 아이디어와 기법을 공유하지만, 2차원에서는 관련 방정식이 더 강력하여 최소 모델과 같은 특정 경우 해를 정확하게 구할 수 있다. 반면, 고차원에서는 주로 수치적 접근법을 사용한다.

2차원 등각 장론의 발전은 특히 벨라빈, 폴랴코프, 자몰로드치코프의 1983년 중요한 논문 이후 더욱 빠르고 깊이 있게 이루어졌다.^[3] 이들의 연구는 2차원 등각 장론을 1984년에 처음으로 정식화하는 데 기여했다^[20]. 때때로 "등각장론"이라는 용어 자체가 2차원 등각 장론을 의미하는 데 사용되기도 했다.^[4] 고차원 등각 장론은 1990년대 후반 AdS/CFT 쌍대성의 발견과 2000년대 수치 등각 부트스트랩 기법의 발달로 더 많은 주목을 받게 되었다.

2차원에서 등각 불변인 양자 이론에서, 무한소 등각 변환의 비트 대수는 중심적으로 확장되어야 하며, 이로 인해 양자 이론의 대칭 대수는 '''중심 전하'''라는 수치에 의존하는 비라소로 대수가 된다. 이 중심 확장은 등각 이상 현상의 관점에서 이해할 수도 있다.

알렉산더 자몰로드치코프는 2차원 양자장론의 재규격화군 흐름 하에서 단조롭게 감소하며, 등각 고정점에서는 2차원 등각 장론의 중심 전하와 일치하는 함수가 존재함을 증명했다. 이는 자몰로드치코프 C-정리로 알려져 있으며, 2차원에서의 재규격화군 흐름이 비가역적임을 보여준다.^[17]

등각 불변 양자 이론의 대칭 대수는 중심 확장될 뿐만 아니라 복소화되어 두 개의 비라소로 대수 복사본을 생성한다. 유클리드 등각 장론에서는 이들을 정칙(holomorphic) 및 반정칙(anti-holomorphic)이라 부르고, 로렌츠 등각 장론에서는 좌향(left-moving) 및 우향(right-moving)이라 부른다. 두 복사본은 동일한 중심 전하를 가진다.

이론의 상태 공간은 이 두 비라소로 대수의 곱에 대한 표현으로 구성된다. 이론이 유니타리하다면 이 공간은 힐베르트 공간이다. 상태 공간에는 진공 상태 또는 통계 역학에서의 열적 상태가 포함될 수 있다. 중심 전하가 0이 아닌 이상, 전체 무한 차원 등각 대칭을 보존하는 상태는 존재할 수 없다. 최선은 비라소로 대수의 생성자 $(L_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ 중 $L_{n\geq -1}$ 에 의해 불변인 상태를 고려하는 것이다. 이는 전역 등각 변환의 생성자 $L_{-1},L_0,L_1$ 을 포함한다. 나머지 등각군은 자발적으로 깨진다.

등각 부트스트랩 접근 방식에서 등각 장론은 여러 공리를 만족하는 상관 함수들의 집합으로 정의된다. $n$ -점 상관 함수 $\left\langle O_1(x_1)\cdots O_n(x_n)\right\rangle$ 는 위치 $x_i$ 와 장 $O_1,\dots ,O_n$ 의 다른 매개변수에 의존하는 함수이다. 이 접근법에서 장 자체는 상관 함수의 맥락에서만 의미를 가지며, 상관 함수에 대한 공리를 기술하기 위한 표기법으로 간주될 수 있다.

유클리드 공간 $\mathbb{R}^d$ 의 등각 장론에서 상관 함수는 슈윙거 함수이며, $x_i\neq x_j$ 일 때 정의되고 장의 순서에 의존하지 않는다. 민코프스키 공간에서는 상관 함수가 와이트만 함수이며, 장이 시공간적으로 분리된 경우에만 교환 가능하므로 장의 순서에 의존할 수 있다. 유클리드 등각 장론은 윅 회전을 통해 민코프스키 등각 장론과 관련될 수 있으며(오스터왈더-슈레이더 정리), 민코프스키 상관 함수는 유클리드 상관 함수로부터 해석적 연속을 통해 얻어진다.

모든 등각 변환 $x\to f(x)$ 는 장 $O(x) \to \pi_f(O)(x)$ 에 선형적으로 작용하며, $f\to \pi_f$ 는 등각군의 표현이고, 상관 함수는 이 변환 하에서 불변이다:

: $\left\langle\pi_f(O_1)(x_1)\cdots \pi_f(O_n)(x_n) \right\rangle = \left\langle O_1(x_1)\cdots O_n(x_n)\right\rangle.$

'''주요 장'''(primary field)은 $\pi_f$ 를 통해 자신으로 변환되는 장이다. 주요 장의 변환은 '''등각 차원''' $\Delta$ 와 회전 또는 로렌츠 군의 표현 $\rho$ 에 의해 특징지어진다.

: $\pi_f(O)(x) = \Omega(x')^{-\Delta} \rho(R(x')) O(x'), \quad \text{where}\ x'=f^{-1}(x).$

여기서 $\Omega(x)$ 와 $R(x)$ 는 등각 변환 $f$ 와 관련된 스케일 인자와 회전이다. 스칼라장의 경우 표현 $\rho$ 는 자명하다.

주요 장의 (임의 차수) 도함수는 '''후손 장'''(descendant field)이라고 불리며, 등각 변환 하에서의 변환은 더 복잡하다. 후손 장의 상관 함수는 주요 장의 상관 함수로부터 유도될 수 있다. 이론의 모든 주요 장 $O_p$ 의 집합(각각은 등각 차원 $\Delta_p$ 와 표현 $\rho_p$ 로 특징지어짐)을 이론의 '''스펙트럼'''이라고 한다.

연산자 곱 전개(OPE)는 등각 장론에서 특히 강력한 도구인데, 수렴 반경이 유한(0이 아님)하기 때문이다.^[19] 두 장 $O_1(x_1)$ 과 $O_2(x_2)$ 의 위치가 충분히 가까울 때, OPE는 이들의 곱을 한 점( $x_2$ )에서의 장들의 선형 결합으로 나타낸다:

: $O_1(x_1)O_2(x_2) = \sum_k c_{12k}(x_1-x_2) O_k(x_2).$

이 합은 원칙적으로 이론의 모든 장에 대해 이루어진다. 모든 장이 주요 장 또는 후손 장이라면, 합은 주요 장에 대한 합으로 줄일 수 있다:

: $O_1(x_1)O_2(x_2) = \sum_p C_{12p}P_p(x_1-x_2,\partial_{x_2}) O_p(x_2).$

여기서 $O_p$ 는 주요 장이고, $C_{12p}$ 는 삼중점 구조 상수(OPE 계수)이며, $P_p$ 는 등각 대칭에 의해 결정되는 미분 연산자이다. OPE는 결합적이어야 하며, 유클리드 공간에서는 교환적( $O_1(x_1)O_2(x_2) = O_2(x_2)O_1(x_1)$ )이어야 한다.

OPE를 이용하면 4점 함수는 3점 구조 상수와 '''s-채널 등각 블록''' $G_p^{(s)}(x_i)$ 의 합으로 표현할 수 있다:

: $\left\langle \prod_{i=1}^4 O_i(x_i) \right\rangle = \sum_p C_{12p}C_{p34} G_p^{(s)}(x_i).$

등각 블록 $G_p^{(s)}(x_i)$ 는 주요 장 $O_p$ 와 그 후손들의 기여를 합한 것으로, 등각 대칭에 의해 결정된다. 유사하게 다른 OPE를 사용하여 동일한 4점 함수를 '''t-채널''' 또는 '''u-채널 등각 블록'''으로 표현할 수 있다:

: $\left\langle \prod_{i=1}^4 O_i(x_i) \right\rangle = \sum_p C_{14p}C_{p23} G_p^{(t)}(x_i)=\sum_p C_{13p}C_{p24} G_p^{(u)}(x_i).$

이 세 가지 다른 채널에서의 분해가 동일해야 한다는 조건이 '''교차 대칭'''이며, 이는 주요 장의 스펙트럼과 3점 구조 상수에 강력한 제약을 가한다.

평평한 유클리드 공간 $\mathbb{R}^d$ 에서의 등각 장론은 스펙트럼 $\{(\Delta_p,\rho_p)\}$ 과 OPE 계수 $\{C_{pp'p''}\}$ (이들을 합쳐 '''CFT 데이터'''라고 함)로 정의되며, 이 데이터는 모든 4점 함수가 교차 대칭을 만족하도록 제약된다. CFT 데이터가 주어지면 원리적으로 임의 차수의 상관 함수를 계산할 수 있다.

2차원 등각 장론의 강력한 제약 덕분에, 미니멀 모형(임계점 상의 2차원 이징 모형 포함)과 같이 정확하게 풀 수 있는(가해적인) 모형들이 존재한다. 이러한 모형들에서는 비라소로 대수와 워드-다카하시 항등식을 이용하여 모든 상관 함수의 거동을 엄밀하게 결정할 수 있다. 따라서 가해 2차원 등각 장론은 2차원 통계 역학 시스템이나 1+1차원 양자계를 이해하는 데 매우 유용한 도구가 된다.

5. 4차원 등각 장론

4차원 시공간에서의 등각 장론은 물리적으로 중요한 의미를 가지며 활발히 연구되는 분야이다. 이는 입자물리학의 표준 모형을 넘어서는 이론이나 끈 이론 등 현대 물리학의 여러 영역과 깊은 관련을 맺고 있다.^[22] 4차원 등각 장론의 기본적인 대칭 구조는 4차원 등각 대수로 설명되며, 이는 푸앵카레 대칭을 확대 변환과 특수 등각 변환까지 포함하도록 확장한 것이다.^[22] 또한, 초대칭과 결합된 초등각 장론, 특히 초등각 게이지 이론은 이론적으로 풍부한 구조를 제공하며 중요한 연구 대상이 된다.^[33]^[34]^[35]

5. 1. 4차원 등각 대수

4차원 등각 대수는 회전(

M_{\mu\nu}

), 병진(

P_\mu

), 확대(

D

), 특수 등각 변환(

K_\mu

)의 생성원(generator)으로 구성된다. 이 중에서 회전과 병진 생성원은 푸앵카레 대칭을 형성한다.^[22] 4차원 민코프스키 공간에서 등각 군은 국소적으로

SO(2,4)

와 동형이다.

특수 등각 변환(

K_\mu

)은 반전 변환(

I

)과 병진 변환(

T_a

)의 조합으로 정의된다. 반전 변환은 좌표

x^\mu

를

x^\mu / x^2

로 보내는 변환이며, 특수 등각 변환

S_a

는

S_a = I \circ T_a \circ I

와 같이 정의된다.

이 생성원들은 다음과 같은 리 대수(교환 관계)를 만족시킨다.^[22]

:

[D,K_\mu]=-iK_\mu

:

[D,P_\mu]=iP_\mu

:

[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu}

:

[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu)

:

[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)

:

[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})

여기서

\eta_{\mu\nu}

는 민코프스키 계량 텐서이다.

스칼라장의 경우, 이 생성원들은 좌표

x_\mu

와 편미분

\partial_\mu

를 이용하여 다음과 같이 표현될 수 있다.^[22]

:

M_{\mu\nu}=i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)

:

P_\mu=-i\partial_\mu

:

D=-ix_\mu\partial^\mu

:

K_\mu=i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu)

각 생성원에 대한 요약 정보는 다음과 같다.

생성원	설명	보존량	개수 ( $d=4$ )	질량 차원
M_μν	회전과 로런츠 변환	각운동량 $x_\nu T_{\mu\rho}-x_\mu T_{\nu\rho}$	6	0
P_μ	병진 변환	에너지-운동량 텐서 $T_{\mu\nu}$	4	1
D	확대 변환	$x^\mu T_{\mu\nu}$ ^[29]	1	0
K_μ	특수 등각 변환	$(2x_\mu x^\lambda-x^2\delta^\lambda_\mu)T_{\lambda\nu}$ ^[29]	4	−1

5. 2. 초등각 게이지 이론

4차원

\mathcal N=2

초대칭 게이지 이론에서는 재규격화군 베타 함수가 하나의 고리를 가진 파인먼 도형을 통해서만 보정된다. (물론 비섭동적으로 순간자에 의한 보정도 있다.) 따라서, 이 1개 고리 베타 함수의 계수가 0이고, 초퍼텐셜이 0이면 이론이 초등각 대칭을 가지게 된다. 베타 함수가 0일 조건은 각 게이지 군에 필요한 수만큼의 페르미온들이 존재해야 하는 것이다. 이는 다음 표와 같다.

게이지 군	(기본 표현 하이퍼 초다중항) 맛깔의 수
SU(N)	$2N$ ^[33]
USp(2N)	$2N+2$ ^[33]^[34]
SO(N)	$N-2$ ^[34]

초등각 화살집 게이지 이론의 경우, 위 표는 D4-막과 NS5-막을 사용한 하나니-위튼 막 만화(Hanany–Witten brane cartoon^영어)로 설명할 수 있다. 예를 들어, SU(''N'') 화살집의 경우, 물질 맛깔의 수는 NS5-막에 붙은 D4-막들의 수에 의해 주어지고, 이 경우 베타 함수는 NS5-막들의 휨에 의해 주어진다. 등각 대칭이 유지될 조건은 NS5-막의 양쪽에 같은 수의 D4-막이 붙어 있어, 양쪽으로의 장력이 서로 같아야 하는 조건이다.^[35]

초등각 화살집 게이지 이론들은 가이오토 이중성이라는 이중성들을 보인다. 이는 6차원 (2,0) 초등각 장론 (M5-막의 세계부피 이론)을 리만 곡면에 축소화하여 유도할 수 있다.

6. 예

대표적인 등각 장론으로는 다음이 있다.

2차원
최소 모형: 완전히 분류된 2차원 유니터리 유리(rational) 등각 장론이다.^[21]^[36]^[43] 이들은 유한 개의 1차장들을 가지며, '''등각 붓스트랩'''을 통해 완전히 풀 수 있다. 이들의 중심 원소는 다음과 같은 꼴이다.

:

c=1-\frac{6(m-n)^2}{mn}

(

m,n

은 서로소인 양의 정수)

임계점 근처에서의 이징 모형과 3상태 포츠 모형은 최소 모형의 특수한 경우다.

베스-추미노-위튼 모형: 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론이다. 이들은 3차원 위상 양자장론의 하나인 천-사이먼스 이론과 관련있다.
리우빌 장론: 2차원 무리(irrational) 등각 장론이며, 하나의 딜라톤을 포함하는 2차원 양자 중력을 나타낸다. 행렬 이론과 관계있다.
끈 이론: 기본 끈 위에 존재하는 세계면 이론은 2차원 (초)등각 장론이다.

3차원
ABJM 이론: M2-막 위에 존재하는 이론으로 여겨지는 3차원 초등각 장론이다.

4차원
4차원 $\mathcal N=4$ 초대칭 양-밀스 이론: 초등각 장론이다. 이는 IIB종 초끈 이론에서 D3-막의 세계부피 이론이며, SL(2,ℤ) S-이중성을 가진다. 이는 AdS/CFT 대응성의 원래 예이다.

6차원
6차원 (2,0) 초등각 장론: M5-막 위에 존재하는 세계면 이론이다.

'''일반화된 자유장'''은 상관 함수가 윅 정리에 의해 2점 함수에서 유도되는 장이다. 예를 들어,

\phi

가 차원

\Delta

의 스칼라 주 장(primary field)이라면, 그 4점 함수는 다음과 같다.^[15]

:

\left\langle \prod_{i=1}^4\phi(x_i) \right\rangle = \frac{1}{|x_{12}|^{2\Delta}|x_{34}|^{2\Delta}} + \frac{1}{|x_{13}|^{2\Delta}|x_{24}|^{2\Delta}} + \frac{1}{|x_{14}|^{2\Delta}|x_{23}|^{2\Delta}}.

예를 들어,

\phi_1,\phi_2

가

\langle \phi_1\phi_2\rangle=0

을 만족하는 두 개의 스칼라 주 장(특히

\Delta_1\neq\Delta_2

인 경우)인 경우, 다음과 같은 4점 함수를 갖는다.

:

\Big\langle \phi_1(x_1)\phi_1(x_2)\phi_2(x_3)\phi_2(x_4)\Big\rangle = \frac{1}

7. 응용

등각 장론은 끈 이론에서 중요하게 사용된다. 끈의 세계면은 2차원이므로, 그 세계면 위에서는 2차원 장론이 존재한다. 이론의 일관성을 위하여 이 장론은 2차원 등각 장론이어야 한다. 초끈 이론의 경우, 이론은 2차원 N=1 초등각 장론이 된다. 이 장론의 등각 변칙은 시공간의 차원을 보존 끈 이론에서는 26차원으로, 초대칭 끈 이론에서는 10차원으로 결정한다.

또한, 등각 장론은 통계역학에서 침투 현상 및 일반적인 임계 현상을 다루는 데 응용된다.^[37]^[38]^[39]^[40]

하워드 조자이는 실제 세계에서, 4차원 등각 장론을 따르는 입자들이 표준 모형 입자와 공존할 수 있다는 가능성을 제기하였다.^[41]^[42] 이 경우, 등각 장론을 따르는 장들은 통상적인 입자를 이루지 않으므로, 이러한 물질을 '''비입자'''(非粒子, unparticle|언파티클^영어)라고 부른다.

고전 통계 물리학 시스템의 연속 상전이(임계점)는 종종 ''D'' 공간 차원에서 유클리드 등각 장론으로 설명된다. 또한 ''D'' 공간 차원의 응집 물질 시스템에서 연속적인 양자 상전이는 로렌츠 ''D+1'' 차원 등각 장론으로 설명될 수 있다.

AdS/CFT 대응성에 따르면, 특정 조건 하에서 안티 드 시터 공간(AdS)의 중력 이론은 AdS 경계에 존재하는 등각 장론과 동등하다. 따라서 N=4 양-밀스 이론 등과 같은 등각 장론이 중요한 역할을 한다. 주목할 만한 예로는 AdS₅ × S⁵ 상의 IIB형 끈 이론과 쌍대인 ''d'' = 4, N = 4 초대칭 양-밀스 이론, 그리고 AdS₄ × S⁷ 상의 M-이론과 쌍대인 ''d'' = 3, ''N'' = 6 초천-사이먼스 이론이 있다.

8. 역사

등각 장론은 1984년 소련의 물리학자 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈(Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин^ru), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프가 처음으로 제시하였다.^[43]^[20] 이들은 특히 2차원 시공간에서의 등각 장론을 체계적으로 정립했는데, 이는 이들의 이름 앞글자를 따 BPZ 접근법으로도 알려져 있다.

다른 차원의 시공간과 달리, 2차원 등각 장론은 무한한 수의 생성자로 구성된 대칭성(비라소로 대수)을 가지는 독특한 특징이 있다. 이러한 강력한 대칭성 덕분에, 미니멀 모형과 같이 특정 조건을 만족하는 2차원 등각 장론들은 수학적으로 엄밀하게 해를 구할 수 있다. 이는 임계점 상의 2차원 이징 모형과 같은 통계물리 시스템이나 1+1차원 양자계를 이해하는 데 중요한 이론적 도구로 활용되고 있다.

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