비라소로 대수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

비라소로 대수는 생성자 L_n (n ∈ ℤ)와 중심 전하 c에 의해 생성되는 리 대수이다. 이 대수는 복소 비트 환의 중심 확장이자, 1차원 매끄러운 다양체인 원 위의 벡터장들의 리 대수와 관련된다. 끈 이론에서 에너지-운동량 텐서와 관련되어, 월드 시트의 미분 동형 사상 불변성으로부터 비라소로 제약이 유도된다. 비라소로 대수는 2차원 등각장론과 끈 이론 등 다양한 분야에 응용되며, 유니타리 표현, 특이 벡터, 카츠 행렬식과 같은 중요한 성질을 갖는다. 또한, W-대수, 아핀 리 대수 등으로 일반화될 수 있으며, 역사적으로 엘리 카르탕, 에른스트 비트, 이스라엘 겔판트, 드미트리 푹스, 미겔 앙헬 비라소로 등에 의해 연구되었다.

비라소로 대수

개요

이미지 준비중입니다.

"비라소로 대수의 L0 작용."

종류

분야	수학, 이론물리학
하위 분야	리 대수, 장론, 끈 이론

수학적 구조

기저장	Lₙ (n ∈ ℤ) 및 중심 원소 c
리 괄호	[Lₘ, Lₙ] = (m - n)Lₘ₊ₙ + δₘ₋ₙ,₀ (m³ - m)/12 c, [Lₘ, c] = 0

관련 항목	등각 장론 아핀 리 대수 보손 끈 이론 2차원 중력

참고 문헌	Martin Schottenloher, A mathematical introduction to conformal field theory: Based on a series of lectures given at the Mathematisches Institut der Universität Hamburg (2008)

2. 정의

비라소로 대수는 리 대수의 일종으로, 중심 전하 c와 정수 n에 대해 $L_n$ 으로 표현되는 생성원들로 구성된다. 이들은 다음의 교환 관계를 갖는다.

: $[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}, \quad [C,L_n]=0 \quad (\forall n, m)$

여기서 1/12는 관습적인 상수이다. 중심 원소 C는 중앙 전하라고 불린다.

비라소로 대수는 비트 대수의 중심 확장으로, 끈 이론에서 에너지-운동량 텐서와 관련이 깊다. 월드시트의 등각군 생성원을 포함하며, 비라소로 제약 조건을 통해 물리적 상태를 정의한다.

$L_{n>0}$ 는 소멸 모드, $L_{n<0}$ 는 생성 모드라고 불린다.

2.1. 대수적 구성

비라소로 대수( $\mathfrak{Vir}$ )는 $L_n$ ( $n\in\mathbb Z$ )과 $c$ 로 생성되는 복소수 리 대수이며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는다.

: $[\mathsf c,\mathsf L_n]=0$
: $[\mathsf L_m,\mathsf L_n]=(m-n)\mathsf L_{m+n}+\frac{\mathsf c}{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}$

중심 원소 $c$ 가 0인 대수를 비트 대수(Witt algebra^영어) $\mathfrak{Witt}$ 라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다.

이에 따라, 복소수 리 대수의 짧은 완전열
: $0 \to \mathbb C{\mathsf c} \to \mathfrak{Vir} \to \mathfrak{Witt} \to 0$
이 존재한다.

비라소로 대수는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. (이는 복소수 벡터 공간 위의 반선형(antilinear^영어) 사상이다.)
: $\mathrm i \mapsto -\mathrm i$
: $\mathsf L_n \mapsto - \mathsf L_{-n}$
: $\mathsf c \mapsto -\mathsf c$

이는 $\mathsf L_n$ 을 원 위의 벡터장
: $\mathsf L_n = -\mathrm i\exp(-\mathrm int)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$
으로 간주하여 유도한 것이다.

그렇다면, 이에 대한 고정점
: $\mathsf L_n - \mathsf L_{-n}$
: $\mathrm i(\mathsf L_n + \mathsf L_{-n})$
: $\mathrm i\mathsf c$
을 생각하자. 이는 실수 리 대수
: $\mathfrak{Vir}^{\mathbb R} \subsetneq \mathfrak{Vir}$
를 생성하며, 마찬가지로 실수 리 대수의 짧은 완전열
: $0 \to \mathrm i\mathbb R\mathsf c \to \mathfrak{Vir}^{\mathbb R} \to \mathfrak{Witt}^{\mathbb R} \to 0$
을 구성한다. 정의에 따라 자연스러운 포함 관계
: $\mathfrak{Witt}^{\mathbb R} \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)$
가 존재한다.

2.2. 원을 통한 리 대수의 구성

실수 리 대수로서, 비라소로 대수는 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. (이는 복소수 벡터 공간 위의 반선형(antilinear^영어) 사상이다.)
: $\mathsf L_n \mapsto - \mathsf L_{-n}$
: $\mathsf c \mapsto -\mathsf c$
이는 $\mathsf L_n$ 을 원 위의 벡터장
: $\mathsf L_n = -\mathrm i\exp(-\mathrm int)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$
으로 간주하여 유도한 것이다.

1차원 매끄러운 다양체인 원 $\mathbb S^1$ 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수
: $\mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)$
를 생각하자. 이는 실수 프레셰 공간이다. 그 속에는 푸리에 급수로 인하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
: $\mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \otimes_{\mathbb R} \mathbb C$
: $\mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)$
: $\mathsf z \mapsto \exp(\mathsf it)\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\qquad(t\in\mathbb R/(2\pi\mathbb Z))$

이는 다음과 같은 리 대수 코호몰로지 2차 공사슬을 갖는다.
: $\mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \times \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to \mathbb R$
: $\left(f(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt},g(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right) \mapsto \oint \frac{\mathrm df}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d^2g}{\mathrm dt^2}\,\mathrm dt= - \oint\frac{\mathrm df^2}{\mathrm dt^2}\frac{\mathrm dg}{\mathrm dt}\,\mathrm dt \qquad(f,g\in\mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\mathbb R))$
이를 겔판트-푹스 공사슬(Gelfand–Fuchs cocycle^영어)이라고 한다. 이에 대한 중심 확장
: $0\to \mathbb R\mathsf c \to \widehat{\mathfrak{Vir}} \to \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to 0$
을 생각할 수 있다. $\widehat{\mathfrak{Vir}}$ 역시 프레셰 공간이다.

$\widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes\mathbb C$ 속에서, $\mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]$ 과 $\mathbb C\mathsf c$ 로 생성되는 부분 리 대수를 비라소로 대수라고 한다.
: $\mathfrak{Vir} \subsetneq \widehat{\mathfrak{Vir}}$

2.3. 원을 통한 리 군의 구성

1차원 매끄러운 다양체인 원 $\mathbb S^1$ 의 자기 미분 동형 사상들의 군 $\operatorname{Diff}(\mathbb S^1)$ 은 두 개의 연결 성분을 가지는데, 원에 방향을 부여하면, 한 연결 성분은 방향을 보존하고, 다른 한 연결 성분은 방향을 뒤집는다. 항등 함수는 방향을 보존하는 연결 성분에 속한다. 이 연결 부분군을 $\operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1)$ 이라고 한다.

$\operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1)$ 의 실수 리 대수는 원 위의 벡터장들의 리 대수 $\mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)$ 이며, 실수 프레셰 공간이다.

프레셰 리 군 $\operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1)$ 은 특별한 1차원 중심 확대를 가지며, 기하학적으로 이는 리 군의 U(1) 주다발을 이룬다. 이는 다음과 같이 구성된다.

르베그 복소수 힐베르트 공간 $H = \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C) \cong \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C)$ 을 생각하자. 여기서 동형 사상은 푸리에 급수에 의한 것이다. 다음과 같은 부분 복소수 힐베르트 공간을 정의한다.

: $H^+ = \operatorname L^2(\mathbb N;\mathbb C) \subsetneq \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C)$
: $H^- = \operatorname L^2(\mathbb Z \setminus \mathbb N;\mathbb C) \subsetneq \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C)$
: $H = H^+ + H^- \cong H^+ \oplus H^--$

여기서 $\mathbb N=\{0,1,2,\dotsc,\}$ 은 자연수의 집합이다. 즉, $H^+$ 는 음이 아닌 운동량 성분을 갖는 파동 함수의 부분 공간이고, $H^-$ 는 음의 운동량만을 갖는 파동 함수의 부분 공간이다.

$\operatorname{Diff}(\mathbb S^1)$ 은 $H$ 위에 다음과 같은 유니터리 표현을 갖는다.

: $\rho \colon \operatorname{Diff}(\mathbb S^1) \to \operatorname U(H)$
: $|f'(\theta)|^{1/2}\langle f(\theta)|(\rho f)|\psi\rangle = \langle \theta|\psi\rangle\qquad(\theta\in\mathbb R/(2\pi\mathbb Z),\;\psi \in \mathcal C^1(\mathbb S^1,\mathbb C) \subsetneq H)$

다음과 같은 유니터리 작용소들의 부분 공간을 정의한다.

: $\operatorname{U_{res}}(H^+,H^-) = \left\{\begin{pmatrix}T_{++} & T_{+-} \\T_{-+} & T_{--}\end{pmatrix}\in \operatorname U(H^+ \oplus H^-) \colonT_{+-} \in \mathfrak S_2(H^-,H^+),\;T_{-+} \in \mathfrak S_2(H^+,H^-)\right\}$

여기서 $\mathfrak S_2(H^+,H^-)$ 는 $H^+ \to H^-$ 힐베르트-슈미트 작용소들의 공간이다.

$H$ 를 어떤 양자장론의 위상 공간으로 삼고, $H = H^+ \oplus H^-$ 를 그 심플렉틱 구조로 삼으면, 기하학적 양자화에 따라 다음과 같은 페르미온 포크 공간을 얻는다.

: $\mathcal H = \left(\bigwedge H^++ \otimes \bigwedge \bar H^- \right)^{\hat{}}$

여기서
* $(-)^{\hat{}}$ 은 내적 공간을 힐베르트 공간으로 만드는 완비화이다.
* $\bar H^-$ 는 $H^-$ 의 복소켤레 $a\bar v = \overline{\bar av}\qquad(v\in H^-)$ 이다.
* $\textstyle\bigwedge$ 는 외대수이다.

기하학적 양자화에 따라, 자연스럽게 유계 작용소로의 표현

: $\Phi \colon H \to \operatorname B(\mathcal H)$

가 존재한다. ( $\operatorname B(\mathcal H)$ 는 $\mathcal H\to\mathcal H$ 유계 작용소의 공간이다.) $H$ 위의 유니터리 작용소 $U \in \operatorname U(H)$ 가 다음과 같이 $\mathcal H$ 위에 $\tilde U \in \operatorname U(\mathcal H)$ 로 표현될 수 있는지 확인한다.

: $\tilde U \Phi(v) = \Phi(Uv) \tilde U \qquad\forall f\in H$

위 조건을 만족시키는 $\tilde U$ 가 존재할 필요 충분 조건은 $U \in \operatorname{U_{res}}(H^+,H^-)$ 인 것이다. 이러한 $\tilde U$ 는 노름 1의 복소수 스칼라 곱셈을 무시하면 유일하다. 따라서, 다음과 같은 유니터리 연산자의 공간

: $\operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-) = \{\tilde U\in\operatorname U(\mathcal H)\colon \exists U\in\operatorname U(H)\forall f\in H\colon \tilde U \Phi(v) = \Phi(Uv) \tilde U\}$

을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열

: $1 \to \operatorname U(1) \to \operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-) \to \operatorname U(H^+,H^-) \to 1$

을 이룬다.

단사 군 준동형

: $\operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1) \hookrightarrow \operatorname{U_{res}}(H^+,H^-)$

을 통해 $\operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-)$ 속에 부분군

: $\operatorname{\widetilde {Diff}}(\mathbb S^1) \subsetneq\operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-)$

을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열

: $1 \to \operatorname U(1) \to \operatorname{\widetilde{Diff}}^+(\mathbb S^1) \to \operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1) \to 1$

을 이룬다. 이 짧은 완전열의 모든 항들은 프레셰 다양체이다.

이에 대한 실수 리 대수의 짧은 완전열을 취할 수 있다.

: $0 \to \mathbb R\mathsf c \to \widehat{\mathfrak{Vir}} \to \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to 0$

이 짧은 완전열의 각 항은 프레셰 공간이다.

복소수 리 대수 $\widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes \mathbb C$ 속에 다음과 같은 부분 집합

: $\{\mathsf c \} \cup\left\{\exp(\mathrm int)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\colon n\in\mathbb Z\right\}$

으로 생성되는 (대수적) 부분 리 대수

: $\mathfrak{Vir} \subsetneq \widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes \mathbb C$

를 비라소로 대수라고 한다. $\widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes \mathbb C$ 는 비라소로 대수의 (프레셰 공간으로의) 완비화이며, $\operatorname{\widetilde{Diff}}^+(\mathbb S^1)$ 는 그 실수 형태에 대응되는 프레셰 리 군이다.

3. 성질

비라소로 대수는 다양한 수학적, 물리적 성질을 갖는다.

비라소로 대수의 실수 형태 $\mathfrak{Vir}^{\mathbb R}$ 의 실수 프레셰 공간으로의 완비화는 프레셰 리 군의 리 대수이다. 그러나 이 리 군은 복소화될 수 없으며, 복소수 비트 대수와 복소수 비라소로 대수는 복소수 리 군의 리 대수가 될 수 없다.

비트 대수의 지수 사상
: $\exp \colon \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to \operatorname{Diff}(\mathbb S^1)$
은 존재하지만, 프레셰 다양체 $\operatorname{Diff}(\mathbb S^1)$ 에서 항등 함수의 임의의 근방에서, $\exp$ 의 치역에 포함되지 않는 원소가 존재한다.

3.1. 유니터리 표현

비라소로 대수의 복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 표현 $\rho \colon \mathfrak{Vir} \to \operatorname B(H)$ 에서, 다음 조건이 성립하면 이를 비라소로 대수의 유니터리 표현이라고 한다.

: $\rho(\mathsf L_n)^\dagger = \rho(\mathsf L_{-n})$

비라소로 대수의 유니터리 표현은 모두 기약 표현들의 직합으로 분해된다.

비라소로 대수의 아벨 부분 리 대수 $\operatorname{Span}_{\mathbb C}\{\mathsf L_0,\mathsf c\} \subsetneq \mathfrak{Vir}$ 를 생각할 때, 각 기약 표현 $\rho$ 에서 다음이 성립한다.

: $\rho(\mathsf c) \in [0,\infty) \operatorname{id}_H$
: $\rho(\mathsf L_0) \in [0,\infty) \operatorname{id}_H$

주어진 두 실수 $(c,h) = (\rho(\mathsf c),\rho(\mathsf L_0))$ 에 대응되는 기약 유니터리 표현은 (동형 아래) 유일하며, 베르마 가군의 몫으로 구성될 수 있다.

비라소로 대수의 기약 유니터리 표현 목록은 다음과 같다.

* $c\ge1$ 인 경우, 모든 $h\ge0$ 에 대한 표현 $(c,h)$ 가 존재한다.
* $0\le c<1$ 인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.
* $c=1-\frac6{m(m+1)}$
* $h=h(c;p,q)=\frac{((m+1)p-mq)^2-1}{4m(m+1)}$
* $m=2,3,4,\dots$
* $p=1,2,\dots,m-1$
* $q=1,2,\dots,p$

$0\le c<1$ 의 경우는 2차원 등각 장론의 일종인 최소 모형의 구성에 등장한다. 함수 $h(c;p,q)$ 는 다음과 같은 대칭을 가진다.

: $h(c;p,q) = h(c;m-p,m+1-q)$

특히, $p = q = 1$ 인 경우 $h = 0$ 이며, 이는 2차원 등각 장론의 진공 또는 대칭류(current^영어)에 해당한다. $m-1 = p = q = 1$ 인 경우는 $(c,h) = (0,0)$ 이며, 이는 1차원 자명한 표현에 해당한다.

비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 $(c,h)=(0,0)$ 을 제외하면 무한 차원 표현이다.

표현이 그 에르미트 형식이 양의 정부호일 때 유니터리라고 불린다. 모든 특이 벡터는 영 노름을 가지므로, 모든 유니터리 최고 가중치 표현은 기약 표현이다. 기약 최고 가중치 표현은 다음의 경우에만 유니터리하다.

* $c\geq 1$ 이고 $h\geq 0$ 이거나,
* $c \in \left\{1 - \frac{6}{m(m + 1)}\right\}_{m=2,3,4,\ldots}=\left\{ 0, \frac12, \frac{7}{10}, \frac45, \frac67, \frac{25}{28}, \ldots\right\}$ 이고 $h\in \left\{h_{r,s}(c)=\frac{\big((m + 1) r - ms\big)^2 - 1}{4m(m + 1)}\right\}_{\begin{array}{l} r=1,2,...,m-1 \\ s=1,2,...,m\end{array}}$

다니엘 프리단, 종간 치우, 그리고 스티븐 쉔커는 이 조건들이 필요하다는 것을 보였고, 피터 고다드, 에이드리언 켄트, 그리고 데이비드 올리브는 코셋 구성 또는 GKO 구성 (비라소로 대수의 유니터리 표현을 아핀 Kac–Moody 대수의 유니터리 표현의 텐서 곱 내에서 식별)을 사용하여 이 조건들이 충분하다는 것을 보였다.

실수 고유값 $h$ , $c$ 를 갖는 기약 최고 웨이트 표현이 유니터리가 되기 위한 조건은 다음과 같다.

* $c\geq 1$ 이고 $h \geq 0$ 인 경우, 또는
* $h=h_{r,s}$ 에 추가로 제한을 가해 $c$ 가
: $c = 1-{6\over m(m+1)} = 0,\quad 1/2,\quad 7/10,\quad 4/5,\quad 6/7,\quad 25/28, \ldots$
(m = 2, 3, 4, ...) 중 하나이고, h가
: $h = h_{r,s}(c) = {((m+1)r-ms)^2-1 \over 4m(m+1)}$
(r = 1, 2, 3, ..., m−1; s= 1, 2, 3, ..., r) 중 하나인 경우이다.

이 때 q=m, p=m+1에 대응된다.

c < 1을 갖는 유니터리 기약 최고 웨이트 표현은 비라소로 대수의 이산 계열 표현으로 통칭된다.

이산 계열 표현의 처음 몇 개는 다음과 같다.

* m = 2: c = 0, h = 0. (자명 표현)
* m = 3: c = 1/2, h = 0, 1/16, 1/2. (이징 모형과 관련된 3가지 표현)
* m = 4: c = 7/10. h = 0, 3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2. (삼중 임계 이징 모형과 관련된 6가지 표현)
* m = 5: c = 4/5. (3-상태 포츠 모형과 관련된 10가지 표현)
* m = 6: c = 6/7. (삼중 임계 3-상태 포츠 모형과 관련된 15가지 표현)

3.2. 복소수 비라소로 군의 부재

비라소로 대수의 실수 형태 $\mathfrak{Vir}^{\mathbb R}$ 의 실수 프레셰 공간으로의 완비화는 어떤 프레셰 리 군의 리 대수이다. 그러나 이 리 군은 복소화될 수 없으며, 복소수 비트 대수와 복소수 비라소로 대수는 복소수 리 군의 리 대수가 될 수 없다.

3.3. 리 지수 사상의 비(非)전사성

비트 대수의 지수 사상
: $\exp \colon \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to \operatorname{Diff}(\mathbb S^1)$
은 존재하지만, 프레셰 다양체 $\operatorname{Diff}(\mathbb S^1)$ 에서 항등 함수의 임의의 근방에서, $\exp$ 의 치역에 포함되지 않는 원소가 존재한다.

4. 표현론

비라소로 대수의 임의의 기약 표현에서, 중심 생성자 $c$ 는 표현의 중심 전하라고도 하며 상수값 $c$ 로 표기한다.

벡터 $v$ 가 $L_0$ 의 고유 벡터이고 고유값이 $h$ 일 경우, 컨포멀 차원(또는 컨포멀 가중치) $h$ 를 갖는다고 한다.
: $L_0 v = hv$

$L_0$ 의 고유 벡터 $v$ 가 $L_{n>0} v = 0$ 을 만족하면 (차원 $h$ 의) 프라이머리 상태라고 한다. 비라소로 대수의 최고 웨이트 표현은 기본 상태 $v$ 에 의해 생성되는 표현이다.

가장 높은 무게 표현은 $L_0$ 고유 상태 $\{Lv\}_{L\in\mathcal{L}}$ 에 의해 펼쳐지며, $Lv$ 의 등각 차원은 $h+|L|$ 이다. 여기서 $|L|\in\mathbb{N}$ 은 $Lv$ 의 레벨이다. 레벨이 0이 아닌 모든 상태는 $v$ 의 후손 상태라고 한다.

임의의 $h,c\in\mathbb{C}$ 에 대해, 중심 전하 $c$ 와 등각 차원 $h$ 의 베르마 가군 $\mathcal V_{c,h}$ 은 차원이 $h$ 인 기본 상태 $v$ 에 대해 $\{Lv\}_{L\in\mathcal{L}}$ 를 기저로 하는 표현이다. 베르마 가군은 가능한 가장 큰 가장 높은 무게 표현이며, 분해 불가능하고 일반적인 $h,c\in\mathbb{C}$ 값에 대해서는 기약이다. 기약적이지 않은 경우, 베르마 가군의 몫인 퇴화 표현이 존재한다. $h,c\in\mathbb{C}$ 의 값을 갖는 고유한 기약 가장 높은 무게 표현은 베르마 가군을 최대 부분 가군으로 나눈 몫이다.

베르마 가군은 특이 벡터가 없는 경우에만 기약적이다. 비라소로 대수의 표현 $\mathcal{R}$ 의 지표(character)는 다음과 같다.
: $\chi_\mathcal{R}(q) = \operatorname{Tr}_{\mathcal{R}} q^{L_0-\frac{c}{24}}.$
베르마 가군 $\mathcal{V}_{c,h}$ 의 지표는 다음과 같다.
: $\chi_{\mathcal{V}_{c,h}}(q) = \frac{q^{h-\frac{c}{24}}}{\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)} = \frac{q^{h-\frac{c-1}{24}}}{\eta(q)}=q^{h-\frac{c}{24}}\left(1+q+2q^2+3q^3+5q^4+\cdots\right),$
여기서 $\eta$ 는 데데킨트 에타 함수이다.

$c\in\mathbb{C}$ 와 $r,s\in \mathbb{N}^*$ 에 대해, 베르마 가군 $\mathcal{V}_{c,h_{r,s}}$ 는 레벨 $rs$ 에서 특이 벡터의 존재로 인해 가약적이다. 이 특이 벡터는 부분 가군을 생성하며, 이는 베르마 가군 $\mathcal{V}_{c,h_{r,s}+rs}$ 와 동형이다. $\mathcal{V}_{c,h_{r,s}}$ 가 다른 특이 벡터를 갖지 않으면 이 부분 가군으로 나눈 몫은 기약적이며, 그 지표는 다음과 같다.
: $\chi_{\mathcal{V}_{c,h_{r,s}}/\mathcal{V}_{c,h_{r,s}+rs}}= \chi_{\mathcal{V}_{c,h_{r,s}}} -\chi_{\mathcal{V}_{c,h_{r,s}+rs}} = (1-q^{rs}) \chi_{\mathcal{V}_{c,h_{r,s}}}.$

$c=c_{p,p'}$ , $2\leq p이고 p,p' 는 서로 소이며, 1\leq r \leq p-1 및 1\leq s\leq p'-1 인 경우, 베르마 가군 \mathcal{V}_{c,h_{r,s}} 는 무한히 많은 특이 벡터를 가지므로, 무한히 많은 부분 가군을 갖는 가약적이다. 이 Verma module은 가장 큰 비자명 부분 가군으로 나눈 기약적인 몫을 갖는다. (최소 모형의 스펙트럼은 이러한 기약 표현으로 구성된다.) 기약 몫의 지표는 다음과 같다.$
: $\begin{align} &\chi_{\mathcal{V}_{c,h_{r,s}}/(\mathcal{V}_{c,h_{r,s}+rs}+\mathcal{V}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)}) }\\&= \sum_{k\in\mathbb{Z}} \left(\chi_{\mathcal{V}_{c,\frac{1}{4pp'}\left((p'r-ps+2kpp')^2-(p-p')^2\right)}}-\chi_{\mathcal{V}_{c,\frac{1}{4pp'}\left((p'r+ps+2kpp')^2-(p-p')^2\right)}}\right).\end{align}$
이 표현은 무한 합인데, 그 이유는 부분 가군 $\mathcal{V}_{c,h_{r,s}+rs}$ 와 $\mathcal{V}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)}$ 가 비자명한 교집합을 가지며, 이는 자체적으로 복잡한 부분 가군이기 때문이다.

4.1. 최고 웨이트 표현

비라소로 대수의 최고 웨이트 표현(highest weight representation)은 다음 조건을 만족하는 벡터 $v_h$ 에 의해 생성되는 벡터 공간이다.

: $L_0 v_h=h v_h, \quad L_n v_h=0 \quad (n \geq 1)$
: $C v_h=c v_h$ ( $h, c \in \mathbb{C}$ )

이때 $L_0$ 의 고유값인 복소수 $h$ 를 최고 웨이트, 벡터 $v_h$ 를 최고 웨이트 $h$ 의 최고 웨이트 벡터라고 한다. $v_h$ 에 의해 생성되는 표현 공간 $V$ 자체를 최고 웨이트 표현이라고 부르기도 한다. 표현의 기호 $\rho$ 는 생략하고, $\rho (L_n) v$ 를 $L_n v$ 로 표기하기도 한다. 비라소로 대수의 원소 $C$ 와 고유값 $c$ 에 같은 문자를 쓰기도 한다.

최고 웨이트 표현은 다음 형태의 벡터들의 선형 결합으로 생성된다.
: $L_{-n_1} L_{-n_2} \cdots L_{-n_l} v_h \quad (n_1 \geq n_2 \geq \cdots \geq n_l >0)$

이 벡터들이 모두 선형 독립일 때, 그 최고 웨이트 표현을 베르마 가군(Verma module)이라고 부른다. 이 벡터들은 모두 $L_0$ 의 고유 벡터이며, 고유값은 $h+\sum_{i=1}^l n_i$ 이다. 최고 웨이트 $h$ 의 베르마 가군은 $L_0$ 의 고유 공간에 의해 분해되고, 고유값 $h+n$ ( $n \in \mathbb{N}$ )의 고유 공간 차원은 $n$ 의 분할수 $p(n)$ 이다. 이때의 $n$ 을 그 고유 공간의 레벨이라고 한다.

최고 웨이트 벡터 $v_h$ 에 의해 생성되는 최고 웨이트 표현 $V_h$ 에는 다음 조건으로 정해지는 불변 내적 $(\cdot, \cdot):V_h \otimes V_h \rightarrow \mathbb{C}$ 이 정의된다.
: $(L_n w_1, w_2)=(w_1, L_{-n} w_2) , \quad (v_h, v_h)=1, \qquad w_1, w_2 \in V_h.$

최고 웨이트 표현의 두 벡터는 레벨이 다르면 불변 내적에 대해 직교한다. 어떤 복소수 쌍 ( $h$ , $c$ )에 대해서도 기약 최고 웨이트 표현은 유일하게 존재한다.

4.2. 카츠 행렬

비라소로 대수의 표현에서, 주어진 레벨 $N$ 에서 샤포발로프 형식의 행렬식은 카츠 행렬식 공식으로 주어진다. 카츠 행렬은 정수 *N*의 정수 분할 $(n_1, n_2, \ldots)$ 과 $(n'_1, n'_2, \ldots)$ 에 대하여, 내적
: $(L_{-n'_1} L_{-n'_2} \cdots v_h, L_{-n_1} L_{-n_2} \cdots v_h)$
를 성분으로 갖는 $p(n) \times p(n)$ 행렬이며, 그 행렬식을 카츠 행렬식이라고 한다.

카츠 행렬식 $\mathrm{det}_n$ 에 대한 공식은 다음과 같다.
: $\mathrm{det}_N=A_N\prod_{1\le r,s\le N}(h-h_{r,s}(c))^{p(N-rs)}.$
여기서 $p(N)$ 은 분할 함수이고, $A_N$ 는 $h$ 또는 $c$ 에 의존하지 않는 양의 상수이다. $h_{r,s}(c)$ 는 다음과 같이 정의된다.
비라소로 대수의 중심 c를
: $c = 1 - 6 {(p-q)^2 \over pq}$
로 매개변수화하고, 정수 r, s에 대하여
: $h_{r,s}(c) = {{(pr-qs)^2-(p-q)^2} \over 4pq}$
로 둔다.

이 공식은 Kac(1978)에 의해 주장되었으며 (Kac & Raina(1987) 참조), Feigin & Fuks(1984)에서 처음 증명되었다.

4.3. 특이 벡터

비라소로 대수의 최고 무게 표현에서, 특이 벡터(singular vector)는 후손 상태이면서 동시에 기본 상태인 벡터를 의미한다. 즉, $L_n \chi = 0$ ( $n \geq 1$ )을 만족하는 벡터 $\chi \neq v_h$ 를 말한다.

최고 무게가 $h=h_{r,s}$ 일 때, 베르마 모듈은 레벨 rs에 특이 벡터를 갖는다. 여기서 $h_{r,s}(c)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $h_{r,s}(c) = \frac14\Big( (\beta r - \beta^{-1}s)^2-(\beta-\beta^{-1})^2\Big)\ ,\quad \text{where} \quad c=1-6(\beta-\beta^{-1})^2\ .$

그리고 $r,s\in\mathbb{N}^*$ (양의 정수)이다. 이때 특이 벡터는 레벨 $rs$ 와 등각 차원 $h_{r,s}+rs = h_{r,-s}$ 를 갖는다.

$rs\leq 4$ 인 경우, $h_{r,s}(c)$ 값과 해당 특이 벡터는 다음 표와 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

r, s	$h_{r,s}$	$L_{r,s}$
1, 1	0	$L_{-1}$
2, 1	$-\frac12 +\frac{3}{4} \beta^2$	$L_{-1}^2 -\beta^2 L_{-2}$
1, 2	$-\frac12 + \frac{3}{4}\beta^{-2}$	$L_{-1}^2 -\beta^{-2} L_{-2}$
3, 1	$-1 +2 \beta^2$	$L_{-1}^3 -4\beta^2 L_{-1}L_{-2}+2\beta^2(\beta^2+1)L_{-3}$
1, 3	$-1 +2 \beta^{-2}$	$L_{-1}^3 -4\beta^{-2} L_{-1}L_{-2}+2\beta^{-2}(\beta^{-2}+1)L_{-3}$
4, 1	$-\frac32 +\frac{15}{4} \beta^2$
2, 2	$\frac34\left(\beta-\beta^{-1}\right)^2$
1, 4	$-\frac32 +\frac{15}{4} \beta^{-2}$

\beta^2\notin\mathbb{Q}

(유리수가 아님)인 경우,

\mathcal V_{c,h}

는

N=rs

이고

h=h_{r,s}(c)

인 레벨

N

에서 특이 벡터를 갖는다.

\beta^2\in\mathbb{Q}

인 경우,

h=h_{r,s}(c)

이고

h+rs = h_{r',s'}(c)

인 조건을 만족하는 레벨

N= rs + r's'

에서 특이 벡터가 존재할 수 있는데, 이 특이 벡터는 레벨

rs

에 있는 다른 특이 벡터의 후손이다.

특이 벡터의 존재는 표현의 기약성을 판정하는 데 사용된다. 특이 벡터가 존재하면, 그 특이 벡터를 최고 무게 벡터로 하는 부분 가군이 존재하기 때문이다. 따라서 원래 표현이 기약 표현인지 아닌지를 판별할 수 있다.

또한, 특이 벡터는 비라소로 대수를 자유장 표시함으로써 직사각형 영 도형에 대응하는 Jack polynomials^영어과 일치하는 것으로 알려져 있다.

4.4. 유니타리 표현

비라소로 대수의 복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 표현 $\rho \colon \mathfrak{Vir} \to \operatorname B(H)$ 가운데, 다음 조건이 성립하면 이를 비라소로 대수의 유니타리 표현이라고 한다.

: $\rho(\mathsf L_n)^\dagger = \rho(\mathsf L_{-n})$

비라소로 대수의 유니터리 표현은 모두 기약 표현들의 직합으로 분해된다.

비라소로 대수의 아벨 부분 리 대수 $\operatorname{Span}_{\mathbb C}\{\mathsf L_0,\mathsf c\} \subsetneq \mathfrak{Vir}$ 를 생각했을 때, 각 기약 표현 $\rho$ 에서 다음이 성립한다.

: $\rho(\mathsf c) \in [0,\infty) \operatorname{id}_H$
: $\rho(\mathsf L_0) \in [0,\infty) \operatorname{id}_H$

주어진 두 실수 $(c,h) = (\rho(\mathsf c),\rho(\mathsf L_0))$ 에 대응되는 기약 유니터리 표현은 (동형 아래) 유일하며, 베르마 가군의 몫으로 구성될 수 있다.

비라소로 대수의 기약 유니터리 표현들의 목록은 다음과 같다.

* $c\ge1$ 인 경우, 모든 $h\ge0$ 에 대한 표현 $(c,h)$ 가 존재한다.
* $0\le c<1$ 인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.
* $c=1-\frac6{m(m+1)}$
* $h=h(c;p,q)=\frac{((m+1)p-mq)^2-1}{4m(m+1)}$
* $m=2,3,4,\dots$
* $p=1,2,\dots,m-1$
* $q=1,2,\dots,p$

$0\le c<1$ 의 경우는 2차원 등각 장론의 일종인 최소 모형의 구성에 등장한다. 함수 $h(c;p,q)$ 는 다음과 같은 대칭을 가진다.

: $h(c;p,q) = h(c;m-p,m+1-q)$

특히, $p = q = 1$ 인 경우 $h = 0$ 이며, 이는 2차원 등각 장론의 진공 또는 대칭류(current^영어)에 해당한다. $m-1 = p = q = 1$ 인 경우는 $(c,h) = (0,0)$ 이며, 이는 1차원 자명한 표현에 해당한다.

비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 $(c,h)=(0,0)$ 을 제외하면 무한 차원 표현이다.

표현이 그 에르미트 형식이 양의 정부호일 때 유니타리라고 불린다. 모든 특이 벡터는 영 노름을 가지므로, 모든 유니타리 최고 가중치 표현은 기약 표현이다.

실수 고유값 $h$ , $c$ 를 갖는 기약 최고 웨이트 표현이 유니타리가 되기 위한 조건은 다음과 같다.

* $c\geq 1$ 이고 $h \geq 0$ 인 경우, 또는
* $c$ 가
: $c = 1-{6\over m(m+1)} = 0,\quad 1/2,\quad 7/10,\quad 4/5,\quad 6/7,\quad 25/28, \ldots$
(m = 2, 3, 4, ...) 중 하나이고, h가
: $h = h_{r,s}(c) = {((m+1)r-ms)^2-1 \over 4m(m+1)}$
(r = 1, 2, 3, ..., m−1; s= 1, 2, 3, ..., r) 중 하나인 경우이다.

이 때 q=m, p=m+1에 대응된다.

다니엘 프리단, 종간 치우(Zongan Qiu), 그리고 스티븐 쉔커는 이 조건들이 필요하다는 것을 보였고,, 피터 고다드, 에이드리언 켄트, 그리고 데이비드 올리브는 코셋 구성 또는 GKO 구성(비라소로 대수의 유니타리 표현을 아핀 Kac–Moody 대수의 유니타리 표현의 텐서 곱 내에서 식별)을 사용하여 이 조건들이 충분하다는 것을 보였다.

c < 1을 갖는 유니타리 기약 최고 웨이트 표현은 비라소로 대수의 이산 계열 표현으로 통칭된다.

이산 계열 표현의 처음 몇 개는 다음과 같다.

* m = 2: c = 0, h = 0. (자명 표현)
* m = 3: c = 1/2, h = 0, 1/16, 1/2. (이징 모형과 관련된 3가지 표현)
* m = 4: c = 7/10. h = 0, 3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2. (삼중 임계 이징 모형과 관련된 6가지 표현)
* m = 5: c = 4/5. (3-상태 포츠 모형과 관련된 10가지 표현)
* m = 6: c = 6/7. (삼중 임계 3-상태 포츠 모형과 관련된 15가지 표현)

4.5. 자유장 표시

하이젠베르크 대수를 이용하여 비라소로 대수의 생성원을 표시할 수 있다. 하이젠베르크 대수의 생성원 $a_n$ 은 다음 교환 관계를 만족한다.

: $[a_n,a_m]=n \delta_{n+m,0}$

이때 비라소로 대수의 생성원은 다음과 같이 표시할 수 있다.

: $L_n = \frac{1}{2} \sum_{k \in \mathbb{Z}} :a_{n-k} a_k: -\alpha (n+1) a_n$

여기서 $:\quad:$ 는 정규 순서화 기호이며, 비라소로 대수의 중심은 $c=1-12\alpha^2$ 로 매개변수화했다.

5. 응용

비라소로 대수는 여러 분야에서 응용된다.

끈 이론에서 월드 시트의 응력 텐서는 컨포멀 군 생성자로 구성된 (두 개의 복사본) 비라소로 대수의 교환 관계를 따른다. 이는 컨포멀 군이 전방 및 후방 광원의 별개의 미분 동형 사상으로 분해되기 때문이다. 월드 시트의 미분 동형 사상 불변성은 응력 텐서가 사라진다는 것을 의미한다. 이를 비라소로 제약이라 하며, 양자역학에서 이론의 모든 상태가 아닌 물리적 상태에만 적용된다(굽타-블로일러 형식론과 비교).

5.1. 등각 장론

2차원에서 국소 등각 변환의 대수는 비트 대수의 두 사본으로 구성된다. 따라서 2차원 등각장론의 대칭 대수는 비라소로 대수이다. 기술적으로, 2차원 CFT에 대한 등각 부트스트랩 접근 방식은 비라소로 대수의 표현의 문자들을 포함하고 일반화하는 특수 함수인 비라소로 등각 블록에 의존한다.

5.2. 끈 이론

끈 이론에서 응력 텐서는 월드 시트의 컨포멀 군 생성자로 구성된 (두 개의 복사본) 비라소로 대수의 교환 관계를 따른다. 이는 컨포멀 군이 전방 및 후방 광원의 별개의 미분 동형 사상으로 분해되기 때문이다. 월드 시트의 미분 동형 사상 불변성은 추가적으로 응력 텐서가 사라진다는 것을 의미한다. 이것은 비라소로 제약으로 알려져 있으며, 양자역학에서 이론의 모든 상태에 적용될 수 없고, 물리적 상태에만 적용될 수 있다(굽타-블로일러 형식론과 비교).

6. 일반화

비라소로 대수는 초대칭 확장을 가진다. 뇌뵈-슈바르츠 대수와 라몽 대수가 그 예시이며, 이들의 이론은 비라소로 대수의 이론과 매우 유사하다.

크리체버(Krichever)와 노비코프(Novikov) (1987)는 고정된 두 점을 제외하고 정칙인 유리형 벡터장 전체가 이루는 리 대수의 중심 확장을 더 높은 종수의 콤팩트 리만 면 위에서 발견했다. 슐리셴마이어(Schlichenmaier) (1993)는 이를 예외가 두 점보다 많은 경우로 확장했다.

6.1. 슈퍼 비라소로 대수

비라소로 대수의 초대칭 N = 1 확장에는 뇌뵈-슈바르츠 대수와 라몽 대수 두 가지가 있다. 이 두 대수의 이론은 비라소로 대수의 이론과 유사하며, 그라스만 수를 포함한다. N = 2 초등각 대수와 같이 더 많은 초대칭을 가진 확장도 존재한다.

6.2. W-대수

W-대수는 2차원 등각장론에서 중요한 역할을 하는, 비라소로 대수를 포함하는 결합 대수이다. W-대수 중에서, 비라소로 대수는 리 대수라는 특성을 갖는다.

비라소로 대수의 초대칭적 확장에는 Neveu-Schwarz algebra^영어와 Ramond algebra^영어라고 불리는 두 가지가 있다. 이 대수들의 이론은 비라소로 대수의 이론과 매우 유사하다.

6.3. 아핀 리 대수

비라소로 대수는 스가와라 구성을 통해 나타나는 것처럼, 모든 아핀 리 대수의 보편 포락 대수의 부분 대수이다. 이런 의미에서 아핀 리 대수는 비라소로 대수의 확장이다.

6.4. 리만 곡면 위의 유리형 벡터장

비라소로 대수는 종수 0인 리만 곡면 위에 두 개의 극점을 갖는 유리형 벡터장의 리 대수의 중심 확장이다.

6.5. 정점 대수와 등각 대수

비라소로 대수는 정점 대수 및 등각 대수 대응물을 가지며, 이는 기본적으로 모든 기저 요소를 생성 계열로 배열하고 단일 객체로 작업하는 데서 비롯된다.

7. 역사

엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수를 발견하였고, 에른스트 비트가 1930년대에 유한체 위에서 비트 대수를 연구하였다.

1968년 리처드 얼 블록(Richard Earl Block^영어)과 이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스(Дми́трий Бори́сович Фукс^러시아어)가 비트 대수의 중심 확장을 발견하였다.

미겔 앙헬 비라소로(1970)는 끈 이론의 쌍대 공명 모형을 연구하면서 비라소로 대수를 생성하는 몇몇 연산자(이후 비라소로 연산자로 불림)를 발견하였으나, 중심 확장은 발견하지 못했다. 이후 중심 확장은 와이스 (J. H. Weis^영어)에 의해 발견되었다.

7.1. 초기 발견

엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수를 발견하였고, 에른스트 비트가 1930년대에 유한체 위에서 비트 대수를 연구하였다. 비트 대수의 중심 확장은 1968년 리처드 얼 블록(Richard Earl Block^영어)과 이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스(Дми́трий Бори́сович Фукс^러시아어)가 발견하였다.

7.2. 중심 확장 발견

리처드 얼 블록(Richard Earl Block^영어)과 이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스(1968)가 비트 대수의 중심 확장을 발견하였다. 이는 리처드 얼 블록이 1966년에 표수 p > 0인 경우에 대해 먼저 발견하였고, 이즈라일 겔판트와 드미트리 푹스가 1968년에 표수가 0인 경우에 대해 독립적으로 재발견하였다.

7.3. 끈 이론 도입

미겔 앙헬 비라소로는 1970년에 끈 이론의 쌍대 공명 모형을 연구하면서 비라소로 대수를 생성하는 몇몇 연산자(이후 비라소로 연산자로 불림)를 발견하였다. 그러나 비라소로는 중심 확장은 발견하지 못했다.