충격량

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1. 개요
2. 정의
3. 수학적 표현
- 3.1. 일정 질량 물체의 경우
- 3.2. 가변 질량
4. 충격량의 예시
5. 충격력
참조

1. 개요

충격량은 물체가 받는 힘과 작용 시간의 곱으로, 물체의 운동량 변화를 나타내는 물리량이다. 뉴턴의 운동 법칙에 따라 충격량은 물체에 가해진 힘을 시간에 대해 적분한 값과 같으며, 충돌이나 타격과 같은 상황에서 중요한 역할을 한다. 충격량은 일정 질량 물체의 경우 힘과 시간의 곱으로, 가변 질량 물체의 경우 로켓 추진 분석에 활용된다. 충격력은 충돌 시 발생하는 순간적인 힘을 의미하며, 망치로 못을 박는 예시와 같이 힘의 증대를 설명하는 데 사용된다.

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충격량
개요
정의	비교적 큰 힘을 짧은 시간 간격 동안 가한 것의 적분
단위	뉴턴초 (N⋅s)
다른 단위	kg⋅m/s (SI 기본 단위), lbf⋅s
기호	J, Imp
차원	wikidata 참조
보존량	예
유도	해당 사항 없음
수식
충격량	J
초기 운동량	p₁
나중 운동량	p₂
충격량 (운동량 변화)	J
시간 변화	Δt
설명

2. 정의

어떤 물체가 시각 $t_0$ 에 운동량 $\mathbf p_0$ , 시각 $t_1>t_0$ 에 운동량 $\mathbf p_1$ 을 가진다고 하자. 그렇다면 물체가 $t_0$ 부터 $t_1$ 까지 받은 '''충격량''' $\mathbf I$ 는 다음과 같다.

: $\mathbf I=\mathbf p_1-\mathbf p_0=\int_{t_0}^{t_1}\dot\mathbf p(t)\;dt$ .

뉴턴의 운동법칙에 따라, 물체의 운동량의 변화율은 물체에 가해진 총 힘과 같으므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\mathbf{I} = \int_{t_0}^{t_1} \mathbf{F}(t)\, dt$

여기서 $\mathbf F(t)$ 는 시각 $t$ 에 물체에 가해진 총 힘이다.

만약 힘이 시간에 일정하다면, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

: $\mathbf{I} = m \Delta \mathbf{v} = \mathbf{F} \cdot \Delta t$

힘의 정의를 이 식에 다시 대입하면, 다음 공식을 유도할 수 있다.

: $\mathbf{I} = \int \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, dt$

: $\mathbf{I} = \int d\mathbf{p}$

: $\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}$

시간

t_1

부터

t_2

까지 생성된 충격

\mathbf{J}

는 다음과 같이 정의된다.^[2]

\mathbf{J} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\, \mathrm{d}t,

여기서

\mathbf{F}

는

t_1

부터

t_2

까지 적용된 합력이다.

뉴턴의 제2법칙에 따르면, 힘은 운동량

\mathbf{p}

와 다음과 같은 관계를 가진다.

\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}.

따라서,

\begin{align}\mathbf{J} &= \int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}\, \mathrm{d}t \\&= \int_{\mathbf{p}_1}^{\mathbf{p}_2} \mathrm{d}\mathbf{p} \\&= \mathbf{p}_2 - \mathbf{p} _1= \Delta \mathbf{p}, \end{align}

여기서

\Delta\mathbf{p}

는 시간

t_1

부터

t_2

까지 선형 운동량의 변화량이다. 이것은 종종 충격량-운동량 정리^[3] (일-에너지 정리와 유사)라고 불린다.

결과적으로, 충격량은 합력이 가해진 물체의 운동량 변화로 간주될 수도 있다. 질량이 일정할 때 충격량은 더 간단한 형태로 표현될 수 있다.

\mathbf{J} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\, \mathrm{d}t =  \Delta\mathbf{p} = m \mathbf{v_2} - m \mathbf{v_1},

여기서

$\mathbf{F}$ 는 가해진 합력이고,
$t_1$ 과 $t_2$ 는 각각 충격이 시작하고 끝나는 시간이며,
$m$ 은 물체의 질량이고,
$\mathbf{v}_2$ 는 시간 간격의 끝에서 물체의 최종 속도이며,
$\mathbf{v}_1$ 는 시간 간격이 시작될 때 물체의 초기 속도이다.

충격량은 운동량과 동일한 단위와 차원

(MLT^{-1})

을 갖는다. 국제 단위계에서 이들은 kg⋅m/s = N⋅s이다. 영국 공학 단위에서는 slug⋅ft/s = lbf⋅s이다.

"충격량"이라는 용어는 또한 빠르게 작용하는 힘 또는 충돌을 지칭하는 데에도 사용된다. 이러한 유형의 충격량은 종종 시간이 변하지 않고 힘에 의해 생성된 운동량 변화가 발생하는 방식으로 *이상화*된다. 이러한 종류의 변화는 계단 변화이며 물리적으로 불가능하다. 그러나 이것은 이상적인 충돌(예: 비디오 게임 물리 엔진)의 효과를 계산하는 데 유용한 모델이다. 또한, 로켓 공학에서 "총 충격량"이라는 용어가 일반적으로 사용되며 "충격량"이라는 용어와 동의어로 간주된다.

3. 수학적 표현

물체에 힘이 가해지면 운동 상태가 변하는데, 이 변화는 물체에 작용하는 힘과 시간의 곱, 즉 충격량으로 나타낼 수 있다. 충격량은 힘이 일정할 경우 힘과 작용 시간의 곱으로, 힘이 변하는 경우에는 시간에 대한 적분으로 계산된다.

'충격량'은 빠르게 작용하는 힘이나 충돌을 가리키는 데에도 쓰인다. 이러한 충격량은 보통 시간이 변하지 않고 힘에 의해 생성된 운동량 변화가 발생하는 것으로 이상화되는데, 이는 계단 변화로 물리적으로 불가능하다. 하지만 이상적인 충돌(예: 비디오 게임 물리 엔진)의 효과를 계산하는 데 유용한 모델이다. 로켓 공학에서는 '총 충격량'이라는 용어가 '충격량'과 같은 의미로 사용된다.

3. 1. 일정 질량 물체의 경우

어떤 물체가 시각 $t_0$에 운동량 $\mathbf{p}_0$를 가지고, 시각 $t_1$ ($t_1 > t_0$)에 운동량 $\mathbf{p}_1$을 가진다고 가정하자. 그러면 물체가 $t_0$부터 $t_1$까지 받은 '''충격량''' $\mathbf{I}$는 다음과 같이 표현된다.

:$\mathbf{I} = \mathbf{p}_1 - \mathbf{p}_0 = \int_{t_0}^{t_1} \dot{\mathbf{p}}(t) dt$

뉴턴의 운동법칙에 따르면, 물체의 운동량 변화율은 물체에 가해진 총 힘과 같다. 따라서 충격량은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\mathbf{I} = \int_{t_0}^{t_1} \mathbf{F}(t) dt$

여기서 $\mathbf{F}(t)$는 시각 $t$에 물체에 가해지는 총 힘을 의미한다.

만약 힘이 시간에 따라 일정하다면, 충격량은 다음과 같은 간단한 식으로 표현 가능하다.

:$\mathbf{I} = m \Delta \mathbf{v} = \mathbf{F} \cdot \Delta t$

힘의 정의를 이 식에 다시 대입하면, 다음과 같은 공식을 유도할 수 있다.

:$\mathbf{I} = \int \frac{d\mathbf{p}}{dt} dt$

:$\mathbf{I} = \int d\mathbf{p}$

:$\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}$

질량 $m$의 질점을 고려하면, 시각 $t_A$에서 $t_B$까지 ($t_A \to t_B$)를 거쳤을 때 해당 질점에 작용하는 힘과 운동량 변화의 관계는 다음과 같다.

:$\boldsymbol{I} = m \boldsymbol{v}_B - m \boldsymbol{v}_A = \int_{t_A}^{t_B} \boldsymbol{F} dt$

여기서, $\boldsymbol{I}$는 '''충격량''', $\boldsymbol{v}_A$는 시각 $t_A$에서의 질점의 속도, $\boldsymbol{v}_B$는 시각 $t_B$에서의 질점의 속도, $\boldsymbol{F}$는 질점에 작용하는 시각별 힘이다. 속도 $\boldsymbol{v}$에 해당하는 질점 $m$의 운동량은 $m\boldsymbol{v}$이다.

위 식은 운동 방정식

:$m \frac{d \boldsymbol{v}}{dt} = \frac{d (m \boldsymbol{v})}{dt} = \boldsymbol{F}$

의 좌우 양변을 시간($t_A$에서 $t_B$까지)에 대해 정적분한 것이다.

시간 $t_1$부터 $t_2$까지 생성된 충격 $\mathbf{J}$는 다음과 같이 정의된다.^[2]

:$\mathbf{J} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} dt$

여기서 $\mathbf{F}$는 $t_1$부터 $t_2$까지 적용된 합력이다.

뉴턴의 제2법칙에 따르면, 힘은 운동량 $\mathbf{p}$와 다음과 같은 관계를 가진다.

:$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}$

따라서,

:$\mathbf{J} = \int_{t_1}^{t_2} \frac{d\mathbf{p}}{dt} dt = \int_{\mathbf{p}_1}^{\mathbf{p}_2} d\mathbf{p} = \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1 = \Delta \mathbf{p}$

여기서 $\Delta \mathbf{p}$는 시간 $t_1$부터 $t_2$까지 선형 운동량의 변화량이다. 이것은 종종 충격량-운동량 정리^[3] (일-에너지 정리와 유사)라고 불린다.

결과적으로, 충격량은 합력이 가해진 물체의 운동량 변화로 간주될 수도 있다. 질량이 일정할 때 충격량은 더 간단한 형태로 표현될 수 있다.

:$\mathbf{J} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} dt = \Delta \mathbf{p} = m \mathbf{v_2} - m \mathbf{v_1}$

여기서

$\mathbf{F}$는 가해진 합력이고,
$t_1$과 $t_2$는 각각 충격이 시작하고 끝나는 시간이며,
$m$은 물체의 질량이고,
$\mathbf{v_2}$는 시간 간격의 끝에서 물체의 최종 속도이며,
$\mathbf{v_1}$는 시간 간격이 시작될 때 물체의 초기 속도이다.

충격량은 운동량과 동일한 단위와 차원 $(MLT^{-1})$을 갖는다. 국제 단위계에서 이들은 kg⋅m/s = N⋅s이다. 영국 공학 단위에서는 슬러그⋅ft/s = lbf⋅s이다.

3. 2. 가변 질량

가변 질량에 대한 뉴턴의 제2법칙을 적용하면 충격량과 운동량을 제트 또는 로켓 추진 차량의 분석 도구로 사용할 수 있다. 로켓의 경우, 가해지는 충격량은 소모된 추진제 단위로 정규화하여 성능 매개변수인 비추력을 만들 수 있다. 이 사실을 사용하여 차량의 추진 속도 변화와 엔진의 비추력(또는 노즐 배기 속도) 및 차량의 추진제 질량비를 관련시키는 치올코프스키 로켓 방정식을 유도할 수 있다.

4. 충격량의 예시

충격량은 충돌이나 타격을 다룰 때 중요하다. 망치로 못을 박을 때 경험하는 힘의 증가는 충격량으로 설명할 수 있다. 그 충돌이나 타격에서 발생하는 힘 '''''F'''''를 특히 '''충격력'''(impulsive force^영어)이라고 한다.

못을 박는 예시에서는, 중력에 의해 망치 머리 부분을 떨어뜨리는 시간을 길게 하고, 못에 닿는 시간을 짧게 함으로써, 못에 가해지는 힘이 중력보다 훨씬 증대된다. 이는 시간당 속도 변화의 정도와 힘의 크기가 대응한다는 것이기도 하다. 충격력을 이용하지 않고 못을 박기 위해서는, 엄청나게 큰 망치나 바이스 등의 기계가 필요하게 된다.

충격량에 의한 설명이 중요해지는 또 다른 예시는, 속도뿐만 아니라 질량이 변화하는 경우이다. 예를 들어 로켓 발사에서는, 연료 및 산화제가 소비될 뿐만 아니라, 여러 단의 엔진이 순차적으로 연소되어, 불필요하게 된 단(엔진 및 그것을 작동시키는 연료 탱크 등)이 순차적으로 버려진다. 이로 인해, 필요한 질량체에만 각 단의 추진력이 활용되어 필요한 속도를 얻을 수 있다.

오래된 공기역학에서의 질량 유량의 충격량은 벡터량으로 취급되지 않고, 와류와 같은 무효 파워가 무시되어 에너지 보존 법칙이 성립하지 않는 경우가 있으므로 주의해야 한다.

5. 충격력

망치로 못을 박을 때 경험하는 힘의 증대는 충격량으로 설명할 수 있다. 그 충돌이나 타격에서 발생하는 힘 F를 특히 충격력(impulsive force^영어)이라고 한다.^[1]

못을 박는 예에서는 중력에 의해 망치 머리 부분을 떨어뜨리는 시간을 길게 하고, 못에 닿는 시간을 짧게 함으로써, 못에 가해지는 힘이 중력보다 훨씬 증대된다.^[1] 이것은 시간당 속도 변화의 정도와 힘의 크기가 대응한다는 것이기도 하다.^[1] 충격력을 이용하지 않고 못을 박기 위해서는 엄청나게 큰 망치나 바이스 등의 기계가 필요하게 된다.^[1]

참조

_[1] 문서 Property Differences In Polymers: Happy/Sad Balls http://materialseduc[...]
_[2] 서적 Engineering Mechanics https://archive.org/[...] Pearson Prentice Hall
_[3] 서적 Serway

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