칸 확대

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1. 개요

칸 확장은 세 개의 범주와 두 개의 함자에서 시작하여, 주어진 함자를 따라 다른 함자를 확장하는 방법으로, 왼쪽 칸 확장과 오른쪽 칸 확장 두 가지가 있다. 칸 확장은 극한, 쌍대극한, 수반 함자와 밀접한 관련이 있으며, 범주론의 중요한 개념 중 하나이다. 다니엘 칸에 의해 도입되었으며, 손더스 매클레인은 칸 확대의 개념이 범주론의 다른 모든 근본적인 개념을 포함한다고 언급했다.

칸 확대

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대역적 칸 확대
  - 2.1.1. 왼쪽 칸 확대
  - 2.1.2. 오른쪽 칸 확대
- 2.2. 국소 칸 확대
3. 성질
4. 예
- 4.1. 극한과 쌍대극한
- 4.2. 수반 함자
5. 역사

2. 정의

세 개의 범주 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 와 두 개의 함자 $X : \mathbf{A} \to \mathbf{C}$ , $F : \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ 가 주어졌다고 하자. 칸 확대는 함자 $X$ 를 함자 $F$ 를 '따라' 확장하여 새로운 함자 $\mathbf{B} \to \mathbf{C}$ 를 구성하는 방법이다. 칸 확대에는 왼쪽 칸 확대와 오른쪽 칸 확대의 두 가지 종류가 있다.

오른쪽 칸 확장은 함자 $R: \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ 와 자연 변환 $\epsilon: RF \to X$ 로 구성되며, 이는 아래 다이어그램으로 표현될 수 있다.

이 쌍

(R, \epsilon)

은 특정 여보편성을 만족한다. 즉, 임의의 다른 함자

M: \mathbf{B} \to \mathbf{C}

와 자연 변환

\mu: MF \to X

에 대해, 이들을 관련시키는 유일한 자연 변환

\delta: M \to R

이 존재한다. 함자 R은 종종

\operatorname{Ran}_FX

로 표기된다.

왼쪽 칸 확대는 오른쪽 칸 확대의 쌍대 개념이다. 이는 함자

L: \mathbf{B} \to \mathbf{C}

와 자연 변환

\eta: X \to L F

로 구성되며, 아래 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

이 쌍

(L, \eta)

는 특정 보편성을 만족한다. 즉, 임의의 다른 함자

M: \mathbf{B} \to \mathbf{C}

와 자연 변환

\alpha: X \to M F

에 대해, 이들을 관련시키는 유일한 자연 변환

\sigma: L \to M

이 존재한다. 함자 L은 종종

\operatorname{Lan}_FX

로 표기된다.

모든 보편적 구성과 마찬가지로, 칸 확대는 존재한다면 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

2.1. 대역적 칸 확대

범주 $\mathcal C, \mathcal C', \mathcal D$ 와 함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal C'$ , $X\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 가 주어졌을 때, 칸 확대는 함자 $X$ 를 함자 $F$ 를 '따라' 확장하여 새로운 함자 $\mathcal C' \to \mathcal D$ 를 구성하는 방법이다. 이는 주어진 함자의 정보를 이용하여 그 정의역을 확장하는 일반적인 방법론을 제공한다.

칸 확대에는 왼쪽 칸 확대(left Kan extension^영어)와 오른쪽 칸 확대(right Kan extension^영어)의 두 가지 주요 유형이 있으며, 이 둘은 서로 쌍대적인 관계에 있다.

이러한 칸 확대는 수반 함자의 개념을 통해 정의될 수 있다. 함자 $F$ 는 함자 범주 사이에 합성을 통해 함자 $F^*\colon[\mathcal C',\mathcal D]\to[\mathcal C,\mathcal D]$ 를 유도한다. 왼쪽 칸 확대 $\operatorname{Lan}_FX$ 는 $F^*$ 의 왼쪽 수반 함자 $F_!$ 를 $X$ 에 적용한 결과( $F_!(X)$ )로 정의될 수 있으며, 오른쪽 칸 확대 $\operatorname{Ran}_FX$ 는 $F^*$ 의 오른쪽 수반 함자 $F_*$ 를 $X$ 에 적용한 결과( $F_*(X)$ )로 정의될 수 있다.

또한, 칸 확대는 보편적 성질을 이용하여 특징지을 수도 있다. 왼쪽 칸 확대는 특정 자연 변환과 함께 보편성을 만족하는 함자로 정의되며, 오른쪽 칸 확대는 특정 자연 변환과 함께 여보편성을 만족하는 함자로 정의된다. 이러한 보편적 성질 덕분에 칸 확대가 존재한다면, 이는 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

각각의 칸 확대에 대한 구체적인 정의, 존재 조건, 계산 방법 등은 아래의 하위 섹션에서 더 자세히 설명된다.

2.1.1. 왼쪽 칸 확대

범주 $\mathcal C$ , $\mathcal C'$ 및 함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal C'$ 가 주어졌다고 가정하자. $F$ 와의 합성은 임의의 범주 $\mathcal D$ 에 대하여 두 함자 범주 사이의 함자 $F^*\colon[\mathcal C',\mathcal D]\to[\mathcal C,\mathcal D]$ (여기서 $F^*(X) = X \circ F$ )를 정의한다. 만약 $F^*$ 가 왼쪽 수반 함자 $F_!\dashv F^*$ 를 갖는다면, 임의의 함자 $X\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 에 대하여 함자 $F_!(X)\colon\mathcal C'\to\mathcal D$ 를 $X$ 의 $F$ 에 대한 왼쪽 칸 확대(left Kan extension^영어)라고 한다. 왼쪽 칸 확대는 $\operatorname{Lan}_FX$ 로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 $Y\colon \mathcal C'\to\mathcal D$ 에 대하여 자연 동형
: $\hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(X,F^*Y)\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(\operatorname{Lan}_FX,Y)$
이 존재한다.

왼쪽 칸 확대는 보편적 성질을 사용하여 정의할 수도 있다. 세 개의 범주 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 와 두 개의 함자 $X : \mathbf{A} \to \mathbf{C}$ , $F : \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ 가 주어졌다고 하자. $X$ 를 $F$ 를 따라 확장하는 왼쪽 칸 확장은 함자 $L: \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ 와 자연 변환 $\eta: X \to L F$ 로 구성되며, 이는 다음 보편적 성질을 만족한다: 임의의 다른 함자 $M: \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ 와 자연 변환 $\alpha: X \to M F$ 에 대해, 아래 다이어그램을 가환하게 만드는 유일한 자연 변환 $\sigma: L \to M$ 이 존재한다.

--

여기서

\sigma_F

는

\mathbf{A}

의 모든 대상

a

에 대해

\sigma_F(a) = \sigma(Fa): LF(a) \to MF(a)

인 자연 변환이다. 함자 L은 종종

\operatorname{Lan}_FX

로 표기된다.

왼쪽 칸 확대는 오른쪽 칸 확대의 쌍대 개념이다. 이는 관련된 자연 변환들의 방향을 반대로 하여 얻을 수 있다. 모든 보편적 구성과 마찬가지로, 왼쪽 칸 확대가 존재한다면 그것은 고유한 동형 사상을 제외하고 유일하게 결정된다. 즉, 만약

L

과

M

이 모두

X

의

F

에 따른 왼쪽 칸 확장이고

\eta: X \to LF

\alpha: X \to MF

가 해당하는 자연 변환이라면,

\alpha = \sigma_F \circ \eta

를 만족하는 유일한 동형 사상

\sigma: L \to M

이 존재한다.

2.1.2. 오른쪽 칸 확대

범주 $\mathcal C$ , $\mathcal C'$ 및 함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal C'$ 가 주어졌다고 하자. $F$ 와의 합성은 임의의 범주 $\mathcal D$ 에 대하여 두 함자 범주 사이의 함자 $F^*\colon[\mathcal C',\mathcal D]\to[\mathcal C,\mathcal D]$ 를 정의하며, 이는 $F^*\colon X\mapsto X\circ F$ 로 주어진다.

만약 $F^*$ 가 오른쪽 수반 함자 $F_*$ 를 갖는다면 ( $F^*\dashv F_*$ ), 임의의 함자 $X\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 에 대하여 함자 $F_*(X)\colon\mathcal C'\to\mathcal D$ 를 $X$ 의 $F$ 에 대한 오른쪽 칸 확대(right Kan extension^영어)라고 한다. 오른쪽 칸 확대는 $\operatorname{Ran}_FX$ 로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 $Y\colon \mathcal C'\to\mathcal D$ 에 대하여 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.
: $\hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(F^*Y,X)\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(Y,\operatorname{Ran}_FX)$

오른쪽 칸 확대는 보편성을 사용하여 다음과 같이 정의할 수도 있다. 세 개의 범주 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 와 두 개의 함자 $X : \mathbf{A} \to \mathbf{C}, F : \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ 가 주어졌다고 하자.

$X$ 를 $F$ 를 따라 확장하는 오른쪽 칸 확장은 함자 $R: \mathbf{B} \to \mathbf{C}$ 와 자연 변환 $\epsilon: RF \to X$ 로 구성되며, 이는 다음 다이어그램으로 표현될 수 있다.

이 쌍

(R, \epsilon)

은 다음과 같은 보편성을 만족한다. 즉, 임의의 다른 함자

M: \mathbf{B} \to \mathbf{C}

와 자연 변환

\mu: MF \to X

에 대해, 아래 다이어그램을 가환하게 만드는 유일한 자연 변환

\delta: M \to R

가 존재한다.
--
여기서

\delta_F

는

\mathbf{A}

의 모든 대상

a

에 대해

\delta_F(a) = \delta(Fa): MF(a) \to RF(a)

인 자연 변환이다.

함자 R은 종종

\operatorname{Ran}_FX

로 표기된다. 다른 보편적 구성과 마찬가지로, 오른쪽 칸 확대는 존재한다면 동형을 제외하고 유일하게 결정된다.

2.2. 국소 칸 확대

위에서 정의된 대역적 칸 확대 함자인 $\operatorname{Lan}_F$ 및 $\operatorname{Ran}_F$ 가 일반적으로 존재하지 않을 수 있다. 하지만 특정 함자 $X$ 에 대해서는 $\operatorname{Lan}_FX$ 또는 $\operatorname{Ran}_FX$ 가 존재할 수 있다.

이러한 경우를 국소 칸 확대(local Kan extension^영어)라고 하며, 그 정의는 대역적 칸 확대의 정의를 특정 함자 $X$ 에 대해 국소화한 것이다.

구체적으로, 함자 $X$ 의 함자 $F$ 에 대한 (국소) 왼쪽 칸 확대는 다음 두 요소로 구성된다.
* 함자 $\operatorname{Lan}_FX\colon\mathcal C'\to\mathcal D$
* 자연 동형 $\hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(X,F^*(-))\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(\operatorname{Lan}_FX,-)$

마찬가지로, 함자 $X$ 의 함자 $F$ 에 대한 (국소) 오른쪽 칸 확대는 다음 두 요소로 구성된다.
* 함자 $\operatorname{Ran}_FX\colon\mathcal C'\to\mathcal D$
* 자연 동형 $\hom_{[\mathcal C,\mathcal D]}(F^*Y,X)\cong\hom_{[\mathcal C',\mathcal D]}(Y,\operatorname{Ran}_FX)$

3. 성질

칸 확대는 극한, 쌍대극한, 수반 함자, 엔드, 코엔드 등 다양한 범주론적 개념과 밀접하게 연관되어 있다. 특정 조건 하에서 칸 확대는 극한이나 쌍대극한을 사용하여 계산될 수 있으며, 엔드나 코엔드를 이용한 공식으로도 표현 가능하다. 예를 들어, 작은 범주 A와 여완비 범주 C가 주어졌을 때, 함자 $X:\mathbf{A}\to\mathbf{C}$ 의 함자 $F:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ 에 대한 왼쪽 칸 확대는 여극한으로 정의될 수 있다. 쌍대적으로, C가 완비 범주일 경우 오른쪽 칸 확대는 극한으로 정의된다.

또한, 특정 함자에 대한 칸 확대는 해당 함자의 극한이나 쌍대극한과 동일한 개념으로 이해될 수 있다. 구체적으로, $\mathcal{C}$ 에서 하나의 대상과 사상만 갖는 범주 $\mathbf{1}$ 로 가는 유일한 함자 $E$ 에 대해, 함자 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 의 극한은 $F$ 의 $E$ 에 대한 오른쪽 칸 확대 $\mathrm{Ran}_E F$ 와 같고, 쌍대극한은 왼쪽 칸 확대 $\mathrm{Lan}_E F$ 와 같다. 칸 확대와 수반 함자 사이의 관계 역시 중요한 성질 중 하나이다.

3.1. 극한과 쌍대극한

$1$ 이 하나의 대상 및 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 함자 $X\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 에 대하여, $X$ 의 $\mathcal C\to1$ 에 대한 오른쪽 칸 확대는 $X$ 의 극한이며, 왼쪽 칸 확대는 $X$ 의 쌍대극한이다.

함자 $X:\mathbf{A}\to\mathbf{C}$ 와 $F:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $\mathbf{A}$ 가 작은 범주이고 $\mathbf{C}$ 가 여완비 범주이면, $X$ 의 $F$ 에 대한 왼쪽 칸 확대 $\mathrm{Lan}_FX$ 가 존재하며, $\mathbf{B}$ 의 각 대상 $b$ 에 대해 다음과 같이 여극한으로 계산된다.

: $(\mathrm{Lan}_F X)(b) = \varinjlim_{(a, f:Fa \to b) \in (F \downarrow b)} X(a)$

여기서 여극한은 콤마 범주 $(F \downarrow b)$ 위에서 계산된다.

쌍대적으로, 만약 $\mathbf{A}$ 가 작은 범주이고 $\mathbf{C}$ 가 완비 범주이면, $X$ 의 $F$ 에 대한 오른쪽 칸 확대 $\mathrm{Ran}_FX$ 가 존재하며, $\mathbf{B}$ 의 각 대상 $b$ 에 대해 다음과 같이 극한으로 계산된다.

: $(\operatorname{Ran}_F X)(b) = \varprojlim_{(a, g:b \to Fa) \in (b \downarrow F)} X(a)$

여기서 극한은 콤마 범주 $(b \downarrow F)$ 위에서 계산된다.

함자 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 의 극한과 쌍대극한은 칸 확장을 사용하여 나타낼 수도 있다. $E$ 를 $\mathcal{C}$ 에서 $\mathbf{1}$ (하나의 대상과 하나의 사상으로 이루어진 범주, 즉 범주론적 의미의 종대상)으로 가는 유일한 함자라고 하자. 그러면 $F$ 의 극한은 다음과 같이 표현된다.

: $\mathrm{lim}F=\mathrm{Ran}_E F$

마찬가지로 $F$ 의 쌍대극한은 다음과 같이 표현된다.

: $\mathrm{colim}F=\mathrm{Lan}_E F$

3.2. (여)엔드

두 개의 함자 $X:\mathbf{A}\to\mathbf{C}$ 와 $F:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ 가 주어졌을 때, A의 모든 대상 a와 a에 대해, 그리고 B의 모든 대상 b에 대해, 코파워 $\mathbf{B}(Fa',b)\cdot Xa$ 가 C에 존재한다고 가정하자. 그러면 함자 X는 F를 따라 왼쪽 칸 확장 $\operatorname{Lan}_FX$ 을 가지며, 이는 B의 모든 대상 b에 대해 다음 코엔드가 존재할 경우 아래와 같이 계산된다.

: $(\operatorname{Lan}_FX)b=\int^a \mathbf{B}(Fa,b)\cdot Xa$

쌍대적으로, 오른쪽 칸 확장은 다음 엔드 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

: $(\operatorname{Ran}_FX)b=\int_a Xa^{\mathbf{B}(b,Fa)}$

또한, 두 개의 함자 $K:\mathbf{M}\to\mathbf{C}$ 와 $T:\mathbf{M}\to\mathbf{A}$ 가 주어졌다고 하자. 이때, M의 임의의 대상 m과 m 및 C의 임의의 대상 c에 대해, A 위의 코파워 $\mathbf{C}(Km',c)\cdot Tm$ 을 가진다고 가정한다. 만약 다음의 코엔드가 임의의 C의 대상 c에 대해 존재하면, 함자 T는 K에 따른 왼쪽 칸 확장 L을 가지며, C의 임의의 대상 c에 대해 다음이 성립한다.

: $Lc=(\mathrm{Lan}_KT)c=\int^m\mathbf{C}(Km,c)\cdot Tm$

쌍대적으로, 오른쪽 칸 확장은 다음 공식으로 계산할 수 있다.

: $(\mathrm{Ran}_KT)c=\int_mTm^{\mathbf{C}(c,Km)}$

3.3. 수반 함자

함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 의 왼쪽 수반 함자는, 만약 존재한다면, 항등 함자 $\operatorname{Id}_{\mathcal C}$ 의 $F$ 에 대한 오른쪽 칸 확대 $F_*\operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 와 같다.
: $F_*\operatorname{Id}_{\mathcal C}\dashv F$

구체적으로, 함자 $F : \mathbf{C} \to \mathbf{D}$ 가 왼쪽 수반 함자를 가지는 필요충분조건은 항등 함자 $\operatorname{Id} : \mathbf{C} \to \mathbf{C}$ 의 $F$ 를 따른 오른쪽 칸 확대 $\operatorname{Ran}_F \operatorname{Id}$ 가 존재하고, 이 칸 확대가 $F$ 에 의해 보존되는 것이다. 이 경우 왼쪽 수반자는 $\operatorname{Ran}_F \operatorname{Id}$ 로 주어지며, 이 칸 확대는 임의의 함자 $\mathbf{C} \to \mathbf{E}$ 에 의해서도 보존되는데, 이를 절대 칸 확대라고 한다.

마찬가지로, 함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 의 오른쪽 수반 함자는, 만약 존재한다면, 항등 함자 $\operatorname{Id}_{\mathcal D}$ 의 $F$ 에 대한 왼쪽 칸 확대 $F_!\operatorname{Id}_{\mathcal D}\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 와 같다.
: $F\dashv F_!\operatorname{Id}_{\mathcal D}$

쌍대적으로, 함자 $F$ 가 오른쪽 수반 함자를 가지는 필요충분조건은 항등 함수의 $F$ 를 따른 왼쪽 칸 확장이 존재하고 $F$ 에 의해 보존되는 것이다.

4. 예

칸 확대는 범주론의 여러 중요한 개념들을 포괄하는 일반적인 구조로 볼 수 있다. 대표적인 예로 함자의 극한과 쌍대극한, 그리고 수반 함자 관계가 있다.

4.1. 극한과 쌍대극한

함자의 극한과 쌍대극한은 칸 확대의 특수한 경우로 볼 수 있다.

$1$ 을 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 이는 범주론에서 종결 대상에 해당한다. 임의의 함자 $X\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 가 주어졌을 때, $\mathcal C$ 에서 $1$ 로 가는 유일한 함자 $E$ 를 생각할 수 있다. 이때 $X$ 의 $E$ 에 대한 오른쪽 칸 확대 $\operatorname{Ran}_E X$ 는 $X$ 의 극한과 같으며, 왼쪽 칸 확대 $\operatorname{Lan}_E X$ 는 $X$ 의 쌍대극한과 같다.

: $\lim X = \operatorname{Ran}_E X$
: $\operatorname{colim} X = \operatorname{Lan}_E X$

더 나아가, 함자 $X:\mathbf{A}\to\mathbf{C}$ 와 $F:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $\mathbf{A}$ 가 작은 범주이고 $\mathbf{C}$ 가 여완비 범주라면, $X$ 의 $F$ 에 따른 왼쪽 칸 확장 $\mathrm{Lan}_FX$ 가 존재한다. 이는 각 대상 $b \in \mathbf{B}$ 에 대해 다음과 같은 여극한으로 계산될 수 있다.

: $(\mathrm{Lan}_F X)(b) = \varinjlim_{f:Fa \to b} X(a)$

여기서 여극한은 콤마 범주 $(F \downarrow b)$ 위에서 취해진다.

쌍대적으로, 만약 $\mathbf{A}$ 가 작은 범주이고 $\mathbf{C}$ 가 완비 범주라면, $X$ 의 $F$ 에 따른 오른쪽 칸 확장 $\mathrm{Ran}_FX$ 가 존재하며, 이는 극한으로 계산될 수 있다.

4.2. 수반 함자

함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 의 왼쪽 수반 함자는, 만약 존재한다면, 항등 함자 $\operatorname{Id}_{\mathcal C}$ 의 $F$ 에 대한 오른쪽 칸 확대 $F_*\operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 이다.
: $F_*\operatorname{Id}_{\mathcal C}\dashv F$
왼쪽 수반 함자가 존재할 필요충분조건은 항등 함자 $\operatorname{Id}_{\mathcal C}$ 의 $F$ 를 따른 오른쪽 칸 확장 $\operatorname{Ran}_F \operatorname{Id}_{\mathcal C}$ 가 존재하고, 이 칸 확장이 $F$ 에 의해 보존되는 것이다. 이 경우 왼쪽 수반 함자는 $\operatorname{Ran}_F \operatorname{Id}_{\mathcal C}$ 이며, 이 칸 확장은 임의의 함자 $\mathcal C \to \mathcal E$ 에 대해서도 보존되므로 "절대 칸 확장"이라고 불린다.

함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 의 오른쪽 수반 함자는, 만약 존재한다면, 항등 함자 $\operatorname{Id}_{\mathcal D}$ 의 $F$ 에 대한 왼쪽 칸 확대 $F_!\operatorname{Id}_{\mathcal D}\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 이다.
: $F\dashv F_!\operatorname{Id}_{\mathcal D}$
쌍대적으로, 오른쪽 수반 함자는 항등 함자 $\operatorname{Id}_{\mathcal D}$ 의 $F$ 를 따른 왼쪽 칸 확장 $\operatorname{Lan}_F \operatorname{Id}_{\mathcal D}$ 가 존재하고 이것이 $F$ 에 의해 보존될 때 존재한다.

5. 역사

다니얼 칸이 1960년에 도입하였다. 손더스 매클레인은 칸 확대의 중요성에 대하여 다음과 같이 적었다.

모든 개념은 칸 확대이다. […] 칸 확대의 개념은 범주론의 다른 모든 근본적인 개념을 포함한다.
All concepts are Kan extensions. […] The notion of Kan extensions subsumes all the other fundamental concepts of category theory.^영어

— 손더스 매클레인