범주의 동치

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1. 개요

범주의 동치는 두 범주 사이의 관계를 나타내는 개념으로, 두 범주가 '동일하다'는 것을 엄밀하게 정의하는 방법 중 하나이다. 두 범주 C와 D 사이의 동치는 함자 F: C → D, G: D → C, 그리고 두 자연 동형 ε: FG → ID와 η: IC → GF로 구성된다. 여기서 FG와 GF는 함자 F와 G의 합성, IC와 ID는 항등 함자를 나타낸다. 범주의 동치는 극한과 쌍대극한, 단사 사상 및 전사 사상 등 범주론적 개념과 속성을 보존하며, 서로 동치인 두 범주는 거의 모든 성질이 같다. 범주의 동치는 충실충만한 함자이며, 본질적 전사 함자이거나, 수반 펀터가 모두 전사적이고 충실할 경우에만 성립한다. 범주의 자기-동치는 범주 C에서 C로의 동치를 의미하며, 이러한 자기-동치는 합성에 따라 군을 형성한다.

범주의 동치

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1. 개요
2. 정의
3. 특징
4. 성질
5. 작은 범주와 뼈대
6. 예시
7. 자기 동치

2. 정의

두 범주 $\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 사이의 함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이며, 이 조건을 만족시키는 $F$ 를 $\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 사이의 동치라고 한다.

* $F^{-1}F$ 와 $FF^{-1}$ 가 항등 함자와 자연 동형인 함자 $F^{-1}\colon\mathcal D\to\mathcal C$ 가 존재한다 (이러한 함자는 유일하지 않을 수 있다).
* 충실충만한 함자이며, 본질적 전사 함자(essentially surjective functor^영어)이다 (즉, $\mathcal D$ 의 모든 원소는 적어도 하나의 $F$ 의 상의 원소와 동형이다).

형식적으로, 두 범주 C와 D가 주어졌을 때, 범주의 동치는 함자 F : C → D, 함자 G : D → C, 그리고 두 자연 동형 ε: FG→I_D와 η : I_C→GF로 구성된다. 여기서 FG: D→D와 GF: C→C는 각각 F와 G의 합성, I_C: C→C와 I_D: D→D는 각 객체와 사상을 그 자체에 할당하는 항등 함자를 나타낸다. F와 G가 반변 함자일 경우, 대신 범주의 쌍대성이라고 한다.

위의 모든 데이터를 명시하지 않는 경우가 많다. 예를 들어, 두 범주 C와 D 사이에 동치(각각 쌍대 동치)가 존재하면, C와 D가 동치(각각 쌍대 동치)라고 말한다. 또한, 위와 같은 역 함자 G와 자연 동형이 존재한다면 F가 범주의 동치 "이다"라고 말한다. 그러나 F에 대한 지식만으로는 일반적으로 G와 자연 동형을 재구성하기에 충분하지 않다. 즉, 여러 가지 선택이 있을 수 있다.

3. 특징

함수 F : C → D가 다음 조건을 모두 만족할 경우 범주 동치를 제공한다.

* 전사 펀터: C의 임의의 두 대상 c₁과 c₂에 대해, F에 의해 유도된 사상 Hom_C(c₁,c₂) → Hom_D(Fc₁,Fc₂)는 전사이다.
* 충실한 펀터: C의 임의의 두 대상 c₁과 c₂에 대해, F에 의해 유도된 사상 Hom_C(c₁,c₂) → Hom_D(Fc₁,Fc₂)는 단사이다.
* 본질적 전사(조밀한) 펀터: D의 각 대상 d는 C의 c에 대해 Fc 형태의 대상과 동형이다.

이는 "역" G와 FG, GF 및 항등 펀터 간의 자연 동형을 명시적으로 구성할 필요가 없기 때문에 매우 유용하고 일반적으로 적용되는 기준이다. 반면에, 위의 속성은 범주적 동치의 "존재"를 보장하지만, 누락된 데이터가 완전히 지정되지 않으며 종종 많은 선택 사항이 있다. 가능한 경우 누락된 구성을 명시적으로 지정하는 것이 좋다.

이러한 상황 때문에, 이러한 속성을 가진 펀터는 때때로 약한 범주의 동치라고 불린다.

수반 펀터와도 밀접하게 관련이 있는데, F와 G 모두 전사적이면서 충실할 경우에만 동치이다.

4. 성질

범주 동치는 모든 "범주론적" 개념과 속성을 보존한다. 만약 F : C → D가 동치라면, 다음이 성립한다.

* C의 대상 c가 시작 대상(또는 종료 대상, 또는 영 대상)일 필요충분조건은 Fc가 D의 시작 대상(또는 종료 대상, 또는 영 대상)인 것이다.
* C의 사상 α가 단사 사상(또는 전사 사상, 또는 동형 사상)일 필요충분 조건은 Fα가 D의 단사 사상 (또는 전사 사상, 또는 동형 사상)인 것이다.
* 함자 H : I → C가 극한(또는 코극한) l을 가질 필요충분 조건은 함자 FH : I → D가 극한 (또는 코극한) Fl을 갖는 것이다. 이는 등화자, 곱 및 코곱 등에 적용될 수 있다. 이를 핵과 코핵에 적용하면, 동치 F가 정확한 함자임을 알 수 있다.
* C가 데카르트 닫힌 범주(또는 토포스)일 필요충분 조건은 D가 데카르트 닫힌 (또는 토포스)인 것이다.

쌍대성은 "모든 개념을 뒤집는다": 시작 대상을 종료 대상으로, 단사 사상을 전사 사상으로, 핵을 코핵으로, 극한을 코극한 등으로 바꾼다.

만약 F : C → D가 범주의 동치이고, G₁과 G₂가 F의 두 역이라면, G₁과 G₂는 자연 동형이다.

만약 F : C → D가 범주의 동치이고, C가 전가법 범주(또는 가법 범주, 또는 아벨 범주)라면, F가 가법 함자가 되도록 D를 전가법 범주 (또는 가법 범주, 또는 아벨 범주)로 만들 수 있다. 반면에, 가법 범주 사이의 모든 동치는 필연적으로 가법적이다. (후자의 명제는 전가법 범주 사이의 동치에는 적용되지 않음에 유의해야 한다.)

범주 C의 자기 동치는 F : C → C와 같은 동치이다. 만약 두 자기 동치가 자연 동형이면 동일한 것으로 간주한다면, C의 자기 동치는 합성에 따라 군을 형성한다. 이 군은 C의 본질적인 "대칭성"을 포착한다. (한 가지 주의점: C가 작은 범주가 아니라면, C의 자기 동치는 집합이 아닌 진정한 류를 형성할 수 있다.)

5. 작은 범주와 뼈대

범주 $\mathcal C$ 의 부분 범주 $\mathcal D$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 필요충분조건이며, 이를 만족시키는 $\mathcal D$ 를 $\mathcal C$ 의 뼈대(skeleton^영어)라고 한다.

* 충만한 부분 범주이며, $\mathcal C$ 의 임의의 대상은 정확히 하나의 $\mathcal D$ 의 대상과 동형이다.
* 포함 함자 $\mathcal D\to\mathcal C$ 는 동치이며, 뼈대 범주(skeletal category^영어)이다 (즉, $\mathcal D$ 의 임의의 서로 다른 두 대상은 동형이 아니다).

모든 작은 범주는 뼈대를 가지며, 이는 범주의 동형 아래 유일하다. 이는 선택 공리와 동치이다. 또한, 두 작은 범주 $\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.

* $\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 는 서로 동치이다.
* $\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 의 뼈대는 서로 동형이다.

6. 예시

* 단일 객체 $c$와 단일 사상 $1_c$를 갖는 범주 $C$와 두 객체 $d_1$, $d_2$와 네 개의 사상(두 개의 항등 사상 $1_{d_1}$, $1_{d_2}$와 두 개의 동형 사상 $\alpha \colon d_1 \to d_2$ 및 $\beta \colon d_2 \to d_1$)을 갖는 범주 $D$는 서로 동치이다.
* 단일 객체와 단일 사상을 갖는 범주 $C$는 두 객체와 두 개의 항등 사상만 갖는 범주 $E$와는 동치가 아니다. $E$의 두 객체는 그 사이에 사상이 없기 때문에 서로 동형이 아니기 때문이다.
* 집합과 부분 함수의 범주는 점 있는 집합과 점을 보존하는 사상의 범주와 동치이지만 동형은 아니다.
* 유한 차원의 실수 벡터 공간 범주 $C$와 모든 실수 행렬의 범주 $D = \mathrm{Mat}(\mathbb{R})$(가법 범주 문서에서 설명)는 동치이다.

7. 자기 동치

범주 의 자기 동치란 와 같은 범주 동치를 말한다. 범주 의 자기 동치는 자연 동형인 자기 동치를 동일시함으로써 합성 연산에 관해 군을 이룬다. 이 군은 본질적으로 범주 의 "대칭성"을 파악한다. (주의: 만약 가 작은 범주가 아니라면, 범주 의 자기 동치는 집합이 아니라 클래스를 이룰 수도 있다.)