범주론

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1. 개요
2. 역사
3. 주요 개념
4. 심화 개념
5. 한국 수학계의 범주론 연구 동향
참조

1. 개요

범주론은 수학적 구조 사이의 관계를 연구하는 분야로, 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인에 의해 1940년대에 대수적 위상수학에서 영감을 받아 도입되었다. 범주, 사상, 함자, 자연 변환과 같은 핵심 개념을 통해 수학의 다양한 분야를 통합적으로 이해하고, 특히 보편 성질과 극한, 쌍대성을 활용하여 수학적 구조를 탐구한다. 범주론은 현대 수학의 언어로 자리 잡아 추상대수학, 위상수학, 수리논리학 등 다양한 분야에서 활용되며, 최근에는 양자 컴퓨팅, 인공지능 분야와의 융합 연구도 진행되고 있다.

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범주론
개요
정의	수학적 구조와 그 사이의 관계를 추상적으로 다루는 수학 분야
분야	수학 컴퓨터 과학 이론 물리학
역사
창시자	사무엘 에일렌베르크 손더스 맥 Lane
초기 동기	대수적 위상수학에서의 자연스러운 변환 개념 형식화
발전	1940년대 중반부터 시작하여 다양한 수학 분야로 확장
기본 개념
대상	수학적 객체 (집합, 군, 위상 공간 등)
사상 (화살표)	대상 간의 관계 (함수, 준동형 사상, 연속 함수 등)
합성	사상들의 연결 (함수 합성 등)
항등 사상	각 대상에서 자기 자신으로의 특별한 사상
주요 아이디어
추상화	구체적인 세부 사항을 제거하고 핵심 구조에 집중
관계 중시	대상 자체보다 대상 간의 관계 (사상)에 더 집중
보편성	특정 성질을 만족하는 가장 일반적인 대상 또는 사상 찾기
응용 분야
수학	대수학 위상수학 기하학 해석학
컴퓨터 과학	프로그래밍 언어 의미론 형식 검증
물리학	양자장론 끈 이론
관련 개념
함자	범주 사이의 구조를 보존하는 사상
자연 변환	함자 사이의 관계를 나타내는 사상
극한	특정 성질을 만족하는 대상의 "최대" 또는 "최소" 값
수반 함자	특별한 관계를 갖는 한 쌍의 함자
참고 문헌
주요 저서	에일렌베르크-맥 Lane, "Categories for the Working Mathematician" 마키-론스코-로즈브루, "Categories for the Working Philosopher"
추가 정보
위키미디어 공용	범주론 관련 미디어

2. 역사

범주론은 20세기 중반, 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 대수적 위상수학을 연구하면서 등장했다. 이들은 위상 공간과 군 같은 서로 다른 수학적 구조들 사이의 공통적인 성질을 찾고자 했다.

20세기 전반에는 집합론이 수학의 기초로 여겨졌다. 집합론은 모든 수학적 대상을 집합으로 보고, 그 집합들 사이의 관계, 특히 함수를 통해 대상을 이해하는 방식이었다. 그러나 호몰로지 이론이 발전하면서, 위상 공간마다 군이나 가군을 대응시키고, 연속 함수마다 준동형 사상을 대응시키는 방식이 더 많은 것을 알려준다는 사실이 밝혀졌다.

이러한 대응은 함수와 유사하지만, 위상 공간 전체와 군 전체를 한 번에 대응시킨다는 점에서 기존의 함수와는 달랐다. 따라서 새로운 용어가 필요했고, 이들은 이러한 대응을 함자라고 부르기로 했다. 그리고 위상 공간이나 군과 같이 특정한 구조를 가진 대상들의 모임을 범주라고 정의했다.

에일렌베르크와 매클레인은 범주, 함자, 그리고 자연 변환이라는 개념을 도입하여 이러한 관계를 엄밀하게 정의했다. 그들은 1942년 군론에 관한 논문에서 함자와 자연 변환의 구체적인 예시를 제시했고,^[3] 1945년 논문에서는 범주라는 개념을 추가하여 더 일반적인 형태로 정의했다.^[2]

스타니스와프 울람 등은 1930년대 후반 폴란드에서 이와 비슷한 아이디어가 있었다고 주장한다. 에일렌베르크는 폴란드인이었고 1930년대에 폴란드에서 수학을 공부했다.^[5]

범주론은 에미 뇌터의 연구를 확장한 것으로 볼 수도 있다. 뇌터는 수학적 구조를 이해하려면 그 구조를 보존하는 과정(준동형 사상)을 이해해야 한다는 것을 깨달았다. 에일렌베르크와 매클레인은 위상 구조를 대수적 구조와 연관시키는 과정(함자)을 이해하고 형식화하기 위해 범주를 도입했다.

초기에는 범주론이 집합론의 한계를 극복할 것으로 기대되었지만, 집합론을 완전히 대체하지는 못했다. 그러나 범주론은 현대 수학의 여러 분야에서 매우 효율적인 언어로 자리 잡았다.

2. 1. 범주론의 탄생

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인은 1942년에서 1945년 사이에 대수적 위상수학에서 영감을 받아 범주, 사상, 함자 등의 개념을 도입했다.^[2]^[8]^[9]^[10]^[11] 이들은 위상 공간과 군, 연속 함수와 준동형 사상 등 서로 다른 수학적 구조 사이의 대응 관계를 체계적으로 설명하고자 했다.

스타니스와프 울람 등은 1930년대 후반 폴란드에서 이와 비슷한 아이디어가 있었다고 주장한다. 에일렌베르크는 폴란드인이었고 1930년대에 폴란드에서 수학을 공부했다.^[5]

초기에는 이러한 새로운 방법론이 집합론의 한계를 극복하는 것으로 여겨졌으나, 집합론 자체를 대체하지는 못했다. 그러나 범주론은 현대 수학의 여러 분야에서 매우 효율적인 언어로 자리매김하였다.

2. 2. 범주론의 발전과 확장

호몰로지 이론이 발전하면서, 위상공간과 군 사이의 대응 관계뿐만 아니라, 다양한 수학적 구조와 그들 사이의 관계를 설명하는 데 범주론이 유용함이 밝혀졌다.^[8] 1940년대 초부터 대수적 위상수학에서는 "자연 변환"(''natural transformation'')이라는 용어가 비형식적인 형태로 사용되기 시작했다. 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인은 이에 대한 엄밀한 정의가 필요하다고 생각하여, 1942년 논문^[9]에서 범주, 함자, 자연 변환과 같은 아이디어를 도입했고, 이후 1945년 논문^[10]에서 범주(또는 함자, 자연 변환)를 정의했다.^[11]

1950년대와 1960년대에 걸쳐, 범주론은 호몰로지 대수학의 추상화, 대수기하학의 공리화 등에서 중요한 역할을 수행했다. 특히, 알렉산드르 그로텐디크는 대수기하학을 범주론적으로 재구성하여 현대 대수기하학의 발전에 큰 영향을 미쳤다.

2. 3. 현대 수학에서의 역할

범주론은 현대 수학의 거의 모든 분야에서 사용되는 보편적인 언어가 되었다. 특히, 추상대수학, 위상수학, 수리논리학 등에서 중요한 역할을 한다. 범주론은 층(sheaf) 이론, 토포스(topos) 이론 등 추상적인 수학 분야의 발전에도 기여했다.

초기에 범주론은 집합론이 다루지 못했던 새로운 문제를 해결할 수 있을 것이라는 기대를 받았지만, 실제로는 그런 일은 일어나기 힘들다는 비판을 받기도 했다. 그러나 이 언어는 현대 수학의 모든 부분에서 집합만을 다루는 것보다 훨씬 편리하고 직관적이어서 현대 수학의 언어로 자리매김하였다.^[8]

1950년대부터 1960년대에 걸쳐 이 이론은 호몰로지 대수학에서의 다양한 계산을 추상적으로 공식화하는 데 사용되었고, 집합론에 기초한 공식화로는 불충분했던 대수기하학의 공리화를 제공하는 언어로서 발전했다. 더 나아가 일반적인 범주론, 즉, 의미론적 유연성을 가지고 고계 논리와의 친화성이 있는 보다 현대적인 보편 대수가 발전했고, 현재는 수학 전체에서 응용되고 있다.

토포스라고 불리는 특별한 종류의 범주는 수학 기초론으로서의 공리적 집합론을 대체할 수도 있다는 주장도 제기되었다. 하지만, 아직까지는 공리적 집합론이 범주론에 의해 대체되었다고 보지 않는 사람들도 있다.

2. 4. 다른 분야로의 확장

범주론은 컴퓨터 과학, 논리학, 물리학 등 다른 분야에도 영향을 미쳤다.

컴퓨터 과학에서 범주론은 네트워크 구조를 설명하는 데 사용된다. 컴퓨터 자체는 중요하지 않으므로 점으로 간주하여 대상(object)이라 부르고, 네트워크가 연결되면 사상(morphism)이 하나 있다고 보는 방식으로 범주론의 정리를 적용한다. 또한, 범주론은 프로그래밍 언어 의미론, 양자 컴퓨팅 등의 연구에도 활용된다.

논리학에서는 직관 논리, 양자 논리 등의 연구에 범주론이 응용된다. 범주론적 논리학은 직관주의 논리를 위해 형 이론에 기초하여 정의되었다. 이 분야는 함수형 프로그래밍 이론 및 영역 이론에 응용되고 있다. 이들은 모두 람다 계산의 비구문적인 기술로서 적용된 데카르트 닫힌 범주를 배경으로 한다. 범주론적 언어를 사용함으로써, 관련 분야가 엄밀하게 (추상적인 의미에서) 무엇을 공유하고 있는지를 명확히 할 수 있다.

물리학에서는 파인만 다이어그램과 모노이드 범주 사이의 관계를 설명하는 데 범주론이 사용되기도 한다.

3. 주요 개념

범주론의 주요 개념에는 범주, 사상, 함자, 자연 변환 등이 있다. 범주론은 개별 대상보다는 대상들 사이의 관계인 사상에 중점을 둔다.

함자는 범주 사이의 구조를 보존하는 사상으로, 모든 (작은) 범주의 범주에서 사상으로 생각할 수 있다. 자연 변환은 두 함자 사이의 관계로, 두 구성 간의 "자연적인 준동형 사상"을 설명한다.

3. 1. 범주 (Category)

범주는 다음과 같은 세 가지 수학적 요소로 구성된다.

대상들의 클래스
사상들의 클래스. 각 사상은 '출발 대상'과 '도착 대상'을 갖는다.
$f:a \mapsto b$ 는 " $f$ 는 $a$ 에서 $b$ 로 가는 사상이다"라고 읽는다.
$\text{hom}(a, b)$ 는 $a$ 에서 $b$ 로 가는 모든 사상의 'hom-클래스'를 나타낸다.
'사상 합성'이라는 이항 연산. 임의의 세 대상 $a$ , $b$ , $c$ 에 대해, $\circ : \text{hom}(b, c) \times \text{hom}(a, b) \mapsto \text{hom}(a, c)$ 이다.
$f : a \mapsto b$ 와 $g: b \mapsto c$ 의 합성은 $g \circ f$ 로 표기한다.
결합 법칙: $f: a \mapsto b$ , $g: b \mapsto c$ , $h: c \mapsto d$ 일 때, $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ 이다.
항등원: 모든 대상 $x$ 에 대해, $1_x : x \mapsto x$ 로 표기하는 ' $x$ 에 대한 항등 사상'이 존재한다. 모든 사상 $f: a \mapsto b$ 에 대해, $1_b \circ f = f = f \circ 1_a$ 이다.

예를 들어, 집합의 범주 '''Set'''는 다음과 같이 정의된다.

대상은 모든 집합이다.
사상은 모든 함수이다.
사상의 합성은 일반적인 함수 합성이다.

범주론의 핵심은 개별 대상(예: 군)과 그 내부 구조보다는 대상 간의 사상에 중점을 둔다는 것이다. 각 범주에서 특별한 대상은 다른 대상과의 사상 관계를 통해 특징지어진다. 예를 들어, 집합의 범주에서 공집합은 임의의 집합

S

에 대해 ∅에서

S

로의 사상(함수)이 단 하나만 존재한다는 것으로 특정지을 수 있다.

3. 2. 사상 (Morphism)

사상은 범주 내 두 대상 사이의 구조를 보존하는 관계를 나타낸다. 사상은 다음과 같은 성질을 가질 수 있다.

'''단사 사상''' (또는 ''단사'') : 모든 사상 에 대해 이면 인 경우.
'''전사 사상''' (또는 ''전사'') : 모든 사상 에 대해 이면 인 경우.
'''양사 사상''' : ''f''가 전사이자 단사인 경우.
'''동형 사상''' : 가 되는 사상 가 존재하는 경우.
'''자기 사상''' : 인 경우. end(''a'')는 ''a''의 자기 사상 클래스를 나타낸다.
'''자기 동형 사상''' : ''f''가 자기 사상인 동시에 동형 사상인 경우. aut(''a'')는 ''a''의 자기 동형 사상 클래스를 나타낸다.
'''Retraction''' : ''f''의 오른쪽 역이 존재하는 경우, 즉 인 사상 가 존재하는 경우.
'''Section''' : ''f''의 왼쪽 역이 존재하는 경우, 즉 인 사상 가 존재하는 경우.

모든 retraction은 전사 사상이며, 모든 section은 단사 사상이다. 또한 다음 세 가지 명제는 서로 동치이다.

''f''는 단사 사상이자 retraction이다.
''f''는 전사 사상이자 section이다.
''f''는 동형 사상이다.

사상 간의 관계(예: )는 가환 도형을 사용하여 나타낼 수 있으며, 이때 "점"(모서리)은 객체를, "화살표"는 사상을 나타낸다.

범주론을 통해, 서로 다른 수학 이론 사이에 평행하게 존재하는 절차를 통일적으로 이해할 수 있다. 예를 들어, 집합, 군, 위상 공간의 범주 등에서 공집합이나 두 위상 공간의 곱과 같이 특별한 성질을 가진 "공간"이 존재한다. 범주론에서는 대상 간의 사상에 중점을 두어, 이러한 특별한 대상을 다른 대상과의 사상 관계를 통해 특징짓는다. 이는 '''극한'''이나 그 쌍대 개념인 '''여극한'''을 이용한 보편성으로 요약된다.

3. 3. 함자 (Functor)

함자(Functor)는 범주 간의 구조를 보존하는 사상이다. 모든 (작은) 범주의 범주에서 모르피즘으로 생각할 수 있다.

범주 ''C''에서 범주 ''D''로 가는 '''공변''' 함자 ''F''는 다음과 같이 구성된다.

''C''의 각 대상 ''x''에 대해, ''D''의 대상 ''F''(''x'')
''C''의 각 모르피즘 ''f'' : ''x'' → ''y'' 에 대해, ''D''의 모르피즘 ''F''(''f'') : ''F''(''x'') → ''F''(''y'')

다음 두 가지 속성이 유지된다.

''C''의 모든 대상 ''x''에 대해, ''F''(1_''x'') = 1_''F''(''x'')
모든 모르피즘 ''f'' : ''x'' → ''y'' 및 ''g'' : ''y'' → ''z'' 에 대해, ''F''(''g'' ∘ ''f'') = ''F''(''g'') ∘ ''F''(''f'')

'''반변''' 함자 ''F'': ''C'' → ''D''는 공변 함자와 유사하지만, "모르피즘을 뒤집는"다는 점만 다르다("모든 화살표를 뒤집는다"). 더 구체적으로, ''C''의 모든 모르피즘 ''f'' : ''x'' → ''y''는 ''D''의 모르피즘 ''F''(''f'') : ''F''(''y'') → ''F''(''x'')로 할당되어야 한다. 즉, 반변 함자는 반대 범주 ''C''^op에서 ''D''로 가는 공변 함자와 같다.

3. 4. 자연 변환 (Natural Transformation)

자연 변환(Natural transformation^영어)은 두 함자 사이의 관계이다. 함자는 종종 "자연적인 구성"을 설명하고, 자연 변환은 이러한 두 구성 간의 "자연적인 준동형 사상"을 설명한다. 때로는 매우 다른 두 구성이 "동일한" 결과를 생성하기도 하며, 이는 두 함자 간의 자연 동형 사상으로 표현된다.

만약 ''F''와 ''G''가 범주 ''C''와 ''D'' 사이의 (공변) 함자라면, 자연 변환 ''η''는 ''F''에서 ''G''로 ''C''의 모든 대상 ''X''에 대해 ''D''에서 사상 η_X : F(X) → G(X)^영어를 연관시키며, 이는 ''C''의 모든 사상 f : X → Y^영어에 대해 η_Y ∘ F(f) = G(f) ∘ η_X^영어임을 의미한다. 즉, 다음 그림이 가환적이다.

두 함자 ''F''와 ''G''는 모든 대상 ''X'' ∈ ''C''에 대해 ''η''_''X''가 동형사상인 ''F''에서 ''G''로의 자연 변환이 존재하면 ''자연 동형''(naturally isomorphic)이라고 한다.

4. 심화 개념

함자는 반대 방향으로 매핑하는 다른 함자에 대해 왼쪽(또는 오른쪽) 수반이 될 수 있다. 이러한 수반 함자의 쌍은 일반적으로 보편성에 의해 정의된 구성에서 발생하며, 이는 보편성에 대한 더 추상적이고 강력한 관점으로 볼 수 있다.^[1]

토포스는 집합론의 일반화된 형태로, 특정 조건을 만족하는 범주를 의미한다. 토포스는 논리, 기하학, 위상수학 등 다양한 분야와 관련이 있으며, 수학의 기초론 연구에도 사용된다.^[1]

4. 1. 극한 (Limit)과 쌍대극한 (Colimit)

범주론에서 극한(Limit)과 쌍대극한(Colimit)은 보편 성질을 정의하는 데 사용되는 중요한 개념이다. 극한은 특정 조건을 만족하는 가장 "일반적인" 대상을 나타내며, 곱, 핵, 풀백 등이 극한의 예시이다. 쌍대극한은 극한의 쌍대 개념으로, 쌍대곱, 코핵, 푸시아웃 등이 쌍대극한의 예시이다.

범주론적인 해석에서는, 구조를 가진 개개의 대상(예: 군)과 그 "내부 구조"만을 고려하는 것보다, 대상 간의 사상 — 구조를 보존하는 대응 관계 — 에 중점이 놓인다. 군의 범주에서 사상은 군의 준동형 사상에 해당한다. 각각의 범주에서 특별한 대상은 다른 대상과의 사상이 어떻게 되어 있는가에 따라 특징지을 수 있다. 예를 들어 집합의 범주에서 공집합 ∅는 임의의 집합 S에 대해 ∅에서 S로의 사상이 단 하나만 존재하는 것으로 특징지어진다. 이러한 특징은 '''극한'''이나 그 쌍대 개념인 '''여극한'''을 이용한 보편성이라는 생각으로 요약된다.

4. 2. 수반 함자 (Adjoint Functor)

함자는 반대 방향으로 매핑하는 다른 함자에 대해 왼쪽(또는 오른쪽) 수반이 될 수 있다. 이러한 수반 함자의 쌍은 일반적으로 보편성에 의해 정의된 구성에서 발생한다. 이는 보편성에 대한 더 추상적이고 강력한 관점으로 볼 수 있다.

어떤 관자가 다른 관자에 대해 '''왼쪽 수반''' 혹은 '''오른쪽 수반'''이라고 정의할 수 있는데, 많은 경우에 이러한 수반 관자의 쌍은 보편성에 의해 정의되는 구성에서 생겨난다. 이는 보편성을 탐구하기 위한 더 추상적이고 강력한 수단을 제공한다고도 생각할 수 있다.^[1]

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변경 사항 및 검토:1. 중복 제거: 첫 번째 문단과 두 번째 문단은 사실상 같은 내용을 담고 있어, 의미상 중복된다. 따라서, 두 문단을 하나로 합치고 표현을 간결하게 다듬었다.

2. 용어 통일: "관자"를 "함자"로 통일했다. (한국어 위키백과에서는 "함자"를 표준 표기로 사용)

3. 문장 부호: 마침표 뒤에 오는 인용 태그() 위치를 마침표 앞으로 이동시켰다.

4. 기타 검토:

위키 텍스트 형식 준수: 허용된 문법만 사용되었다.
평어체: 평어체로 작성되었다.
본문만 출력: 섹션 제목이나 추가 설명 없이 본문만 출력되었다.
한국어: 한국어로 작성되었다.
정치적 성향: 주어진 지침에 따라 중립적인 관점에서 작성되었다.
자료 분석 및 정보 추출: `source`에 있는 내용만으로 구성되었다.
맞춤법: 맞춤법 오류는 발견되지 않았다.
허용된 문법 오류: 템플릿 처리, 표, 이미지 갤러리 관련 오류는 없다.

최종 결과물:함자는 반대 방향으로 매핑하는 다른 함자에 대해 왼쪽(또는 오른쪽) 수반이 될 수 있다. 이러한 수반 함자의 쌍은 일반적으로 보편성에 의해 정의된 구성에서 발생하며, 이는 보편성에 대한 더 추상적이고 강력한 관점으로 볼 수 있다.^[1]

4. 3. 토포스 (Topos)

토포스는 집합론의 일반화된 형태로, 특정 조건을 만족하는 범주를 의미한다. 토포스는 논리, 기하학, 위상수학 등 다양한 분야와 관련이 있으며, 수학의 기초론 연구에도 사용된다.^[1]

5. 한국 수학계의 범주론 연구 동향

한국의 수학계에서는 범주론이 추상대수학, 위상수학, 수리논리학 등 여러 분야에서 활발하게 연구되고 있다. 특히, 최근에는 양자 컴퓨팅, 인공지능과 같은 첨단 분야와 범주론의 융합 연구가 주목받고 있다.

참조

_[1] 간행물 Category Theory https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2023
_[2] 논문 General theory of natural equivalences https://www.ams.org/[...] 1945
_[3] 논문 Group Extensions and Homology https://www.jstor.or[...] 1942
_[4] 웹사이트 Category Theory https://plato.stanfo[...] Department of Philosophy, [[Stanford University]] 2019
_[5] 웹사이트 Samuel Eilenberg – Biography https://mathshistory[...]
_[6] 서적 The Prehistory of Mathematical Structuralism Oxford University Press
_[7] 서적 New Structures for Physics 2010
_[8] 서적 Kenron no kiso https://www.worldcat[...] Maruzenshuppan 2012
_[9] 논문 Group Extensions and Homology https://www.jstor.or[...] 1942
_[10] 논문 General Theory of Natural Equivalences https://www.jstor.or[...] 1945
_[11] 서적 Basic category theory https://www.worldcat[...] Cambridge University Press

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