코시 변환

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1. 개요

코시 변환은 조각마다 C¹ 곡선 위에 정의된 연속 함수 φ에 대한 함수로, 복소 평면에서 정의된다. 코시 변환은 정칙 함수이며, 임의의 음이 아닌 정수 n에 대해 미분 가능하며, 코시 적분 공식을 만족한다. 특정 예시를 통해 코시 변환의 결과를 확인할 수 있다.

코시 변환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시

2. 정의

조각마다 C¹ 곡선 γ 위에 정의된 연속 함수 φ의 코시 변환 $\mathcal{C}f$ 는 다음과 같은 함수이다.

: $\mathcal{C}f \colon \mathbb{C} \setminus \gamma([a,b]) \to \mathbb{C}$

: $\mathcal{C}f(w) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{z-w} \mathrm{d}z \qquad \forall w \in \mathbb{C} \setminus \gamma([a,b])$

3. 성질

코시 변환은 정칙 함수이다. 임의의 음이 아닌 정수 n과 w에 대하여 다음이 성립한다.

$(\mathcal Cf)^{(n)}(w)=\frac{n!}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}\mathrm dz$

이는 w를 포함하는 충분히 작은 공집합 B를 취하고,급수전개를 통해 보일 수 있다.

유계 연결 열린집합 D의 경계가 유한 개의 조각마다 C¹ 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수가 D에서 정칙 함수라고 할때 코시 적분 공식에 따르면, f의 코시 변환 상은 다음과 같다.

$\mathcal Cf(w)=\begin{cases}f(w)&w\in D\\0&w\not\in D\end{cases}\qquad\forall w\in\mathbb C\setminus\partial D$

4. 예시

곡선
: $\partial\operatorname B(0,2)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=2\}$
위의 연속 함수
: $f\colon\partial\operatorname B(0,2)\to\mathbb C$
: $f(z)=\frac 1{(z-i)(z-3i)}\qquad\forall z\in\varphi\colon\partial\operatorname B(0,2)$
에 대한 코시 변환 상은
: $\mathcal Cf\colon\mathbb C\setminus\partial\operatorname B(0,1)\to\mathbb C$
: $\mathcal Cf(w)=\begin{cases}1/(w-3i)&w\in\operatorname B(0,1)\\1/2i(w-i)&w\not\in\operatorname B(0,1)\end{cases}\qquad\forall w\in\mathbb C\setminus\partial\operatorname B(0,1)$
이다.