코탄젠트 법칙

1. 개요

코탄젠트 법칙은 삼각형의 변의 길이, 각, 반둘레, 내접원의 반지름 사이의 관계를 나타내는 공식이다. 이 법칙은 삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c, 각 변에 대응하는 각을 A, B, C, 반둘레를 s, 내접원의 반지름을 r이라고 할 때, cot(α/2)/(s-a) = cot(β/2)/(s-b) = cot(γ/2)/(s-c) = 1/r 과 r = √((s-a)(s-b)(s-c)/s)의 관계를 가진다. 코탄젠트 법칙은 헤론의 공식, 몰바이드 공식, 탄젠트 법칙 등을 유도하는 데 사용될 수 있으며, 삼각함수의 덧셈정리와 내접원의 성질을 이용하여 증명된다. 또한, 코탄젠트를 포함하는 다른 삼각형 항등식에도 동일한 이름이 적용되기도 한다.

2. 코탄젠트 법칙

삼각형의 세 변의 길이를 $a,\; b,\; c$, 각 변에 대응하는 각을 $A,\; B,\; C$, 반둘레를 $s\; =\; \backslash frac\{a+b+c\}\{2\}$, 내접원의 반지름을 $r$이라고 할 때, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:$\backslash frac\{\backslash cot\backslash left(\backslash tfrac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash right)\}\{s-a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash cot\backslash left(\backslash tfrac\{\backslash beta\}\{2\}\backslash right)\}\{s-b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash cot\backslash left(\backslash tfrac\{\backslash gamma\}\{2\}\backslash right)\}\{s-c\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{r\}$

:$r\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(s-a)(s-b)(s-c)\}\{s\}\}.$

2.1. 공식

삼각형에 대한 일반적인 표기법을 사용하여 (오른쪽 상단 그림 참조), 여기서 $a,\; b,\; c$는 세 변의 길이이고, $A,\; B,\; C$는 세 변의 맞은편 꼭짓점이며, $\backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash gamma$는 해당 꼭짓점에서의 각이고, $s$는 반둘레, 즉 $s\; =\; \backslash frac\{a+b+c\}\{2\}$이고, $r$은 내접원의 반지름일 때, 코탄젠트 법칙은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash cot\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash alpha\}\{s-a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash cot\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash beta\}\{s-b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash cot\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash gamma\}\{s-c\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{r\},$

또한 내접원은 다음과 같다.

:$r\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(s-a)(s-b)(s-c)\}\{s\}\}\backslash ,.$

그림과 같이 $a,\; b,\; c$를 3변의 길이, $A,\; B,\; C$를 각 꼭짓점, $\backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash gamma$를 각 꼭짓점에 대응하는 각, 반둘레를 $s\; =\; \backslash frac\{a+b+c\}\{2\}$, $r$를 내접원의 반지름이라고 하면, 다음 식이 성립한다.

:$\backslash frac\{\backslash cot\backslash left(\backslash tfrac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash right)\}\{s-a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash cot\backslash left(\backslash tfrac\{\backslash beta\}\{2\}\backslash right)\}\{s-b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash cot\backslash left(\backslash tfrac\{\backslash gamma\}\{2\}\backslash right)\}\{s-c\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{r\}$

또한, $r$에 대해,

:$r\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(s-a)(s-b)(s-c)\}\{s\}\}.$

2.2. 증명

위 그림에서 내접원이 삼각형의 변과 접하는 점들은 둘레를 6개의 선분으로 나누며, 3쌍을 이룬다. 각 쌍의 선분들은 길이가 같다. 예를 들어, 꼭짓점 A에 인접한 두 선분은 길이가 같다. 각 쌍에서 하나의 선분을 선택하면, 그 합은 반둘레 s가 된다. 그림에서 색상으로 표시된 선분이 그 예이다. 빨간색 선분을 이루는 두 선분의 합은 a이므로, 파란색 선분의 길이는 s - a 여야 한다. 분명히, 다른 다섯 개의 선분도 s - a, s - b, 또는 s - c 의 길이를 가져야 한다.

그림을 살펴보면, 코탄젠트 함수의 정의에 따라 다음과 같다.
$$\backslash cot\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{s-a\}\{r\}\backslash ,$$
그리고 다른 두 각도에 대해서도 마찬가지이므로, 첫 번째 주장을 증명한다.

두 번째, 즉 내접원 반지름 공식의 경우, 일반적인 덧셈 공식에서 시작한다.
$$\backslash cot(u+v+w)\; =\; \backslash frac\{\backslash cot\; u\; +\; \backslash cot\; v\; +\; \backslash cot\; w\; -\; \backslash cot\; u\; \backslash cot\; v\; \backslash cot\; w\}\{1\; -\; \backslash cot\; u\; \backslash cot\; v\; -\; \backslash cot\; v\; \backslash cot\; w\; -\; \backslash cot\; w\; \backslash cot\; u\}.$$

$\backslash cot\backslash left(\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash alpha\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash beta\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash gamma\backslash right)\; =\; \backslash cot\; \backslash tfrac\{\backslash pi\}\{2\}\; =\; 0$에 적용하면 다음을 얻는다.

$$\backslash cot\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; \backslash cot\backslash frac\{\backslash beta\}\{2\}\; \backslash cot\backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}\; =\; \backslash cot\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; +\; \backslash cot\backslash frac\{\backslash beta\}\{2\}\; +\; \backslash cot\backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}.$$
(이것은 또한 삼중 코탄젠트 항등식이다.)

첫 번째 부분에서 얻은 값을 대입하면 다음과 같다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{(s-a)}{r} \frac{(s-b)}{r} \frac{(s-c)}{r} &= \frac{s-a}{r} + \frac{s-b}{r} +\frac{s-c}{r} \\[2pt]
&= \frac{3s-2s}{r} \\[2pt]
&= \frac{s}{r}
\end{align}
$\backslash frac\{r^3\}\{s\}$을 곱하면 $\{r^2\}$의 값을 얻을 수 있으며, 이는 두 번째 주장을 증명한다.

3. 코탄젠트 법칙을 이용한 공식 유도

코탄젠트 법칙을 이용하면 헤론의 공식, 몰바이드 공식, 탄젠트 법칙 등 여러 삼각법 공식을 유도할 수 있다.

헤론의 공식과 몰바이드 공식을 유도하는 자세한 과정은 각 항목에 설명되어 있다.

3.1. 헤론의 공식

헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이를 알 때 넓이를 구할 수 있는 공식이다. 코탄젠트 법칙을 사용하여 헤론의 공식을 유도할 수 있다.

삼각형 ABC의 면적은 6개의 더 작은 삼각형으로 나눌 수 있다. 이 6개의 삼각형은 3쌍으로 묶을 수 있으며, 각 쌍의 삼각형은 면적이 같다. 예를 들어, 꼭짓점 A 근처의 두 삼각형은 밑변이 s − a이고 높이가 r인 직각삼각형이므로 각각 면적은 $\backslash frac\{1\}\{2\}r(s-a)$이다. 따라서 두 삼각형의 총 면적은 $r(s-a)$이다.

같은 방법으로 꼭짓점 B, C 근처의 삼각형 쌍들의 면적을 각각 구하여 더하면, 전체 삼각형 ABC의 면적 S는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
S &= r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) \\
&= r(3s - (a+b+c)) \\
&= r(3s - 2s) \\
&= rs
\end{align}

여기서 $s\; =\; \backslash frac\{a+b+c\}\{2\}$ (삼각형 둘레의 절반)이고, r은 내접원의 반지름이다.

위 식에 $r\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(s-a)(s-b)(s-c)\}\{s\}\}$ (코탄젠트 법칙에서 유도됨)을 대입하면, 다음과 같은 헤론의 공식을 얻는다.

:$S\; =\; \backslash sqrt\{s(s-a)(s-b)(s-c)\}$

3.2. 몰바이데 공식

몰바이드 제1 공식은 덧셈 공식과 코탄젠트 법칙으로부터 다음을 얻는다.
:$\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(\backslash alpha\; -\; \backslash beta)\; \}\{\backslash sin\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha\; +\; \backslash beta)\; \}\; =\; \backslash frac\{\backslash cot\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash beta\; -\; \backslash cot\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash alpha\}\{\backslash cot\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash beta\; +\; \backslash cot\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{a-b\}\{2s-a-b\}.$
이것은 다음과 같은 결과를 제공한다.
:$\backslash frac\{a-b\}\{c\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash sin\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha\; -\; \backslash beta)\}\{\backslash cos\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash gamma\}$

몰바이드 제2 공식은 덧셈 공식과 코탄젠트 법칙으로부터 다음을 얻는다.
:$\backslash begin\{align\}$
\frac{\cos\tfrac{1}{2}(\alpha - \beta) }{\cos\tfrac{1}{2}(\alpha + \beta)}
&= \frac {\cot\tfrac{1}{2}\alpha \, \cot\tfrac{1}{2}\beta + 1}{\cot\tfrac{1}{2}\alpha \, \cot\tfrac{1}{2}\beta - 1} \\[4pt]
&= \frac{\cot\tfrac{1}{2}\alpha + \cot \tfrac{1}{2}\beta + 2\cot\tfrac{1}{2}\gamma }{\cot\tfrac{1}{2}\alpha + \cot\tfrac{1}{2}\beta} \\[4pt]
&= \frac{4s - a - b - 2c}{2s - a - b}.
\end{align}
여기서 곱을 합으로 변환하기 위해 합/곱 공식에 따라 추가 단계가 필요하다. 이것은 다음과 같은 결과를 제공한다.
:$\backslash frac\{b+a\}\{c\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash cos\backslash tfrac\{1\}\{2\}(\backslash alpha\; -\; \backslash beta)\}\{\backslash sin\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash gamma\}$

3.3. 탄젠트 법칙

탄젠트 법칙은 코탄젠트 법칙으로부터 유도할 수 있다.

4. 기타 코탄젠트 관련 항등식

코탄젠트 법칙은 사인 법칙, 코사인 법칙, 탄젠트 법칙만큼 널리 사용되거나 잘 정립되어 있지 않으므로, 동일한 이름이 코탄젠트를 포함하는 다른 삼각형 항등식에 적용되기도 한다. 예를 들어 다음과 같다.

두 각의 코탄젠트의 합은 그 사이의 변과 세 번째 꼭짓점을 지나는 높이의 비율과 같다.

:$\backslash cot\; \backslash alpha\; +\; \backslash cot\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\{c\}\{h\_c\}.$

코사인 법칙은 코사인 대신 코탄젠트의 관점에서 표현될 수 있으며, 삼각형의 넓이 $S$를 항등식에 포함시킨다.

:$c^2\; =\; a^2\; +\; b^2\; -\; 4S\; \backslash cot\; \backslash gamma.$

삼각형의 세 각의 합이 $\backslash pi$이므로, 이들의 코탄젠트의 쌍별 곱의 합은 1이다.

:$\backslash cot\; \backslash alpha\backslash ,\backslash cot\; \backslash beta\; +\; \backslash cot\; \backslash alpha\backslash ,\backslash cot\; \backslash gamma\; +\; \backslash cot\; \backslash beta\backslash ,\backslash cot\; \backslash gamma\; =\; 1.$