코탄젠트 법칙

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 코탄젠트 법칙
- 2.1. 공식
- 2.2. 증명
3. 코탄젠트 법칙을 이용한 공식 유도
4. 기타 코탄젠트 관련 항등식
참조

1. 개요

코탄젠트 법칙은 삼각형의 변의 길이, 각, 반둘레, 내접원의 반지름 사이의 관계를 나타내는 공식이다. 이 법칙은 삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c, 각 변에 대응하는 각을 A, B, C, 반둘레를 s, 내접원의 반지름을 r이라고 할 때, cot(α/2)/(s-a) = cot(β/2)/(s-b) = cot(γ/2)/(s-c) = 1/r 과 r = √((s-a)(s-b)(s-c)/s)의 관계를 가진다. 코탄젠트 법칙은 헤론의 공식, 몰바이드 공식, 탄젠트 법칙 등을 유도하는 데 사용될 수 있으며, 삼각함수의 덧셈정리와 내접원의 성질을 이용하여 증명된다. 또한, 코탄젠트를 포함하는 다른 삼각형 항등식에도 동일한 이름이 적용되기도 한다.

2. 코탄젠트 법칙

삼각형의 세 변의 길이를 $a, b, c$ , 각 변에 대응하는 각을 $A, B, C$ , 반둘레를 $s = \frac{a+b+c}{2}$ , 내접원의 반지름을 $r$ 이라고 할 때, 다음과 같은 관계가 성립한다.^[1]

: $\frac{\cot\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}{s-a} = \frac{\cot\left(\tfrac{\beta}{2}\right)}{s-b} = \frac{\cot\left(\tfrac{\gamma}{2}\right)}{s-c} = \frac{1}{r}$

: $r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$

2. 1. 공식

삼각형에 대한 일반적인 표기법을 사용하여 (오른쪽 상단 그림 참조), 여기서

a, b, c

는 세 변의 길이이고,

A, B, C

는 세 변의 맞은편 꼭짓점이며,

\alpha, \beta, \gamma

는 해당 꼭짓점에서의 각이고,

s

는 반둘레, 즉

s = \frac{a+b+c}{2}

이고,

r

은 내접원의 반지름일 때, 코탄젠트 법칙은 다음과 같다.

:

\frac{\cot\frac{1}{2}\alpha}{s-a} = \frac{\cot\frac{1}{2}\beta}{s-b} = \frac{\cot\frac{1}{2}\gamma}{s-c} = \frac{1}{r},

또한 내접원은 다음과 같다.

:

r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\,.

회피 삼각형의 내접원에 의한 변의 분할. 각의 이등분선은 내심(내접원의 중심)에서 만난다.

그림과 같이

a, b, c

를 3변의 길이,

A, B, C

를 각 꼭짓점,

\alpha, \beta, \gamma

를 각 꼭짓점에 대응하는 각, 반둘레를

s = \frac{a+b+c}{2}

,

r

를 내접원의 반지름이라고 하면, 다음 식이 성립한다.^[1]

:

\frac{\cot\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}{s-a} = \frac{\cot\left(\tfrac{\beta}{2}\right)}{s-b} = \frac{\cot\left(\tfrac{\gamma}{2}\right)}{s-c} = \frac{1}{r}

또한,

r

에 대해,^[1]

:

r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.

2. 2. 증명

위 그림에서 내접원이 삼각형의 변과 접하는 점들은 둘레를 6개의 선분으로 나누며, 3쌍을 이룬다. 각 쌍의 선분들은 길이가 같다. 예를 들어, 꼭짓점 A에 인접한 두 선분은 길이가 같다. 각 쌍에서 하나의 선분을 선택하면, 그 합은 반둘레 s가 된다. 그림에서 색상으로 표시된 선분이 그 예이다. 빨간색 선분을 이루는 두 선분의 합은 a이므로, 파란색 선분의 길이는 s - a 여야 한다. 분명히, 다른 다섯 개의 선분도 s - a, s - b, 또는 s - c 의 길이를 가져야 한다.

그림을 살펴보면, 코탄젠트 함수의 정의에 따라 다음과 같다.

\cot\frac{\alpha}{2} = \frac{s-a}{r}\,

그리고 다른 두 각도에 대해서도 마찬가지이므로, 첫 번째 주장을 증명한다.

두 번째, 즉 내접원 반지름 공식의 경우, 일반적인 덧셈 공식에서 시작한다.

\cot(u+v+w) = \frac{\cot u + \cot v + \cot w - \cot u \cot v \cot w}{1 - \cot u \cot v - \cot v \cot w - \cot w \cot u}.

\cot\left(\tfrac{1}{2}\alpha + \tfrac{1}{2}\beta + \tfrac{1}{2}\gamma\right) = \cot \tfrac{\pi}{2} = 0

에 적용하면 다음을 얻는다.

\cot\frac{\alpha}{2}  \cot\frac{\beta}{2}  \cot\frac{\gamma}{2} = \cot\frac{\alpha}{2} + \cot\frac{\beta}{2} + \cot\frac{\gamma}{2}.

(이것은 또한 삼중 코탄젠트 항등식이다.)

첫 번째 부분에서 얻은 값을 대입하면 다음과 같다.

\begin{align}\frac{(s-a)}{r} \frac{(s-b)}{r} \frac{(s-c)}{r} &= \frac{s-a}{r} + \frac{s-b}{r} +\frac{s-c}{r} \\[2pt]&= \frac{3s-2s}{r} \\[2pt]&= \frac{s}{r}\end{align}

\frac{r^3}{s}

을 곱하면

{r^2}

의 값을 얻을 수 있으며, 이는 두 번째 주장을 증명한다.

3. 코탄젠트 법칙을 이용한 공식 유도

코탄젠트 법칙을 이용하면 헤론의 공식, 몰바이드 공식, 탄젠트 법칙 등 여러 삼각법 공식을 유도할 수 있다.

헤론의 공식과 몰바이드 공식을 유도하는 자세한 과정은 각 항목에 설명되어 있다.

3. 1. 헤론의 공식

헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이를 알 때 넓이를 구할 수 있는 공식이다. 코탄젠트 법칙을 사용하여 헤론의 공식을 유도할 수 있다.

삼각형 ''ABC''의 면적은 6개의 더 작은 삼각형으로 나눌 수 있다. 이 6개의 삼각형은 3쌍으로 묶을 수 있으며, 각 쌍의 삼각형은 면적이 같다. 예를 들어, 꼭짓점 ''A'' 근처의 두 삼각형은 밑변이 ''s'' − ''a''이고 높이가 ''r''인 직각삼각형이므로 각각 면적은

\frac{1}{2}r(s-a)

이다. 따라서 두 삼각형의 총 면적은

r(s-a)

이다.

같은 방법으로 꼭짓점 ''B'', ''C'' 근처의 삼각형 쌍들의 면적을 각각 구하여 더하면, 전체 삼각형 ''ABC''의 면적 ''S''는 다음과 같다.

:

\begin{align}S &= r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) \\&= r(3s - (a+b+c)) \\&= r(3s - 2s) \\&= rs\end{align}

여기서

s = \frac{a+b+c}{2}

(삼각형 둘레의 절반)이고, ''r''은 내접원의 반지름이다.

위 식에

r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}

(코탄젠트 법칙에서 유도됨)을 대입하면, 다음과 같은 헤론의 공식을 얻는다.

:

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

3. 2. 몰바이데 공식

몰바이드 제1 공식은 덧셈 공식과 코탄젠트 법칙으로부터 다음을 얻는다.

:

\frac{\sin \tfrac{1}{2}(\alpha - \beta) }{\sin\frac{1}{2}(\alpha + \beta) } = \frac{\cot\frac{1}{2}\beta - \cot\tfrac{1}{2} \alpha}{\cot\frac{1}{2}\beta + \cot\tfrac{1}{2}\alpha} = \frac{a-b}{2s-a-b}.

이것은 다음과 같은 결과를 제공한다.

:

\frac{a-b}{c} = \dfrac{\sin\frac{1}{2}(\alpha - \beta)}{\cos\frac{1}{2}\gamma}

몰바이드 제2 공식은 덧셈 공식과 코탄젠트 법칙으로부터 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\frac{\cos\tfrac{1}{2}(\alpha - \beta) }{\cos\tfrac{1}{2}(\alpha + \beta)}&= \frac {\cot\tfrac{1}{2}\alpha \, \cot\tfrac{1}{2}\beta + 1}{\cot\tfrac{1}{2}\alpha \, \cot\tfrac{1}{2}\beta - 1} \\[4pt]&= \frac{\cot\tfrac{1}{2}\alpha + \cot \tfrac{1}{2}\beta + 2\cot\tfrac{1}{2}\gamma }{\cot\tfrac{1}{2}\alpha + \cot\tfrac{1}{2}\beta} \\[4pt]&= \frac{4s - a - b - 2c}{2s - a - b}.\end{align}

여기서 곱을 합으로 변환하기 위해 합/곱 공식에 따라 추가 단계가 필요하다. 이것은 다음과 같은 결과를 제공한다.

:

\frac{b+a}{c} = \dfrac{\cos\tfrac{1}{2}(\alpha - \beta)}{\sin\tfrac{1}{2}\gamma}

3. 3. 탄젠트 법칙

탄젠트 법칙은 코탄젠트 법칙으로부터 유도할 수 있다.

4. 기타 코탄젠트 관련 항등식

코탄젠트 법칙은 사인 법칙, 코사인 법칙, 탄젠트 법칙만큼 널리 사용되거나 잘 정립되어 있지 않으므로, 동일한 이름이 코탄젠트를 포함하는 다른 삼각형 항등식에 적용되기도 한다.^[3] 예를 들어 다음과 같다.

두 각의 코탄젠트의 합은 그 사이의 변과 세 번째 꼭짓점을 지나는 높이의 비율과 같다.

: $\cot \alpha + \cot \beta = \frac{c}{h_c}.$

코사인 법칙은 코사인 대신 코탄젠트의 관점에서 표현될 수 있으며, 삼각형의 넓이 $S$ 를 항등식에 포함시킨다.^[4]

: $c^2 = a^2 + b^2 - 4S \cot \gamma.$

삼각형의 세 각의 합이 $\pi$ 이므로, 이들의 코탄젠트의 쌍별 곱의 합은 1이다.^[5]

: $\cot \alpha\,\cot \beta + \cot \alpha\,\cot \gamma + \cot \beta\,\cot \gamma = 1.$

참조

_[1] 서적 The Universal Encyclopaedia of Mathematics Pan Reference Books 1976
_[2] 서적 Illustrated glossary for school mathematics
_[3] 서적 Transistors https://archive.org/[...] Prentice-Hall
_[4] 간행물 Cosine and Cotangent Theorems for a Quadrilateral, two new Formulas for its Area and Their Applications http://e-university.[...]
_[5] 학술지 Diophantine Laws for Nets of the Highest Symmetries https://repo.library[...]
_[6] 서적 The Universal Encyclopaedia of Mathematics Pan Reference Books 1976
_[7] 서적 The Universal Encyclopaedia of Mathematics Pan Reference Books 1976

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com