탄젠트 법칙

1. 개요

탄젠트 법칙은 삼각형의 두 각과 두 변의 관계를 나타내는 공식으로, 사인 법칙이나 코사인 법칙과 함께 삼각형의 변과 각을 계산하는 데 사용된다. 탄젠트 법칙은 다음과 같은 형태로 표현된다: (a-b)/(a+b) = tan((α-β)/2) / tan((α+β)/2). 이 정리는 사인 법칙과 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식을 이용하여 증명할 수 있으며, 두 변과 끼인각이 주어졌을 때 나머지 각을 계산하거나, 두 각과 한 변이 주어졌을 때 나머지 변을 계산하는 데 활용된다. 과거에는 계산의 효율성 때문에 코사인 법칙보다 널리 사용되었으며, 현대에는 수치 해석적 안정성 측면에서 코사인 법칙보다 유리할 수 있다. 또한 구면 삼각법과 원에 내접하는 사각형에 대한 일반화된 형태로도 존재한다. 탄젠트 법칙은 10세기 아랍 수학자에 의해 처음 발견되었으며, 이후 이븐 무아드 알자야니, 나시르 알딘 알투시 등에 의해 발전되었다.

2. 공식

평면 삼각형에서, 세 각 α, β, γ와 각 각에 마주보는 변 a, b, c에 대해, 탄젠트 법칙은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash tan\backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\}\{\backslash tan\backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\}.$

탄젠트 법칙은 사인 법칙이나 코사인 법칙만큼 일반적이지는 않지만, 삼각형의 두 각과 두 변의 길이 중 하나가 불명확한 경우 사인 법칙 대신 이 정리를 사용하여 나머지 값을 구할 수 있다.

3. 증명

탄젠트 법칙은 사인 법칙에서 시작한다. 즉,
:$\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\backslash beta\}$
로부터
:$\backslash frac\{a\}\{b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\backslash alpha\}\{\backslash sin\backslash beta\}$
를 얻고, 여기에 비례식의 가비의 리를 적용하면,
:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; \backslash alpha\; -\; \backslash sin\backslash beta\}\{\backslash sin\backslash alpha\; +\; \backslash sin\backslash beta\}$
가 성립한다.

여기서, 다음의 합차 공식을 사용한다.
:$\backslash sin\{\backslash alpha\}\; \backslash pm\; \backslash sin\{\backslash beta\}\; =\; 2\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash alpha\; \backslash pm\; \backslash beta\}\{2\}\; \backslash cos\; \backslash frac\{\backslash alpha\; \backslash mp\; \backslash beta\}\{2\}$
최종적으로 다음이 된다.
:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash sin\backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\backslash cos\backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\}\{2\backslash sin\backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\backslash cos\backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash tan\backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\}\{\backslash tan\backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\}.\; \backslash qquad\backslash blacksquare$

3.1. 다른 증명 (영어 위키백과)

사인 법칙과 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식을 이용하면 다음이 성립한다.
:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}=\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash alpha\; -\; \backslash sin\; \backslash beta\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta\}=\backslash frac\{\backslash cos\; \backslash frac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\backslash sin\; \backslash frac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\}\{\backslash sin\backslash frac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\backslash cos\backslash frac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\}=\backslash frac\{\backslash tan[\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha-\backslash beta)]\}\{\backslash tan[\backslash frac\{1\}\{2\}(\backslash alpha+\backslash beta)]\}$

사인 법칙을 증명하기 위해 다음과 같이 시작할 수 있다.

:$\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\backslash beta\}\; =\; d,$

여기서 d는 외접원의 지름이므로, $a\; =\; d\; \backslash sin\backslash alpha$와 $b\; =\; d\; \backslash sin\backslash beta$가 성립한다.

따라서 다음이 성립한다.

:$$
\frac{a-b}{a+b}
= \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}
{d \sin\alpha + d\sin\beta}
= \frac{\sin \alpha - \sin\beta}
{\sin\alpha + \sin\beta}.


삼각 항등식, 특히 사인에 대한 인수 분해 공식을 사용하면 다음과 같다.

:$$
\sin\alpha \pm \sin\beta
= 2 \sin\tfrac12(\alpha \pm \beta) \, \cos\tfrac12( \alpha \mp \beta),


다음과 같은 결과를 얻는다.

:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}$
= \frac{2\sin\tfrac12(\alpha-\beta) \, \cos\tfrac12(\alpha+\beta)}
{2\sin\tfrac12(\alpha+\beta) \, \cos\tfrac12(\alpha-\beta)}
= \frac{\sin\tfrac12(\alpha-\beta)}
{\cos\tfrac12(\alpha-\beta)} \Bigg/
\frac{\sin\tfrac12(\alpha+\beta)}
{\cos\tfrac12(\alpha+\beta)}
= \frac{\tan\tfrac12(\alpha-\beta)}
{\tan\tfrac12(\alpha+\beta)}.


두 사인의 합 또는 차에 대한 항등식을 사용하는 대신, 다음 삼각 항등식을 인용할 수 있다.

:$$
\tan \tfrac12 (\alpha \pm \beta)
= \frac{\sin\alpha \pm \sin\beta}
{\cos\alpha + \cos\beta}


(탄젠트 반각 공식 참조).

이 정리의 증명은 사인 법칙에서 시작한다. 즉,
:$\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\backslash beta\}$
로부터
:$\backslash frac\{a\}\{b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\backslash alpha\}\{\backslash sin\backslash beta\}$
를 얻고, 여기에 비례식의 가비의 리를 적용하면,
:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; \backslash alpha\; -\; \backslash sin\backslash beta\}\{\backslash sin\backslash alpha\; +\; \backslash sin\backslash beta\}$
가 성립한다.

여기서, 다음의 합차 공식을 사용한다.
:$\backslash sin\{\backslash alpha\}\; \backslash pm\; \backslash sin\{\backslash beta\}\; =\; 2\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash alpha\; \backslash pm\; \backslash beta\}\{2\}\; \backslash cos\; \backslash frac\{\backslash alpha\; \backslash mp\; \backslash beta\}\{2\}$
최종적으로 다음이 된다.
:$\backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash sin\backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\backslash cos\backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\}\{2\backslash sin\backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\backslash cos\backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash tan\backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\}\{\backslash tan\backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\}.\; \backslash qquad\backslash blacksquare$

4. 활용

탄젠트 법칙은 삼각형의 두 변 a와 b, 그리고 그 끼인각 γ가 주어졌을 때 나머지 각을 계산하는 데 사용된다. 공식은 다음과 같다.

:$\backslash tan\backslash tfrac12(\backslash alpha-\backslash beta)\; =\; \backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; \backslash tan\backslash tfrac12(\backslash alpha+\backslash beta)\; =\; \backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\; \backslash cot\backslash tfrac12\backslash gamma$

먼저 위 식을 이용하여 각의 차이 α − β = Δ를 구한다. 그 후, β = (180° − γ − Δ)/2 를 통해 β를 계산하고, α = β + Δ를 계산하여 α를 구한다.

알려진 변에 대응하는 각을 구했다면, 사인 법칙을 사용하여 나머지 변 c를 계산할 수 있다.

과거에는 전자 계산기가 없었기 때문에 코사인 법칙 ($c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; -\; 2ab\; \backslash cos\; \backslash gamma\}$) 대신 탄젠트 법칙을 사용하는 것이 더 효율적이었다. 코사인 법칙은 제곱근 계산을 위해 로그 표를 추가로 찾아봐야 했지만, 탄젠트 법칙은 그렇지 않았기 때문이다. 현대에는 탄젠트 법칙이 코사인 법칙보다 수치 해석적으로 더 안정적인 결과를 제공하기도 한다. 특히, γ가 작고 a와 b가 비슷할 때 코사인 법칙을 사용하면 재앙적 상쇄가 발생할 수 있지만, 탄젠트 법칙은 이러한 문제를 완화한다.

5. 구면 삼각법

단위 반지름의 구에서 삼각형의 변은 대원의 호이다. 따라서 변의 길이는 라디안 또는 다른 각도 단위로 표현할 수 있다. 삼각형의 세 꼭짓점에서의 각을 A, B, C라고 하고, 마주보는 변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 구면 탄젠트 법칙은 다음과 같다.

:$$
\frac{\tan\tfrac12(A-B)}{\tan\tfrac12(A+B)}
= \frac{\tan\tfrac12(a-b)}
{\tan\tfrac12(a+b)}.

구면 위의 삼각형에 대한 탄젠트 법칙은 13세기에 나시르 알딘 알투시가 저서 사변형에 관한 논문(Treatise on the Quadrilateral)에서 언급했다.

구면 삼각법의 사인 법칙:

:$\backslash frac\{\backslash sin\; a\}\{\backslash sin\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; b\}\{\backslash sin\backslash beta\}$

에서, 앞 절의 과정을 마찬가지로 따라가면 구면 삼각법의 탄젠트 법칙:

:$\backslash frac\{\backslash tan\; \backslash dfrac\{a-b\}\{2\}\}\{\backslash tan\; \backslash dfrac\{a+b\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash tan\; \backslash dfrac\{\backslash alpha-\backslash beta\}\{2\}\}\{\backslash tan\; \backslash dfrac\{\backslash alpha+\backslash beta\}\{2\}\}$

을 얻을 수 있다.

6. 역사

아부 알와파가 10세기에 탄젠트 법칙을 발견했다.

이븐 무아드 알자야니 역시 11세기에 평면 삼각형에 대한 탄젠트 법칙을 설명했다.

13세기 페르시아 수학자 나시르 알딘 알투시는 5권으로 된 저서 《사변형에 관한 논고》에서 구면 삼각형과 평면 삼각형에 대한 탄젠트 법칙을 설명하고, 평면 삼각형에 대한 사인 법칙도 제시했다.

7. 원에 내접하는 사각형

원주 사각형 ABCD에서, 변의 길이를 |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |DA| = d라 하고, 각의 크기를 ∠DAB = α, ∠ABC = β라 할 때, 다음 공식이 성립한다.

:(a - c)(b - d) / (a + c)(b + d) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2)^영어

이 공식은 c=0일 때 삼각형에 대한 탄젠트 법칙으로 축소된다.