쿼크 섞임

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1. 개요

쿼크 섞임은 약한 상호작용으로 인해 쿼크의 맛깔이 바뀌는 현상으로, 쿼크 섞임 행렬(CKM 행렬)로 기술된다. 1963년 니콜라 카비보가 2세대에 대해 처음 제안했으며, 1973년 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데가 3세대로 확장하여 CP 대칭성 깨짐을 설명했다. CKM 행렬은 쿼크의 전이 확률을 나타내며, 표준, 고바야시-마스카와, 울펜스타인 표기법으로 표현된다. CKM 행렬의 유니타리성은 유니타리 삼각형으로 표현되며, CP 위반과 관련된다. 약한 상호작용의 보편성은 CKM 행렬의 유니타리성 제약 조건에서 비롯되며, 실험적으로 검증되고 있다.

쿼크 섞임

개요

종류	유니타리 행렬
관련	약한 상호작용
설명	약한 상호작용에 대한 정보를 담고 있는 유니타리 행렬

명칭

영어	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa matrix (CKM matrix)
한국어	카비보-고바야시-마스카와 행렬
일본어	カビボ・小林・益川行列 (카비보・고바야시・마스카와 교레츠)

입자 물리학

관련 주제	쿼크 섞임
관련 행렬	PMNS 행렬
관련 개념	플레이버 상보성

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 카비보 각
- 2.2. 고바야시-마스카와 이론 (CKM 행렬)
3. 정의
- 3.1. 쿼크 섞임
- 3.2. CKM 행렬
4. 매개변수 표기
5. 유니타리 삼각형
6. 약한 상호작용의 보편성
7. CP 대칭성 깨짐
8. 추가 설명 (4단계)

2. 역사

1963년 니콜라 카비보는 약한 상호작용의 보편성을 설명하기 위해 2개의 세대에 대한 쿼크 섞임 행렬을 제안하였다. 1973년 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데는 CP 위반을 설명하기 위해 이를 3세대로 확장하였다. 고바야시와 마스카와는 이 공로로 2008년 노벨 물리학상을 수상하였다.

전하를 띤 약한 상호작용으로 인한 붕괴 경로와 그 가능성을 나타내는 다이어그램. 선의 강도는 CKM 매개변수로 주어진다.

쿼크 섞임은 다음 두 가지 관측 결과를 설명하기 위해 고안되었다.

# 업 쿼크 ↔ 다운 쿼크, 전자 ↔ 전자 중성미자, 뮤온 ↔ 뮤 중성미자의 변환은 유사한 진폭을 갖는다.
# 스트레인지(기묘함)가 변화하는 소립자의 변환에서

\Delta S=1

는

\Delta S=0

의 1/4의 진폭을 갖는다.

이에 대해 카비보는 약한 상호작용의 보편성이 첫 번째 현상을, 다운 쿼크와 스트레인지 쿼크의 혼합각이 두 번째 현상을 각각 해결한다고 가정했다.

쿼크가 2세대일 경우에는 CP 대칭성 파괴를 나타내는 위상은 나타나지 않는다. 반면 중성 K 중간자의 붕괴에 따른 대칭성 파괴는 1964년에 발견되었고, 표준 모형이 발표되자 1973년에 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데가 지적했듯이 3세대 쿼크의 존재가 강하게 시사되었다. 1976년에는 페르미 국립 가속기 연구소에서 바닥 쿼크가 발견되었고, 곧 이것과 쌍을 이루는 톱 쿼크 찾기가 시작되었다.

2.1. 카비보 각

--
1963년, 겔만 등의 연구를 통해 유도된 약한 상호작용의 보편성을 보존하기 위해 카비보는 카비보 각(θ_c)을 제안했다. 당시에는 아직 쿼크 모형이 존재하지 않았지만, 이는 다운 쿼크나 스트레인지 쿼크가 업 쿼크로 붕괴하는 경우와 관련된 현상(|V_ud|² 및 |V_us|²에 해당)을 잘 설명할 수 있었다.

약전류에 의해 업 쿼크로 붕괴하는 쿼크는 일반적으로 아래 쿼크의 중첩 상태이다. 이를 d′로 표기하면, 벡터 표시로
: $|d^\prime \rangle = V_{ud} | d \rangle + V_{us} | s \rangle$
가 된다. 카비보 각을 사용하면
: $|d^\prime \rangle = \cos \theta_\mathrm{c} | d \rangle + \sin \theta_\mathrm{c} | s \rangle$
이다. 현재 알려진 실험값을 |V_ud|과 |V_us|에 대입하면, 카비보 각은
: $\tan\theta_\mathrm{c}=\frac$

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=\frac{0.2257}{0.97419} \rarr \theta_\mathrm{c}= ~13.04^\circ
가 된다.

2.2. 고바야시-마스카와 이론 (CKM 행렬)

1963년 니콜라 카비보가 2개의 세대에 대하여 쿼크 섞임 행렬을 제안하였다. 1973년 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데는 이를 3세대로 확장하였다. 이들은 4-쿼크 모델로는 CP 위반을 설명할 수 없다는 것을 알고, 3세대 쿼크의 약한 붕괴를 설명하기 위해 카비보 행렬을 확장하여 CKM 행렬(카비보-코바야시-마스카와 행렬)을 만들었다. 고바야시와 마스카와는 이 공로로 2008년 노벨 물리학상을 수상하였다.

CKM 행렬은 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{bmatrix}  d'  \\  s'  \\  b'  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_\mathrm{ud} & V_\mathrm{us} & V_\mathrm{ub} \\ V_\mathrm{cd} & V_\mathrm{cs} & V_\mathrm{cb} \\ V_\mathrm{td} & V_\mathrm{ts} & V_\mathrm{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  d  \\  s  \\  b  \end{bmatrix}~.

여기서 왼쪽은 다운 쿼크의 약한 상호작용 이중항 파트너이고, 오른쪽은 CKM 행렬과 다운 쿼크의 질량 고유 상태 벡터이다. CKM 행렬은 한 맛 쿼크에서 다른 맛 쿼크로의 전이 확률을 나타내며, 이 전이는

|V_{ij}|^2

에 비례한다.

2023년 기준으로, CKM 행렬 요소의 개별 절댓값은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}|V_{ud}| & |V_{us}| & |V_{ub}| \\|V_{cd}| & |V_{cs}| & |V_{cb}| \\|V_{td}| & |V_{ts}| & |V_{tb}|\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.97435 \pm 0.00016 & 0.22500 \pm 0.00067 & 0.00369\pm 0.00011\\0.22486 \pm 0.00067 & 0.97349 \pm 0.00016 & 0.04182^{+0.00085}_{-0.00074} \\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020} & 0.04110^{+0.00083}_{-0.00072}  & 0.999118^{+0.000031}_{-0.000036}\end{bmatrix}.

이 값들을 통해 CKM 행렬의 유니타리성을 확인할 수 있다. 예를 들어, 첫 번째 행렬 요소는

|V_\mathrm{ud}|^2 + |V_\mathrm{us}|^2 + |V_\mathrm{ub}|^2 = .999997 \pm .0007~;

이며, 이는 실험 결과가 이론값 1과 일치함을 보여준다.

다운 쿼크를 기준으로 사용하는 것은 관례이며, 업 쿼크와 다운 쿼크 사이에 특별한 비대칭성이 있는 것은 아니다. 업 쿼크의 질량 고유 상태인 u, c, t를 기준으로 그들의 약한 상호작용 파트너 u', c', t'를 통해 행렬을 정의할 수도 있다. CKM 행렬은 유니타리 행렬이므로, 그 역행렬은 켤레 전치 행렬과 같으며, 이는 업 쿼크를 기준으로 할 때 사용된다.

3. 정의

강력과 전자기력은 맛깔을 보존하지만, 약력은 쿼크 섞임 때문에 맛깔을 보존하지 않는다. 따라서 약력을 통해 맛깔이 바뀌는 여러 과정이 가능하다. 예를 들어, 중성자 붕괴( $n\to p+e^-+\bar\nu_e$ )는 약력을 통해 아래 쿼크가 위 쿼크로 바뀌면서 발생한다.( $d\to u+W^+\to u+e^-+\bar\nu_e$ ) 또한, 무거운 강입자가 더 가벼운 강입자로 붕괴할 때도 맛깔이 바뀌어야 하므로 쿼크 섞임이 일어난다.

쿼크가 섞이는 정도는 3×3 유니타리 행렬인 CKM 행렬(V)로 기술한다. 이 행렬은 카비보-고바야시-마스카와 행렬이라고도 불린다. CKM 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{bmatrix} \left| d^\prime \right \rangle \\ \left| s^\prime \right \rangle \\ \left| b^\prime \right \rangle \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} \\ V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left| d \right \rangle \\ \left| s \right \rangle \\ \left| b \right \rangle \end{bmatrix}$

CKM 행렬은 유니타리 행렬이므로 9개의 실수 변수로 나타낼 수 있다. 이 가운데 5개는 표준 모형의 라그랑지안으로 흡수할 수 있어 실제로는 4개의 변수로 나타낼 수 있다. 일반적으로 이 4개의 변수는 다음과 같이 정의한다.

: $V=\begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\ -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\ s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}$

여기서 $c_{ij}=\cos\theta_{ij}$ , $s_{ij}=\sin\theta_{ij}$ 이며, 실험 결과 θ₁₂ = 13.04^±0.05°, θ₁₃ = 0.201^±0.011°, θ₂₃ = 2.38^±0.06°, δ₁₃ = 1.20^±0.08이다.

3.1. 쿼크 섞임

1963년 니콜라 카비보가 2개의 세대에 대하여 쿼크 섞임을 제안하였다. 1973년 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데가 이를 3세대로 확장하였다. 고바야시와 마스카와는 이 공로로 2008년 노벨 물리학상을 수상하였다.

자연계의 힘 가운데 강력과 전자기력은 맛깔을 보존하지만 약력은 쿼크 섞임으로 인하여 그렇지 않다. 따라서 약력을 통하여 맛깔이 바뀌는 여러 과정이 가능하다. 예를 들어 중성자 붕괴
: $n\to p+e^-+\bar\nu_e$
는 약력으로 다음과 같이 발생한다.
: $d\to u+W^+\to u+e^-+\bar\nu_e$
여기서 아래 쿼크가 위 쿼크로 바뀌는 것을 볼 수 있다. 또한 무거운 강입자의 경우 더 가벼운 강입자로 붕괴하려면 역시 맛깔이 바뀌어야 하기 때문에 역시 쿼크 섞임으로 붕괴한다.

쿼크가 섞이는 정도는 3×3 유니타리 행렬인 쿼크 섞임 행렬 또는 카비보-고바야시-마스카와 (CKM) 행렬 V로 기술한다.
: $\begin{bmatrix} \left| d^\prime \right \rangle \\ \left| s^\prime \right \rangle \\ \left| b^\prime \right \rangle \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} \\ V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left| d \right \rangle \\ \left| s \right \rangle \\ \left| b \right \rangle \end{bmatrix}$

CKM 행렬은 유니타리 행렬이므로 9개의 실수 도움변수로 나타낼 수 있다. 이 가운데 5개는 표준 모형의 라그랑지안으로 흡수시킬 수 있어서 실제로 4개의 도움변수면 족하다.

일반적으로 이 4개의 변수는 다음과 같이 정의한다.
: $V=\begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\ -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\ s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}$
여기서
: $c_{ij}=\cos\theta_{ij}$
: $s_{ij}=\sin\theta_{ij}$
이렇게 적으면 도움변수의 값은 실험 결과 다음과 같다.
:θ₁₂ = 13.04^±0.05°, θ₁₃ = 0.201^±0.011°, θ₂₃ = 2.38^±0.06°, δ₁₃ = 1.20^±0.08.

네 도움변수 중 처음 셋은 크기가 매우 다른데, 이는 서로 다른 세대로 붕괴하는 현상은 드물기 때문이다. 이에 착안하여, 세 변수가 다 비슷한 크기를 갖도록 도움변수를 잡을 수 있는데, 이를 울펀스타인 변수라고 한다. 미국의 물리학자 링컨 울펀스타인(Lincoln Wolfenstein)이 1983년에 도입하였다.
: λ = s₁₂
: Aλ² = s₂₃
: Aλ³(ρ − iη) = s₁₃e^−iδ
이에 따르면 도움변수의 값은 다음과 같다.
:λ = 0.2257^{+0.0009-0.0010}, A = 0.814^+0.021-0.022, ρ = 0.135^+0.031-0.016, η = 0.349^+0.015-0.017

--
니콜라 카비보는 약한 상호작용의 보편성을 유지하기 위해 1963년 카비보 각을 도입했다. 카비보는 머레이 겔만과 모리스 레비의 이전 연구에서 영감을 받았다.

당시 쿼크는 아직 제안되지 않았지만, 카비보 각은 다운 쿼크와 스트레인지 쿼크가 업 쿼크로 붕괴될 상대적 확률과 관련이 있다. 전하-전류 약한 상호작용을 통해 업 쿼크에 결합하는 개체는 다운 유형 쿼크의 중첩이며, $d'$ 로 표시된다.
수학적으로 다음과 같다.

: $d' = V_\mathrm{ud} \; d ~~ + ~~ V_\mathrm{us} \; s ~,$

카비보 각을 사용하면:

: $d' = \cos \theta_\mathrm{c} \; d ~~ + ~~ \sin \theta_\mathrm{c} \; s ~.$

현재 허용되는 값을 사용하면, 카비보 각은 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $\tan\theta_\mathrm{c} = \frac{\, |V_\mathrm{us}| \,}$

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= \frac{0.22534}{0.97427} \quad \Rightarrow \quad \theta_\mathrm{c}= ~13.02^\circ ~.

1974년 참 쿼크가 발견되었을 때, 다운 쿼크와 스트레인지 쿼크가 업 쿼크 또는 참 쿼크로 전환될 수 있어 두 세트의 방정식이 도출되었다.

:

d' = V_\mathrm{ud} \; d ~~ + ~~ V_\mathrm{us} \; s ~,

s' = V_\mathrm{cd} \; d ~~ + ~~ V_\mathrm{cs} \; s ~;

카비보 각을 사용하면:

:

d' = ~~~ \cos{\theta_\mathrm{c}} \; d  ~~+~~ \sin{\theta_\mathrm{c}} \; s ~,

s' =  -  \sin{\theta_\mathrm{c}} \; d  ~~+~~ \cos{\theta_\mathrm{c}} \; s ~.

이는 행렬 표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{bmatrix}  d'  \\  s'  \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} V_\mathrm{ud} & V_\mathrm{us} \\ V_{cd} & V_{cs} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  d  \\  s  \end{bmatrix} ~,

카비보 각을 사용하면

:

\begin{bmatrix} d'  \\  s'  \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ~~\cos{ \theta_\mathrm{c} } & \sin{ \theta_\mathrm{c} } \\  -\sin{\theta_\mathrm{c}} & \cos{\theta_\mathrm{c}}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  d  \\  s  \end{bmatrix}~,

여기서

|V_{ij}|^2

는 쿼크

i

가 쿼크

j

로 붕괴될 확률을 나타낸다. 이 2×2 회전 행렬은 "카비보 행렬"이라고 하며, 이후 3×3 CKM 행렬로 확장되었다.

--

전하를 띤 약한 상호작용으로 인한 붕괴 경로와 가능성을 나타내는 다이어그램. 선의 강도는 CKM 매개변수로 주어진다.

1973년, CP 위반이 4-쿼크 모델로는 설명될 수 없다는 것을 관찰한 코바야시 마사토시와 마스카와 도시히데는 3세대 쿼크의 약한 붕괴를 추적하기 위해 카비보 행렬을 CKM 행렬로 일반화했다.

:

\begin{bmatrix}  d'  \\  s'  \\  b'  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_\mathrm{ud} & V_\mathrm{us} & V_\mathrm{ub} \\ V_\mathrm{cd} & V_\mathrm{cs} & V_\mathrm{cb} \\ V_\mathrm{td} & V_\mathrm{ts} & V_\mathrm{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  d  \\  s  \\  b  \end{bmatrix}~.

왼쪽에는 다운 쿼크의 약한 상호작용 이중항 파트너가 있고, 오른쪽에는 CKM 행렬과 다운 쿼크의 질량 고유 상태 벡터가 있다. CKM 행렬은 쿼크

j

에서 쿼크

i

로의 전이 확률을 설명한다. 이러한 전이는

|V_{ij}|^2

에 비례한다.

2023년 현재, CKM 행렬 요소의 개별 절댓값에 대한 최상의 결정은 다음과 같다.
:

\begin{bmatrix}|V_{ud}| & |V_{us}| & |V_{ub}| \\|V_{cd}| & |V_{cs}| & |V_{cb}| \\|V_{td}| & |V_{ts}| & |V_{tb}|\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.97435 \pm 0.00016 & 0.22500 \pm 0.00067 & 0.00369\pm 0.00011\\0.22486 \pm 0.00067 & 0.97349 \pm 0.00016 & 0.04182^{+0.00085}_{-0.00074} \\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020} & 0.04110^{+0.00083}_{-0.00072}  & 0.999118^{+0.000031}_{-0.000036}\end{bmatrix}.

이 값을 사용하여 CKM 행렬의 유니타리티를 확인할 수 있다. 특히, 첫 번째 행렬 요소는 다음과 같다.

|V_\mathrm{ud}|^2 + |V_\mathrm{us}|^2 + |V_\mathrm{ub}|^2 = .999997 \pm .0007~;

이것은 실험 결과를 이론 값 1과 일치시킨다.

--

전약 상호작용에 의해 아래 계열의 쿼크(다운, 스트레인지, 바닥)는 위 계열의 쿼크(업, 참, 톱)로 붕괴한다. 업 쿼크로 붕괴하는 쿼크는 순수한 다운 쿼크의 상태 (질량 고유 상태)가 아니라, 아래 계열 쿼크의 중첩 상태가 된다. 참, 톱에 대해서도 마찬가지이며, 위 계열과 아래 계열 쿼크의 차이가 CKM 행렬이다.

겔만 등의 연구를 통해 1963년 유도된 약한 상호작용의 보편성을 보존하기 위해 카비보는 카비보 각(θ_c)을 제안했다. 당시 쿼크 모형은 존재하지 않았지만, 이는 다운 쿼크나 스트레인지 쿼크가 업 쿼크로 붕괴하는 현상(|V_ud|² 및 |V_us|²)을 잘 설명할 수 있었다.

약전류에 의해 업 쿼크로 붕괴하는 쿼크는 아래 쿼크의 중첩 상태이다. 이를 d′로 표기하면, 벡터 표시로
:

|d^\prime \rangle = V_{ud} | d \rangle + V_{us} | s \rangle

가 된다. 카비보 각을 사용하면
:

|d^\prime \rangle = \cos \theta_\mathrm{c} | d \rangle + \sin \theta_\mathrm{c} | s \rangle

이다. 현재 알려진 실험값을 대입하면, 카비보 각은
:

\tan\theta_\mathrm{c}=\frac

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=\frac{0.2257}{0.97419} \rarr \theta_\mathrm{c}= ~13.04^\circ
가 된다.

|V_ud|²와 |V_us|²의 합은 1이 되어야 하지만, 실제로는 0.99999에 불과하다. 이것은 톱 쿼크의 존재를 고려하지 않았기 때문이다. 당시의 실험 정밀도로는 톱 쿼크의 존재를 예견할 수 없었다.

--

1974년 참 쿼크가 발견되면서, 다운 쿼크와 스트레인지 쿼크가 참 쿼크로도 붕괴된다는 사실이 확인되었고, 다음의 벡터 방정식이 추가되었다.
:

| s^\prime \rangle = V_{cd} | d \rangle + V_{cs} | s \rangle

카비보 각 표기로는
:

| s^\prime \rangle = -\sin{\theta_\mathrm{c}} | d \rangle + \cos{\theta_\mathrm{c}} | s \rangle

이다. 이를 행렬로 나타내면
:

\begin{bmatrix} \left| d^\prime \right \rangle \\ \left| s^\prime \right \rangle \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} \\ V_{cd} & V_{cs}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \left| d \right \rangle \\ \left| s \right \rangle \end{bmatrix}

카비보 각 표기로는
:

\begin{bmatrix} \left| d^\prime \right \rangle \\ \left| s^\prime \right \rangle \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos{\theta_\mathrm{c}} & \sin{\theta_\mathrm{c}} \\ -\sin{\theta_\mathrm{c}} & \cos{\theta_\mathrm{c}}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \left| d \right \rangle \\ \left| s \right \rangle \end{bmatrix}

가 된다.

이 2x2 회전 행렬을 카비보 행렬이라고 부르며, |V_ij|²는 쿼크 i가 쿼크 j로 붕괴될 확률을 나타낸다.

쿼크 섞임은 다음 두 가지 관측 결과를 설명하기 위해 고안되었다.

# 업 쿼크 ↔ 다운 쿼크, 전자 ↔ 전자 중성미자, 뮤온 ↔ 뮤 중성미자의 변환은 유사한 진폭을 갖는다.
# 스트레인지(기묘함)가 변화하는 소립자의 변환에서

\Delta S=1

는

\Delta S=0

의 1/4 진폭을 갖는다.

이에 대해 카비보는 약한 상호작용의 보편성이 첫번째를, 다운 쿼크와 스트레인지 쿼크의 혼합각이 두번째를 각각 해결한다고 가정했다.

쿼크가 2세대일 경우에는 CP 대칭성 파괴를 나타내는 위상은 나타나지 않는다. 반면 중성 K 중간자 붕괴에 따른 대칭성 파괴는 1964년에 발견되었고, 표준 모형이 발표되자 1973년에 코바야시 마코토와 마스카와 도시히데가 지적했듯이 3세대 쿼크의 존재가 강하게 시사되었다.

3.2. CKM 행렬

쿼크 섞임은 3×3 유니타리 행렬인 카비보-고바야시-마스카와 (CKM) 행렬 V로 기술된다. CKM 행렬의 각 요소는 특정 맛깔의 쿼크가 다른 맛깔의 쿼크로 전이될 확률을 나타낸다. CKM 행렬은 9개의 실수 매개변수를 가지지만, 5개는 표준 모형의 라그랑지안으로 흡수될 수 있으므로 실제로는 4개의 독립적인 매개변수로 기술된다.

CKM 행렬은 다음과 같이 정의된다.
: $\begin{bmatrix} \left| d^\prime \right \rangle \\ \left| s^\prime \right \rangle \\ \left| b^\prime \right \rangle \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} \\ V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left| d \right \rangle \\ \left| s \right \rangle \\ \left| b \right \rangle \end{bmatrix}$

여기서
* $\left| d^\prime \right \rangle$ , $\left| s^\prime \right \rangle$ , $\left| b^\prime \right \rangle$ 는 약한 상호작용의 이중항 파트너를 나타낸다.
* $\left| d \right \rangle$ , $\left| s \right \rangle$ , $\left| b \right \rangle$ 는 다운, 스트레인지, 바닥 쿼크의 질량 고유 상태를 나타낸다.
* $V_{ij}$ 는 CKM 행렬의 요소로, 맛 $j$ 쿼크에서 맛 $i$ 쿼크로의 전이 확률을 나타낸다. 이러한 전이는 $|V_{ij}|^2$ 에 비례한다.

CKM 행렬은 일반적으로 다음과 같이 4개의 매개변수로 표현된다.
: $V=\begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\ -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\ s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}$
여기서
: $c_{ij}=\cos\theta_{ij}$
: $s_{ij}=\sin\theta_{ij}$
이며, 실험 결과는 다음과 같다.
:θ₁₂ = 13.04^±0.05°, θ₁₃ = 0.201^±0.011°, θ₂₃ = 2.38^±0.06°, δ₁₃ = 1.20^±0.08.

이 값들은 서로 다른 세대로 붕괴하는 현상이 드물기 때문에 크기가 매우 다르다.

CKM 행렬의 요소들의 절댓값에 대한 최신(2023년) 측정값은 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

V_ud\|	V_us\|	V_ub\|
\| 0.22500 ± 0.00067 \|\| 0.00369 ± 0.00011
V_cd\|	V_cs\|	V_cb\|
\| 0.97349 ± 0.00016 \|\| 0.04182^+0.00085_-0.00074
V_td\|	V_ts\|	V_tb\|
+0.00020_-0.00018>\| 0.0411^+0.00083_-0.00072 \|\| 0.999118^+0.000031_-0.000036

4. 매개변수 표기

CKM 행렬은 쿼크의 약한 상호작용과 관련된 현상을 설명하는 데 사용되는 중요한 도구이며, 여러 가지 방법으로 매개변수화될 수 있다. CKM 행렬을 완전히 정의하려면 네 개의 독립적인 매개변수가 필요하며, 그중 세 가지가 가장 널리 쓰인다.

CKM 행렬은 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{bmatrix}  d'  \\  s'  \\  b'  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_\mathrm{ud} & V_\mathrm{us} & V_\mathrm{ub} \\ V_\mathrm{cd} & V_\mathrm{cs} & V_\mathrm{cb} \\ V_\mathrm{td} & V_\mathrm{ts} & V_\mathrm{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  d  \\  s  \\  b  \end{bmatrix}~.

여기서 왼쪽은 다운 쿼크의 약한 상호작용 이중항 파트너이고, 오른쪽은 CKM 행렬과 다운 쿼크의 질량 고유 상태 벡터이다. CKM 행렬의 각 요소 V_ij는 한 맛 쿼크에서 다른 맛 쿼크로의 전이 확률을 나타내며, 이 전이는 |V_ij|²에 비례한다.

2023년 현재, CKM 행렬 요소의 개별 절댓값에 대한 최상의 결정은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}|V_{ud}| & |V_{us}| & |V_{ub}| \\|V_{cd}| & |V_{cs}| & |V_{cb}| \\|V_{td}| & |V_{ts}| & |V_{tb}|\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.97435 \pm 0.00016 & 0.22500 \pm 0.00067 & 0.00369\pm 0.00011\\0.22486 \pm 0.00067 & 0.97349 \pm 0.00016 & 0.04182^{+0.00085}_{-0.00074} \\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020} & 0.04110^{+0.00083}_{-0.00072}  & 0.999118^{+0.000031}_{-0.000036}\end{bmatrix}.

4.1. 표준 표기

표준 표기에서는 3개의 오일러 각(θ₁₂, θ₁₃, θ₂₃)과 1개의 CP 위반 위상(δ₁₃)을 사용한다. θ₁₂는 카비보가 제안한 카비보 각에 해당한다. 쿼크 세대 j와 k 사이의 결합은 θ_jk = 0 일 때 사라진다. 각도의 코사인과 사인은 각각 c_jk와 s_jk로 표시된다.

CKM 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\-s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} &c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} &-c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \\\end{bmatrix}$

여기서 c_ij = cosθ_ij 이고 s_ij = sinθ_ij 이다.

2008년의 표준 매개변수 값은 다음과 같다:

👆

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변수	값
θ₁₂	°
θ₁₃	°
θ₂₃	°
δ₁₃	라디안 = °

4.2. 고바야시-마스카와 표기

1973년, CP 위반이 4-쿼크 모델로는 설명될 수 없다는 것을 관찰한 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데는 3세대 쿼크의 약한 붕괴를 추적하기 위해 카비보 행렬을 카비보-고바야시-마스카와 행렬(CKM 행렬)로 일반화했다.

: $\begin{bmatrix} d' \\ s' \\ b' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_\mathrm{ud} & V_\mathrm{us} & V_\mathrm{ub} \\ V_\mathrm{cd} & V_\mathrm{cs} & V_\mathrm{cb} \\ V_\mathrm{td} & V_\mathrm{ts} & V_\mathrm{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d \\ s \\ b \end{bmatrix}~.$

왼쪽에는 다운 쿼크의 약한 상호작용 이중항 파트너가 있고, 오른쪽에는 CKM 행렬과 다운 쿼크의 질량 고유 상태 벡터가 있다. CKM 행렬은 한 맛 쿼크에서 다른 맛 쿼크로의 전이 확률을 설명한다. 이러한 전이는 |V_ij|²에 비례한다.

고바야시-마스카와는 세 개의 각(θ₁, θ₂, θ₃)과 CP 위반 위상각(δ)을 사용하여 행렬을 나타냈다. θ₁은 카비보 각이다. 각 θ_k (k = 1, 2, 3)에 대해, 코사인은 c_k, 사인은 s_k로 표기한다.

: $\begin{bmatrix} c_1 & -s_1 c_3 & -s_1 s_3 \\s_1 c_2 & c_1 c_2 c_3 - s_2 s_3 e^{i\delta} & c_1 c_2 s_3 + s_2 c_3 e^{i\delta}\\s_1 s_2 & c_1 s_2 c_3 + c_2 s_3 e^{i\delta} & c_1 s_2 s_3 - c_2 c_3 e^{i\delta} \end{bmatrix}.$

4.3. 울펜스타인 표기

링컨 울펀스타인(Lincoln Wolfenstein)이 도입한 울펜스타인 표기법은 카비보-고바야시-마스카와 행렬(CKM 행렬)을 나타내는 또 다른 방법으로, 네 개의 실수 매개변수 λ, A, ρ, η를 사용한다. 이 매개변수들은 표준 표기를 간략화하는 데 유용하며, 특히 서로 다른 세대 간의 쿼크 섞임이 드물다는 점을 고려하여 고안되었다.

울펜스타인 표기법에서 각 매개변수는 다음과 같이 정의된다.

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좌우로 밀어서 보기

표준 표기	울펜스타인 표기
$\lambda = s_{12}$	$\lambda = s_{12}$
$A \lambda^2 = s_{23}$	$A = \frac{s_{23} }{ s_{12}^2 }$
$A \lambda^3 ( \rho - i \eta ) = s_{13} e^{-i\delta}$	$\rho = \operatorname\mathcal{R_e} \left\{ \frac{ s_{13} e^{-i\delta} }{ s_{12} s_{23} } \right\} , \quad \eta = - \operatorname\mathcal{I_m} \left\{ \frac{ s_{13} e^{-i\delta} }{ s_{12} s_{23} } \right\}$

여기서

s_{ij}

는 표준 표기에서의

\sin\theta_{ij}

에 해당하며, δ는 CP 대칭성을 깨는 위상이다.

울펜스타인 표기법을 사용하여 CKM 행렬을

\lambda^3

차수까지 근사하면 다음과 같다.

::

\begin{bmatrix} 1 - \tfrac{1}{2}\lambda^2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\-\lambda & 1-\tfrac{1}{2}\lambda^2 & A\lambda^2 \\A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1  \end{bmatrix} + O(\lambda^4)

이 근사는 0.3%보다 정확하다.

CP 대칭성 깨짐은 매개변수 ρ와 η로 나타낸다.

2008년 기준으로 울펜스타인 매개변수의 값은 다음과 같다.

: λ = 0.22500 ± 0.0067, A = 0.826+0.018-0.015, ρ = 0.159±0.010, η = 0.348±0.010.

참고로, λ는 카비보 각의 사인값(

\sin\theta_c

)에 해당한다.

5. 유니타리 삼각형

CKM 행렬의 유니타리성 제약 조건은 $\sum_k V_{ik}V^*_{jk} = 0$ 형태로 쓸 수 있다. 고정되고 다른 $i$와 $j$에 대해, 이것은 세 개의 복소수에 대한 제약 조건이며, 각 $k$에 대해 하나씩, 이 숫자들은 복소 평면에서 삼각형의 변을 형성한다는 것을 의미한다. $i$와 $j$의 여섯 가지 선택(세 개는 독립적)이 있으므로, 여섯 개의 이러한 삼각형이 있으며, 각각을 유니타리 삼각형이라고 부른다. 그것들의 모양은 매우 다를 수 있지만, 모두 동일한 면적을 가지며, 이 면적은 CP 위반 위상과 관련될 수 있다. 면적은 표준 모형에서 CP 위반이 없을 특정한 매개변수에 대해 0이 된다. 삼각형의 방향은 쿼크장의 위상에 따라 달라진다.

유니타리 삼각형 면적의 두 배에 해당하는 양은 세실리아 야르스코그가 1985년에 도입한 야르스코그 불변량이다.
: $J = c_{12}c_{13}^2 c_{23}s_{12}s_{13}s_{23}\sin \delta \approx 3\cdot10^{-5} ~.$

삼각형의 세 변과 세 각은 직접적인 실험이 가능하므로, 표준 모형에 대한 일련의 테스트는 삼각형이 닫히는지 확인하는 것이다. 이것은 일본의 BELLE과 미국의 BaBar 실험, 그리고 스위스 CERN의 LHCb에서 진행 중인 현대적인 일련의 실험의 목적이다.

6. 약한 상호작용의 보편성

니콜라 카비보는 1967년에 모든 세대의 쿼크가 약한 상호작용에 대해 동일한 결합 상수를 가진다는 약한 상호작용의 보편성을 처음으로 지적했다. 이는 SU(2) 이중항이 약력의 벡터 보존과 동일한 강도로 결합한다는 사실의 결과이며, 지속적인 실험적 검증을 받아왔다.

CKM 행렬의 유니타리티 제약 조건은 대각선 항에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:: $\sum_k |V_{jk}|^2 = \sum_k |V_{kj}|^2 = 1$

이는 각 세대 j에 대해 별도로 적용된다. 이 식은 위쪽 유형 쿼크 중 하나가 모든 아래쪽 유형 쿼크와 맺는 모든 결합의 합이 모든 세대에 대해 동일하다는 것을 의미한다. 다른 방식으로 표현하면, 위쪽 아이소스핀을 가진 쿼크와 아래쪽 아이소스핀을 가진 쿼크의 쌍의 수가 모든 세대에서 같다는 것을 의미한다.

7. CP 대칭성 깨짐

1973년, 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데는 4-쿼크 모델로는 CP 위반을 설명할 수 없다는 것을 발견하고, 3세대 쿼크의 약한 붕괴를 설명하기 위해 카비보 행렬을 확장하여 카비보-고바야시-마스카와 행렬(CKM 행렬)을 제안했다. 이들은 3세대 이상의 쿼크 쌍이 있으면 CP 대칭성 깨짐을 설명할 수 있다는 것을 발견했다.

\Delta S=1

는

\Delta S=0

의 1/4의 진폭을 갖는다.

이에 대해 카비보는 약한 상호작용의 보편성이 1번을, 다운 쿼크와 스트레인지 쿼크의 혼합각이 2번을 각각 해결한다고 가정했다.

쿼크가 2세대일 경우에는 CP 대칭성 깨짐을 나타내는 위상이 나타나지 않는다. 그러나 중성 K 중간자의 붕괴에서 CP 대칭성 깨짐이 1964년에 발견되었고, 1973년에 고바야시와 마스카와가 지적했듯이 이는 3세대 쿼크의 존재를 강하게 시사했다. 1976년에는 페르미 국립 가속기 연구소에서 바닥 쿼크가 발견되었고, 곧 이와 쌍을 이루는 톱 쿼크를 찾는 연구가 시작되었다.

8. 추가 설명 (4단계)

CKM 행렬의 값들은 실험을 통해 결정되며, 표준 모형은 이 값들을 예측하지 않는다. 2023년 현재, CKM 행렬 요소의 개별 절댓값에 대한 최상의 결정은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}|V_{ud}| & |V_{us}| & |V_{ub}| \\|V_{cd}| & |V_{cs}| & |V_{cb}| \\|V_{td}| & |V_{ts}| & |V_{tb}|\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.97435 \pm 0.00016 & 0.22500 \pm 0.00067 & 0.00369\pm 0.00011\\0.22486 \pm 0.00067 & 0.97349 \pm 0.00016 & 0.04182^{+0.00085}_{-0.00074} \\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020} & 0.04110^{+0.00083}_{-0.00072}  & 0.999118^{+0.000031}_{-0.000036}\end{bmatrix}.

이 값을 사용하여 CKM 행렬의 유니타리티를 확인할 수 있다. 특히, 첫 번째 행렬 요소는

|V_\mathrm{ud}|^2 + |V_\mathrm{us}|^2 + |V_\mathrm{ub}|^2 = .999997 \pm .0007

이다. 이것은 실험 결과를 이론 값 1과 일치시킨다.

CKM 행렬은 현재까지 발견된 모든 쿼크 붕괴 현상을 잘 설명하며, 표준 모형의 중요한 구성 요소이다. 1964년에 중성 케이온 붕괴에서 CP 위반이 이미 관찰되었으므로, 그 직후에 등장한 표준 모형은 1973년에 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데가 지적했듯이 세 번째 세대의 쿼크의 존재를 분명히 나타냈다.

하지만 각도가 갖는 특정 값은 표준 모형의 예측이 아니며, 그것들은 자유 매개변수이다. 현재, 실험에서 측정된 값으로 각도가 결정되는 이유를 설명하는 일반적으로 인정되는 이론은 없다.

V_ud\|	V_us\|	V_ub\|
\| 0.22500 ± 0.00067 \|\| 0.00369 ± 0.00011
V_cd\|	V_cs\|	V_cb\|
\| 0.97349 ± 0.00016 \|\| 0.04182^+0.00085_-0.00074
V_td\|	V_ts\|	V_tb\|
+0.00020_-0.00018>\| 0.0411^+0.00083_-0.00072 \|\| 0.999118^+0.000031_-0.000036