자발 대칭 깨짐

3. 이론적 설명

자발적 대칭성 깨짐이 일어나려면 여러 가지 동등하게 가능한 결과가 있는 계가 존재해야 한다. 따라서 전체 시스템은 이러한 결과에 대해 대칭적이다. 그러나 시스템을 샘플링하면(즉, 시스템을 실제로 사용하거나 어떤 식으로든 상호 작용하면) 특정 결과가 발생해야 한다. 전체 시스템은 대칭적이지만, 이러한 대칭성을 가진 상태로는 결코 관찰되지 않고 오직 하나의 특정 비대칭 상태로만 관찰된다. 따라서 해당 이론에서 대칭성이 자발적으로 깨졌다고 한다. 그럼에도 불구하고 각 결과가 동등하게 가능하다는 사실은 기저 대칭성을 반영하며, 따라서 종종 "숨겨진 대칭성"이라고 불리며 중요한 형식적 결과를 갖는다.(골드스톤 보손에 대한 글을 참조).^[4]

어떤 이론이 대칭군에 대해 대칭적이지만, 군의 한 원소가 구별되어야 한다고 요구하는 경우 자발적 대칭성 깨짐이 발생했다. 이론은 어떤 원소가 구별되는지가 아니라 단지 하나가 구별되어야 한다는 것을 규정해야 한다. 이 시점부터 이 원소가 실제로 구별되는 것처럼 이론을 다룰 수 있으며, 이러한 방식으로 발견된 모든 결과는 군의 각 원소가 구별되는 것의 평균을 취함으로써 재대칭화되어야 한다는 단서가 있다.

물리 이론에서 중요한 개념은 차수 매개변수이다. 문제의 대칭성에 대해 불변이 아닌 기대값(반드시 ''진공'' 기대값일 필요는 없음)을 얻는 장(종종 배경장)이 있는 경우, 시스템이 정렬 상에 있으며 대칭성이 자발적으로 깨졌다고 말한다. 왜냐하면 다른 하위 시스템은 측정할 "기준 프레임"을 지정하는 차수 매개변수와 상호 작용하기 때문이다. 이 경우, 진공 상태는 초기 대칭성을 따르지 않으며(선형적으로 실현된 '''비그너 모드'''에서 단일항으로 불변으로 유지함), 대신 (숨겨진) 대칭성에 따라 변화하며, 이제 (비선형) '''남부-골드스톤 모드'''로 구현된다. 일반적으로 힉스 메커니즘이 없으면 질량이 없는 골드스톤 보손이 발생한다.

대칭군은 결정의 공간군과 같은 이산적일 수도 있고, 공간의 회전 대칭성과 같은 연속적(예: 리 군)일 수도 있다. 그러나 시스템에 단일 공간 차원만 포함된 경우, 완전한 양자 이론의 진공 상태에서 이산 대칭성만 깨질 수 있지만, 고전적인 해는 연속 대칭성을 깨뜨릴 수 있다.

== 멕시칸 햇 포텐셜 (와인병 바닥 포텐셜) ==

대칭적인 위쪽 돔을 생각해 보자. 돔의 바닥에는 고랑이 둘러져 있다. 만약 공을 돔의 꼭대기에 놓으면, 시스템은 중심축을 중심으로 한 회전에 대해 대칭적이다. 그러나 공은 돔을 따라 고랑으로 굴러떨어져 가장 낮은 에너지 지점에 이르면서 이 대칭성을 '자발적으로 깨뜨릴' 수 있다.^[4] 그 후, 공은 주변의 어떤 고정된 지점에 정지한다. 돔과 공은 각각의 대칭성을 유지하지만, 시스템은 그렇지 않다.^[4]

가장 단순화된 상대론적 모델에서, 자발적으로 깨진 대칭성은 설명적인 스칼라 장 이론을 통해 요약된다. 시스템의 동작을 본질적으로 결정하는 스칼라 장 $\backslash phi$의 관련 라그랑주량은 운동항과 퍼텐셜항으로 나눌 수 있다.

:$\backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash partial^\backslash mu\; \backslash phi\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash phi\; -\; V(\backslash phi).$

대칭성 깨짐은 바로 이 퍼텐셜항 $V(\backslash phi)$에서 발생한다. 제프리 골드스톤^[5]에 의한 퍼텐셜의 예시는 왼쪽 그래프에 나와 있다.

:$V(\backslash phi)\; =\; -5|\backslash phi|^2\; +\; |\backslash phi|^4\; \backslash ,$.

이 퍼텐셜은 다음과 같이 주어지는 무한히 많은 가능한 극소값(진공 상태)을 갖는다.

:$\backslash phi\; =\; \backslash sqrt\{5/2\}\; e^\{i\backslash theta\}$.

여기서 임의의 실수 ''θ''는 0과 2''π'' 사이의 값을 갖는다. 시스템은 또한 에 해당하는 불안정한 진공 상태를 갖는다. 이 상태는 U(1) 대칭성을 갖는다. 그러나 시스템이 특정 안정적인 진공 상태(즉, ''θ''의 선택)로 떨어지면, 이 대칭성은 상실되거나 "자발적으로 깨진" 것처럼 보일 것이다.

이론물리학에서는 장의 대칭성은 모두 작용(혹은 라그랑지안, 해밀토니안)에 포함된다고 여겨진다.

특히 라그랑지안의 퍼텐셜(상호작용) 항은 계의 상태를 잘 나타낸다. 자발적 대칭성 깨짐의 설명에서 다루어지는 가장 간단한 모델 중 하나가 “멕시칸햇(와인병)형 퍼텐셜”이다.

복소 스칼라장 $\backslash phi=\backslash phi\_0\backslash ,e^\{i\backslash theta\}$가 다음과 같은 운동항, 퍼텐셜항 V(φ)를 갖는 계를 생각해보자.

:$L\; =\; \backslash partial^\backslash mu\backslash phi^*\backslash ,\backslash partial\_\backslash mu\backslash phi\; -\; V(\backslash phi)\backslash \; ,$

::$V(\backslash phi)\; =\; \backslash mu|\backslash phi|^2\; +\; \backslash lambda|\backslash phi|^4\; \backslash quad\; \backslash cdots\; (*)$ 이때 μ, λ는 임의의 상수이며, θ의 값을 임의로 변화시켜도 라그랑지안 L은 불변이다(대칭성이 있다). 스칼라장의 기저 상태(진공)는 퍼텐셜의 안정점에서 결정된다.

μ, λ가 모두 양수일 때, 퍼텐셜 V는 전 영역에서 아래로 볼록하다. 그 중심이기도 한 극소점이 유일한 안정점이며, φ=0 ($\backslash phi\_0=0$)이고 라그랑지안과 진공 모두 θ의 값에 관계없이 대칭성은 깨지지 않는다.

반면 μ<0, λ>0일 때에는 위의 그림과 같이 원점 근처만 위로 볼록한 면이 된다(이것이 멕시칸햇이라고 불리는 이유이다). 이때에는 중심에서 벗어난

:$\backslash phi=\backslash sqrt\{-\backslash frac\{\backslash mu\}\{2\backslash lambda\}\}\backslash \; e^\{i\backslash theta\}$

의 원 위가 안정된 기저 상태(진공)이다.

이 계에 대해, 중심의 φ=0은 여전히 U(1) 대칭성(그림의 퍼텐셜의 주변 방향 회전, 0≤θ<2π의 회전)을 갖춘 진공에 대응하지만 불안정하다. 반면 이 계가 더 안정된 진공으로 이동한다는 것, 즉 어떤 θ값을 가지고 퍼텐셜의 골 중 한 점이 무작위로 자연스럽게 선택되면 그 점에 대해 U(1) 대칭성은 상실된다.

사실, 다른 어떤 ''θ''의 선택도 정확히 동일한 에너지를 가지며, 정의 방정식은 대칭성을 존중하지만 이론의 기저 상태(진공)는 대칭성을 깨뜨린다. 이는 질량이 없는 남부-골드스톤 보손의 존재를 의미하며, 이는 이 퍼텐셜의 최소값에서 원을 따라 움직이는 모드이고, 라그랑주량에 원래 대칭성의 기억이 어느 정도 남아 있음을 나타낸다.^[6][7]

3. 1. 멕시칸 햇 포텐셜 (와인병 바닥 포텐셜)

3. 2. 난부-골드스톤 보손

4. 다양한 예시

• 강자성을 띠는 물질은 퀴리 온도 아래에서 자기화가 진행되면서 회전 대칭 SO(3)이 깨져 방향성을 띈다. 이 때, 기저 법칙은 공간 회전에 대해 불변이지만, 자화는 특정 방향을 가리키는 0이 아닌 값을 가지면서 자발적으로 대칭이 깨진다. 강자성체에서는 외부에서 자기장을 걸지 않아도 물질 내부의 자기 모멘트가 정렬된 영역(자구)이 생기는 현상(자발 자화)이 나타난다. 이 현상은 원자 간의 스핀 방향에 대한 상호작용에 의한 것이다. 이 상호작용은 3차원 하이젠베르크 모형에서 특정 수식으로 표현되지만, 이 상호작용 해밀토니안은 좌표 회전에 대응하는 O(3) 변환에 대해 불변이다. 어느 방향으로 자발 자화가 발생하는지는 완전히 동등하며, 어느 방향도 똑같이 계의 기저 상태이며 이론으로부터 결정할 수 없다. 한편 자발 자화가 발생한 후에는 그 방향이 계의 기저 상태이며, 그 이외의 방향으로 자기 모멘트가 향하는 것은 계를 여기시키는 결과가 된다. 즉, 원래 있던 대칭성이 깨어져 있으며, “자발적 대칭성의 깨짐이 일어났다”라고 표현된다.

• 초전도체에서 응축 물질 집단장 ψ는 전자기 게이지 대칭성을 깨는 질서 매개변수 역할을 한다.

• 입자물리학에서 힘 매개 입자는 일반적으로 게이지 대칭성을 갖는 장 방정식으로 지정되며, 이 방정식은 특정 측정값이 장의 어느 지점에서나 동일할 것이라고 예측한다. 예를 들어, 장 방정식은 두 쿼크의 질량이 일정하다고 예측할 수 있다. 각 쿼크의 질량을 구하기 위해 방정식을 풀면 두 가지 해가 나올 수 있는데, 한 해에서는 쿼크 A가 쿼크 B보다 무겁고, 다른 해에서는 쿼크 B가 쿼크 A보다 ''같은 양만큼'' 무겁다. 방정식의 대칭성은 개별 해에는 반영되지 않지만 해의 범위에는 반영된다.

• 입자물리학에서 힘 매개 입자는 일반적으로 게이지 대칭성을 갖는 장 방정식으로 지정된다. 이러한 방정식은 특정 측정값이 장의 어느 지점에서나 동일할 것이라고 예측한다. 예를 들어, 장 방정식은 두 쿼크의 질량이 일정하다고 예측할 수 있다. 각 쿼크의 질량을 구하기 위해 방정식을 풀면 두 가지 해가 나올 수 있다. 한 해에서는 쿼크 A가 쿼크 B보다 무겁고, 다른 해에서는 쿼크 B가 쿼크 A보다 ''같은 양만큼'' 무겁다. 방정식의 대칭성은 개별 해에는 반영되지 않지만 해의 범위에는 반영된다.

• 각종 양자장론에서는 여러 종류의 대칭이 저절로 깨져 낮은 에너지 준위(눈금)에서 (BRST 대칭 제외) 대칭을 관찰할 수 없게 된다. 예를 들어 선형 시그마 모형과 표준 모형 (힉스 메커니즘), BCS 이론이 있다. 대통일 이론에서는 대통일군이 대통일 눈금에서 대칭이 깨어져 표준 모형 대칭군으로 환원된다.

• 대칭형 언덕 꼭대기에 놓인 공을 생각하자. 공이 사방으로 동일하게 보이는 언덕위에 놓인 경우, 언덕과 공 모두 360도의 모든 방향에 대해 동등하므로 회전적으로 대칭이다. 그러나 이 상태는 불안정하다. 약간만 건드려도 공은 어느 한 방향으로 굴러 떨어진다. 공이 굴러 떨어지는 방향은 다른 방향들과 구별되므로 대칭이 깨진다.

• 강자성체의 경우, 기저 법칙은 공간 회전에 대해 불변이다. 여기서 질서 매개변수는 자기 쌍극자 밀도를 측정하는 자화이다. 퀴리 온도 이상에서는 질서 매개변수가 0이며 공간적으로 불변이고, 대칭성 깨짐이 없다. 그러나 퀴리 온도 이하에서는 자화가 특정 방향을 가리키는 일정한 0이 아닌 값을 얻는다. 이 벡터의 방향을 불변으로 유지하는 잔류 회전 대칭은 깨지지 않고 남아 있다. 다른 회전들은 그렇지 않고 따라서 자발적으로 깨진다.

• 고체를 설명하는 법칙은 완전한 유클리드 군에 대해 불변이지만, 고체 자체는 이 군을 공간 군으로 자발적으로 깨뜨린다. 변위와 방향이 질서 매개변수이다.

• 일반 상대성이론은 로렌츠 대칭성을 가지고 있지만, FRW 우주 모델에서 은하의 속도를 평균하여 정의된 평균 4속도장(은하는 우주론적 척도에서 기체 입자처럼 작용한다)은 이 대칭성을 깨는 질서 매개변수 역할을 한다. 우주 마이크로파 배경에 대해서도 유사한 설명을 할 수 있다.

• 약전자기 상호작용 모델에서 힉스 장의 성분이 약전자기 게이지 대칭성을 전자기 게이지 대칭성으로 깨는 질서 매개변수를 제공한다. 강자성체의 예와 마찬가지로 약전자기 온도에서 상전이가 발생한다.

• 초전도체에서 응축 물질 집단장 ψ는 전자기 게이지 대칭성을 깨는 질서 매개변수 역할을 한다.

• 얇은 원통형 플라스틱 막대를 양쪽 끝을 함께 밀어 좌굴하기 전에는 시스템이 회전에 대해 대칭적이다. 그러나 좌굴한 후에는 비대칭적이다. 마찰을 무시하면 막대를 자유롭게 회전시키는 데 힘이 들지 않을 것이고, 좌굴 방향의 반경 방향 진동과 달리 사라지는 진동수의 진동에 해당한다. 이 회전 모드는 사실상 필요한 남부-골드스톤 보손이다.

• 무한한 수평면 위에 균일한 유체 층을 고려할때 온도 기울기가 충분히 커지면 대류 세포가 형성되어 유클리드 대칭성이 깨진다.

• 수직 지름을 중심으로 회전하는 원형 고리 위의 구슬을 고려할때 회전 속도를 정지 상태에서 점진적으로 증가시키면 구슬은 처음에 고리 바닥의 초기 평형점에 머물러 있다. 특정 임계 회전 속도에서 이 점은 불안정해지고 구슬은 중심에서 등거리인 다른 두 개의 새롭게 생성된 평형점 중 하나로 이동한다. 처음에 시스템은 지름에 대해 대칭적이지만, 임계 속도를 지나면 구슬은 두 개의 새로운 평형점 중 하나에 위치하여 대칭성을 깨뜨린다.

• 두 풍선 실험은 두 풍선이 모두 처음에 국소 최대 압력으로 팽창될 때 자발적 대칭 깨짐의 예이다. 어떤 공기가 한 풍선에서 다른 풍선으로 흐르면 두 풍선의 압력이 떨어지고 비대칭 상태에서 시스템이 더 안정적으로 된다.

4. 1. 강자성

4. 2. 초전도

4. 3. 힉스 메커니즘 (와인버그-살람 이론)

4. 4. 카이랄 대칭성 깨짐

4. 5. 기타 예시

• 강자성체의 경우, 기저 법칙은 공간 회전에 대해 불변이다. 여기서 질서 매개변수는 자기 쌍극자 밀도를 측정하는 자화이다. 퀴리 온도 이상에서는 질서 매개변수가 0이며 공간적으로 불변이고, 대칭성 깨짐이 없다. 그러나 퀴리 온도 이하에서는 자화가 특정 방향을 가리키는 일정한 0이 아닌 값을 얻는다. 이 벡터의 방향을 불변으로 유지하는 잔류 회전 대칭은 깨지지 않고 남아 있다. 다른 회전들은 그렇지 않고 따라서 자발적으로 깨진다.
• 고체를 설명하는 법칙은 완전한 유클리드 군에 대해 불변이지만, 고체 자체는 이 군을 공간 군으로 자발적으로 깨뜨린다. 변위와 방향이 질서 매개변수이다.
• 일반 상대성이론은 로렌츠 대칭성을 가지고 있지만, FRW 우주 모델에서 은하의 속도를 평균하여 정의된 평균 4속도장(은하는 우주론적 척도에서 기체 입자처럼 작용한다)은 이 대칭성을 깨는 질서 매개변수 역할을 한다. 우주 마이크로파 배경에 대해서도 유사한 설명을 할 수 있다.
• 약전자기 상호작용 모델에서 힉스 장의 성분이 약전자기 게이지 대칭성을 전자기 게이지 대칭성으로 깨는 질서 매개변수를 제공한다. 강자성체의 예와 마찬가지로 약전자기 온도에서 상전이가 발생한다.
• 초전도체에서 응축 물질 집단장 ψ는 전자기 게이지 대칭성을 깨는 질서 매개변수 역할을 한다.
• 얇은 원통형 플라스틱 막대를 양쪽 끝을 함께 밀어 좌굴하기 전에는 시스템이 회전에 대해 대칭적이다. 그러나 좌굴한 후에는 비대칭적이다. 마찰을 무시하면 막대를 자유롭게 회전시키는 데 힘이 들지 않을 것이고, 좌굴 방향의 반경 방향 진동과 달리 사라지는 진동수의 진동에 해당한다. 이 회전 모드는 사실상 필요한 남부-골드스톤 보손이다.
• 무한한 수평면 위에 균일한 유체 층을 고려할때 온도 기울기가 충분히 커지면 대류 세포가 형성되어 유클리드 대칭성이 깨진다.
• 수직 지름을 중심으로 회전하는 원형 고리 위의 구슬을 고려할때 회전 속도를 정지 상태에서 점진적으로 증가시키면 구슬은 처음에 고리 바닥의 초기 평형점에 머물러 있다. 특정 임계 회전 속도에서 이 점은 불안정해지고 구슬은 중심에서 등거리인 다른 두 개의 새롭게 생성된 평형점 중 하나로 이동한다. 처음에 시스템은 지름에 대해 대칭적이지만, 임계 속도를 지나면 구슬은 두 개의 새로운 평형점 중 하나에 위치하여 대칭성을 깨뜨린다.
• 두 풍선 실험은 두 풍선이 모두 처음에 국소 최대 압력으로 팽창될 때 자발적 대칭 깨짐의 예이다. 어떤 공기가 한 풍선에서 다른 풍선으로 흐르면 두 풍선의 압력이 떨어지고 비대칭 상태에서 시스템이 더 안정적으로 된다.

5. 동역학적 대칭성 깨짐 (Dynamical Symmetry Breaking)

동역학적 대칭성 깨짐(Dynamical Symmetry Breaking, DSB)은 자발적 대칭성 깨짐의 특수한 형태이다. 계의 기저 상태가 이론적 기술(즉, 라그랑주량)에 비해 대칭성이 감소된 특성을 갖는 것을 말한다.

전역 대칭성의 동역학적 깨짐은 자발적 대칭성 깨짐의 한 종류이며, (고전적인) 나무 수준(즉, 베어 작용의 수준)이 아닌 양자 수정(즉, 유효 작용 수준)으로 인해 발생한다.

게이지 대칭성의 동역학적 깨짐은 더 미묘하다. 기존의 자발적 게이지 대칭성 깨짐에서는 이론에 불안정한 히그스 입자가 존재하여 진공을 대칭성이 깨진 상으로 이끄는 역할을 한다(즉, 약전자기 상호작용). 그러나 동역학적 게이지 대칭성 깨짐에서는 불안정한 히그스 입자가 작용하지 않고, 계 자체의 결합 상태가 상전이를 일으키는 불안정한 장을 제공한다. 예를 들어, Bardeen, Hill, Lindner는 탑-반탑 쿼크의 결합 상태에 의해 구동되는 DSB로 기존의 히그스 메커니즘을 표준 모형에서 대체하려는 논문을 발표했다. 이러한 모형은 복합 입자가 히그스 보손의 역할을 한다고 하여 "복합 히그스 모형"으로 불린다.^[11] 게이지 대칭성의 동역학적 깨짐은 종종 페르미온 응축물의 생성, 예를 들어 쿼크 응축물로 인해 발생하며, 이는 카이랄 대칭성의 동역학적 깨짐과 양자 색역학에서 연결된다. 기존의 초전도체는 응축 물질 측면에서 전형적인 예로, 포논 매개 인력이 전자를 쌍으로 결합하게 한 다음 응축시켜 전자기 게이지 대칭성을 깨뜨린다.

6. 응집물질물리학에서의 자발적 대칭성 깨짐

물질의 대부분의 상은 자발적 대칭성 깨짐(spontaneous symmetry breaking)이라는 관점에서 이해할 수 있다. 예를 들어, 결정은 모든 병진(translation)에 대해 불변하지 않고(격자 벡터에 의한 작은 부분집합의 병진에 대해서만 불변) 원자들이 주기적으로 배열된 것이다. 자석은 특정 방향으로 향하는 남극과 북극을 가지고 있으며, 이는 회전 대칭성을 깨뜨린다.^[12] 이러한 예 외에도, 액정의 네마틱 상(nematic phase), 전하 및 스핀 밀도파, 초유체 등과 같은 많은 다른 대칭성 깨짐 상이 존재한다.

자발적 대칭성 깨짐으로 설명할 수 없는 물질의 몇 가지 알려진 예로는, 분수 양자 홀 액체와 같은 위상학적으로 질서 있는 물질의 상과 스핀 액체가 있다.^[12] 이러한 상태는 어떤 대칭성도 깨뜨리지 않지만, 서로 다른 물질의 상이다. 자발적 대칭성 깨짐의 경우와 달리, 이러한 상태를 설명하는 일반적인 틀은 없다.^[12]

6. 1. 연속 대칭 깨짐과 머민-바그너 정리

7. 한국의 관련 연구 및 정책 동향

8. 결론

참조

_[1] 서적 Dynamical Symmetry Breaking in Quantum Field Theories https://books.google[...] World Scientific
_[2] 서적 Patterns of Symmetry Breaking https://books.google[...] Springer 2003-11-30
_[3] 서적 Bubbles, Voids and Bumps in Time: The New Cosmology https://books.google[...] Cambridge University Press 1991-11-21
_[4] 서적 Bright Air, Brilliant Fire: On the Matter of the Mind https://archive.org/[...] BasicBooks
_[5] 논문 Field theories with " Superconductor " solutions https://cds.cern.ch/[...]
_[6] 논문 Spontaneous symmetry breakdown in non-relativistic quantum mechanics
_[7] 논문 History of electroweak symmetry breaking https://iopscience.i[...]
_[8] 서적 Dreams of a Final Theory: The Scientist's Search for the Ultimate Laws of Nature https://books.google[...] Knopf Doubleday Publishing Group 2011-04-20
_[9] 논문 How generic is cosmic string formation in supersymmetric grand unified theories 2003-11-24
_[10] 서적 A Brief History of Time Bantam
_[11] 논문 Minimal dynamical symmetry breaking of the standard model
_[12] 논문 Local unitary transformation, long-range quantum entanglement, wave function renormalization, and topological order
_[13] 논문 Spontaneous Chirality via Long-range Electrostatic Forces
_[14] 웹사이트 The Nobel Prize in Physics 2008 http://nobelprize.or[...] 2008-01-15