크누센 수

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1. 개요
2. 정의
3. 마하 수 및 레이놀즈 수와의 관계
4. 해석 및 흐름 영역 분류
5. 응용
참조

1. 개요

크누센 수는 유체의 희박 정도를 나타내는 무차원 수로, 평균 자유 경로와 대표 길이 척도의 비로 정의된다. 크누센 수는 유동 영역을 연속, 미끄럼, 천이, 자유 분자 유동으로 분류하는 데 사용되며, 0에 가까울수록 연속체 유동에 가깝고, 클수록 자유 분자 유동에 가깝다. 크누센 수는 먼지 입자나 위성의 운동 계산, 미세 유체 공학, 다공성 매체에서의 수송 등 다양한 분야에 응용된다.

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크누센 수
일반 정보
이름	크누센 수
로마자 표기	Keunuseun Su
기호	Kn
차원	1
정의
정의	분자의 평균 자유 경로를 특징 길이로 나눈 값
공식	Kn = λ / L
λ	분자의 평균 자유 경로
L	특징 길이
활용
활용 분야	기체 역학에서 연속체 역학의 적용 가능성을 판단하는 척도로 사용됨
낮은 크누센 수 (Kn < 0.01)	연속체 역학 적용 가능
높은 크누센 수 (Kn > 1)	연속체 역학 적용 불가능, 분자 운동론적 접근 필요
유도 과정
유도 과정 설명	크누센 수는 기체 분자의 평균 자유 경로와 관련된 무차원 수로, 다음과 같은 물리적 의미를 가진다. 기체 분자는 서로 충돌하면서 운동하는데, 이 충돌 간의 평균 거리를 평균 자유 경로(λ)라고 한다. 크누센 수는 이 평균 자유 경로를 특정 시스템의 대표 길이(L)로 나눈 값이다. 따라서 크누센 수가 작다는 것은 분자가 시스템 내에서 더 자주 충돌한다는 의미이며, 이는 기체를 연속체로 근사할 수 있는 조건이 된다. 반대로 크누센 수가 크다는 것은 분자 간 충돌이 드물다는 의미이며, 기체를 개별 분자의 집합으로 취급해야 함을 나타낸다.

2. 정의

크누센 수(Kn)는 다음과 같이 정의되는 무차원 수이다.

: $\mathrm{Kn}\ = \frac {\lambda}{L},$

여기서

$\lambda$ 는 평균 자유 경로 [L¹]이다.
$L$ 는 대표 물리적 길이 척도 [L¹]이다.

L

은 시스템의 다양한 물리적 특성에 해당할 수 있지만, 가장 일반적으로 기체 상을 통해 열이나 질량 전달이 발생하는 "간극 길이"와 관련이 있다. 이는 다공성 및 입상 물질의 경우에 해당하며, 기체 상을 통한 열 전달은 기체의 압력과 분자들의 평균 자유 경로에 크게 의존한다.^[1] 볼츠만 기체의 경우, 평균 자유 경로를 쉽게 계산할 수 있으므로 다음과 같다.

:

\mathrm{Kn}\ = \frac {k_\text{B} T}{\sqrt{2}\pi d^2 p L}=\frac {k_\text{B}}{\sqrt{2}\pi d^2 \rho R_{s} L},

여기서

$k_\text{B}$ 는 볼츠만 상수 (SI 단위에서 1.380649 × 10⁻²³ J/K) [M¹ L² T⁻² Θ⁻¹]이다.
$T$ 는 열역학적 온도 [θ¹]이다.
$d$ 는 입자 하드 쉘 직경 [L¹]이다.
$p$ 는 정압 [M¹ L⁻¹ T⁻²]이다.
$R_{s}$ 는 비열 기체 상수 (공기의 경우 287.05 J/(kg·K)) [L² T⁻² θ⁻¹]이다.
$\rho$ 는 밀도 [M¹ L⁻³]이다.

이상 기체에서 온도를 높이지만 "부피"를 일정하게 유지하면 크누센 수 및 평균 자유 경로는 변하지 않으며, 이 경우 밀도는 동일하게 유지된다. 온도를 높이고 "압력"을 일정하게 유지하면 기체가 팽창하여 밀도가 감소한다. 이 경우 평균 자유 경로는 증가하고 크누센 수도 증가한다. 따라서 평균 자유 경로(및 크누센 수)는 열역학적 변수 밀도에 의존하며(밀도의 역수에 비례), 온도와 압력에는 간접적으로만 의존한다.

대기의 입자 동역학에서, 표준 온도 및 압력(0 °C 및 1 atm)을 가정하면

\lambda

≈ 8 × 10^-8 m (80 nm)이다.

3. 마하 수 및 레이놀즈 수와의 관계

동점성 계수를 사용하여 평균 자유 행로를 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[2]

: $\lambda = \frac{\mu}{\rho} \sqrt{\frac{\pi m}{2 k_\text{B} T}}.$

어떤 특성 길이 ''L''로 나누면 크누센 수를 얻을 수 있다.

: $\mathrm{Kn}\ = \frac{\lambda}{L} = \frac{\mu}{\rho L} \sqrt{\frac{\pi m}{2 k_\text{B} T}},$

여기서

$\bar{c}$ 는 맥스웰-볼츠만 분포에서 얻은 평균 분자 속도 [L¹ T⁻¹]
''T''는 열역학적 온도 [θ¹]
''μ''는 동점성 계수 [M¹ L⁻¹ T⁻¹]
''m''은 분자 질량 [M¹]
''k_B''는 볼츠만 상수 [M¹ L² T⁻² θ⁻¹]
$\rho$ 는 밀도 [M¹ L⁻³]

마하 수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mathrm{Ma} = \frac {U_\infty}{c_\text{s}},

여기서 음속은 다음과 같이 주어진다.

:

c_\text{s} = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} = \sqrt{\frac{\gamma k_\text{B}T}{m}},

여기서

''U_∞''는 자유 흐름 속도 [L¹ T⁻¹]
''R''은 이상 기체 상수 (SI 단위계에서, 8.314 47215 J K⁻¹ mol⁻¹) [M¹ L² T⁻² θ⁻¹ mol⁻¹]
''M''은 몰 질량 [M¹ mol⁻¹]
$\gamma$ 는 비열비 [1]

레이놀즈 수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mathrm{Re} = \frac {\rho U_\infty L}{\mu}.

마하 수를 레이놀즈 수로 나누고

\sqrt{\frac{\gamma \pi}{2}}

를 곱하면 크누센 수가 된다.

:

\frac{\mathrm{Ma}}{\mathrm{Re}} = \frac{U_\infty / c_\text{s}}{\rho U_\infty L / \mu} = \frac{\mu}{\rho L c_\text{s}} = \frac{\mu}{\rho L \sqrt{\frac{\gamma k_\text{B} T}{m}}} = \frac{\mu}{\rho L} \sqrt{\frac{m}{\gamma k_\text{B} T}}

:

\frac{\mu}{\rho L} \sqrt{\frac{m}{\gamma k_\text{B}T}} \sqrt{\frac{\gamma \pi}{2}} = \frac{\mu}{\rho L} \sqrt{\frac{\pi m}{2k_\text{B} T}} = \mathrm{Kn}.

따라서 마하 수, 레이놀즈 수 및 크누센 수는 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

\mathrm{Kn}\ = \frac{\mathrm{Ma}}{\mathrm{Re}} \sqrt{\frac{\gamma \pi}{2}}.

4. 해석 및 흐름 영역 분류

크누센 수는 유동의 희박 정도를 결정하는 데 사용될 수 있다.^[3] 유동 영역은 크누센 수에 따라 다음과 같이 분류된다.^[11]

$\mathrm{Kn} < 0.01$ : 연속체 유동
$0.01 < \mathrm{Kn} < 0.1$ : 미끄럼 유동
$0.1 < \mathrm{Kn} < 10$ : 천이 유동
$\mathrm{Kn} > 10$ : 자유 분자 유동^[5]

이러한 영역 분류는 경험적이며 문제에 따라 다르지만, 유동을 적절하게 모델링하는 데 유용하다.^[3]^[6]

높은 크누센 수를 갖는 문제에는 낮은 대기권을 통과하는 먼지 입자의 운동 및 외기권을 통과하는 위성의 운동 계산이 포함된다. 크누센 수가 가장 널리 사용되는 응용 분야 중 하나는 유동이 연속체에서 자유 분자까지 다양하게 나타나는 미세 유체 공학 및 MEMS 장치 설계이다.^[3] 최근에는 다공성 매체에서의 수송, 예를 들어 석유 저장소와 같은 다른 분야에도 적용되고 있다.^[4] 높은 크누센 수를 가진 상황에서 유체의 움직임은 크누센 유동이라고 하며, 이는 자유 분자 유동이라고도 한다.

항공기와 같은 여객기 주변의 기류는 낮은 크누센 수를 가지므로 연속체 역학의 영역에 속한다. 크누센 수를 사용하여 스토크스 법칙에 대한 조정을 커닝엄 보정 계수에 사용할 수 있으며, 이는 작은 입자(즉, ''d''_''p'' < 5 μm)의 미끄러짐으로 인한 항력 보정이다. 노즐을 통과하는 물의 흐름은 일반적으로 낮은 크누센 수를 갖는 상황이다.^[5]

분자 질량이 다른 기체의 혼합물은 얇은 벽의 작은 구멍을 통해 혼합물을 통과시킴으로써 부분적으로 분리될 수 있다. 구멍을 통과하는 분자 수는 기체의 압력에 비례하고 분자 질량에 반비례하기 때문이다. 이 기술은 다공성 막을 사용하여 동위 원소 혼합물, 예를 들어 우라늄을 분리하는 데 사용되었다.^[7] 또한 물로부터의 수소 생산에 성공적으로 사용되었다는 것이 입증되었다.^[8]

크누센 수는 또한 기체의 열 전도에 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 낮은 압력에서 기체가 포함된 단열재의 경우 낮은 열전도율을 보장하기 위해 크누센 수를 가능한 한 높게 유지해야 한다.^[9]

크누센 수에 따른 유동 영역은 다음과 같이 분류하기도 한다.

0.01 < ''Kn'' < 1 : 준연속 영역
1 < ''Kn'' < 10 : 준자유 분자 영역

크누센 수는 평균 자유 행로와 대표 길이의 비로 정의된다. 평균 자유 행로가 작고 대표 길이가 큰 경우에는 분자 간의 충돌이 빈번하게 일어나며, 벽면과의 충돌 횟수가 줄어들어 운동량과 에너지가 평균화된 상태, 즉 이러한 값이 공간적으로 연속적인 상태가 된다. 따라서 분자 전체를 연결된 것으로, 즉 연속체로 취급할 수 있다.

반면, 평균 자유 행로가 크고 대표 길이가 작은 경우에는 분자 간의 충돌이 줄어들고, 벽면과의 충돌 횟수가 증가하기 때문에 운동량과 에너지가 평균화되지 않는다. 벽면은 움직이지 않으므로 운동량과 에너지가 항상 0이며, 충돌에 의한 운동량 및 에너지 교환이 일어나지 않기 때문에 개별 분자마다 다르며, 연결성을 찾을 수 없으므로 연속체로 취급할 수 없다.

5. 응용

크누센 수는 유동의 희박 정도를 결정하는 데 사용된다.^[3] 유동 영역은 다음과 같이 분류할 수 있다.

$\mathrm{Kn} < 0.01$ : 연속체 유동
$0.01 < \mathrm{Kn} < 0.1$ : 미끄럼 유동
$0.1 < \mathrm{Kn} < 10$ : 천이 유동
$\mathrm{Kn} > 10$ : 자유 분자 유동^[5]

이러한 영역 분류는 경험적이며 문제에 따라 다르지만, 유동을 적절하게 모델링하는 데 유용하다.^[3]^[6]

높은 크누센 수를 갖는 문제에는 낮은 대기권을 통과하는 먼지 입자의 운동 및 외기권을 통과하는 위성의 운동 계산이 포함된다. 크누센 수가 가장 널리 사용되는 응용 분야 중 하나는 미세 유체 공학 및 MEMS 장치 설계이며, 유동은 연속체에서 자유 분자까지 다양하게 나타난다.^[3] 최근에는 다공성 매체에서의 수송(예: 석유 저장소)과 같은 다른 분야에도 적용되고 있다.^[4] 높은 크누센 수를 가진 상황에서 유체의 움직임은 크누센 유동(자유 분자 유동)이라고 한다.

항공기와 같은 여객기 주변의 기류는 낮은 크누센 수를 가지므로 연속체 역학의 영역에 속한다. 크누센 수를 사용하여 스토크스 법칙에 대한 조정을 커닝엄 보정 계수에 사용할 수 있으며, 이는 작은 입자(즉, ''d''_''p'' < 5μm)의 미끄러짐으로 인한 항력 보정이다. 노즐을 통과하는 물의 흐름은 일반적으로 낮은 크누센 수를 갖는 상황이다.^[5]

분자 질량이 다른 기체의 혼합물은 얇은 벽의 작은 구멍을 통해 혼합물을 통과시킴으로써 부분적으로 분리할 수 있다. 구멍을 통과하는 분자 수는 기체의 압력에 비례하고 분자 질량에 반비례하기 때문이다. 이 기술은 다공성 막을 사용하여 동위 원소 혼합물(예: 우라늄)을 분리하는 데 사용되었다.^[7] 또한 물로부터의 수소 생산에 성공적으로 사용되었다는 것이 입증되었다.^[8]

크누센 수는 기체의 열 전도에도 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 낮은 압력에서 기체가 포함된 단열재의 경우 낮은 열전도율을 보장하기 위해 크누센 수를 가능한 한 높게 유지해야 한다.^[9]

참조

_[1] 논문 Effective Thermal Conductivity of Submicron Powders: A Numerical Study https://www.research[...]
_[2] 논문 Influence of gas pressure on the effective thermal conductivity of ceramic breeder pebble beds
_[3] 서적 Microflows and nanoflows: fundamentals and simulation Springer
_[4] 간행물 Permeability of Tight Sand and Shale Formations: A Dual Mechanism Approach for Micro and Nanodarcy Reservoirs SPE
_[5] 서적 Statistical thermodynamics: fundamentals and applications https://books.google[...] Cambridge University Press
_[6] 서적 Diffusion: Mass Transfer in Fluid Systems Cambridge University Press
_[7] 서적 Isotope Separation American Nuclear Society 1976
_[8] 논문 Direct solar thermal splitting of water and on-site separation of the products - II. Experimental feasibility study Elsevier Science Ltd 1998
_[9] 웹사이트 Thermal conductivity of gases https://www.tec-scie[...] 2020-01-27
_[10] 서적 流体力学（前編）裳華房
_[11] 서적 エアロゾル学の基礎森北出版

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