기본 영역
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1. 개요
기본 영역은 위상 공간에서 군의 작용이 주어졌을 때 궤도들의 대표원 집합으로 정의된다. 이 집합은 궤도 공간의 구조를 파악하고 적분 계산 등에 활용되며, 거의 열린 집합의 형태를 갖는다. 기본 영역은 자유 정규 집합을 포함하며, 에르고딕 이론에서 코셋 대표의 완비 집합으로 나타난다. 예를 들어, 유클리드 공간에서 격자의 작용에 대한 기본 영역은 토러스를 형성하며, 회전, 반사, 병진 대칭 등 다양한 대칭성을 갖는 공간에서 기본 영역의 예시를 찾을 수 있다. 모듈러 군의 기본 영역은 상반평면에서 작용하며, 삼각형 영역으로 표현된다.
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| 기본 영역 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 정의 | |
| 수학 분야 | 수학 |
| 상세 정보 | |
| 응용 분야 | 타일링 모듈러 형식 푸리에 급수 |
| 관련 개념 | |
| 관련 개념 | 타일링 디리클레 영역 |
2. 일반적인 정의
위상동형사상을 통해 위상 공간 ''X''에서 군 ''G''의 작용이 주어질 때, 기본 영역은 각 궤도의 대표원을 정확히 하나씩 포함하는 ''X''의 부분 집합이다. 기본 영역은 '거의' 열린 집합인데, 이는 열린 집합과의 대칭차가 특정 측도에 대해 영집합(측도가 0인 집합)임을 의미한다. 기본 영역은 자유 정규 집합을 포함하는데, 이는 ''G''의 작용에 의해 서로 겹치지 않는(서로소 집합) 복사본으로 이동되는 열린집합이다.
2. 1. 정의의 핵심
위상동형사상에 의한 위상 공간 에서 군 의 작용이 주어지면, 이 작용의 기본 영역은 궤도들의 대표원 집합 이다. 는 ''거의'' 열린 집합인데, 에 대한 특정 (준)불변 측도에 대해 영 측도 집합과 의 열린 집합의 대칭차라는 점에서 정의된다. 기본 영역은 자유 정규 집합 를 포함하며, 에 의해 서로소인 복사본으로 이동하는 열린 집합으로 궤도를 나타내는 데 만큼 유용하다. 종종 는 약간의 반복이 있는 코셋 대표의 완비 집합이 되지만, 반복되는 부분은 에르고딕 이론에서처럼 영측도이다. 기본 영역은 에 대한 적분을 계산하는 데 사용될 때 영측도 집합은 중요하지 않기 때문에 유용하다.예를 들어, 가 차원의 유클리드 공간 이고 가 평행 이동에 의해 작용하는 격자 일 때, 몫 는 차원 원환면이 된다. 여기서 기본 영역 는 으로 볼 수 있으며, 이것은 열린 집합 과 영 측도 집합 또는 닫힌 단위 입방체 과 다르다. 궤도가 에서 둘 이상의 대표원들을 갖는 점으로 구성된다.
3. 예시
3차원 유클리드 공간 Euclidean space|유클리드 공간영어 '''R'''3에서, 주어진 한 직선에 대한 180° 회전의 경우 궤도는 축에 대해 서로 반대편에 있는 두 점의 집합이거나 축 위의 한 점이다. 기본 영역은 이 직선을 통과하는 임의의 평면으로 경계가 지정된 반 공간이다.
3. 1. 회전 대칭
겹 회전의 경우, 궤도는 축을 중심으로 하는 개 점들의 집합이거나 축 위의 한 점이다. 기본 영역은 부채꼴이다.3. 2. 반사 대칭
평면에서의 반사의 경우, 궤도는 평면의 각 측면에 하나씩 2개의 점 집합이거나 평면 위의 한 점이다. 기본 영역은 해당 평면으로 경계가 지정된 반공간이다. 점 반사의 경우, 궤도는 중심의 각 측면에 하나씩 2개의 점 집합이며, 중심만으로 구성된 하나의 궤도는 예외이다. 기본 영역은 중심을 통과하는 임의의 평면으로 경계가 지정된 반공간이다.3. 3. 병진 대칭
한 방향으로의 이산 병진 대칭의 경우, 궤도는 병진 벡터 방향으로 1차원 격자의 병진이다. 기본 영역은 무한한 판이다.두 방향의 이산 병진 대칭의 경우, 궤도는 병진 벡터를 통해 평면의 2차원 격자를 평행 이동시킨다. 기본 영역은 평행사변형 단면을 갖는 무한한 막대이다.
세 방향의 이산 병진 대칭의 경우, 궤도는 격자의 평행 이동이다. 기본 영역은 직육면체 또는 보로노이 도식과 같은 단위 격자(위그너-자이츠 격자)이다.
다른 대칭과 결합된 병진 대칭의 경우 기본 영역은 기본 셀의 일부이다. 예를 들어, 벽지군의 경우 기본 영역은 기본 격자보다 1, 2, 3, 4, 6, 8 또는 12배 작다.
4. 모듈러 군의 기본 영역
상반평면에서 모듈러 군의 작용에 대한 기본 영역은 모듈러 형식론에서 중요한 역할을 한다. 이 유명한 도식은 모듈러 함수에 대한 모든 고전 연구에 나타나며, 카를 프리드리히 가우스도 이차 형식의 축소 이론을 연구하며 기본 영역을 다루었을 것으로 보인다. 기본 영역에 포함할 경계 지점 선택은 저자마다 다르며, 기본 영역을 정의할 때 가장 어려운 부분은 집합 자체가 아니라 영역 경계에서 극점과 영점을 갖는 함수를 적분할 때 기본 영역에 대한 적분을 어떻게 처리할지이다.
4. 1. 모듈러 군의 작용
모듈러 군 Γ는 상반평면 ''H''에 작용하는데, 오른쪽 그림은 이 작용에 대한 기본 영역의 일부를 보여준다.이 그림은 모듈러 함수에 대한 고전적인 연구에 자주 등장한다. 카를 프리드리히 가우스도 이차 형식의 환원 이론을 연구하면서 기본 영역을 다루었을 것으로 추정된다.
그림에서 파란색 선으로 둘러싸인 각 삼각형 영역은 ''H''에 대한 Γ 작용의 자유 정칙 집합이다. 파란색 선, 즉 경계는 자유 정칙 집합에 포함되지 않는다. ''H''/Γ의 기본 영역을 구성하려면 경계의 점을 중복 계산하지 않도록 주의해야 한다.
이 예에서 자유 정칙 집합은 다음과 같이 정의된다.
:
기본 영역은 왼쪽 경계와 가운데 점을 포함하는 아래쪽 호의 절반을 더하여 구성된다.
:
기본 영역에 포함할 경계 점을 선택하는 것은 임의적이며, 저자마다 다르게 정의한다.
기본 영역을 정의할 때 핵심적인 어려움은 집합 자체를 정의하는 것뿐만 아니라, 영역 경계에 극점과 영점을 가진 함수를 적분할 때 기본 영역에 대한 적분을 어떻게 처리할 것인가에 있다.
4. 2. 경계의 처리
모듈러 군의 작용에 대한 기본 영역을 구성할 때, 경계는 자유 정규 집합의 일부가 아니므로, 이 점들을 중복 계산하지 않도록 주의해야 한다. 기본 영역의 일부로 포함할 경계 지점의 선택은 저자마다 다르다.
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