트로코이드

1. 개요

트로코이드는 원이 선을 따라 미끄러지지 않고 굴러갈 때, 원에 부착된 점이 그리는 곡선이다. 원의 중심이 움직이는 경로에 따라 트로코이드는 직선을 따라 굴러가는 경우와 원형 경로를 따라 굴러가는 경우로 나뉜다. 직선 경로를 따라 굴러가는 경우, 점의 위치에 따라 수축된 트로코이드, 일반 트로코이드, 확장된 트로코이드로 분류되며, 원형 경로를 따라 굴러가는 경우에는 에피트로코이드와 하이포트로코이드가 있다. 에피트로코이드는 원이 다른 원의 바깥쪽을 굴러갈 때, 하이포트로코이드는 안쪽을 굴러갈 때 생성된다.

2. 트로코이드 (직선 위를 구르는 원)

반지름이 인 원이 선 을 따라 미끄러지지 않고 굴러갈 때, 중심 는 에 평행하게 움직이며, 원에 강하게 부착된 회전 평면의 다른 모든 점 는 트로코이드라고 하는 곡선을 그린다. 라고 하자. 이 -축인 트로코이드의 매개 변수 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
& x = a\theta - b \sin \theta \\
& y = a - b \cos \theta
\end{align}

여기서 는 원이 구르는 가변 각도이다.

2.1. 정의

움직이는 원의 반지름을 r_m, 회전각을 θ, 그리는 점의 반지름을 r_d라고 하면, 트로코이드의 매개변수 방정식은 다음과 같다.
:$\backslash begin\{cases\}$
x=r_m\theta - r_d\sin\theta,\\
y=r_m - r_d\cos\theta,
\end{cases}
* r_m < r_d일 때, 1회전으로 x축과 2번 만난다.
* r_m = r_d일 때, 1회전으로 x축과 1번 접하며, 곡선은 사이클로이드가 된다.
* r_m > r_d일 때, x축과 만나지 않는다.

2.2. 종류

점 $P$가 원 내부에 (), 원 위에 ($b\; =\; a$), 또는 원 외부에 ($b\; >\; a$) 위치하면, 트로코이드는 각각 커테이트("수축된"), 일반, 또는 프로레이트("확장된")로 묘사된다. 커테이트 트로코이드는 일반적인 기어 자전거를 직선으로 페달을 밟을 때 (지면에 대한) 페달에 의해 그려진다. 프로레이트 트로코이드는 배가 노 젓는 바퀴로 일정한 속도로 움직일 때 (수면에 대한) 노의 끝에 의해 그려지며, 이 곡선은 루프를 포함한다. 일반적인 트로코이드, 즉 사이클로이드는 점 $P$가 선 $L$에 접하는 지점에 첨점을 갖는다.

움직이는 원의 반지름을 r, 회전각을 θ, 그리는 점의 반지름을 r라고 하면, 트로코이드의 매개변수 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{cases\}$
x=r_m\theta - r_d\sin\theta,\\
y=r_m - r_d\cos\theta,
\end{cases}

* r < r일 때, 1회전으로 x축과 2번 만난다.
* r = r일 때, 1회전으로 x축과 1번 접하며, 곡선은 사이클로이드가 된다.
* r > r일 때, x축과 만나지 않는다.

3. 에피트로코이드 (바깥쪽으로 구르는 원)

에피트로코이드(바깥쪽으로 구르는 원)는 한 원이 다른 원의 바깥쪽을 굴러갈 때, 굴러가는 원에 고정된 점이 그리는 곡선으로, 외트로코이드라고도 불린다.

3.1. 정의

정원의 반지름을 r_c, 동원의 반지름을 r_m, 회전각을 θ, 그리는 점의 반지름을 r_d라고 하면, 외트로코이드(에피트로코이드)의 매개 변수 표시는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{cases\}$
x=(r_c + r_m)\cos \theta - r_d\cos \left(\cfrac{r_c + r_m}{r_m}\theta \right),\\
y=(r_c + r_m)\sin \theta - r_d\sin \left(\cfrac{r_c + r_m}{r_m}\theta \right),
\end{cases}

r_d = r_m 일 때 외사이클로이드가 된다.

3.2. 에피사이클로이드 (Epicycloid)

Epicycloid^영어는 $r\_d\; =\; r\_m$일 때의 에피트로코이드를 말한다.

4. 하이포트로코이드 (안쪽으로 구르는 원)

하이포트로코이드(Hypotrochoid)는 한 원이 다른 원의 안쪽을 굴러갈 때, 굴러가는 원에 고정된 점이 그리는 곡선이다. '내트로코이드'라고도 한다.

--

4.1. 정의

--

정원의 반지름을 r_c, 동원의 반지름을 r_m, 회전각을 θ, 묘화점의 반지름을 r_d라고 하면, 내트로코이드(하이포트로코이드, hypotrochoid)의 매개변수 표시는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{cases\}$
x=(r_c - r_m)\cos \theta + r_d\cos \left(\cfrac{r_c - r_m}{r_m}\theta \right),\\
y=(r_c - r_m)\sin \theta - r_d\sin \left(\cfrac{r_c - r_m}{r_m}\theta \right),
\end{cases}

r_d = r_m일 때 내사이클로이드가 된다. 특히 r_c = 2r_m일 때, 묘화점의 궤적은 타원을 그린다.

4.2. 하이포사이클로이드 (Hypocycloid)

Hypocycloid^영어는 hypotrochoid^영어에서 $r\_d\; =\; r\_m$일 때를 말하며, 내사이클로이드가 된다.

4.3. 타원 (Ellipse)

$r\_c\; =\; 2r\_m$일 때, hypotrochoid^영어에 의해 그려지는 궤적은 타원이 된다.

--

5. 일반적인 트로코이드

트로코이드는 더 일반적인 방법으로 정의할 수 있다. 즉, $(x\text{'},\; y\text{'})$에 위치한 축을 중심으로 일정한 속도로 궤도를 도는 점 $(x,\; y)$의 자취로 정의한다.

이동 축의 움직임에 따라 트로코이드는 직선 경로와 원형 경로로 나눌 수 있다.

5.1. 직선 경로

이동 축이 직선으로 이동하는 경우, 트로코이드의 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{array\}\{lcl\}$
x'=x_0+v_{2x} t,\ y'=y_0+v_{2y} t\\
\therefore x = x_0+r_1\cos(\omega_1 t+\phi_1)+v_{2x} t,\ y = y_0+r_1 \sin(\omega_1 t+\phi_1)+v_{2y} t,\\
\end{array}

직선 경로의 경우, 한 번의 완전한 회전은 주기적 (반복) 자취의 한 주기와 일치한다.

움직이는 원의 반지름을 r_m, 회전각을 θ, 그리는 점의 반지름을 r_d라고 하면, 트로코이드의 매개변수 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{cases\}$
x=r_m\theta - r_d\sin\theta,\\
y=r_m - r_d\cos\theta,
\end{cases}

* r_m < r_d일 때, 1회전으로 x축과 2번 만난다.
* r_m = r_d일 때, 1회전으로 x축과 1번 접하며, 곡선은 사이클로이드가 된다.
* r_m > r_d일 때, x축과 만나지 않는다.

5.2. 원형 경로

이동 축이 원형 경로로 이동하는 경우, 트로코이드 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash begin\{array\}\{lcl\}$
x = x_0+r_1\cos(\omega_1 t+\phi_1)+r_2\cos(\omega_2 t+\phi_2),\ y = y_0+r_1 \sin(\omega_1 t+\phi_1)+r_2\sin(\omega_2 t+\phi_2),\\
\end{array}

이 경우 자취는 각운동량의 비율 $\backslash omega\_1/\backslash omega\_2$가 유리수일 때만 주기적이다. 즉, $\backslash omega\_1/\backslash omega\_2\; =\; p/q$ ($p$와 $q$는 서로소)일 때, 한 주기는 이동 축 주위의 $p$ 궤도와 점 $(x\_0,y\_0)$ 주위의 이동 축의 $q$ 궤도로 구성된다.

에피사이클로이드와 하이포사이클로이드는 반지름 $r\_1$인 원의 둘레에 있는 점의 자취를 추적하여 생성되는 특수한 경우이다. 반지름 $R$인 고정 원의 둘레에서 굴러갈 때, 이들은 다음과 같은 속성을 갖는다.

:$\backslash begin\{array\}\{lcl\}$
\text{에피사이클로이드: }&\omega_1/\omega_2&=p/q=r_2/r_1=R/r_1+1,\ |p-q| \text{ 첨점}\\
\text{하이포사이클로이드: }&\omega_1/\omega_2&=p/q=-r_2/r_1=-(R/r_1-1),\ |p-q|=|p|+|q| \text{ 첨점}
\end{array}

여기서 $r\_2$는 이동 축의 궤도 반지름이다. 첨점의 수는 "첨점"을 "반경 최대값" 또는 "반경 최소값"으로 대체하여 모든 에피트로코이드 및 하이포트로코이드에 적용된다.

5.3. 에피사이클로이드와 하이포사이클로이드의 특성

반지름 $r\_1$인 원의 둘레에 있는 점의 자취를 추적하여 생성되는 에피사이클로이드와 하이포사이클로이드의 특수한 경우는 반경 $R$인 고정 원의 둘레에서 굴러갈 때 다음과 같은 속성을 갖는다.

여기서 $r\_2$는 이동 축의 궤도 반지름이다. 위에 주어진 첨점의 수는 "첨점"을 "반경 최대값" 또는 "반경 최소값"으로 대체하여 모든 에피트로코이드 및 하이포트로코이드에 적용된다.

정원의 반지름을 r_c, 동원의 반지름을 r_m, 회전각을 θ, 그리는 점의 반지름을 r_d라고 하면, 에피트로코이드(외트로코이드)의 매개 변수 표시는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{cases\}$
x=(r_c + r_m)\cos \theta - r_d\cos \left(\cfrac{r_c + r_m}{r_m}\theta \right),\\
y=(r_c + r_m)\sin \theta - r_d\sin \left(\cfrac{r_c + r_m}{r_m}\theta \right),
\end{cases}

r_d = r_m 일 때 외사이클로이드가 된다.

정원의 반지름을 r_c, 동원의 반지름을 r_m, 회전각을 θ, 묘화점의 반지름을 r_d라고 하면, 하이포트로코이드(내트로코이드)의 매개변수 표시는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{cases\}$
x=(r_c - r_m)\cos \theta + r_d\cos \left(\cfrac{r_c - r_m}{r_m}\theta \right),\\
y=(r_c - r_m)\sin \theta - r_d\sin \left(\cfrac{r_c - r_m}{r_m}\theta \right),
\end{cases}

r_d = r_m일 때 내사이클로이드가 된다. r_c = 2r_m일 때, 묘화점의 궤적은 타원을 그린다.

--