하이포사이클로이드

1. 개요

하이포사이클로이드는 큰 원 안에 작은 원이 접하며 회전할 때 작은 원 위의 한 점이 그리는 곡선이다. 이 곡선은 작은 원과 큰 원의 반지름 비율, 즉 k 값에 따라 다양한 형태를 가지며, k가 정수일 경우 닫힌 곡선이 되고 k개의 뾰족점을 갖는다. 특히 k=2일 때는 직선이 되며, k=3일 때는 델토이드, k=4일 때는 아스트로이드가 된다. 하이포사이클로이드는 역사적으로 나시르 알딘 알투시에 의해 처음 기술되었으며, 매개변수 방정식으로 표현된다. 또한, 이 곡선은 중력 포텐셜에 대한 최단강하곡선이며, 면적과 호의 길이를 계산할 수 있다. 하이포사이클로이드는 군 이론과 연관되어 있으며, 스피로그래프 장난감, 피츠버그 스틸러스 로고, 텔레비전 게임 쇼 세트 디자인 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 역사

투시 부부라고 불리는 2개의 첨점을 가진 하이포사이클로이드는 13세기 페르시아 이슬람 천문학 및 이슬람 수학의 천문학자이자 수학자인 나시르 알딘 알투시가 그의 저서 《타흐리르 알-마제스티 (알마게스트 주해)》에서 처음 기술하였다. 독일의 화가이자 독일 르네상스 이론가인 알브레히트 뒤러는 1525년에 에피트로코이드를 묘사했으며, 이후 뢰머와 베르누이는 각각 1674년과 1691년에 아스트로이드와 같은 특정 하이포사이클로이드에 집중했다.

3. 성질

작은 원의 반지름이 r, 큰 원의 반지름이 R = kr일 때, k 값에 따라 하이포사이클로이드의 여러 성질이 나타난다.

* k가 정수인 경우: 곡선은 닫힌 곡선이 되며, k 개의 뾰족점을 가진다. 예를 들어 k=2일 때는 카르디노 원이라 불리는 직선 모양이 된다.
* k가 유리수인 경우: k = p/q 꼴로 단순화할 수 있다면, p 개의 뾰족점을 가진다.
* k가 무리수인 경우: 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 R − 2r인 원 사이의 공간을 모두 채운다.

하이포사이클로이드는 최단강하곡선과 관련된 성질도 가지고 있다. 반지름이 r인 하이포사이클로이드 곡선은 반지름이 R인 원 안에서 중력 퍼텐셜에 대한 최속강하곡선이다.

하이포사이클로이드의 면적과 호의 길이는 다음과 같다.

* 면적: $$A\; =\; (k\; -\; 1)(k\; -\; 2)\; \backslash pi\; r^2$$
* 호의 길이: $$s\; =\; 8(k\; -\; 1)\; r$$

3.1. 매개변수 방정식

작은 원의 반지름을 r, 큰 원의 반지름을 R = kr이라 할 때, 하이포사이클로이드의 매개변수 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:x(θ)^영어 = (R - r)cosθ + rcos((R - r)/r θ)
:y(θ)^영어 = (R - r)sinθ - rsin((R - r)/r θ)

이를 k를 사용하여 다시 표현하면 다음과 같다.

:x(θ)^영어 = r(k - 1)cosθ + rcos((k - 1)θ)
:y(θ)^영어 = r(k - 1)sinθ - rsin((k - 1)θ)

k가 정수이면 곡선은 닫힌 형태가 되며, k개의 뾰족점을 가진다. k=2인 경우, 곡선은 직선이 되며 이를 카르디노 원이라고 한다.

k가 유리수이면, k = p/q (p, q는 서로소) 형태로 나타낼 때, 곡선은 p개의 뾰족점을 가진다.

k가 무리수이면 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 R - 2r인 원 사이의 공간을 채운다.

반지름이 r인 각각의 하이포사이클로이드 곡선은 반지름이 R인 원 안에서 중력 퍼텐셜에 대한 최속강하곡선이다.

3.2. k 값에 따른 형태 변화

k 값은 작은 원의 반지름 r과 큰 원의 반지름 R = kr의 관계를 나타내는 값으로, 이 값에 따라 하이포사이클로이드의 형태가 변한다.

* k가 정수인 경우: 곡선은 닫힌 형태가 되며, k개의 뾰족한 점(첨점)을 가진다.
* k = 2인 경우: 곡선은 직선 모양이 되며, 이를 카르디노 원이라고 한다. 나시르 알딘 알투시가 이 하이포사이클로이드를 처음 설명했으며, 고속 인쇄에 적용했다.
* k = 3인 경우: 델토이드 곡선
* k = 4인 경우: 아스트로이드
* k가 유리수인 경우: k = p/q (p, q는 서로소)로 표현 가능하며, p개의 뾰족점을 가진다.
* k = 2.1 (21/10)인 경우: p=21
* k = 3.8 (19/5)인 경우: p=19
* k = 5.5 (11/2)인 경우: p=11
* k = 7.2 (36/5)인 경우: p=36
* k가 무리수인 경우: 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 R - 2r인 원 사이의 공간을 채운다.

각각의 반지름이 r인 하이포사이클로이드 곡선은 반지름이 R인 원 안에서 중력퍼텐셜에 대한 최단강하곡선이다.

다음은 k값에 따른 하이포사이클로이드의 예시이다.

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3.3. 면적과 호의 길이

작은 원의 반지름이 r이고, 큰 원의 반지름이 R = kr이면, 곡선에 대한 매개변수 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
& x (\theta) = (R - r) \cos \theta + r \cos \left(\frac{R-r}{r} \theta \right) \\
& y (\theta) = (R - r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R - r}{r} \theta \right)
\end{align}

또는

:$$\backslash begin\{align\}$$
& x (\theta) = r (k - 1) \cos \theta + r \cos \left( (k - 1) \theta \right) \\
& y (\theta) = r (k - 1) \sin \theta - r \sin \left( (k - 1) \theta \right)
\end{align}

하이포사이클로이드로 둘러싸인 면적은 다음과 같다.

:$$A\; =\; \backslash frac\; \{(k\; -\; 1)(k\; -\; 2)\}\; \{k^2\}\; \backslash pi\; R^2\; =\; (k\; -\; 1)(k\; -\; 2)\; \backslash pi\; r^2$$

하이포사이클로이드의 호의 길이는 다음과 같다.

:$$s\; =\; \backslash frac\; \{8(k\; -\; 1)\}\; \{k\}\; R\; =\; 8(k\; -\; 1)\; r$$

4. 군 이론과의 관계

정수 값 k를 가진 하이포사이클로이드, 즉 k개의 뾰족점을 가진 하이포사이클로이드는 k+1개의 뾰족점을 가진 다른 하이포사이클로이드 안에서 꼭 맞게 움직일 수 있으며, 이때 작은 하이포사이클로이드의 점들은 항상 큰 것과 접촉한다. 이 움직임은 '굴림'처럼 보이지만, 미끄러짐이 포함되기 때문에 고전역학적 의미에서의 정확한 굴림은 아니다.

하이포사이클로이드의 형태는 특수 유니타리 군 SU(k)와 관련될 수 있는데, 이는 행렬식이 1인 k × k 유니타리 행렬로 구성된다. 예를 들어, SU(3)에 속하는 행렬의 대각선 성분 합으로 가능한 값들은 복소평면에서 세 개의 뾰족점을 가진 하이포사이클로이드(델토이드) 내부의 점들에 정확히 해당한다. 마찬가지로, SU(4) 행렬의 대각선 성분 합은 아스트로이드 내부의 점들을 제공한다. 이러한 방식으로 계속된다.

이 결과를 통해, SU(k)가 SU(k+1)의 부분군으로 포함된다는 사실을 이용하여, k개의 뾰족점을 가진 에피사이클로이드가 k+1개의 뾰족점을 가진 것 안에서 꼭 맞게 움직인다는 것을 증명할 수 있다.

5. 유도 곡선

하이포사이클로이드의 축폐선은 하이포사이클로이드 자체의 확대된 버전이며, 신개선은 하이포사이클로이드의 축소된 복사본이다. 중심을 극점으로 하는 페달 곡선은 장미 곡선이다. 이소프틱 곡선도 하이포사이클로이드이다. 에볼루트는 하이포사이클로이드 자체의 확대된 버전이며, 인볼루트는 자체의 축소된 복사본이다. 중심에 극점을 갖는 페달은 장미 곡선이다. 등시선은 하이포사이클로이드이다.

6. 응용

스피로그래프 장난감으로 하이포사이클로이드와 유사한 곡선을 그릴 수 있다. 특히 스피로그래프는 하이포트로코이드와 에피트로코이드를 그릴 수 있다.

피츠버그 스틸러스의 로고는 스틸마크를 기반으로 하며, 세 개의 아스트로이드(첨점이 4개인 하이포사이클로이드)를 포함하고 있다. NFL.com의 주간 칼럼 "화요일 아침 쿼터백"에서 그레그 이스터브룩은 종종 스틸러스를 '하이포사이클로이드'라고 부른다. 칠레 축구팀 CD 우아치파토는 스틸러스의 로고를 기반으로 엠블럼을 제작하여 하이포사이클로이드를 포함하고 있다.

더 프라이스 이즈 라이트의 드루 캐리 시즌 1 세트에는 세 개의 주요 문, 거대한 가격표, 턴테이블 영역에 아스트로이드가 있었다. 2008년부터 고화질 텔레비전 방송으로 전환되면서 문과 턴테이블의 아스트로이드는 제거되었고, 현재는 거대한 가격표 소품에만 남아있다.