하이포사이클로이드

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1. 개요
2. 역사
3. 성질
4. 군 이론과의 관계
5. 유도 곡선
6. 응용
참조

1. 개요

하이포사이클로이드는 큰 원 안에 작은 원이 접하며 회전할 때 작은 원 위의 한 점이 그리는 곡선이다. 이 곡선은 작은 원과 큰 원의 반지름 비율, 즉 k 값에 따라 다양한 형태를 가지며, k가 정수일 경우 닫힌 곡선이 되고 k개의 뾰족점을 갖는다. 특히 k=2일 때는 직선이 되며, k=3일 때는 델토이드, k=4일 때는 아스트로이드가 된다. 하이포사이클로이드는 역사적으로 나시르 알딘 알투시에 의해 처음 기술되었으며, 매개변수 방정식으로 표현된다. 또한, 이 곡선은 중력 포텐셜에 대한 최단강하곡선이며, 면적과 호의 길이를 계산할 수 있다. 하이포사이클로이드는 군 이론과 연관되어 있으며, 스피로그래프 장난감, 피츠버그 스틸러스 로고, 텔레비전 게임 쇼 세트 디자인 등 다양한 분야에 응용된다.

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하이포사이클로이드
개요
하이포사이클로이드의 예시
정의	고정된 원 내부에서 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 궤적
관련 용어	에피사이클로이드, 트로코이드
수식
매개변수 방정식	x(θ) = (Rc - Rm)cos(θ) + Rm cos(((Rc - Rm)/Rm)θ) y(θ) = (Rc - Rm)sin(θ) - Rm sin(((Rc - Rm)/Rm)θ)
변수 설명	Rc: 고정된 원의 반지름 Rm: 굴러가는 원의 반지름 θ: 매개변수 (일반적으로 각도)
특별한 경우
Rc = 2Rm	직선 (지름)
Rc = 3Rm	스타인 하우스 커스프
성질
첨점의 개수	Rc/Rm (정수일 경우)
미분 가능성	첨점에서 미분 불가능
활용
예시	완켈 엔진의 로터 모양

2. 역사

투시 부부라고 불리는 2개의 첨점을 가진 하이포사이클로이드는 13세기 페르시아 이슬람 천문학 및 이슬람 수학의 천문학자이자 수학자인 나시르 알딘 알투시가 그의 저서 《타흐리르 알-마제스티 (알마게스트 주해)》에서 처음 기술하였다.^[1]^[2] 독일의 화가이자 독일 르네상스 이론가인 알브레히트 뒤러는 1525년에 에피트로코이드를 묘사했으며, 이후 뢰머와 베르누이는 각각 1674년과 1691년에 아스트로이드와 같은 특정 하이포사이클로이드에 집중했다.^[6]

3. 성질

작은 원의 반지름이 ''r'', 큰 원의 반지름이 ''R'' = ''kr''일 때, ''k'' 값에 따라 하이포사이클로이드의 여러 성질이 나타난다.

''k''가 정수인 경우: 곡선은 닫힌 곡선이 되며, ''k'' 개의 뾰족점을 가진다. 예를 들어 ''k''=2일 때는 카르디노 원이라 불리는 직선 모양이 된다.
''k''가 유리수인 경우: ''k'' = ''p''/''q'' 꼴로 단순화할 수 있다면, ''p'' 개의 뾰족점을 가진다.
''k''가 무리수인 경우: 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 ''R'' − 2''r''인 원 사이의 공간을 모두 채운다.

하이포사이클로이드는 최단강하곡선과 관련된 성질도 가지고 있다. 반지름이 ''r''인 하이포사이클로이드 곡선은 반지름이 ''R''인 원 안에서 중력 퍼텐셜에 대한 최속강하곡선이다.^[5]

하이포사이클로이드의 면적과 호의 길이는 다음과 같다.

면적: $A = (k - 1)(k - 2) \pi r^2$ ^[6]^[7]
호의 길이: $s = 8(k - 1) r$ ^[7]

3. 1. 매개변수 방정식

작은 원의 반지름을 ''r'', 큰 원의 반지름을 ''R'' = ''kr''이라 할 때, 하이포사이클로이드의 매개변수 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:x(θ)|x(θ)^영어 = (R - r)cosθ + rcos((R - r)/r θ)

:y(θ)|y(θ)^영어 = (R - r)sinθ - rsin((R - r)/r θ)

이를 ''k''를 사용하여 다시 표현하면 다음과 같다.

:x(θ)|x(θ)^영어 = r(k - 1)cosθ + rcos((k - 1)θ)

:y(θ)|y(θ)^영어 = r(k - 1)sinθ - rsin((k - 1)θ)

''k''가 정수이면 곡선은 닫힌 형태가 되며, ''k''개의 뾰족점을 가진다. k=2인 경우, 곡선은 직선이 되며 이를 카르디노 원이라고 한다.

''k''가 유리수이면, ''k'' = ''p''/''q'' (p, q는 서로소) 형태로 나타낼 때, 곡선은 ''p''개의 뾰족점을 가진다.

''k''가 무리수이면 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 ''R'' - 2''r''인 원 사이의 공간을 채운다.

반지름이 r인 각각의 하이포사이클로이드 곡선은 반지름이 R인 원 안에서 중력 퍼텐셜에 대한 최속강하곡선이다.

3. 2. k 값에 따른 형태 변화

''k'' 값은 작은 원의 반지름 ''r''과 큰 원의 반지름 ''R'' = ''kr''의 관계를 나타내는 값으로, 이 값에 따라 하이포사이클로이드의 형태가 변한다.

''k''가 정수인 경우: 곡선은 닫힌 형태가 되며, ''k''개의 뾰족한 점(첨점)을 가진다.
''k'' = 2인 경우: 곡선은 직선 모양이 되며, 이를 카르디노 원이라고 한다. 나시르 알딘 알투시가 이 하이포사이클로이드를 처음 설명했으며, 고속 인쇄에 적용했다.^[3]^[4]
''k'' = 3인 경우: 델토이드 곡선
''k'' = 4인 경우: 아스트로이드
''k''가 유리수인 경우: ''k'' = ''p''/''q'' (''p'', ''q''는 서로소)로 표현 가능하며, ''p''개의 뾰족점을 가진다.
''k'' = 2.1 (21/10)인 경우: p=21
''k'' = 3.8 (19/5)인 경우: p=19
''k'' = 5.5 (11/2)인 경우: p=11
''k'' = 7.2 (36/5)인 경우: p=36
''k''가 무리수인 경우: 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 ''R'' - 2''r''인 원 사이의 공간을 채운다.

각각의 반지름이 r인 하이포사이클로이드 곡선은 반지름이 R인 원 안에서 중력퍼텐셜에 대한 최단강하곡선이다.^[5]

다음은 k값에 따른 하이포사이클로이드의 예시이다.

3. 3. 면적과 호의 길이

작은 원의 반지름이 r이고, 큰 원의 반지름이 R = kr이면, 곡선에 대한 매개변수 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}& x (\theta) = (R - r) \cos \theta + r \cos \left(\frac{R-r}{r} \theta \right) \\& y (\theta) = (R - r) \sin \theta - r \sin \left( \frac{R - r}{r} \theta \right)\end{align}

또는

:

\begin{align}& x (\theta) = r (k - 1) \cos \theta + r \cos \left( (k - 1) \theta \right) \\& y (\theta) = r (k - 1) \sin \theta - r \sin \left( (k - 1) \theta \right)\end{align}

하이포사이클로이드로 둘러싸인 면적은 다음과 같다.^[6]^[7]

:

A = \frac {(k - 1)(k - 2)} {k^2} \pi R^2 = (k - 1)(k - 2) \pi r^2

하이포사이클로이드의 호의 길이는 다음과 같다.^[7]

:

s = \frac {8(k - 1)} {k} R = 8(k - 1) r

4. 군 이론과의 관계

정수 값 ''k''를 가진 하이포사이클로이드, 즉 ''k''개의 뾰족점을 가진 하이포사이클로이드는 ''k''+1개의 뾰족점을 가진 다른 하이포사이클로이드 안에서 꼭 맞게 움직일 수 있으며, 이때 작은 하이포사이클로이드의 점들은 항상 큰 것과 접촉한다. 이 움직임은 '굴림'처럼 보이지만, 미끄러짐이 포함되기 때문에 고전역학적 의미에서의 정확한 굴림은 아니다.

하이포사이클로이드의 형태는 특수 유니타리 군 SU(''k'')와 관련될 수 있는데, 이는 행렬식이 1인 ''k'' × ''k'' 유니타리 행렬로 구성된다. 예를 들어, SU(3)에 속하는 행렬의 대각선 성분 합으로 가능한 값들은 복소평면에서 세 개의 뾰족점을 가진 하이포사이클로이드(델토이드) 내부의 점들에 정확히 해당한다. 마찬가지로, SU(4) 행렬의 대각선 성분 합은 아스트로이드 내부의 점들을 제공한다. 이러한 방식으로 계속된다.

이 결과를 통해, SU(''k'')가 SU(''k''+1)의 부분군으로 포함된다는 사실을 이용하여, ''k''개의 뾰족점을 가진 에피사이클로이드가 ''k''+1개의 뾰족점을 가진 것 안에서 꼭 맞게 움직인다는 것을 증명할 수 있다.^[8]^[9]

서로 안에서 "구르는" 하이포사이클로이드. 각 작은 곡선의 첨단은 다음으로 더 큰 하이포사이클로이드와 지속적인 접촉을 유지한다.

5. 유도 곡선

하이포사이클로이드의 축폐선은 하이포사이클로이드 자체의 확대된 버전이며, 신개선은 하이포사이클로이드의 축소된 복사본이다.^[10] 중심을 극점으로 하는 페달 곡선은 장미 곡선이다.^[10] 이소프틱 곡선도 하이포사이클로이드이다.^[10] 에볼루트는 하이포사이클로이드 자체의 확대된 버전이며, 인볼루트는 자체의 축소된 복사본이다.^[10] 중심에 극점을 갖는 페달은 장미 곡선이다.^[10] 등시선은 하이포사이클로이드이다.^[10]

6. 응용

스피로그래프 장난감으로 하이포사이클로이드와 유사한 곡선을 그릴 수 있다. 특히 스피로그래프는 하이포트로코이드와 에피트로코이드를 그릴 수 있다.

피츠버그 스틸러스의 로고는 스틸마크를 기반으로 하며, 세 개의 아스트로이드(첨점이 4개인 하이포사이클로이드)를 포함하고 있다. NFL.com의 주간 칼럼 "화요일 아침 쿼터백"에서 그레그 이스터브룩은 종종 스틸러스를 '하이포사이클로이드'라고 부른다. 칠레 축구팀 CD 우아치파토는 스틸러스의 로고를 기반으로 엠블럼을 제작하여 하이포사이클로이드를 포함하고 있다.

더 프라이스 이즈 라이트의 드루 캐리 시즌 1 세트에는 세 개의 주요 문, 거대한 가격표, 턴테이블 영역에 아스트로이드가 있었다. 2008년부터 고화질 텔레비전 방송으로 전환되면서 문과 턴테이블의 아스트로이드는 제거되었고, 현재는 거대한 가격표 소품에만 남아있다.^[11]

참조

_[1] 웹사이트 Tusi Couple https://mathworld.wo[...] 2023-02-27
_[2] 서적 Astronomy and Astrology in the Islamic World https://books.google[...] Edinburgh University Press 2016-04-08
_[3] 간행물 Epicyclic gears applied to early steam engines
_[4] 간행물 Hermite interpolation by hypocycloids and epicycloids with rational offsets
_[5] 간행물 Classical Mechanics Tata McGraw-Hill
_[6] 웹사이트 Area Enclosed by a General Hypocycloid https://geometryexpr[...] 2019-01-12
_[7] 웹사이트 Hypocycloid http://mathworld.wol[...] 2019-01-16
_[8] 웹사이트 Deltoid Rolling Inside Astroid http://blogs.ams.org[...] American Mathematical Society 2013-12-22
_[9] 웹사이트 Rolling hypocycloids http://johncarlosbae[...] 2013-12-22
_[10] 웹사이트 Hypocycloid Evolute http://mathworld.wol[...] Wolfram Research
_[11] 웹사이트 A glimpse at Drew Carey's Price is Right http://www.tvsquad.c[...] 2007-08-21
_[12] 간행물 Reading Portland: The City in Prose Oregon Historical Society Press

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