판아우벌 정리

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1. 개요

판아우벌 정리는 기하학 정리로, 삼각형과 사각형에 적용되는 두 가지 형태로 나타난다. 삼각형에서의 판아우벌 정리는 삼각형 내부의 한 점에서 각 꼭짓점으로 뻗어나가는 직선과 변의 교점 사이의 관계를 나타내는 식으로 표현된다. 이 정리는 면적비, 메넬라오스 정리, 체바 정리, 삼각함수를 이용하여 증명할 수 있다. 사각형에서의 판아우벌 정리는 사각형의 각 변에 외접하는 정사각형의 무게 중심을 연결한 두 선분이 서로 수직이고 길이가 같다는 것을 의미하며, 복소 평면과 핀슬러-하드비거 정리를 통해 증명할 수 있다. 사각형 판아우벌 정리의 성질로 사각형의 대각선 중점과 직교하는 두 선분의 중점이 공원점이라는 것이 있으며, 야코비 정리와 같은 형태로 일반화될 수 있다.

판아우벌 정리

정의

유형	평면기하학 정리
내용	평면 위의 사각형의 각 변에 정사각형을 그리고, 각 정사각형의 중심을 연결하면 마주보는 선분의 길이와 각도가 같다는 정리

역사

이름	판 아우벌의 정리
기원	앙리 판 아우벌(Henri Van Aubel)이 1878년에 발표

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1. 개요
2. 삼각형에서의 판아우벌 정리
3. 사각형에서의 판아우벌 정리

2. 삼각형에서의 판아우벌 정리

삼각형 ABC의 각 꼭짓점에서 삼각형 내부의 임의의 점 P를 잇는 세 직선이 대변과 만나는 점을 각각

A_{1}

B_{1}

C_{1}

이라 할 때, 이들 사이에 특정 비율 관계가 성립한다는 것이 판아우벌 정리이다. 이 정리는 메넬라오스 정리, 체바 정리, 삼각함수를 이용하여 증명할 수 있다.

2.1. 공식화

삼각형 ABC (

\triangle ABC

)의 각 꼭짓점에서 삼각형 ABC 내부의 임의의 한 점 P와 만나는 세 개의 직선 AP, BP, CP가 각각 선분 BC, CA, AB와 만나는 점을

A_{1}

B_{1}

C_{1}

이라고 할 때 (

A_{1} \in \overline{BC}

B_{1} \in \overline{AC}

C_{1} \in \overline{AB}

), 다음과 같은 식이 성립한다.

:

\frac{AP}{PA_{1}}=\frac{AC_{1}}{C_{1}B}+\frac{AB_{1}}{B_{1}C}

이를 판아우벌 정리라고 한다.

2.2. 증명 Ⅰ

$P_{\triangle XYZ}$ 는 삼각형 $XYZ$ 의 면적을 뜻한다.

삼각형 $ABC$ 와 삼각형 $PBC$ 는 동일한 선분 $BC$ 를 밑변으로 가지고 있으므로 높이(선분)의 비율은 면적의 비율과 같다. 따라서
: $\frac{AA_1}{PA_1}=\frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle BCP}}$ 가 성립하는데,

이것은
: $\frac{AP}{PA_{1}}=\frac{P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}$ 를 내포한다.

또 삼각형 $ACC_1$ 과 삼각형 $BCC_1$ 을 보면 두 삼각형은 동일한 선분 $CC_{1}$ 을 같은 높이로 가지고 있으므로 밑변(선분)의 비율은 면적의 비율과 같다. 따라서
: $\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle ACC_1}}{P_{\triangle BCC_1}}$ 가 성립한다.

위와 동일한 방법으로

: $\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BC_1P}}$ 을 얻을 수 있다.

따라서

: $\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle ACP}+P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BCP}+P_{\triangle BC_1P}}=\frac{P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BC_1P}}$

위 식을 정리하면,
:(i) $\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{P_{\triangle ACP}}{P_{\triangle BCP}}$

이와 같은 방법으로 동일하게 구하면

:(ii) $\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}$

(i)식과 (ii)식을 각각 더하면
: $\frac{AB_1}{B_1C}+\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}=\frac{AP}{PA_1}$
판아우벌 정리를 증명할 수 있다.

2.3. 증명 Ⅱ

메넬라오스 정리와 체바 정리를 이용하여 판아우벌 정리를 증명할 수 있다.

삼각형 $ABA_{1}$ 과 직선 $CC_{1}$ 에 대해 메넬라오스 정리를 적용하면 다음과 같다.

: $\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BC}{CA_{1}} \cdot \frac{A_{1}P}{PA} = 1$

위 식을 변형하면 다음과 같다.

: $\frac{PA}{A_{1}P} = \frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BC}{CA_{1}} = \frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}+CA_{1}}{CA_{1}} = \frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot (\frac{BA_{1}}{CA_{1}} + 1)$

따라서,

:(i) $\frac{PA}{A_{1}P} = \frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{CA_{1}} + \frac{AC_{1}}{C_{1}B}$

삼각형 $ABC$ 에 대해 체바 정리를 적용하면 다음과 같다.

: $\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1$

따라서,

:(ii) $\frac{B_{1}A}{CB_{1}} = \frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C}$

(ii) 식을 (i) 식에 대입하면 다음과 같다.

: $\frac{PA}{A_{1}P}=\frac{B_{1}A}{CB_{1}}+\frac{AC_{1}}{C_{1}B}$

2.4. 증명 Ⅲ

판아우벌 정리는 삼각함수를 이용하여 증명할 수 있다.

3. 사각형에서의 판아우벌 정리

판아우벌 정리는 임의의 사각형의 각 변에 외접하는 정사각형을 그리고, 마주보는 정사각형의 무게 중심을 연결한 두 선분이 서로 길이가 같고 수직으로 만난다는 정리이다.

3.1. 증명

꼭짓점 A를 원점 O로 하는 복소 평면을 정의한다. 벡터 AB를 복소수 2a에, 벡터 BC를 복소수 2b에, 벡터 CD를 복소수 2c에, 벡터 DA를 복소수 2d에 대응시킨다. 여기서 복소수의 계수 2는 계산상의 편의를 위한 것이다. 또한, 정사각형의 중심에 대해서는, 벡터 AP를 복소수 p에, 벡터 AQ를 복소수 q에, 벡터 AR를 복소수 r에, 벡터 AS를 복소수 s에 대응시킨다. 사각형 ABCD는 닫혀 있으므로, 벡터를 계산하면

: $2a+2b+2c+2d=0$

즉,
: $a+b+c+d=0$

이 된다. 이 조건으로 증명하게 된다. 점 P는 점 A에서 점 B를 향해 절반만큼 가고, 90도 방향을 바꿔 절반만큼 가므로, 복소수 p는,
: $p=a+ia=(1+i)a$

가 된다. 여기에, i는 허수 단위로, 이다. 복소수는 극형식 (r, θ)로도 표현되며,
: $i=\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2}=\exp\left(\frac{\pi}{2}i\right)$

이므로, a에 i를 곱한다는 것은 반지름 1, 편각 π/2의 복소수를 곱하는 것이며, 확대 축소를 동반하지 않는 회전 이동이라는 의미가 된다.

마찬가지로, 복소수 q, r, s는 다음과 같다.
: $q=2a+(1+i)b$
: $r=2a+2b+(1+i)c$
: $s=2a+2b+2c+(1+i)d$

점 Q에서 점 S를 향하는 벡터를 A, 점 P에서 점 R을 향하는 벡터를 B라고 하면, A는 s - q, B는 r - p이므로,
: $A=s-q=(b+2c+d)+i(d-b)$
: $B=r-p=(a+2b+c)+i(c-a)$

가 된다. 증명해야 하는 것은, 선분 QS와 선분 PR의 길이가 같고, 서로 직교하고 있다는 것이므로, 복소수 A와 B의 관계가,
: $B=iA$

를 만족하는 것이다. 또는, 이 식의 양변에 i를 곱하여 정리하면,
: $A+iB=0$

이 되어, 이 식으로 증명해도 좋다. 실제로 계산하면,
: $A+iB$
: $=(b+2c+d-c+a)+i(d-b+a+2b+c)$
: $=(a+b+c+d)+i(a+b+c+d)=0$

이 된다.

또한, 핀슬러-하드비거 정리를 이용한 증명도 있다.

3.2. 성질

사각형의 대각선 중점과, 판 아우벌 정리의 직교하는 두 선분의 중점은 공원점이다.

3.3. 일반화

다오 탄 오아이(Dao Thanh Oai)는 야코비 정리와 같은 형태로 직교성을 확장했다. 임의의 사각형 ABCD에 대해, ∠A'AB = ∠A'BA, ∠B'BC = ∠B'CB, ∠C'CD = ∠C'DC, ∠D'DA = ∠D'AD가 되도록 점 A', B', C', D'를 배치하면, A'C' ⊥ B'D'가 성립한다.

수학 가제트(Mathematical Gazette)에서는 마름모나 평행사변형으로의 확장도 제시되었다.