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펠러-토르니어 상수

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1. 개요

펠러-토르니어 상수는 소수와 관련된 함수의 극한값으로 표현되는 상수이다. 소수 제타 함수 P(s)를 사용하여 정의되며, 빅 오메가 함수 Ω(x)를 사용하여 다른 방식으로 정의될 수도 있다.

펠러-토르니어 상수
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목차

2. 소수 제타 함수

소수 제타 함수 P는 다음과 같이 주어진다.

: P(s) = \sum_{p \text{ is prime}} \frac 1 {p^s}.

여기서 p는 소수를 나타내며, s는 복소수이다. 펠러-토르니어 상수는 다음을 만족한다.

:C_\text{FT}= {1\over2} \left( 1+ \exp \left( -\sum_{n=1}^\infty {2^n P(2n) \over n} \right) \right).

2.1. 정의

소수 제타 함수 P는 다음과 같이 주어진다.

: P(s) = \sum_{p \text{ is prime}} \frac 1 {p^s}.

여기서 p는 소수를 나타내며, s는 복소수이다. 펠러-토르니어 상수는 다음을 만족한다.

:C_\text{FT}= {1\over2} \left( 1+ \exp \left( -\sum_{n=1}^\infty {2^n P(2n) \over n} \right) \right).

3. 오메가 함수

빅 오메가 함수 Ω(x)는 자연수 x를 소인수분해했을 때, 소인수들의 지수의 합을 나타낸다.
아이버슨 괄호를 사용하면, 펠러-토르니어 상수는 다음과 같이 정의된다.

: C_\text{FT}= \lim_{n\to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n ([\Omega(k) \equiv 0 \bmod 2])} {n}

3.1. 정의

빅 오메가 함수 \Omega(x)는 자연수 x를 소인수분해했을 때, 소인수들의 지수의 합을 나타낸다.
아이버슨 괄호를 사용하면, 펠러-토르니어 상수는 다음과 같이 정의된다.

:C_\text{FT}= \lim_{n\to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n ([\Omega(k) \equiv 0 \bmod 2])} {n}

4. 펠러-토르니어 상수

펠러-토르니어 상수(Flajolet-Tornier Constant)는 소수와 관련된 함수의 극한값으로 표현되는 상수이다.

펠러-토르니어 상수 C_\text{FT}는 다음을 만족한다.

:C_\text{FT}= {1\over2} \left( 1+ \exp \left( -\sum_{n=1}^\infty {2^n P(2n) \over n} \right) \right).

여기서 P(n)는 소수 제타 함수이다.

4.1. 정의

펠러-토르니어 상수 C_\text{FT}는 다음을 만족한다.

:C_\text{FT}= {1\over2} \left( 1+ \exp \left( -\sum_{n=1}^\infty {2^n P(2n) \over n} \right) \right).

여기서 P(n)는 소수 제타 함수이다.

4.2. 다른 표현