펼침

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1. 개요

펼침은 범주 $\mathcal C$ 에서 같은 정의역을 갖는 두 사상 $X\overset f\leftarrow Z\overset g\to Y$ 으로 정의되며, $Y \leftarrow X \rightarrow Z$ 형태의 그림으로 볼 수 있다. $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 의 펼침은 쌍대펼침이라고 한다. 집합 간의 관계, 항등 사상, 모델 범주의 약한 동치를 포함하는 경우, 코볼디즘 등이 펼침의 예시가 될 수 있다.

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 성질
- 4.1. 극한과 쌍대극한
- 4.2. 대거 콤팩트 범주

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 에서 펼침은 같은 정의역을 갖는 두 사상 $X\overset f\leftarrow Z\overset g\to Y$ 으로 정의된다. 즉, $Y \leftarrow X \rightarrow Z$ 형태의 그림이다.

펼침은 $\Lambda = (-1 \leftarrow 0 \rightarrow +1)$ 유형의 그림이다. 다시 말해, Λ를 범주 (-1 ← 0 → +1)라고 하면, 범주 C에서의 펼침은 함자 S : Λ → C이다.

펼침의 공극한은 푸시 아웃이다.

2.1. 펼침의 합성

범주 $\mathcal C$ 가 모든 밂을 갖는다고 하자.

두 펼침 $X\leftarrow U\to Y$ , $Y\leftarrow V\to Z$ 의 합성은 밂으로 정의되는 펼침 $X\leftarrow U\times_YV\to Z$ 이다.

: $\begin{matrix}&&&& U\times_Y V\\&&& \swarrow && \searrow\\&& U &&&& V \\& \swarrow && \searrow && \swarrow && \searrow\\X & & & & Y & & & & Z\end{matrix}$

(물론, 이러한 밂은 유일하지 않다. 따라서, 선택 공리를 사용하여 이들을 골라야 한다.)

2.2. 펼침 범주

범주 $\mathcal C$ 가 모든 밂을 갖는다고 하자.

$\mathcal C$ 속의 펼침은 같은 정의역을 갖는 두 사상이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
: $X\overset f\leftarrow Z\overset g\to Y$

$\mathcal C$ 속의 두 펼침 $X\leftarrow U\to Y$ , $Y\leftarrow V\to Z$ 의 합성은 다음과 같이 밂으로 정의되는 펼침 $X\leftarrow U\times_YV\to Z$ 이다.
: $\begin{matrix}&&&& U\times_Y V\\&&& \swarrow && \searrow\\&& U &&&& V \\& \swarrow && \searrow && \swarrow && \searrow\\X & & & & Y & & & & Z\end{matrix}$
(물론, 이러한 밂은 유일하지 않다. 따라서, 선택 공리를 사용하여 이들을 골라야 한다.)

이렇게 임의로 모든 밂들을 골랐을 때, $\mathcal C$ 와 같은 대상을 가지며, 펼침을 사상으로 갖는 범주 $\operatorname{Span}(\mathcal C)$ 를 정의할 수 있다.

$\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 의 펼침은 쌍대펼침(雙對-, cospan^영어)이라고 한다.

2.3. 쌍대펼침

범주 $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 의 펼침을 쌍대펼침(cospan^영어)이라고 한다. 이는 공역이 같은 두 사상 $Y \rightarrow X \leftarrow Z$ 형태의 구조이다.

쌍대펼침의 극한은 당김이다.

쌍대펼침의 예로 두 다양체 M과 N 사이의 코볼디즘 W를 들 수 있는데, 여기서 두 사상은 W로의 포함이다. 코볼디즘은 쌍대펼침이지만, 코볼디즘 범주는 "코스팬 범주"가 아니다. 이는 "경계에 포함을 가진 다양체 범주"의 모든 코스팬 범주가 아니라, M과 N이 W의 경계를 분할해야 한다는 요구 사항이 전역적 제약 조건이므로, 그 부분 범주이기 때문이다.

3. 예시

* R이 집합 X와 Y 사이의 관계라면, X ← R → Y는 펼침이며, 여기서 맵은 투영 맵이다.
* 어떤 객체든 항등 사상을 이용해 A ← A → A 형태의 자명한 펼침을 생성한다.
* $\phi\colon A \to B$ 가 어떤 범주에서의 사상이라면, A ← A → B 형태의 자명한 펼침이 존재한다. 여기서 왼쪽 맵은 A의 항등 함수이고, 오른쪽 맵은 φ이다.
* 모델 범주에서 약한 동치를 "역전"시키는 일반화된 사상은 $X \leftarrow Y \rightarrow Z$ 형태의 펼침으로 나타낼 수 있다.

3.1. 집합 간의 관계

집합 $X$와 $Y$ 사이의 관계 $R$ (즉, $X \times Y$의 부분 집합)은 펼침 $X \leftarrow R \rightarrow Y$으로 표현될 수 있다. 여기서 맵은 투영 맵 ${X \times Y}\overset{\pi_X}{\to} X$와 ${X \times Y}\overset{\pi_Y}{\to} Y$이다.

3.2. 항등 사상

임의의 객체 $A$ 는 항등 사상을 이용하여 자명한 펼침 $A \leftarrow A \rightarrow A$ 를 생성한다.

3.3. 일반화된 사상

모델 범주 M에서 W가 약한 동치의 집합일 때, $X \leftarrow Y \rightarrow Z$ 형태의 스팬에서 왼쪽 사상이 W에 속하는 것은 일반화된 사상으로 간주될 수 있다. 이는 약한 동치를 "역전"시키는 것이다.

3.4. 코볼디즘

범주 C에서의 코스팬(cospan) K는 함자 K : Λ^op → C, 즉 Λ에서 C로 가는 반변 함자이다. 이는 $\Lambda^\text{op} = (-1 \rightarrow 0 \leftarrow +1)$ 형태의 다이어그램, 다시 말해 $Y \rightarrow X \leftarrow Z$ 형태의 다이어그램이다.

따라서 코스팬은 C의 세 객체 X, Y, Z와 사상 f : Y → X, g : Z → X로 구성된다. 즉, 공통 공역을 갖는 두 개의 사상이다.

코스팬의 극한은 당김이다.

코스팬의 예시는 두 다양체 M과 N 사이의 코볼디즘 W인데, 여기서 두 사상은 W로의 포함이다. 코볼디즘은 코스팬이지만, 코볼디즘 범주는 "코스팬 범주"가 아니다. 이는 "경계에 포함을 가진 다양체 범주"의 모든 코스팬 범주가 아니라, M과 N이 W의 경계를 분할해야 한다는 요구 사항이 전역적 제약 조건이므로, 그 부분 범주이다.

유한 차원 코볼디즘의 범주 nCob는 대거 콤팩트 범주이다. 더 일반적으로, 유한 극한을 갖는 임의의 범주 C에 대한 스팬의 범주 Span(C)도 대거 콤팩트이다.

4. 성질

펼침과 쌍대펼침은 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 펼침의 공극한은 밂이다.
* 쌍대펼침의 극한은 당김이다.

대거 콤팩트 범주는 유한 차원 코볼디즘의 범주 nCob이다. 유한 극한을 갖는 임의의 범주 C에 대한 펼침의 범주 Span(C)도 대거 콤팩트 범주이다.

4.1. 극한과 쌍대극한

펼침의 공극한은 밂이다. 쌍대펼침의 극한은 당김이다.

4.2. 대거 콤팩트 범주

유한 차원 코볼디즘의 범주 nCob는 대거 콤팩트 범주이다. 더 일반적으로, 유한 극한을 갖는 임의의 범주 C에 대한 펼침의 범주 Span(C)도 대거 콤팩트 범주이다.