그림 (범주론)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 용어
- 2.2. 그림 범주
3. 예시
4. 극한과 쌍대극한
5. 가환 도표
- 5.1. 가환 도표 그리기
- 5.2. 비가환 도표
참조

1. 개요

그림(Diagram)은 범주론에서 주어진 범주 C에 대한 또 다른 범주 J로부터의 함자 D: J → C를 의미한다. J는 그림의 첨자 범주 또는 스키마라고 불리며, J의 대상과 사상들이 C 내에서 어떻게 연결되는지가 중요하다. 그림은 C의 대상과 사상의 집합에 J를 패턴으로 적용하는 것으로 볼 수 있으며, '그림'과 '관수', '스키마'와 '범주'는 용어상의 차이만 있을 뿐 형식적으로 동일하다. 그림은 작은 범주나 유한 집합을 첨자 범주로 가질 수 있으며, 이러한 경우 그림은 작거나 유한하다고 한다. 그림의 사상은 자연 변환이며, 그림은 관수 범주로 해석될 수 있다. 그림은 극한과 쌍대극한의 개념을 통해 범주론의 다양한 구조를 표현하는 데 사용되며, 가환 도표를 통해 시각적으로 표현될 수 있다.

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함자 - 자연 변환
자연 변환은 두 함자 사이의 사상으로, 모든 대상에 대해 사상을 포함하며, 사상에 대해 특정 조건을 만족시키고, 자연 동형 사상과 수직 및 수평 합성을 가지며 다양한 분야에 응용된다.
함자 - 함자 (수학)
함자는 범주 C와 D 사이의 관계를 정의하는 수학적 개념으로, C의 대상과 사상을 각각 D의 대상과 사상에 대응시키며 항등 사상과 사상의 합성을 보존하고 다양한 종류와 성질을 가지며, 대수적 위상수학 등에서 발전했다.

그림 (범주론)
개요
유형	범주론적 구조
연구	범주론
정의
내용	범주에서의 대상들의 모음 이들 대상 사이의 사상들의 모음 대상과 사상을 나타내는 표현
목적	수학적 구조와 관계를 시각화하고 분석
예시
기본적인 예	가환도표 쌍대도표 수열
복잡한 예	페트리 그물 상태 전이 시스템
관련 개념
관련 개념	범주 사상 대상 함자 자연 변환 극한 준 극한 쌍대 극한 원환체 사상 공간 작은 범주 모형 범주
추가 정보
참고 문헌	(영어) Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. (영어) Barr, Michael; Wells, Charles (1999). Category Theory for Computing Science. Texts in Theoretical Computer Science. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-13-171438-6. Online version available at Category Theory for Computing Science (영어) Awodey, Steve (2010). Category Theory. Oxford Logic Guides. 52 (2nd ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0. (영어) Riehl, Emily (2014). Category Theory in Context. Aurora: Dover Modern Math Originals. Dover Publications. ISBN 978-0-486-49244-3.
관련 항목
관련 항목	스키마 이론 의미 네트워크 지식 그래프 오브젝트 관계 매핑

2. 정의

범주 ''J''와 ''C''가 있을 때, ''C''의 ''J''형 그림은 함자 D : J → C를 말한다. 여기서 ''J''를 그림 ''D''의 첨자 범주(index category)라 한다. 여기서 ''J''가 구체적으로 어떤 종류의 대상과 사상들을 포함하고 있는지는 상관이 없으며, 그들이 서로 어떻게 연관되어 있는지가 중요하다. 논리적으로는 '그림'과 '함자', '첨자 범주'와 '범주' 사이에 아무런 차이가 없으나, 이와 같이 용어를 바꿈으로서 (집합론의 경우와 마찬가지로) 새로운 시각을 얻을 수 있다.^[1]

2. 1. 용어

형식적으로, 범주 ''C''에서의 유형 ''J''의 그림은 (공변) 함자 ''D'' : ''J'' → ''C''이다. 여기서 범주 ''J''는 그림 ''D''의 색인 범주 또는 도식이라고 불리며, 이 함자는 때때로 '''J''-모양 그림**이라고 불린다.^[1] ''J'' 안의 실제 대상과 사상은 대체로 무관하며, 그들의 상호 관계가 중요하다. 그림 ''D''는 ''J''에 따라 패턴화된 ''C'' 안의 대상과 사상의 모음을 색인하는 것으로 간주된다.

기술적으로 '그림'과 '함자', '도식'과 '범주' 사이에는 차이가 없지만, 용어의 변화는 집합론적 경우와 마찬가지로 관점의 변화를 반영한다. 즉, 색인 범주를 고정하고, 함자 (그리고 부차적으로 대상 범주)가 변하도록 한다.

가장 흔하게는 도식 ''J''가 작은 범주 또는 심지어 유한 집합 범주인 경우에 관심이 있다. 이때 그림은 작다 또는 유한하다라고 한다.

범주 ''C''에서 유형 ''J''의 그림의 사상은 함자 사이의 자연 변환이다. 그러면 ''C''에서 유형 ''J''의 그림 범주를 함자 범주 ''C''^''J''로 해석할 수 있으며, 그림은 이 범주 안의 대상이다.

2. 2. 그림 범주

범주 ''C''에서 유형 ''J''의 그림의 사상은 함자 사이의 자연 변환이다. 그러면 ''C''에서 유형 ''J''의 '''그림 범주'''를 함자 범주 ''C''^''J''로 해석할 수 있으며, 그림은 이 범주 안의 대상이다.^[1]

범주 ''C'' 위의 ''J''-형 그림의 사상은 이러한 관수들 사이의 자연 변환을 말한다. 이는 ''C'' 위의 ''J''-형 '''그림의 범주'''라는 것을 관수 범주 ''C''^''J''로 하여, 따라서 그림을 이 범주의 대상으로 해석한다고 말할 수도 있다.^[3]

3. 예시

다음은 주어진 자료를 바탕으로 작성된 위키텍스트이다.

''J''가 (작은) 이산 범주인 경우, ''J''형 다이어그램은 ''C''의 대상 색인화된 집합과 같다. 극한은 곱이 되고, 코극한은 쌍대곱이 된다. ''J''가 두 개의 대상을 가진 이산 범주라면, 극한은 이진 곱이다.^[1]
''J'' = −1 ← 0 → +1이면, ''J''형 다이어그램 (''A'' ← ''B'' → ''C'')은 스팬이고, 코극한은 푸쉬아웃이다. 대상 ''B''와 두 화살표 ''B'' → ''A'', ''B'' → ''C''를 "잊으면", 다이어그램은 두 대상 ''A'', ''C''를 가진 이산 범주가 되고, 코극한은 이진 쌍대곱이 된다. 이는 다이어그램이 집합론에서 색인 집합을 일반화하는 방식을 보여준다. 사상 ''B'' → ''A'', ''B'' → ''C''를 통해, 다이어그램에서 추가적인 구조를 발견할 수 있다.^[1]
''J'' = −1 → 0 ← +1이면, ''J''형 다이어그램 (''A'' → ''B'' ← ''C'')은 코스팬이며, 그 극한은 당김이다.^[2]
색인 $J = 0 \rightrightarrows 1$ 은 "두 개의 평행 사상", 자유 퀠버, 워킹 퀠버라고 불린다. $J$ $(f,g\colon X \to Y)$ 형 다이어그램은 퀠버이며, 극한은 이퀄라이저이고, 코극한은 코이퀄라이저이다.^[1]
''J''가 포셋 범주이면, ''J''형 다이어그램은 대상 ''D''_''i'' 집합과 ''i'' ≤ ''j''일 때마다 유일한 사상 ''f''_''ij'' : ''D''_''i'' → ''D''_''j''로 구성된다. ''J''가 방향 집합이면 ''J''형 다이어그램은 직접 계이다. 그림이 반변이면 역 계이다.

최종 수정 결과:

''J''가 (작은) 이산 범주인 경우, ''J''형 다이어그램은 ''C''의 대상의 색인화된 집합과 같다. 극한은 곱이 되고, 코극한은 쌍대곱이 된다. ''J''가 두 개의 대상을 가진 이산 범주라면, 극한은 이진 곱이다.^[1]
''J'' = −1 ← 0 → +1이면, ''J''형 다이어그램 (''A'' ← ''B'' → ''C'')은 스팬이고, 코극한은 푸쉬아웃이다. 대상 ''B''와 두 화살표 ''B'' → ''A'', ''B'' → ''C''를 "잊으면", 다이어그램은 두 대상 ''A'', ''C''를 가진 이산 범주가 되고, 코극한은 이진 쌍대곱이 된다. 이는 다이어그램이 집합론에서 색인 집합을 일반화하는 방식을 보여준다. 사상 ''B'' → ''A'', ''B'' → ''C''를 통해, 다이어그램에서 추가적인 구조를 발견할 수 있다.^[1]
''J'' = −1 → 0 ← +1이면, ''J''형 다이어그램 (''A'' → ''B'' ← ''C'')은 코스팬이며, 그 극한은 당김이다.^[2]
색인 $J = 0 \rightrightarrows 1$ 은 "두 개의 평행 사상", 자유 퀠버, 워킹 퀠버라고 불린다. $J$ $(f,g\colon X \to Y)$ 형 다이어그램은 퀠버이며, 극한은 이퀄라이저이고, 코극한은 코이퀄라이저이다.^[1]
''J''가 포셋 범주이면, ''J''형 다이어그램은 대상 ''D''_''i'' 집합과 ''i'' ≤ ''j''일 때마다 유일한 사상 ''f''_''ij'' : ''D''_''i'' → ''D''_''j''로 구성된다. ''J''가 방향 집합이면 ''J''형 다이어그램은 직접 계이다. 그림이 반변이면 역 계이다.

3. 1. 상수 다이어그램

범주 ''C''의 임의의 대상 ''A''에 대해, '''정사상'''(''constant diagram'')은 ''J''의 대상을 모두 ''A''로, 사상을 모두 ''A''의 항등 사상으로 보내는 그림이다. 정사상을 나타내는 표기법으로 밑줄을 사용할 수 있다. 즉, ''C''의 대상 ''A''에 대한 정사상은

\underline A

로 쓴다.

3. 2. 이산 범주에서의 다이어그램

이산 범주 ''J''형 다이어그램은 ''J''에 의해 색인화된 ''C''의 대상 집합과 본질적으로 같다. 극한을 구성할 때 그 결과는 곱이 된다. 코극한의 경우 쌍대곱을 얻는다. 따라서 ''J''가 두 개의 대상을 가진 이산 범주라면, 결과적인 극한은 이진 곱이다.^[1]

3. 3. 스팬과 코스팬

''J'' = −1 ← 0 → +1이면, ''J''형 다이어그램 (''A'' ← ''B'' → ''C'')은 스팬이고, 그 코극한은 푸쉬아웃이다.^[1]
''J'' = −1 → 0 ← +1이면, ''J''형 다이어그램 (''A'' → ''B'' ← ''C'')은 코스팬이고, 그 극한은 당김이다.^[2]

3. 4. 퀠버 (Quiver)

색인

J = 0 \rightrightarrows 1

은 "두 개의 평행 사상" 또는 때때로 자유 퀠버 또는 워킹 퀠버라고 불린다.^[1]

J

(

f,g\colon X \to Y

)형 다이어그램은 퀠버이며,^[1] 그 극한은 이퀄라이저이고,^[1] 그 코극한은 코이퀄라이저이다.^[1]

3. 5. 직접 계와 역 계

J^영어가 포셋 범주이면, J^영어형 그림은 대상 ''D''_''i''의 집합과 ''i'' ≤ ''j''일 때마다 고유한 사상 ''f''_''ij'' : ''D''_''i'' → ''D''_''j''로 구성된다. J^영어가 방향 집합이면 J^영어형 그림은 대상과 사상의 직접 계라고 불린다. 그림이 반변이면 역 계라고 불린다.

4. 극한과 쌍대극한

극한과 쌍대극한은 보편 성질을 통해 정의되는 중요한 개념이다. 깔때기와 추는 극한과 쌍대극한을 정의하는 데 사용된다. 극한은 어떤 도형으로 들어오는 모든 사상(깔때기)들이 유일하게 통과하는 대상(꼭짓점)이고, 쌍대극한은 어떤 도형에서 나가는 모든 사상(깔때기)들이 유일하게 통과하는 대상이다.

도형 ''D''의 극한은 ''D''로의 보편 깔때기(또는 보편 추)이며, 쌍대극한은 ''D''로부터의 보편 깔때기(또는 보편 추)이다. 여기서 '보편'이라는 것은 다른 모든 깔때기(또는 추)들이 이 깔때기(또는 추)를 통해 유일하게 분해된다는 것을 의미한다.

특정 범주에서 모든 ''J'' 형태의 도형에 대한 극한 또는 쌍대극한이 존재한다면, 각 도형을 그 극한 또는 쌍대극한으로 보내는 함자를 얻을 수 있다. 이러한 함자는 각각 lim, colim으로 표기한다. 도형의 보편 함자는 대각 함자이며, 그 오른쪽 수반은 극한이고, 왼쪽 수반은 쌍대극한이다.^[2]

4. 1. 깔때기 (Functor)

깔때기는 꼭짓점 ''N''을 가지며, 도형 ''D'' : ''J'' → ''C''는 상수 도형 Δ(''N'')에서 ''D''로의 사상이다. 상수 도형은 ''J''의 모든 대상들을 ''C''의 대상 ''N''으로, 모든 사상들을 ''N''에 대한 항등 사상으로 보내는 도형이다.^[2] 깔때기는 대각 함자로부터 임의의 도형으로의 자연 변환으로 생각할 수 있다.

4. 2. 극한 (Limit)

도형 ''D''의 극한은 ''D''로의 보편 깔때기이다. 즉, 다른 모든 깔때기들이 유일하게 인수분해되는 깔때기이다. 만약 범주 ''C''에서 모든 ''J''형태의 도형에 대한 극한이 존재한다면, 다음과 같은 함자를 얻는다.

lim : ''C''^''J'' → ''C''

이 함자는 각 도형을 극한으로 보낸다.

도형의 보편 함자는 대각 함자이며, 그 오른쪽 수반은 극한이다.^[2] 깔때기는 대각 함자로부터 임의의 도형으로의 자연 변환으로 생각할 수 있다.

도식 ''D'' : ''J'' → ''C''의 극한이란, ''D''로의 보편 추를 말한다. 이는 추(cone)가 다른 모든 추에 대해, 이 추를 경유하여 유일하게 분해되는 것을 말한다. 임의의 ''J''형 도식이 ''C'' 내에 극한을 가질 때, 도식을 극한으로 옮기는 함자

lim: ''C''^''J'' → ''C''

가 얻어진다.

4. 3. 쌍대극한 (Colimit)

도형 ''D''의 쌍대극한은 ''D''로부터의 보편 깔때기이다. 만약 모든 ''J'' 형태의 도형에 대해 쌍대극한이 존재한다면, 다음과 같은 함자를 얻는다.

: colim : ''C''^''J'' → ''C''

이 함자는 각 도형을 쌍대극한으로 보낸다.^[2]

4. 4. 수반 함자 (Adjoint Functor)

도형의 보편 함자는 대각 함자이며, 그 오른쪽 수반은 극한이고, 왼쪽 수반은 쌍대극한이다.^[2] 깔때기는 대각 함자로부터 임의의 도형으로의 자연 변환으로 생각할 수 있다.

5. 가환 도표

도표와 함자 범주는 종종 가환 도표로 시각화되며, 특히 지수 범주가 몇 개의 원소를 가진 유한 포셋 범주인 경우에 유용하다. 가환 도표는 지수 범주의 각 객체마다 노드를 그리고, 사상의 생성 집합에 대해 화살표를 그리며, 항등 사상과 합성을 통해 표현할 수 있는 사상은 생략하여 나타낸다. 가환성은 포셋 범주에서 두 객체 사이의 사상의 유일성에 해당한다. 반대로, 모든 가환 도표는 이러한 방식으로 도표(포셋 지수 범주에서 함자)를 나타낸다.

모든 도표가 가환하는 것은 아니다. 모든 지수 범주가 포셋 범주인 것은 아니기 때문이다. 가장 간단하게는 자기 사상 ( $f\colon X \to X$ ) 또는 두 개의 평행 화살표 ( $\bullet \rightrightarrows \bullet$ ; $f,g\colon X \to Y$ )가 있는 단일 객체의 도표는 가환할 필요가 없다. 또한, 도표는 무한하여 그릴 수 없거나, 객체나 사상이 너무 많아 복잡할 수 있다. 그러나 이러한 복잡한 도표를 명확히 하기 위해 (지수 범주의 하위 범주 또는 생략 부호와 함께) 개략적인 가환 도표(예: 직접 시스템의 경우)가 사용된다.

5. 1. 가환 도표 그리기

도표와 함자 범주는 종종 가환 도표로 시각화되며, 특히 지수 범주가 몇 개의 원소를 가진 유한 포셋 범주인 경우에 유용하다. 지수 범주의 각 객체마다 노드를 그리고, 사상의 생성 집합에 대해 화살표를 그리며, 항등 사상과 합성을 통해 표현할 수 있는 사상은 생략한다. 가환성은 포셋 범주에서 두 객체 사이의 사상의 유일성에 해당한다. 반대로, 모든 가환 도표는 이러한 방식으로 도표(포셋 지수 범주에서 함자)를 나타낸다.

모든 도표가 가환하는 것은 아니다. 모든 지수 범주가 포셋 범주인 것은 아니기 때문이다. 가장 간단하게는 자기 사상 (

f\colon X \to X

) 또는 두 개의 평행 화살표 (

\bullet \rightrightarrows \bullet

;

f,g\colon X \to Y

)가 있는 단일 객체의 도표는 가환할 필요가 없다. 또한, 도표는 그릴 수 없거나 (무한하기 때문에) 또는 단순히 지저분할 수 있다(객체나 사상이 너무 많기 때문에). 그러나 이러한 복잡한 도표를 명확히 하기 위해 (지수 범주의 하위 범주 또는 생략 부호와 함께) 개략적인 가환 도표(예: 직접 시스템의 경우)가 사용된다.

5. 2. 비가환 도표

모든 도표가 가환하는 것은 아니다. 모든 지수 범주가 포셋 범주인 것은 아니기 때문이다. 가장 간단하게는 자기 사상 (f: X → X), 또는 두 개의 평행 화살표 (• ⇉ •; f,g: X → Y)가 있는 단일 객체의 도표는 가환할 필요가 없다. 또한, 도표는 그릴 수 없거나 (무한하기 때문에) 또는 단순히 지저분할 수 있다(객체나 사상이 너무 많기 때문에). 그러나 이러한 복잡한 도표를 명확히 하기 위해 (지수 범주의 하위 범주 또는 생략 부호와 함께) 개략적인 가환 도표(예: 직접 시스템의 경우)가 사용된다.

참조

_[1] 서적 A Concise Course in Algebraic Topology https://www.math.uch[...] University of Chicago Press
_[2] 서적 Sheaves in geometry and logic a first introduction to topos theory https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[3] 서적 A Concise Course in Algebraic Topology The University of Chicago Press

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