포크 공간

1. 개요

포크 공간은 단일 입자 힐베르트 공간의 텐서곱으로 구성되는 힐베르트 공간으로, 입자 수가 가변적인 양자 시스템을 기술하는 데 사용된다. 보존적 입자의 대칭 공간과 페르미온의 반대칭 공간을 포함하며, 진공 상태, 단일 입자 상태, 다중 입자 상태 등을 표현한다. 포크 공간은 곱 상태의 선형 결합으로 일반적인 상태를 구성하며, 점유수 기저 또는 포크 상태를 사용하여 기저를 정의하고, 생성 및 소멸 연산자를 통해 입자를 추가하거나 제거한다. 파동 함수 표현과 바르그만 표현을 통해 나타낼 수 있으며, 세갈-바그만 공간과 관련이 있다. 하크 정리에 따르면, 포크 공간은 자유 입자만을 나타낼 수 있다.

2. 정의

포크 공간은 단일 입자 힐베르트 공간 $H$의 텐서곱을 직합하여 구성된다.

:$F\_\backslash nu(H)=\backslash bigoplus\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}S\_\backslash nu\; H^\{\backslash otimes\; n\}\; =\; \backslash Complex\; \backslash oplus\; H\; \backslash oplus\; \backslash left(S\_\backslash nu\; \backslash left(H\; \backslash otimes\; H\backslash right)\backslash right)\; \backslash oplus\; \backslash left(S\_\backslash nu\; \backslash left(\; H\; \backslash otimes\; H\; \backslash otimes\; H\backslash right)\backslash right)\; \backslash oplus\; \backslash cdots$

여기서 $S\_\backslash nu$는 대칭화 연산자로, 보존 ($\backslash nu=+$)의 경우 대칭적인 공간을, 페르미온 ($\backslash nu=-$)의 경우 반대칭적인 공간을 만든다. $H$는 단일 입자 힐베르트 공간을 나타낸다. $\backslash Complex$는 입자가 없는 상태, 즉 진공 상태를 나타낸다.

일반적인 포크 공간의 상태는 다음과 같이 주어질 수 있다.

:$$|\backslash Psi\backslash rangle\_\backslash nu=\; |\backslash Psi\_0\backslash rangle\_\backslash nu\; \backslash oplus\; |\backslash Psi\_1\backslash rangle\_\backslash nu\; \backslash oplus\; |\backslash Psi\_2\backslash rangle\_\backslash nu\; \backslash oplus\; \backslash cdots\; =\; a\; |0\backslash rangle\; \backslash oplus\; \backslash sum\_i\; a\_i|\backslash psi\_i\backslash rangle\; \backslash oplus\; \backslash sum\_\{ij\}\; a\_\{ij\}|\backslash psi\_i,\; \backslash psi\_j\; \backslash rangle\_\backslash nu\; \backslash oplus\; \backslash cdots$$

여기서

* $|0\backslash rangle$은 진공 상태라고 하는 길이가 1인 벡터이고, $a\; \backslash in\; \backslash Complex$는 복소수 계수이다.
* $|\backslash psi\_i\backslash rangle\; \backslash in\; H$는 단일 입자 힐베르트 공간의 상태이고, $a\_i\; \backslash in\; \backslash Complex$는 복소 계수이다.
* $|\backslash psi\_i\; ,\; \backslash psi\_j\; \backslash rangle\_\backslash nu\; =\; a\_\{ij\}\; |\backslash psi\_i\backslash rangle\; \backslash otimes|\backslash psi\_j\backslash rangle\; +\; a\_\{ji\}\; |\backslash psi\_j\backslash rangle\backslash otimes|\backslash psi\_i\backslash rangle\; \backslash in\; S\_\backslash nu(H\; \backslash otimes\; H)$이고, $a\_\{ij\}\; =\; \backslash nu\; a\_\{ji\}\; \backslash in\; \backslash Complex$는 복소 계수이다.

3. 구성

포크 공간은 단일 입자 힐베르트 공간 $H$의 복사본 텐서곱들의 (힐베르트) 직합이다.

:$$F\_\backslash nu(H)=\backslash bigoplus\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}S\_\backslash nu\; H^\{\backslash otimes\; n\}\; =\; \backslash Complex\; \backslash oplus\; H\; \backslash oplus\; \backslash left(S\_\backslash nu\; \backslash left(H\; \backslash otimes\; H\backslash right)\backslash right)\; \backslash oplus\; \backslash left(S\_\backslash nu\; \backslash left(\; H\; \backslash otimes\; H\; \backslash otimes\; H\backslash right)\backslash right)\; \backslash oplus\; \backslash cdots$$

여기서 $\backslash Complex$, 즉 복소수는 입자가 없는 상태, $H$는 한 입자의 상태, $S\_\backslash nu\; (H\backslash otimes\; H)$는 두 개의 동일한 입자의 상태 등으로 구성된다.

$F\_\backslash nu(H)$의 일반적인 상태는 다음과 같이 주어지며,

:$$|\backslash Psi\backslash rangle\_\backslash nu=\; |\backslash Psi\_0\backslash rangle\_\backslash nu\; \backslash oplus\; |\backslash Psi\_1\backslash rangle\_\backslash nu\; \backslash oplus\; |\backslash Psi\_2\backslash rangle\_\backslash nu\; \backslash oplus\; \backslash cdots\; =\; a\; |0\backslash rangle\; \backslash oplus\; \backslash sum\_i\; a\_i|\backslash psi\_i\backslash rangle\; \backslash oplus\; \backslash sum\_\{ij\}\; a\_\{ij\}|\backslash psi\_i,\; \backslash psi\_j\; \backslash rangle\_\backslash nu\; \backslash oplus\; \backslash cdots$$

여기서
* $|0\backslash rangle$은 진공 상태라고 하는 길이가 1인 벡터이고, $a\; \backslash in\; \backslash Complex$는 복소 계수이다.
* $|\backslash psi\_i\backslash rangle\; \backslash in\; H$는 단일 입자 힐베르트 공간의 상태이고, $a\_i\; \backslash in\; \backslash Complex$는 복소 계수이다.
* $|\backslash psi\_i\; ,\; \backslash psi\_j\; \backslash rangle\_\backslash nu\; =\; a\_\{ij\}\; |\backslash psi\_i\backslash rangle\; \backslash otimes|\backslash psi\_j\backslash rangle\; +\; a\_\{ji\}\; |\backslash psi\_j\backslash rangle\backslash otimes|\backslash psi\_i\backslash rangle\; \backslash in\; S\_\backslash nu(H\; \backslash otimes\; H)$이고, $a\_\{ij\}\; =\; \backslash nu\; a\_\{ji\}\; \backslash in\; \backslash Complex$는 복소 계수 등이다.

포크 공간의 곱 상태는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:$$|\backslash Psi\backslash rangle\_\backslash nu=|\backslash phi\_1,\backslash phi\_2,\backslash cdots,\backslash phi\_n\backslash rangle\_\backslash nu\; =\; |\backslash phi\_1\backslash rangle\; \backslash otimes\; |\backslash phi\_2\backslash rangle\; \backslash otimes\; \backslash cdots\; \backslash otimes\; |\backslash phi\_n\backslash rangle$$

이는 $n$개의 입자 모음을 나타내며, 각 입자는 단일 입자 힐베르트 공간 $H$의 상태 $\backslash phi\_1$, $\backslash phi\_2$, ..., $\backslash phi\_n$ 중 하나에 대응된다. 여기서 나란히 쓰는 것(단일 입자 케트를 $\backslash otimes$ 없이 나란히 쓰는 것)은 대칭(각각 반대칭) 텐서 대수에서의 곱셈이다. 포크 공간의 일반적인 상태는 곱 상태의 선형 결합이며, 곱 상태의 볼록 합으로 표현할 수 없는 상태는 얽힘 상태라고 한다.

동일한 포크 공간에서 모든 입자는 동일하며, 상태가 암묵적으로 적절하게 대칭화된다. 예를 들어 페르미온의 경우, 동일한 양자 상태에 두 개 이상의 입자가 존재할 수 없다는 파울리 배타 원리를 따르며, 이는 반대칭 (외적) 곱 $|\backslash phi\_i\; \backslash rangle\; |\backslash phi\_i\; \backslash rangle\; =\; 0$으로 표현된다.

3.1. 점유수 기저 (포크 상태)

포크 공간의 기저를 이루는 상태를 점유수 기저 또는 포크 상태라고 한다. $H$의 기저 $\backslash \{|\backslash psi\_i\backslash rangle\backslash \}\_\{i\; =\; 0,1,2,\; \backslash dots\}$에 대해, 각 상태에 있는 입자 수를 나타내는 방식으로 표현한다. $n\_i$는 각 상태 $|\backslash psi\_i\backslash rangle$에 있는 입자 수를 나타내며, 페르미온의 경우 0 또는 1, 보존의 경우 0, 1, 2, ...의 값을 갖는다.

:$$|n\_0,n\_1,\backslash ldots,n\_k\backslash rangle\_\backslash nu\; =\; |\backslash psi\_0\backslash rangle^\{n\_0\}|\backslash psi\_1\backslash rangle^\{n\_1\}\; \backslash cdots\; |\backslash psi\_k\backslash rangle^\{n\_k\},$$

여기서 $|\backslash psi\_i\backslash rangle$가 자유장의 정상 상태로 이해될 때, 포크 상태는 특정 개수의 비상호작용 입자 집합을 설명한다. 가장 일반적인 포크 상태는 순수 상태의 선형 중첩이다.

3.2. 생성 및 소멸 연산자

포크 상태에 작용하여 특정 양자 상태의 입자를 추가하거나 제거하는 연산자를 생성 및 소멸 연산자라고 한다. 생성 연산자는 $a^\{\backslash dagger\}(\backslash phi)$로, 소멸 연산자는 $a(\backslash phi)$로 표시한다. 생성 연산자는 양자 상태 $|\backslash phi\backslash rangle$를 곱하여 입자를 생성("추가")하고, 소멸 연산자는 $\backslash langle\backslash phi|$와 내적을 취하여 입자를 소멸("제거")시킨다. $\backslash langle\backslash phi|$는 $a^\backslash dagger(\backslash phi)$의 수반 연산자이다.

수 연산자는 특정 상태 $|\backslash phi\_i\backslash rangle$에 있는 입자 수를 나타내는데, $a^\{\backslash dagger\}(\backslash phi\_i)a(\backslash phi\_i)$로 주어진다.

4. 파동 함수 표현

일반적으로 일 입자 공간 $H$는 제곱 적분 가능 함수 공간인 $L\_2(X,\; \backslash mu)$로 주어진다. 여기서 $X$는 측도 $\backslash mu$를 갖는 공간이다. (엄밀히 말하면, 함수가 측도 0의 집합에서 다를 경우에 동일한 제곱 적분 가능 함수의 동치류이다.) 전형적인 예시는 3차원 공간에서 제곱 적분 가능 함수의 공간인 $H\; =\; L\_2(\backslash R^3,\; d^3x)$를 갖는 자유 입자이다. 포크 공간은 대칭 또는 반대칭 제곱 적분 가능 함수로 해석될 수 있다.

$X^0\; =\; \backslash \{*\backslash \}$, $X^1\; =\; X$, $X^2\; =\; X\backslash times\; X$, $X^3\; =\; X\; \backslash times\; X\; \backslash times\; X$ 등으로 놓는다.
상호소외 결합인 점들의 튜플 공간은 다음과 같다.

$$X^*\; =\; X^0\; \backslash bigsqcup\; X^1\; \backslash bigsqcup\; X^2\; \backslash bigsqcup\; X^3\; \backslash bigsqcup\; \backslash cdots\; .$$

$\backslash mu^*(X^0)\; =\; 1$이고 $\backslash mu^*$의 $X^n$으로의 제한이 $\backslash mu^n$이 되도록 하는 자연스러운 측도 $\backslash mu^*$를 갖는다.
그런 다음 짝수 포크 공간 $F\_+(L\_2(X,\backslash mu))$는 $L\_2(X^*,\; \backslash mu^*)$에서 대칭 함수의 공간으로 식별될 수 있으며, 반면에 홀수 포크 공간 $F\_-(L\_2(X,\backslash mu))$는 반대칭 함수의 공간으로 식별될 수 있다. 식별은 다음 등거리 사상으로부터 직접적으로 따라온다.

$$L\_2(X,\; \backslash mu)^\{\backslash otimes\; n\}\; \backslash to\; L\_2(X^n,\; \backslash mu^n)$$
$$\backslash psi\_1(x)\backslash otimes\backslash cdots\backslash otimes\backslash psi\_n(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi\_1(x\_1)\backslash cdots\; \backslash psi\_n(x\_n)$$.

파동 함수 $\backslash psi\_1\; =\; \backslash psi\_1(x),\; \backslash ldots\; ,\; \backslash psi\_n\; =\; \backslash psi\_n(x)$가 주어지면, 슬레이터 행렬식

$$\backslash Psi(x\_1,\; \backslash ldots\; x\_n)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{n!\}\}\; \backslash begin\{vmatrix\}$$
\psi_1(x_1) & \cdots & \psi_n(x_1) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\psi_1(x_n) & \cdots & \psi_n(x_n) \\
\end{vmatrix}
은 $X^n$에 대한 반대칭 함수이다. 따라서 홀수 포크 공간의 $n$ 입자 구역의 요소로 자연스럽게 해석될 수 있다. 정규화는 함수 $\backslash psi\_1,\; \backslash ldots,\; \backslash psi\_n$이 정규 직교일 경우 $\backslash |\backslash Psi\backslash |\; =\; 1$이 되도록 선택된다. 행렬식을 퍼먼넌트로 대체하여 짝수 포크 공간의 $n$ 구역의 요소를 제공하는 유사한 "슬레이터 퍼먼넌트"가 있다.

5. 바르그만 표현

1입자 힐베르트 공간 $V\backslash cong\backslash mathbb\; C^n=\backslash \{(z^1,\backslash dots,z^n)\backslash \}$이 1차원일 때, 바르그만-포크 공간(Bargmann–Fock space^영어) $\backslash mathcal\; F^2(V)$은 다음 성질을 만족시키는 함수 $f\backslash colon\; V\backslash to\backslash mathbb\; C$들의 집합이다.

* $f$는 정칙함수다. 즉, $\backslash bar\backslash partial\_if=0\backslash forall\; i=1,\backslash dots,\; n$이다.
* 또한, 노름 $\backslash Vert\; f\backslash Vert^2=(1/\backslash pi^n)\backslash int\_\{\backslash mathbb\; C^n\}|f(\backslash mathbf\; z)|^2\backslash exp(-|\backslash mathbf\; z|^2)\backslash ,d^n\backslash mathbf\; z$이 유한하다.

이 공간에 다음과 같은 노름을 주어, 힐베르트 공간으로 만들 수 있다.

:$\backslash langle\; f|g\backslash rangle=(1/\backslash pi^n)\backslash int\_V\backslash bar\; f(\backslash bar\{\backslash mathbf\; z\})g(\backslash mathbf\; z)\backslash ,d^n\backslash mathbf\; z$

이 경우, 다음이 성립함을 보일 수 있다.

:$\backslash langle\; f|\backslash partial\_ig\backslash rangle=\backslash langle\; z^if|g\backslash rangle$

또한,

:$[\backslash partial\_i,z^j]=\backslash delta\_i^j$

이므로, 다음과 같이 대응시키면 이 공간이 포크 공간과 동형임을 알 수 있다.

만약 1입자 상태 $V$가 무한 차원 힐베르트 공간일 경우, $\backslash mathcal\; F(\backslash mathbb\; C^n)$들의 귀납적 극한을 취하여 바르그만-포크 공간을 정의할 수 있다.

바르그만-포크 공간은 발렌티네 바르그만(Valentine Bargmann^독일어)이 1961년에 정의하였다.

6. 세갈-바그만 공간과의 관계

세갈-바그만 공간 $B\_N$은 가우스 측도에 대해 제곱 적분 가능한 복소 정칙 함수들의 공간으로 정의된다.

:

여기서

:$\backslash Vert\; f\backslash Vert\_\{\backslash mathcal\{F\}^2(\backslash Complex^N)\}\; :=\; \backslash int\_\{\backslash Complex^N\}\backslash vert\; f(\backslash mathbf\{z\})\backslash vert^2\; e^\{-\backslash pi\backslash vert\; \backslash mathbf\{z\}\backslash vert^2\}\backslash ,d\backslash mathbf\{z\}.$

이다. $B\_\backslash infty$는 $N\; \backslash ge\; 0$에 대한 공간 $B\_N$의 중첩 합집합으로 정의된다. 세갈과 바그만은 $B\_\backslash infty$가 보존적 포크 공간과 동형임을 보였다. 단항식

:$x\_1^\{n\_1\}...x\_k^\{n\_k\}$

는 포크 상태

:$|n\_0,n\_1,\backslash ldots,n\_k\backslash rangle\_\backslash nu\; =\; |\backslash psi\_0\backslash rangle^\{n\_0\}|\backslash psi\_1\backslash rangle^\{n\_1\}\; \backslash cdots\; |\backslash psi\_k\backslash rangle^\{n\_k\}.$

에 해당한다.

7. 하크 정리

하크 정리에 따르면, 포크 공간은 자유 입자만을 나타낼 수 있으며, 상호작용하는 입자는 포크 공간으로 나타낼 수 없다. 이는 독일의 루돌프 하크가 1955년에 지적하였다.