귀납적 극한

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1. 개요

귀납적 극한은 범주론에서 정의되는 개념으로, 특정 조건을 만족하는 대상과 사상의 집합인 유향 체계에 대해 정의된다. 귀납적 극한은 유향 체계의 대상들과 사상들을 통해 구성되며, 보편 성질을 만족하는 대상과 사상들로 이루어진다. 대수적 구조, 특히 대수 구조 다양체에서는 분리 합집합의 몫집합으로 귀납적 극한을 구성할 수 있으며, 집합, 위상 공간, 선형대수, p-진 해석학, 대칭 함수 등 다양한 수학적 구조에서 예시를 찾아볼 수 있다. 귀납적 극한은 함자의 관점에서 설명될 수 있으며, 여과된 범주, Ind-대상, 역극한과 같은 관련 개념들과 연결된다.

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 에서, 대상의 집합 $\mathcal X\subset\operatorname{ob}(\mathcal C)$ 와 사상의 집합 $\mathcal F\subset\hom(\mathcal C)$ 가 다음 조건을 만족하면, $(\mathcal X,\mathcal F)$ 를 '''유향체계'''(directed system^영어)라고 한다.

# 모든 $f\in\mathcal F$ 에 대하여, $f\colon X\to Y$ 이면 $X,Y\in\mathcal X$ 이다.

# $f,g\in\mathcal F\cap\hom(X,Y)$ 라면 $f=g$ 이다.

# (반사성) 모든 $X\in\mathcal X$ 에 대하여, $1_X\in\mathcal F$ 이다.

# (추이성) $f,g\in\mathcal F$ 이고 $fg$ 가 존재한다면 $fg\in\mathcal F$ 이다.

# (유한 집합의 상한의 존재) $X,Y\in\mathcal X$ 이라면, $f\colon X\to Z$ , $g\colon Y\to Z$ 인 $f,g\in\mathcal F$ , $Z\in\mathcal X$ 가 존재한다.

$(\mathcal X,\mathcal F)$ 가 유향체계일 때, 편의상 $\mathcal X=\{X_i\}$ , $\mathcal F=\{f_{ij}\}$ 로 표기한다. 여기서 $f_{ij}$ 가 존재한다면 $f_{ij}\colon X_i\to X_j$ 이다. 이 유향체계의 '''귀납적 극한''' $\varinjlim\mathcal X$ 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

대상 $X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$
각 $X_i\in\mathcal X$ 에 대하여, 사상 $\phi_i\colon X_i\to X$

이 데이터는 다음 보편 성질을 만족해야 한다. 즉,

\phi_i=\phi_jf_{ij}

이어야 하고, 임의의 다른 대상

Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)

와 사상들

\psi_i\colon X_i\to Y

에 대하여, 만약

\psi_i=\psi_jf_{ij}

라면 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 사상

u\colon X\to Y

가 존재해야 한다.

귀납적 극한은 보통

\varinjlim X_i=X

로 쓴다.

2. 1. 대수적 구조에서의 귀납적 극한

대수 구조의 범주(집합의 범주, 군이나 환의 범주, 주어진 환에 대한 가군의 범주 따위)에서는 귀납적 극한이 항상 존재한다. 연산 집합

\{f_\alpha\}_{\alpha\in A}

을 갖는 대수 구조 다양체

\mathcal V

속 대수 구조들의 유향 체계

((A_i)_{i\in(I,\lesssim)},(\phi_{ij}\colon A_i\to A_j)_{i\lesssim j})

의 귀납적 극한은 집합으로서 분리 합집합의 몫집합

:

\varinjlim A_i=\left(\bigsqcup_{i\in I}A_i\right)/{\sim}

:

(a,i)\sim(b,j)\iff\exists k\in I\colon i,j\lesssim k\land\phi_{ik}(a)=\phi_{jk}(b)

이며, 이 위의

n

항 연산

f_\alpha

는 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

\forall i_1,\dots,i_n\in I\forall a_1\in A_{i_1}\cdots\forall a_n\in A_{i_n}\forall k\gtrsim i_1,\dots,i_n\colon f_\alpha^{\varinjlim A_i}([(a_1,i_1)],\dots,[(a_n,i_n)])=[(f_\alpha^{A_k}(\phi_{i_1k}(a_1),\dots,\phi_{i_nk}(a_n)),k)]

객체는 집합에 주어진 대수적 구조가 갖춰진 것으로, 군, 환, 가군 (고정된 환에 대한), 대수 (고정된 체에 대한) 등이 있다. ''준동형 사상''은 해당 설정(군 준동형 사상 등)에서 이해된다.

\langle I,\le\rangle

을 방향 집합이라고 하고,

\{A_i : i\in I\}

을

I\,

에 의해 지표화된 객체족이라고 하고, 모든

i \le j

에 대해

f_{ij}\colon A_i \rightarrow A_j

를 다음 속성을 갖는 준동형 사상이라고 하자.

#

f_{ii}\,

는

A_i\,

에 대한 항등 사상이다.

# 모든

i\le j\le k

에 대해

f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij}

이다.

그러면 쌍

\langle A_i,f_{ij}\rangle

를

I

에 대한 '''직계'''라고 한다.

직계

\langle A_i,f_{ij}\rangle

의 '''직접 극한'''은

\varinjlim A_i

로 표시되며 그 기저 집합은

A_i

의 상호소모드를 동치 관계

\sim\,

로 나눈 것이다.

:

\varinjlim A_i = \bigsqcup_i A_i\bigg/\sim.

여기서

x_i\in A_i

이고

x_j\in A_j

이면,

x_i\sim\, x_j

는

i \le k

및

j \le k

를 만족하는

k\in I

가 존재하여

f_{ik}(x_i) = f_{jk}(x_j)\,

일 때와 동일하다. 직관적으로, 상호소모드 내의 두 원소는 직계에서 "결국 같아지면" 동치이다. 역극한과의 쌍대성을 강조하는 동치 명제는, 원소가 직계의 사상 아래에서 모든 이미지와 동치라는 것이다. 즉,

i \le j

일 때마다

x_i\sim\, f_{ij}(x_i)

이다.

이 정의로부터 각 원소를 동치류로 보내는 ''표준 함수''

\phi_j \colon A_j\rightarrow \varinjlim A_i

를 얻는다.

\varinjlim A_i\,

에 대한 대수적 연산은 이러한 사상이 준동형 사상이 되도록 정의된다. 형식적으로, 직계

\langle A_i,f_{ij}\rangle

의 직접 극한은 객체

\varinjlim A_i

와 표준 준동형 사상

\phi_j \colon A_j\rightarrow \varinjlim A_i

로 구성된다.

가군 범주에서 귀납 극한을 취하는 조작의 중요한 성질로서, 그것이 완전 함자가 된다는 점을 들 수 있다.

2. 2. 범주론적 정의

범주

\mathcal C

에서 보편 성질을 통해 귀납적 극한을 정의할 수 있다.

\langle X_i, f_{ij}\rangle

를

\mathcal C

내의 대상과 사상의 유향체계라고 하자. 표적은

\langle X, \phi_i\rangle

짝으로, 여기서

X\,

는

\mathcal C

내의 대상이고,

\phi_i\colon X_i\rightarrow X

는 각

i\in I

에 대한 사상이며,

i \le j

일 때마다

\phi_i =\phi_j \circ f_{ij}

이다. 유향체계

\langle X_i, f_{ij}\rangle

의 귀납적 극한은 이러한 표적

\langle X, \phi_i\rangle

가운데, "보편적으로 밀어내는 표적"이다. 즉,

\langle X, \phi_i\rangle

는 표적이고, 임의의 다른 표적

\langle Y, \psi_i\rangle

에 대해, 각 ''i''에 대해

u\circ \phi_i=\psi_i

를 만족하는 유일한 사상

u\colon X\rightarrow Y

가 존재한다.

위 그림은 모든 ''i'', ''j''에 대해 가환된다.

귀납적 극한은 종종 다음과 같이 표기된다.

:

X = \varinjlim X_i

여기서 유향체계

\langle X_i, f_{ij}\rangle

와 정규 사상

\phi_i

는 주어진 것으로 이해된다.

임의의 범주에서 모든 유향체계가 귀납적 극한을 갖는 것은 아니다. 그러나 귀납적 극한이 존재한다면, 강한 의미에서 유일하다. 즉, 또 다른 귀납적 극한 ''X''′이 주어지면, 정규 사상과 가환하는 ''X''′ → ''X''의 유일한 동형 사상이 존재한다.

3. 성질

균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 $\operatorname{Unif}$ 는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 특히 모든 귀납적 극한을 갖는다. 균등 공간들의 유향 체계의 귀납적 극한은 균등 공간 구조를 정의하는 유사 거리 함수족을 통해 구체적으로 기술할 수 있다.^[3]

귀납적 극한은 역극한과 다음과 같은 관계를 맺는다.

: $\mathrm{Hom} (\varinjlim X_i, Y) = \varprojlim \mathrm{Hom} (X_i, Y).$

가군 범주에서 귀납적 극한을 취하는 것은 완전 함자이다.

3. 1. 유일성

귀납적 극한은 (존재한다면) 강한 의미에서 유일하다. 즉, 또 다른 귀납적 극한 ''X''′이 주어지면, 정규 사상과 가환하는 ''X''′ → ''X''의 유일한 동형 사상이 존재한다.

3. 2. 완전 함자

가군 범주에서 귀납적 극한을 취하는 것은 완전 함자이다. 이는 짧은 완전열(short exact sequence)

0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0

의 귀납적 시스템(inductive system)에서 귀납적 극한을 취하면,

0 \to \varinjlim A_i \to \varinjlim B_i \to \varinjlim C_i \to 0

와 같은 짧은 완전열을 얻는다는 것을 의미한다.

3. 3. 역극한과의 관계

귀납적 극한은 역극한과 다음과 같은 관계를 맺는다.

:

\mathrm{Hom} (\varinjlim X_i, Y) = \varprojlim \mathrm{Hom} (X_i, Y).

가군 범주에서 귀납적 극한을 취하는 것은 사상이라는 중요한 성질을 갖는다. 이는

0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0

와 같은 단사 완전열의 귀납적 극한을 취하면,

0 \to \varinjlim A_i \to \varinjlim B_i \to \varinjlim C_i \to 0

와 같은 단사 완전열을 얻는다는 것을 의미한다.

4. 예시

일반적인 범주에서는 귀납적 극한이 존재하지 않을 수 있지만, 대수 구조의 범주(집합, 군, 환, 주어진 환에 대한 가군 등)나 위상 공간, 균등 공간의 범주에서는 항상 존재한다.

다음은 귀납적 극한의 예시이다.

집합의 부분 집합: 집합 $M$ 의 부분 집합 모임 $M_i$ 가 포함 관계에 의해 부분적으로 순서가 정해지고 방향성을 가진다면, 그 귀납적 극한은 합집합 $\bigcup M_i$ 이다.
군의 부분군: 주어진 군의 부분군의 방향성 있는 모임의 귀납적 극한은 합집합이다.
환의 부분환: 주어진 환의 부분환의 방향성 있는 모임의 귀납적 극한은 합집합이다.
CW 복합체의 약한 위상은 직접 극한으로 정의된다.
$X$ 를 최대 원소 $m$ 을 가진 임의의 방향 집합이라고 할 때, 임의의 해당 직접 시스템의 직접 극한은 $X_m$ 과 동형이며, 표준 사상 $\phi_m: X_m \rightarrow X$ 는 동형 사상이다.
위상 공간의 범주에서의 직접 극한은 기본 집합론적 직접 극한에 결정 위상을 배치하여 주어진다.
''A''_''i''를 길이 ''i''의 유한 수열 전체로 구성된 집합, ''f''_''ij'' (''i'' ≤ ''j'')를 수열 뒤에 0을 ''j''-''i''항 추가하는 사상이라고 하면, 그 귀납 극한은 유한 항을 제외하고 0인 수열 전체의 집합이 된다.
첨자 집합 ''I''가 최대원 ''m''을 가진다면, 그러한 임의의 직계의 직극한은 ''X''_''m''에 동형이며, 표준 사상 φ_''m'': ''X''_''m'' → ''X''는 동형이 된다.
직극한과 역극한 사이에는 $\mathrm{Hom} (\varinjlim X_i, Y) = \varprojlim \mathrm{Hom} (X_i, Y)$ 를 통한 상호 관계가 있다.
수열 {''A''_''n'', φ_''n''}에서 ''A''_''n''은 C*-환, φ_''n'': ''A''_''n'' → ''A''_''n''+1은 *-준동형이라고 한다. 직극한 구성의 C*-유사물은 상술한 보편성을 만족하는 C*-환에 의해 주어진다.

이 예시들은 하위 섹션에서 더 자세히 다루어진다.

4. 1. 집합과 대수적 구조

대수 구조의 범주에서 귀납적 극한은 항상 존재한다. 예를 들어, 집합의 범주, 군, 환, 주어진 환에 대한 가군의 범주 등에서 귀납적 극한이 존재한다.

연산 집합

\{f_\alpha\}_{\alpha\in A}

을 갖는 대수 구조 다양체

\mathcal V

에서,

\mathcal V

속 대수 구조들의 유향 체계

((A_i)_{i\in(I,\lesssim)},(\phi_{ij}\colon A_i\to A_j)_{i\lesssim j})

의 귀납적 극한은 다음과 같이 정의되는 분리 합집합의 몫집합이다.

:

\varinjlim A_i=\left(\bigsqcup_{i\in I}A_i\right)/{\sim}

:

(a,i)\sim(b,j)\iff\exists k\in I\colon i,j\lesssim k\land\phi_{ik}(a)=\phi_{jk}(b)

이때,

n

항 연산

f_\alpha

는 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

\forall i_1,\dots,i_n\in I\forall a_1\in A_{i_1}\cdots\forall a_n\in A_{i_n}\forall k\gtrsim i_1,\dots,i_n\colon f_\alpha^{\varinjlim A_i}([(a_1,i_1)],\dots,[(a_n,i_n)])=[(f_\alpha^{A_k}(\phi_{i_1k}(a_1),\dots,\phi_{i_nk}(a_n)),k)]

이러한 정의를 바탕으로, 집합, 군, 환 등의 부분 집합/부분 구조들의 합집합이 귀납적 극한이 되는 예시는 다음과 같다.

집합의 부분 집합: 집합 $M$ 의 부분 집합 모임 $M_i$ 가 포함 관계에 의해 부분적으로 순서가 정해지고 방향성을 가진다면, 그 귀납적 극한은 합집합 $\bigcup M_i$ 이다.
군의 부분군: 주어진 군의 부분군의 방향성 있는 모임의 귀납적 극한은 합집합이다.
환의 부분환: 주어진 환의 부분환의 방향성 있는 모임의 귀납적 극한은 합집합이다.

예시:

''K''를 체라고 할 때, 양의 정수 ''n''에 대해, 가역적인 ''n'' x ''n'' 행렬(''K''의 원소를 성분으로 가짐)로 구성된 일반 선형군 GL(''n;K'')을 고려하고, GL(''n;K'') → GL(''n''+1;''K'')라는 군 준동형 사상(마지막 행과 열의 다른 곳에는 0을 넣고 오른쪽 아래 모서리에는 1을 넣어 행렬을 확장)을 생각하면, 이 시스템의 직접 극한은 GL(''K'')로 표기되는 ''K''의 일반 선형군이 된다.
''p''를 소수라고 할 때, 몫군 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ 과 곱셈에 의해 유도된 준동형 사상 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}$ 로 구성된 직접 시스템의 직접 극한은 Prüfer 군 $\mathbb{Z}(p^\infty)$ 이다.
''n''개의 변수에 대한 대칭 다항식 환에서 ''n'' + 1개의 변수에 대한 대칭 다항식 환으로의 단사 환 준동형 사상을 고려하면, 이 직접 시스템의 직접 극한을 형성하면 대칭 함수 환이 생성된다.

4. 2. 위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주

\operatorname{Top}

는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 특히 모든 귀납적 극한을 갖는다. 위상 공간들의 유향 체계의 귀납적 극한은 집합으로서 집합의 대수 구조 다양체에서의 귀납적 극한이며, 이 위에는 분리 합집합 위에 유도되는 자연스러운 위상의 몫위상을 취한다.

구체적인 예시는 다음과 같다.

CW 복합체의 약한 위상은 귀납적 극한으로 정의된다.
위상 공간의 범주에서의 귀납적 극한은 기본 집합론적 귀납적 극한에 결정 위상을 배치하여 주어진다.
''F''를 위상 공간 ''X'' 상의 ''C''-값 층이라고 하자. ''X''의 점 ''x''를 고정하고, ''x''의 열린 근방은 포함 관계에 의해 정렬된 방향 집합을 형성한다. 이때, ''r''을 제한 사상으로 하는 귀납적 극한 (''F''(''U''), ''r''_''U'',''V'')이 얻어지고, 이 계의 귀납적 극한은 ''x''에서의 ''F''의 '''줄기''' ''F''_''x''라고 불린다. ''x''의 각 근방 ''U''에 대해 표준 사상 ''F''(''U'') → ''F''_''x''는 ''F''의 ''U'' 위의 절단 ''s''를 줄기 ''F''_''x''의 원소 ''s''_''x''로 대응시킨다. 원소 ''s''_''x''는 절단 ''s''의 ''x''에서의 '''싹'''이라고 불린다.

4. 3. 선형대수

''K''를 체라고 하자. 양의 정수 ''n''에 대해, ''K''의 원소를 성분으로 갖는 가역적인 ''n'' × ''n'' 행렬로 구성된 일반 선형군 GL(''n'';K'')를 고려하자. GL(''n'';K'')에서 GL(''n''+1;''K'')로 가는 군 준동형 사상이 존재하는데, 이는 마지막 행과 열에서 다른 위치에는 0을, 오른쪽 아래 모서리에는 1을 넣어 행렬을 확장하는 것이다. 이 시스템의 직접 극한은 GL(''K'')로 표기되는 ''K''의 일반 선형군이다. GL(''K'')의 원소는 유한 개의 항목을 제외하면 무한 단위 행렬과 동일한 무한 가역 행렬로 생각할 수 있다. 군 GL(''K'')는 대수적 K-이론에서 매우 중요하다.^[3]

4. 4. p-진 해석학

p-adic^영어 해석학에서, 프뤼퍼 군은 귀납적 극한으로 구성되는데, 다음과 같이 표현된다.

:

\varinjlim \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}

여기서 각 몫군

\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}

사이의 준동형 사상은 p를 곱하는 것으로 유도되는

\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}

형태이다. 이 귀납적 극한은 p의 거듭제곱을 단위근으로 하는 모든 1의 멱근을 포함하며, 프뤼퍼 군

\mathbb{Z}(p^\infty)

이라고 불린다.

4. 5. 대칭 함수

n^영어개의 변수에 대한 대칭 다항식 환에서 n + 1^영어개의 변수에 대한 대칭 다항식 환으로의 (자명하지 않은) 단사 환 준동형 사상이 존재한다. 이 직접 시스템의 직접 극한을 형성하면 대칭 함수 환이 생성된다.^[1]

5. 관련 개념

범주 $\mathcal{C}$ 에서 귀납적 극한(직접 극한)과 관련된 개념은 다음과 같다.

함자 (Functor): 공변 함자를 통해 귀납계를 설명할 수 있으며, 이 함자의 쌍대극한은 원래 귀납계의 귀납적 극한과 같다.
여과된 쌍대극한: 여과된 범주에서 어떤 범주로의 공변 함자의 쌍대극한을 의미한다.
Ind-대상 (Ind-object): 주어진 범주에 모든 귀납적 극한이 존재하지 않을 때, 이 범주를 더 큰 범주에 포함시켜 귀납적 극한을 정의할 수 있게 하는 대상이다.
역 극한: 귀납적 극한의 범주적 쌍대 개념으로, 특정 함자의 극한으로 볼 수 있다.

순극의 범주론적 쌍대는 역극 (사영 극한)이며, 더 일반적인 개념으로 극한과 여극한이 정의된다. 순극은 여극한이며 (범주론적) 극은 역극이다.^[1]

5. 1. 함자 (Functor)

범주

\mathcal{C}

에서 함자를 사용하여 귀납계를 설명할 수 있다. 임의의 방향 집합

\langle I,\le \rangle

은 대상이

I

의 원소이고,

i\rightarrow j

사상이 오직

i\le j

인 경우에만 존재하는 작은 범주

\mathcal{I}

로 생각할 수 있다. 따라서

I

위의 귀납계는 공변 함자

\mathcal{I}\rightarrow \mathcal{C}

와 같다. 이 함자의 쌍대극한은 원래 귀납계의 귀납적 극한과 같다.^[1]

귀납적 극한은 함자의 쌍대극한으로 정의된다.

5. 2. 여과된 범주 (Filtered Category)

직접 극한과 밀접하게 관련된 개념은 여과된 쌍대극한이다. 여과된 쌍대극한은 여과된 범주

\mathcal J

에서 어떤 범주

\mathcal{C}

로의 공변 함자

\mathcal J \to \mathcal C

의 쌍대극한을 의미한다. 범주가 모든 직접 극한을 가지는 것은 모든 여과된 쌍대극한을 가지는 것과 동치이며, 그러한 범주에서 정의된 함자가 모든 직접 극한과 교환하는 것은 모든 여과된 쌍대극한과 교환하는 것과 동치이다.^[1]

5. 3. Ind-대상 (Ind-object)

임의의 범주 $\mathcal{C}$에는 모든 귀납적 극한(직접 극한)이 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어 유한 집합의 범주나 유한 생성 아벨 군의 범주를 생각해 볼 수 있다.^[1] 이 경우, $\mathcal{C}$를 모든 귀납적 극한이 존재하는 더 큰 범주 $\text{Ind}(\mathcal{C})$에 포함시킬 수 있다. $\text{Ind}(\mathcal{C})$의 대상을 $\mathcal{C}$의 Ind-대상(ind-object)이라고 부른다.^[1]

5. 4. 역극한 (Inverse Limit)

범주적 쌍대 귀납적 극한은 역 극한이다. 역 극한은 특정 함자의 극한으로 볼 수 있으며 여과된 범주에 대한 극한과 밀접하게 관련되어 있다.^[1] 순극의 범주론적 쌍대는 역극 (사영 극한)이며, 더 일반적인 개념으로 범주론에서의 극한과 여극한이 정의된다. 용어법이 다소 혼란스러울 수 있지만, 순극은 여극한이며 (범주론적) 극은 역극이다.

참조

_[1] 서적 Locally Presentable and Accessible Categories https://books.google[...] Cambridge University Press
_[2] 서적 An invitation to general algebra and universal constructions Springer 2015
_[3] 논문 Inductive limits of uniform spaces 1967

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