텐서 대수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 호프 대수 구조
- 2.2. 비가환 다항식 대수
3. 구성
4. 보편성 (Adjunction and Universal Property)
5. 몫대수 (Quotients)
6. 여대수 구조 (Coalgebra)
- 6.1. 단순 여대수 구조
- 6.2. 쌍대대수 및 호프 대수 구조
참조

1. 개요

텐서 대수는 가환환 K 위의 가군 V로부터 구성되는 등급 대수이며, 텐서 곱을 사용하여 정의된다. 이는 K 위의 단위 결합 대수를 형성하며, V를 자기 자신과 k번 텐서 곱한 k차 텐서 거듭제곱의 직합으로 구성된다. 텐서 대수는 자유 대수이며, 모든 선형 맵을 대수 준동형사상으로 고유하게 확장할 수 있는 보편 성질을 만족한다. 텐서 대수는 몫대수를 통해 외대수, 대칭 대수 등 다양한 대수를 생성하는 데 사용되며, 단순 여대수 구조와 호프 대수 구조를 갖는다. 호프 대수 구조는 셔플 곱을 사용하여 정의된 여곱과 반대원을 통해 구성된다.

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텐서 대수
개요
분야	수학, 대수학
연구	벡터 공간, 텐서
종류	대수
역사
발달 배경	다중선형대수
정의
정의	벡터 공간 V의 텐서 대수 T(V)는 V에서 생성되는 가장 일반적인 단위 결합 대수이다.
다른 표현	T*(V)
성질
결합성	결합 대수
단위	단위 대수
일반성	V에서 생성되는 가장 일반적인 단위 결합 대수이다.
관련 개념
관련 개념	다중선형 형식, 클리포드 대수, 대칭 대수, 외대수, 텐서, 텐서곱, 대수

2. 정의

가환환 K 위의 가군 V가 주어졌을 때, V 위의 텐서 대수 T(V)는 K 위의 등급 가군으로 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname T(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty\overbrace{V\otimes_KV\otimes_K\cdots\otimes_KV}^n=K\oplus V\oplus V\otimes_KV\oplus\cdots$

: $\operatorname T^n(V)=\overbrace{V\otimes_KV\otimes_K\cdots\otimes_KV}^n$

이 위에는 다음과 같은 자연스러운 쌍선형 이항 연산이 존재한다.

: $\otimes\colon\operatorname T^m(V)\times\operatorname T^n(V)\to\operatorname T^{m+n}(V)$

: $\otimes\colon\left((u_1\otimes\cdots\otimes u_m),(v_1\otimes\cdots\otimes v_n)\right)\mapsto u_1\otimes\cdots u_m\otimes v_1\otimes\cdots\otimes v_n\in\operatorname T^{m+n}(V)$

이는 결합 법칙을 만족시키고, 항등원 $1_K\in K=\operatorname T^0(V)$ 을 가지므로, 텐서 대수는 K 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

V를 체 K 위의 벡터 공간이라고 할 때, 음이 아닌 모든 정수 k에 대해 V의 k차 텐서 거듭제곱은 V를 자기 자신과 k번 텐서 곱한 것으로 정의된다.

: $T^kV = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V.$

즉, T^kV는 차수 k의 V 위의 모든 텐서로 구성된다. 관례에 따라 T⁰V는 기초 체 K이다(자기 자신 위의 1차원 벡터 공간).

k = 0, 1, 2, …에 대해 T^kV의 직합으로 T(V)를 구성한다.

: $T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots.$

T(V)의 곱셈은 표준 동형 사상

: $T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V$

에 의해 결정된다. 이는 텐서 곱으로 주어지고 선형성에 의해 전체 T(V)로 확장된다. 이 곱셈 규칙은 텐서 대수 T(V)가 자연스럽게 grade-k 부분 공간으로 작용하는 T^kV를 갖는 등급 대수임을 의미한다. 이 등급은 음의 정수 k에 대해 $T^{k}V=\{0\}$ 부분 공간을 추가하여 '''Z'''-등급으로 확장할 수 있다.

이 구성은 가환 링 위의 모든 모듈 M의 텐서 대수로 쉽게 일반화된다. R이 비가환환인 경우, 모든 R-R 쌍가군 M에 대해 이 구성을 수행할 수 있다. (반복 텐서 곱을 형성할 수 없기 때문에 일반적인 R-모듈에서는 작동하지 않는다.)

2. 1. 호프 대수 구조

텐서 대수

\operatorname T(V)

는 쌍대곱(coproduct)과 앤티포드(antipode)를 통해 호프 대수 구조를 갖는다.

쌍대곱

\Delta

는 다음과 같이 정의된다.

:

\Delta(v_1\otimes\dots\otimes v_m) = \sum_{p=0}^m \sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(p,m-p)} \left(v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}\right)\otimes\left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma(m)}\right)

여기서

\operatorname{Sh}(p,m-p)\subseteq\operatorname{Sym}(p)

는

(p,m-p)

-셔플 순열의 집합이다. 즉, 셔플 순열을 이용하여 원소들을 두 부분으로 나누고, 각 부분의 순서는 유지하면서 텐서곱을 적용한다.

앤티포드

S

는 다음과 같이 정의된다.

:

S(v_1\otimes\dots\otimes v_m) = (-1)^mv_m\otimes\cdots\otimes v_1

즉, 원소들의 순서를 뒤집고, 길이에 따라 부호를 붙여준다.

2. 2. 비가환 다항식 대수

집합

\{x_i\}_{i\in I}

에 의하여 생성되는, 가환환

K

위의 자유 단위 결합 대수는 자유 가군

K^{\oplus |I|}

위의 텐서 대수와 같으며, '''비가환 다항식 대수'''(noncommutative polynomial algebra^영어)라고 하며, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

:

K\langle x_i\rangle_{i\in I}=\operatorname T(K^{\oplus|I|})

비가환 다항식 대수의 원소들은 다항식환 (자유 가환 단위 결합 대수)

K[x_i]_{i\in I}

과 유사하지만,

i\ne j

라면

x_ix_j\ne x_jx_i

이다. 만약 ''V''가 유한 차원 ''n''을 갖는다면, 텐서 대수를 "''K'' 위의 ''n''개의 비가환 변수에 대한 다항식의 대수"로 볼 수 있다. ''V''의 기저 벡터를 가져오면, 이것들은 ''미정 변수''가 되어 ''T''(''V'')에서 결합 법칙, 분배 법칙 및 ''K''-선형성 외에는 제약 조건이 없다.

''V''에 대한 다항식 대수는

T(V)

가 아니라

T(V^*)

라는 점에 유의해야 한다. ''V'' 위의 (동차) 선형 함수는

V^*

의 원소이다. 예를 들어, 벡터 공간의 좌표

x^1,\dots,x^n

은 공변 벡터인데, 이는 벡터를 입력받아 스칼라(해당 벡터의 주어진 좌표)를 출력하기 때문이다.

3. 구성

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 가 주어졌을 때, $V$ 의 k차 텐서 거듭제곱은 $V$ 를 k번 텐서 곱한 것이다.

: $T^kV = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V$

즉, $T^kV$ 는 차수 k인 V 위의 모든 텐서로 구성된다. $T^0V$ 는 기초 체 K이다.

텐서 대수 T(V)는 k = 0, 1, 2, ... 에 대한 $T^kV$ 의 직합으로 구성된다.

: $T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots$

T(V)의 곱셈은 텐서 곱에 의해 주어지는 자연스러운 동형 사상

: $T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V$

에 의해 결정되며, 이는 선형성에 의해 전체 T(V)로 확장된다. 이 곱셈은 텐서 대수 T(V)를 등급 대수로 만든다.

4. 보편성 (Adjunction and Universal Property)

텐서 대수 T(V)는 벡터 공간 V에 대한 자유 대수이며, 함자(functorial)이다. 즉, 맵 $V\mapsto T(V)$ 가 K-벡터 공간의 범주에서 결합 대수의 범주로 가는 함자를 형성하기 위한 선형 맵으로 확장됨을 의미한다.

텐서 대수 T(V)는 V를 포함하는 가장 일반적인 대수임을 나타내는 다음 보편 성질(universal property)을 만족한다.

V에서 K 위의 결합 대수 A로 가는 모든 선형 맵 $f:V \to A$ 는 T(V)에서 A로 가는 대수 준동형사상으로 고유하게 확장될 수 있다.

여기서 i는 V를 T(V)로 표준 포함하는 맵이다.

다른 보편 성질과 마찬가지로, 텐서 대수 T(V)는 이 성질을 만족하는 고유한 대수로 정의될 수 있지만 (구체적으로는 고유한 동형사상까지), 이 정의는 이 성질을 만족하는 대상이 존재함을 증명해야 한다.

위의 보편 성질은 T가 K 위의 벡터 공간의 범주에서 K-대수의 범주로 가는 함자임을 의미한다. 즉, K-벡터 공간 U와 W 사이의 모든 선형 맵은 T(U)에서 T(W)로 가는 K-대수 준동형사상으로 고유하게 확장된다.

5. 몫대수 (Quotients)

텐서 대수의 일반성 때문에, 외대수, 대칭 대수, 클리포드 대수, 바일 대수, 보편 포락 대수 등과 같이 관심을 가질 만한 다른 많은 대수들은 텐서 대수에서 시작하여 생성자들에 특정 관계를 부과함으로써 만들 수 있다. 즉, ''T''(''V'')의 특정 몫 대수를 구성함으로써 만들 수 있다.

6. 여대수 구조 (Coalgebra)

텐서 대수는 두 가지 여대수 구조를 갖는다. 하나는 텐서 곱과 호환되어 쌍대대수 및 호프 대수로 확장될 수 있으며, 다른 하나는 더 간단하지만 쌍대대수로 확장될 수 없다.

이 섹션에서는 더 간단한 여대수 구조에 대해 설명하고, 쌍대대수 및 호프 대수로 확장 가능한 구조는 다음 섹션에서 다룬다.

6. 1. 단순 여대수 구조

텐서 대수는 두 종류의 여대수 구조를 가진다. 그중 단순 여대수 구조에서는 여곱이 각 텐서 차수에 대해 직합 분해하는 방식으로 정의되며, 여단위는 대수에서 필드 성분을 투영하는 방식으로 정의된다.

여곱

\Delta

는 다음과 같이 정의된다.

:

\Delta(v_1 \otimes \dots \otimes v_m ) := \sum_{i=0}^{m}(v_1 \otimes \dots \otimes v_i) \otimes (v_{i+1} \otimes \dots \otimes v_m)

이를

T(V)

까지 선형적으로 확장한다. 여기서

v_0

과

v_{k+1}

은

1\in K

를 의미한다. (

v\otimes 1=v

).

여단위 사상

\varepsilon

은 다음과 같다.

:

\varepsilon(v)=\begin{cases}v & (v\in T^0(V))\\0 & (v\in T^k(V), k >0)\end{cases}

여곱

\Delta: T(V) \to T(V) \otimes T(V)

는 차수를 반영하여 다음을 만족한다.

:

T^m(V) \to \bigoplus_{i+j=m} T^i(V) \otimes T^j(V)

여단위 사상

\varepsilon

도 차수와 양립한다.

텐서 대수에 이 여곱과 여단위 사상을 고려한 것은 쌍대대수를 이루지 않는다.

6. 2. 쌍대대수 및 호프 대수 구조

텐서 대수

\operatorname T(V)

는 셔플 곱을 이용한 여곱을 정의하여 쌍대대수 구조를 만들 수 있다. 여기서 여곱셈은 다음과 같이 정의된다.

:

\Delta(v_1\otimes\dots\otimes v_m) = \sum_{p=0}^m \sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(p,m-p)} \left(v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}\right)\otimes\left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma(m)}\right)

여기서

\operatorname{Sh}(p,m-p)

는

(p,m-p)

-셔플 순열의 집합이다.

또한, 반대원(antipode)

S

를 다음과 같이 추가하여 호프 대수 구조를 정의할 수 있다.

:

S(v_1\otimes\dots\otimes v_m) = (-1)^mv_m\otimes\cdots\otimes v_1

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