프레넬 회절

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1. 개요
2. 정의
3. 역사적 배경
4. 프레넬 회절 적분
- 4.1. 프레넬 근사
5. 프레넬 회절의 다양한 형태
참조

1. 개요

프레넬 회절은 빛이 장애물을 통과할 때 나타나는 회절 현상의 일종으로, 광원, 장애물, 스크린 사이의 거리가 유한할 때 발생한다. 휘헌스-프레넬 원리를 기반으로 하며, 프레넬 회절 적분으로 빛의 세기 분포를 계산한다. 프레넬 회절은 프레넬 수가 약 1일 때 유효하며, 프레넬 근사를 통해 계산을 단순화할 수 있다. 프레넬 회절 적분은 컨볼루션, 푸리에 변환, 선형 정준 변환 등 다양한 형태로 표현될 수 있다.

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프레넬 회절
프레넬 회절
개요
유형	광학 현상
관련 분야	광학, 물리학
특징	회절 패턴이 관찰 거리에 따라 변화함
설명
정의	회절파면이 관찰면에 도달할 때, 회절원과 관찰면 사이의 거리가 무한대가 아닌 경우의 회절 현상
조건	광원 또는 관찰점이 회절 물체로부터 유한한 거리에 있을 때 발생
근사	프레넬 근사
수학적 표현	F
변수	a, L
영어
영어 명칭	Fresnel diffraction
기타
문화어	프레넬에돌이

2. 정의

17세기 이탈리아의 프란체스코 마리아 그리말디는 프레넬 회절 현상에 대한 초기 연구를 수행했다.^[3] 리처드 C. 맥로린은 먼 광원에서 생성된 빛줄기에 슬릿이나 구멍이 있는 장벽이 있을 때 빛이 어떻게 전파되는지, 그리고 그 과정이 어떤 영향을 받는지에 대한 질문을 통해 프레넬 회절을 설명한다. 그는 휘헌스-프레넬 원리를 사용하여 슬릿에서 나와 검출 스크린으로 진행되는 파면이 갭 영역 전체에서 시작되는 파면에 매우 가깝게 근사한다고 설명한다.

결과적으로 갭이 매우 좁으면 밝은 중심을 가진 회절 무늬만 나타난다. 갭이 점차 넓어지면 어두운 중심을 가진 회절 무늬와 밝은 중심을 가진 회절 무늬가 번갈아 나타난다. 갭이 더 커지면 어두운 띠와 밝은 띠 사이의 차이가 줄어들어 회절 효과를 감지하기 어려워진다.

맥로린은 빛을 작은 구멍을 통해 비출 때 생성되는 회절 링의 중심이 검은색일 수 있다는 가능성은 언급하지 않았지만, 작은 원형 물체에 의해 생성된 그림자가 밝은 중심을 가질 수 있다는 아라고 스팟을 지적했다.

프랜시스 웨스턴 시어스는 그의 ''광학''^[4]에서 프레넬이 제안한 수학적 근사치를 제시했는데, 이는 회절 무늬의 주요 특징을 예측하고 간단한 수학만을 사용한다. 장벽 스크린의 구멍에서 근처 검출 스크린까지의 수직 거리와 입사광의 파장을 고려하여 프레넬 영역이라고 하는 여러 영역을 계산할 수 있다. 내부 영역은 원이며 각 후속 영역은 동심 환상 고리이다. 스크린의 원형 구멍의 지름이 첫 번째 또는 중앙 프레넬 영역을 노출할 만큼 충분하면 검출 스크린 중앙의 빛의 진폭은 차단되지 않은 경우보다 두 배가 된다. 스크린의 원형 구멍의 지름이 두 개의 프레넬 영역을 노출할 만큼 충분하면 중앙의 진폭은 거의 0이 된다. 즉, 프레넬 회절 무늬는 어두운 중심을 가질 수 있다.

휘헌스-프레넬 원리에 따르면, 빛은 구면파의 포락선으로 진행한다. 그러나 이 원리만으로는 회절하는 빛의 세기 분포를 유도할 수 없었다. 프레넬은 회절을 간섭의 일부로 생각함으로써 빛의 세기 분포를 계산할 수 있음을 보였다.

빛의 평면파가 개구 함수 (개구부를 1, 차폐부를 0으로 한 함수) f|x, y^영어의 개구부를 통과하여 거리 R^영어 만큼 떨어진 스크린에 조사될 때, 스크린에서의 진폭 분포 u|x′, y′^영어는 개구부를 통과하는 광파의 적분으로 표현된다.

: $u(x',y')= \frac{A}{i\lambda} \iint \frac{f(x,y)}{R} \exp \left( ik\sqrt{R^2+(x-x')^2+(y-y')^2} \right) ~ \mathrm dx\,\mathrm dy$

f\|x, y^영어	개구 함수
A^영어	진폭
i^영어	허수 단위
k^영어	파수 (전파 정수)
R^영어	개구부에서 스크린까지의 거리 $(R \simeq r)$
λ^영어	파장
x, y^영어	개구면의 좌표
x′, y′^영어	스크린의 좌표

'''프레넬 회절'''은 개구부의 크기가 스크린까지의 거리에 대해 충분히 작을 때를 가리킨다. 구체적으로는,

: $R^3 \gg \frac{1}{8\lambda} \left[ (x-x')^2+(y-y')^2 \right]^2$

일 때를 말한다. 이때, 스크린에서의 진폭 분포 u|x′, y′^영어는

:

u(x',y')= \frac{A}{i\lambda R} \exp(ikR) \iint f(x,y) \exp \left( ik \frac{(x-x')^2+(y-y')^2}{2R} \right) ~ \mathrm dx\,\mathrm dy

로 표현된다. 이것이 '''프레넬 회절'''의 식이다.

프라운호퍼 회절은 더욱 근사한 모델이다. 따라서 프라운호퍼 회절이 발생하는 조건은 '''프레넬 회절'''보다 엄격하다.

3. 역사적 배경

프란체스코 마리아 그리말디는 17세기 이탈리아에서 빛의 회절 현상에 대한 초기 연구를 수행했다.^[3] 리처드 C. 맥로린은 휘헌스-프레넬 원리를 사용하여 프레넬 회절을 설명했다. 그는 슬릿의 폭이 좁을수록 밝은 중심을 가진 회절 무늬가 나타나고, 슬릿을 점차 넓히면 어두운 중심과 밝은 중심을 가진 회절 무늬가 번갈아 나타난다고 예측했다. 슬릿이 충분히 커지면 회절 효과를 감지하기 어려워진다고 설명했다.

맥로린은 빛을 작은 구멍을 통해 비출 때 생성되는 회절 링 계열의 중심이 검은색일 수 있다는 가능성은 언급하지 않았지만, 아라고 스팟처럼 작은 원형 물체에 의해 생성된 그림자가 밝은 중심을 가질 수 있다는 점을 지적했다.^[3]

프랜시스 웨스턴 시어스는 프레넬이 제안한 수학적 근사치를 제시하여, 간단한 수학만으로 회절 무늬의 주요 특징을 예측할 수 있도록 했다. 그는 입사광의 파장과 구멍에서 검출 스크린까지의 거리를 고려하여 프레넬 영역을 계산했다. 스크린의 원형 구멍 지름이 첫 번째 프레넬 영역을 노출할 만큼 충분하면 검출 스크린 중앙의 빛의 진폭이 두 배가 되고, 두 개의 프레넬 영역을 노출하면 중앙의 진폭은 거의 0이 되어 어두운 중심을 가질 수 있다고 설명했다.^[4]

4. 프레넬 회절 적분

레이리-좀머펠트 회절 이론에 따르면, (''x'', ''y'', ''z'') 지점에서의 전기장 회절 패턴은 다음과 같은 헬름홀츠 방정식의 해로 주어진다.^[5]

: $E(x, y, z) = \frac{1}{i \lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty} E(x', y', 0) \frac{e^{ikr}}{r} \frac{z}{r} \left(1+\frac{i}{kr}\right) \,dx'dy',$

여기서 각 변수는 아래 표와 같다.

수식	설명
$E(x$ , y, 0)	구멍에서의 전기장
$r = \sqrt{(x - x$ )^2 + (y - y)^2 + z^2},	각 변수간의 거리
$k$	파수 $2\pi/\lambda,$
$i$	허수 단위

이 적분은 해석적으로 풀기 매우 복잡하여, 일반적으로 수치적 계산을 통해 값을 구한다.

프레넬 회절에서 점 $(x, y, z)$ 에서의 전기장은 다음과 같이 주어지는 프레넬 회절 적분으로 표현된다.

: $E(x, y, z) = \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} \iint_{-\infty}^{+\infty} E(x', y', 0) e^{\frac{ik}{2z} \left[(x - x')^2 + (y - y')^2\right]} \,dx'dy'.$

이 적분은 구면파의 진폭과 위상을 변조하며, 이 식의 해석적 해는 매우 드문 경우에만 가능하다. 프라운호퍼 회절은 회절 광원으로부터 훨씬 더 먼 거리에서 유효한 경우를 다룬다. 프레넬 회절은 프라운호퍼 회절과 달리 간섭파의 상대적인 위상을 정확하게 계산하기 위해 파면의 곡률을 고려한다.

빛의 평면파가 개구 함수 (개구부를 1, 차폐부를 0으로 한 함수) f(x, y)의 개구부를 통과하여 거리 R 만큼 떨어진 스크린에 조사될 때, 스크린에서의 진폭 분포 u(x', y')는 개구부를 통과하는 광파의 적분으로 표현된다.

:

u(x',y')= \frac{A}{i\lambda} \iint \frac{f(x,y)}{R} \exp \left( ik\sqrt{R^2+(x-x')^2+(y-y')^2} \right) ~ \mathrm dx\,\mathrm dy

변수	설명
f(x, y)	개구 함수
A	진폭
i	허수 단위
k	파수 (전파 정수)
R	개구부에서 스크린까지의 거리 $(R \simeq r)$
λ	파장
x, y	개구면의 좌표
x', y'	스크린의 좌표

프레넬 회절은 다음 조건을 만족할 때, 즉 개구부의 크기가 스크린까지의 거리에 비해 충분히 작을 때를 가리킨다.

: $R^3 \gg \frac{1}{8\lambda} \left[ (x-x')^2+(y-y')^2 \right]^2$

이때, 스크린에서의 진폭 분포 u(x', y')는 다음과 같이 표현된다.

: $u(x',y')= \frac{A}{i\lambda R} \exp(ikR) \iint f(x,y) \exp \left( ik \frac{(x-x')^2+(y-y')^2}{2R} \right) ~ \mathrm dx\,\mathrm dy$

4. 1. 프레넬 근사

레이리-좀머펠트 방정식, (파라악시얼) 프레넬 근사, 그리고 (원거리장) 프라운호퍼 근사로 얻은 회절 패턴 비교

프레넬 근사는 프레넬 회절 적분을 단순화하기 위한 방법이다. 이 방법은 이항 전개를 통해 r에 대한 식을 근사한다.^[5]

먼저, 대수를 단순화하기 위해 다음과 같은 치환을 사용한다.

\rho^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2.

이를 r에 대한 식에 대입하면,

r = \sqrt{\rho^2 + z^2} = z \sqrt{1 + \frac{\rho^2}{z^2}}.

를 얻는다. 다음으로, 이항 정리에 의해,

\sqrt{1 + u} = (1 + u)^\frac{1}{2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots

이므로, r을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\begin{align}r &= z \sqrt{1 + \frac{\rho^2}{z^2}} \\&= z \left[1 + \frac{\rho^2}{2 z^2} - \frac{1}{8} \left( \frac{\rho^2}{z^2} \right)^2 + \cdots \right] \\&= z + \frac{\rho^2}{2 z} - \frac{\rho^4}{8z^3} + \cdots\end{align}

이항 급수의 모든 항을 고려하면 근사가 아니다.^[5] 프레넬 근사의 핵심은 테일러 전개에서 세 번째 항이 매우 작아서 무시할 수 있다고 가정하는 것이며, 따라서 더 높은 차수의 항도 무시할 수 있다.

이를 위해서는 다음 조건이 만족되어야 한다.

k \frac{\rho^4}{8 z^3} \ll 2 \pi.

파수 k를 파장으로 표현하면,

k = \frac{2 \pi}{\lambda},

이므로, 다음 관계식을 얻는다.

\frac{\rho^4}{z^3 \lambda} \ll 8.

양변에

z^3/\lambda^3

을 곱하면,

\frac{\rho^4}{\lambda^4} \ll 8 \frac{z^3}{\lambda^3},

이고,

\rho^2

에 대한 식을 대입하면,

\frac{1}{\lambda^4} \left[(x - x')^2 + (y - y')^2\right]^2 \ll 8 \frac{z^3}{\lambda^3}.

를 얻는다. 이 조건이 x, x', y, y'의 모든 값에 대해 성립하면, 테일러 전개에서 세 번째 항을 무시할 수 있다. 또한, 세 번째 항이 무시할 수 있으면 더 높은 차수의 모든 항은 더 작아지므로 이것들도 무시할 수 있다.

광학 파장을 포함하는 응용에서, 파장은 일반적으로 관련된 물리적 차원보다 훨씬 작은 여러 차수이다. 특히,

\lambda \ll z,

그리고

\lambda \ll \rho.

이다. 따라서, 실질적인 문제로, 다음과 같은 경우 항상 필요한 부등식이 성립한다.

\rho \ll z.

그러면 처음 두 항만으로 식을 근사할 수 있다.

r \approx z + \frac{\rho^2}{2 z} = z + \frac{(x - x')^2 + (y - y')^2}{2 z}.

이 방정식이 '''프레넬 근사'''이며, 위에 언급된 부등식은 근사의 타당성에 대한 조건이다.

일반적으로 프레넬 회절은 프레넬 수가 약 1일 때 유효하다.

프레넬 근사가 유효하다면, 전파되는 장은 구멍에서 시작하여 z 축을 따라 이동하는 구면파이다. 이 적분은 구면파의 진폭과 위상을 변조한다. 프레넬 회절에서 점

(x, y, z)

에서의 전기장은 다음과 같이 주어진다.

E(x, y, z) = \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} \iint_{-\infty}^{+\infty} E(x', y', 0) e^{\frac{ik}{2z} \left[(x - x')^2 + (y - y')^2\right]} \,dx'dy'.

이것이 프레넬 회절 적분이다.

프레넬은 휘헌스-프레넬 원리에 의해 구면파의 포락선의 일부로 여겨져 왔던 회절을 간섭의 일부로 생각함으로써 회절하는 빛의 세기 분포를 계산할 수 있음을 보였다.

빛의 평면파가 개구 함수 (개구부를 1, 차폐부를 0으로 한 함수) f(x, y)의 개구부를 통과하여 거리 R 만큼 떨어진 스크린에 조사될 때, 스크린에서의 진폭 분포 u(x', y')는 개구부를 통과하는 광파의 적분으로 표현된다.

:

u(x',y')= \frac{A}{i\lambda} \iint \frac{f(x,y)}{R} \exp \left( ik\sqrt{R^2+(x-x')^2+(y-y')^2} \right) ~ \mathrm dx\,\mathrm dy

변수	설명
f(x, y)	개구 함수
A	진폭
i	허수 단위
k	파수 (전파 정수)
R	개구부에서 스크린까지의 거리 $(R \simeq r)$
λ	파장
x, y	개구면의 좌표
x', y'	스크린의 좌표

'''프레넬 회절'''은 개구부의 크기가 스크린까지의 거리에 대해 충분히 작을 때를 가리킨다. 구체적으로는,

: $R^3 \gg \frac{1}{8\lambda} \left[ (x-x')^2+(y-y')^2 \right]^2$

일 때를 말한다. 이때, 스크린에서의 진폭 분포 u(x', y')는 다음과 같이 표현된다.

center

: $u(x',y')= \frac{A}{i\lambda R} \exp(ikR) \iint f(x,y) \exp \left( ik \frac{(x-x')^2+(y-y')^2}{2R} \right) ~ \mathrm dx\,\mathrm dy$

이것이 '''프레넬 회절'''의 식이 된다.

5. 프레넬 회절의 다양한 형태

프레넬 회절 적분은 여러 가지 방법으로 표현될 수 있는데, 이는 계산을 편리하게 하기 위함이다.

'''컨볼루션'''

함수

h(x, y, z) = \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{i \frac{k}{2z} (x^2 + y^2)}

를 정의하면, 프레넬 회절 적분은 다음과 같이 컨볼루션 형태로 표현할 수 있다.

:

E(x, y, z) = E(x, y, 0) * h(x, y, z)

이는 프레넬 회절을 선형 필터링 과정으로 해석하는 것이다. 여기서

h(x, y, z)

는 자유 공간 전파의 임펄스 응답이라고 부른다.

'''푸리에 변환'''

프레넬 회절 적분은 2차원 푸리에 변환을 이용하여 표현할 수도 있다. 파수

k = \frac{2\pi}{\lambda}

를 이용하고, 횡 방향 변위의 각 성분을 전개하면, 프레넬 적분은 다음과 같이 표현된다.

:

E(x,y,z) = \left. \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{i \frac{\pi}{\lambda z} (x^2 + y^2)} \mathcal{F}\left\{ E(x', y', 0) e^{i \frac{\pi}{\lambda z} (x'^2 + y'^2)} \right\} \right|_{p = \frac{x}{\lambda z},\ q = \frac{y}{\lambda z}} = h(x, y) \cdot G(p, q) \big|_{p = \frac{x}{\lambda z},\ q = \frac{y}{\lambda z}}

여기서

G(p, q) = \mathcal{F} \{g(x,y)\} \equiv \iint_{-\infty}^{\infty} g(x, y) e^{-i 2 \pi (p x + q y)} \,dx\,dy

이고, p와 q는 공간 주파수이다. 이 표현은 푸리에 변환을 통해 계산을 간소화할 수 있다는 장점이 있다.

'''선형 정준 변환'''

선형 정준 변환의 관점에서 보면, 프레넬 회절은 시간-주파수 영역에서의 전단 사상으로 해석할 수 있다. 이는 푸리에 변환이 시간-주파수 영역에서의 회전에 해당하는 것과 유사하다.

참조

_[1] 서적 Principles of Optics Cambridge University Press 1999
_[2] 논문 Fresnel diffraction mirror for atomic wave http://www.ils.uec.a[...] 2005
_[3] 서적 Light https://archive.org/[...] Columbia University Press 1909
_[4] 서적 Optics Addison-Wesley 1948
_[5] 문서 There was actually an approximation in a prior step, when assuming $e^{i k r}/r$ a real wave. In fact, this is not a real solution to the vector [[Helmholtz equation]], but to the scalar one. See [[scalar wave approximation]].
_[6] 서적 Principles of Optics Cambridge University Press 1999

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