평균율

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1. 개요
2. 역사
3. 12평균율
- 3.1. 수학적 계산
- 3.2. 순정률과의 비교
4. 12평균율 외의 평균율
- 4.1. 5, 7, 9음 평균율
- 4.2. 기타 평균율
참조

1. 개요

평균율은 음높이를 균등하게 분할하는 조율 방식으로, 1584년 주재우가 2의 12제곱근에 기초한 계산법을 제시하며 그 역사가 시작되었다. 중국, 일본, 유럽 등지에서 다양한 형태로 발전해 왔으며, 특히 12평균율은 옥타브를 12개의 반음으로 나누는 방식으로, 모든 조에서 자유롭게 연주하고 조바꿈할 수 있게 해준다. 12평균율 외에도 5, 7, 19, 22, 31, 53 등 다양한 평균율이 존재하며, 미분음이나 젠하모닉 음악에 사용된다. 하지만 12평균율은 순정율에 비해 음정의 오차가 발생하며, 장 자크 루소, 구스타프 말러, 해리 파치 등은 평균율을 비판하기도 했다.

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평균율
개요
일반 정보
영어 명칭	Equal temperament
설명	음정 간의 비율이 일정한 음률 체계
역사적 맥락
설명	12평균율은 16세기부터 이론적으로 논의되었고, 18세기에 실용화되었다고 여겨진다.
대표적인 예시	바흐의 평균율 클라비어곡집
종류
종류	}} }} }} }} .}}
관련 정보
특징	완전5도를 약간 좁혀서 모든 조에서 자유로운 전조가 가능하도록 한다.
오차	특정 간격에서 오차가 발생한다.

2. 역사

12평균율은 옥타브를 동일한 크기의 12개 간격으로 나누는 음계로, 오늘날 서양 음악에서 가장 널리 사용된다. 1584년 주재어와 1585년 시몬 스테빈은 평균율의 정확한 계산을 제시한 인물로 알려져 있다.^[6] 그러나 이들의 업적에 대해서는 이견도 존재한다. 케네스 로빈슨은 주재어가 평균율을 처음으로 발명했다고 주장하는 반면, 쿠트너는 주재어와 스테빈 모두 평균율을 제대로 구현하지 못했으며 누구도 발명자로 인정해서는 안 된다고 주장한다.

이론적인 연구 외에도 1옥타브를 12등분하는 것보다 더 세밀하게 분할하는 다양한 평균율이 만들어졌다.^[51] 이러한 음계는 주로 미분음 및 젠하모닉 음악과 관련하여 활용된다. 보잔켓은 1876년에 53 평균율을 사용하여 1옥타브에 53개의 건반을 가진 악기를 발표했지만, 연주가 어려워 실용화되지는 못했다.

현재 터키 고전 음악에서는 9:8 음정비의 온음을 9등분한 음정을 최소 음정으로 사용하는데, 이는 53 평균율과 매우 유사하다. 그 외에도 15 평균율, 17 평균율, 19 평균율, 22 평균율, 31 평균율, 34 평균율, 41 평균율, 53 평균율, 72 평균율, 5 평균율, 7 평균율 등이 있다.

2. 1. 중국

명나라 후기 주재우(1536년 - 1611년)는 전통적인 십이율 계산법인 삼분손익법을 비판하고, 만력 12년(1584년)에 『율학신설』에서 "신법밀률"을 제창했다.^[40] 이는 2의 12제곱근에 기초한 평균율 계산의 최초 사례이다. 주재우는 옥타브를 제곱근으로 2등분하여 증4도/감5도(3온음)를 얻고, 다시 제곱근으로 2등분하여 단3도(1온음과 반음)를 얻은 후, 세제곱근으로 3등분하여 단2도(반음)를 얻는 방식으로 계산했다. 그는 이 계산 결과를 25자리의 숫자로 기록했다.

이러한 배경에는 전한 말 경방이 피타고라스 콤마를 인식한 것이 있었다. 경방은 삼분손익법을 반복하여 정밀도를 높인 육십률을 만들었고, 남북조 시대 송나라의 전락지는 더 나아가 삼백육십률을 만들었으나, 너무 복잡하여 실제 음악 연주에는 사용되지 않았다. 원가 24년(447년)경 하승천(370년 - 447년)은 피타고라스 콤마를 12율에 분산시키는 시도를 했다. 이는 평균율과는 다르지만, 삼분손익법을 절대시하던 기존 관점에서 벗어난 것이다.

이론적인 시도 외에도, 실천가들은 현실적인 해결책을 찾고 있었다. 태시 10년(275년), 이론가 순욱, 장화와 연주가 열화 사이에 논쟁이 있었다. 이론적인 논쟁에 대해, 열화는 피리 가문의 비법으로 문제없이 조율할 수 있다고 주장했다. 주재우 역시 "속공의 구전, 좇아 옴을 알지 못하나, 의심컨대 옛 사람의 유법은 이와 같으리라.... 그 아래 천박함을 가지고 이를 소홀히 해서는 안 된다" (『율학신설』 권1 "밀률율도상구", 호리이케, 2010에서 전재)라고 언급하며, 당시 실천가들이 경험적으로 십이 평균율에 가까운 기법을 사용했을 가능성을 제시했다.

그러나 주재우 이후 그의 이론은 정착되지 못했다. 청나라 강희제의 명으로 편찬된 『율려정의』 전편에서는 그의 이론을 일부 수용했지만, 결국 전통적인 삼분손익법을 채택했다(다나카, 2015).

2. 2. 일본

일본에서는 와산가(和算家) 나카네 겐케이가 《율원발휘(律原発揮, 1692)에서 12평균율 계산법을 발표했다. 카르나틱 음악(남인도 고전 음악)의 이론가 벤카타마키는 17세기에 옥타브를 12반음으로 나누는 72 멜라카르타 이론을 제시했다.^[17]

2. 3. 유럽

시몬 스테빈은 12음 12 제곱근에 기초한 12평균율을 최초로 개발했으며, 이 내용은 사후인 1884년에 출판된 ''Van de Spiegheling der singconst''에 설명되어 있다.^[21]

발현 악기 연주자(류트 연주자 및 기타 연주자)는 일반적으로 평균율을 선호했으며,^[22] 다른 연주자들은 의견이 분분했다.^[23] 결국 12음 평균율이 승리했다. 이를 통해 이명 동음 조바꿈, 새로운 스타일의 대칭적 조성 및 다조성, 무조 음악 (12음 기법 또는 총렬주의로 작곡된 음악)과 재즈 (적어도 피아노 부분)가 발전하고 번창할 수 있었다.

평균율을 옹호한 최초의 유럽인 중 일부는 류트 연주자인 빈첸초 갈릴레이, 자코모 고르자니스, 프란체스코 스피나치노였으며, 이들은 모두 평균율로 음악을 작곡했다.^[17]^[18]^[19]^[20]

3. 12평균율

12평균율은 옥타브를 12개의 동일한 반음으로 나누는 음률 체계이다. 각 반음의 주파수 비는 2의 12제곱근( $\sqrt[12]{2}:1$ , 약 1.059463)이며,^[39] 이는 100센트에 해당한다.

12평균율은 모든 조에서 연주와 조바꿈, 이조가 자유롭다는 장점이 있지만,^[39] 순정 음정에 비해 오차가 발생한다.^[39] 특히 완전 5도는 순정 음정보다 약간 좁고, 장3도와 단3도는 차이가 크다.^[39]

기타와 같은 프렛 방식 현악기는 평균율에 친화적이며, 모노코드 등에서는 기하학적으로 현의 분할점을 설정하여 평균율을 실현할 수 있다. 반면, 건반 악기 등은 조율이 쉽지 않다.^[39]

다음은 12평균율과 순정 음정의 음정 값을 비교한 표이다.

음정	12 평균율에 의한 값	수치	센트 값	순정 음정	순정 음정의 센트 값	센트 값의 차이 (순정)-(평균)
온음	$2^{0/12} = 1$	1.000000	0	$\frac{1}{1}$	0.00	0
단2도	$2^{1/12} = \sqrt[12]{2}$		100	$\tfrac{16}{15}$
장2도	$2^{2/12} = \sqrt[6]{2}$		200	$\tfrac{9}{8}$
단3도	$2^{3/12} = \sqrt[4]{2}$		300	$\tfrac{6}{5}$
장3도	$2^{4/12} = \sqrt[3]{2}$		400	$\tfrac{5}{4}$
완전4도	$2^{5/12} = \sqrt[12]{32}$		500	$\tfrac{4}{3}$
트라이톤	$2^{6/12} = \sqrt{2}$		600	$\tfrac{45}{32}$
완전5도	$2^{7/12} = \sqrt[12]{128}$		700	$\tfrac{3}{2}$
단6도	$2^{8/12} = \sqrt[3]{4}$		800	$\tfrac{8}{5}$
장6도	$2^{9/12} = \sqrt[4]{8}$		900	$\tfrac{5}{3}$
단7도	$2^{10/12} = \sqrt[6]{32}$		1000	$\tfrac{16}{9}$
장7도	$2^{11/12} = \sqrt[12]{2048}$		1100	$\tfrac{15}{8}$
8도	$2^{12/12} = 2$	2.000000	1200	$\tfrac{2}{1}$	1200.00	0

12평균율에 대한 비판도 존재한다.

장 자크 루소는 저서 『근대 음악론 연구^[47]』에서 12평균율을 비판했다.
구스타프 말러는 중전음율 조율이 사라진 것을 서양 음악에 큰 손실이라고 한탄했다.
프란츠 뷔르너는 1875년에 발표한 『콜 유붕겐』의 서문에서 평균율에 따른 피아노에 의존해서는 올바른 음정을 기대할 수 없다고 비판했다.
막스 베버는 『음악 사회학^[48]^[49]^[50]』에서 피아노로 음감 훈련을 하게 되면서 정밀한 청각을 얻을 수 없다고 기술했다.
해리 파치, 루 해리슨, 라 몬테 영 등 현대 음악에서 12평균율을 사용하지 않는 시도가 이루어지고 있다.

3. 1. 수학적 계산

12평균율에서 음의 주파수 (

P_n

)을 찾는 공식은 다음과 같다.

:

\ P_n = P_a\ \cdot\ \Bigl(\ \sqrt[12]{2\ }\ \Bigr)^{ n-a }\

이 공식에서

P_n

은 찾으려는 음고 또는 주파수(일반적으로 헤르츠)이다.

P_a

는 기준 음고의 주파수이다. 인덱스 숫자

n

과

a

는 원하는 음고(

n

)와 기준 음고(

a

)에 할당된 레이블이다. 이 두 숫자는 연속적인 반음을 나타내는 연속적인 정수의 목록에서 가져온 것이다. 예를 들어, A₄ (기준 음고)는 피아노의 왼쪽 끝에서 49번째 건반이며(440 Hz로 조율됨), C₄ (가운데 C), F₄는 각각 40번째와 46번째 건반이다. 이 숫자를 사용하여 C₄와 F₄의 주파수를 찾을 수 있다.

:

P_{40} = 440\ \text{Hz}\ \cdot\ \Bigl( \sqrt[12]{2}\ \Bigr)^{(40-49)} \approx 261.626\ \text{Hz}\

:

P_{46} = 440\ \text{Hz}\ \cdot\ \Bigl( \sqrt[12]{2}\ \Bigr)^{(46-49)} \approx 369.994\ \text{Hz}\

3. 2. 순정률과의 비교

12음 평균율의 음정은 순정률의 일부 음정과 거의 일치한다.^[24] 5도와 4도는 순정률 음정과 거의 구별할 수 없을 정도로 가깝지만, 3도와 6도는 더 멀다.

다음 표는 다양한 순정율 음정의 크기를 평균율에 맞춰 비율과 센트로 비교한 것이다.

음정 이름	12음 평균율의 정확한 값	12음 평균율의 십진수 값	음높이 (센트)	순정율 음정	순정율의 센트	12음 평균율 센트 튜닝 오차
으뜸음(C)	1	1	0	1/1 = 1	0	0
단2도 (D♭)	$\sqrt[12]{2}$		100	16/15 = 1.06666...
장2도 (D)	$\sqrt[6]{2}$		200	9/8 = 1.125
단3도 (E♭)	$\sqrt[4]{2}$		300	6/5 = 1.2
장3도 (E)	$\sqrt[3]{2}$		400	5/4 = 1.25		+
완전4도 (F)	$\sqrt[12]{32}$		500	4/3 = 1.33333...		+
감5도 (G♭)	$\sqrt{2}$		600	64/45= 1.42222...
완전5도 (G)	$\sqrt[12]{128}$		700	3/2 = 1.5
단6도 (A♭)	$\sqrt[3]{4}$		800	8/5 = 1.6
장6도 (A)	$\sqrt[4]{8}$		900	5/3 = 1.66666...		+
단7도 (B♭)	$\sqrt[6]{32}$		1000	16/9 = 1.77777...		+
장7도 (B)	$\sqrt[12]{2048}$		1100	15/8 = 1.875		+
옥타브 (c)	2	2	1200	2/1 = 2	1200.00	0

4. 12평균율 외의 평균율

소니도 13 외에도 다양한 평균율 체계가 이론적으로 연구되거나 실제 음악에 사용되었다. 다음은 그 예시이다.

19평균율(19 EDO): 많은 악기가 이 조율을 사용한다. ⅓ 콤마 벱톤과 같으며, 완전 5도는 약간 낮지만(695센트) 단 3도와 장 6도는 순정에서 1/5센트 미만이다. 완전 4도(505센트)는 순정 음정보다 7센트 높고, 12평균율보다 5센트 높다.
22평균율(22 EDO): superpyth 음계(7:4와 16:9가 동일)를 표현하는 가장 정확한 EDO 중 하나이며, 고슴도치 음계에 최적 생성자에 가깝다. 5도가 높아 장 3도와 단 3도는 supermajor 3도(9/7)와 subminor 3도(7/6)가 된다.
23평균율(23 EDO): 3, 5, 7, 11 배음(3:2, 5:4, 7:4, 11:8)을 20센트 이내로 근사하지 못하는 가장 큰 EDO이지만, 그 사이의 일부 비율(예: 6:5 단 3도)을 매우 잘 근사하여 독특한 화성 영역을 찾는 마이크로톤 음악가에게 매력적이다.
24평균율(24 EDO): 4분음 음계라고도 불리며, 표준 서양 12 EDO 음높이 및 표기법에 익숙하면서 마이크로톤에 관심 있는 작곡가에게 편리하다. 찰스 아이브스를 포함한 다양한 작곡가들이 4분음 피아노 음악을 실험했다.
26 EDO: log₂(7)에 대한 수렴의 분모이며, 7번째 배음(7:4)을 0.5센트 미만 오차로 조율한다.
27 EDO: 처음 8개 배음을 포함하는 모든 음정을 고유하게 나타내는 옥타브의 동일 분할 수 중 가장 낮다.
29평균율(29 EDO): 완전 5도가 12평균율보다 순정에 더 가까운 옥타브의 동일 분할 수 중 가장 낮다(5도는 1.5센트 샤프 대신 2센트 플랫).
31평균율(31 EDO): 크리스티안 호이겐스와 아드리안 포커가 옹호했으며 4분 콤마 벱톤을 평균율로 수정한 것이다. 19평균율과 유사하게 완전 5도는 12평균율만큼 정확하지 않지만, 장 3도와 단 6도는 순정에서 1센트 미만이다.
34평균율(34 EDO): 3:2, 5:4, 6:5 및 그 역에 대한 근사치 총 결합 오차가 31 EDO보다 약간 낮다.
41평균율(41 EDO): 29 EDO 및 12 EDO보다 더 나은 완전 5도를 가진다.
46 EDO: 장 3도와 완전 5도를 모두 순정에서 약간 샤프하게 제공한다.
53평균율(53 EDO): 가끔 사용되었지만, 12, 19 또는 31 EDO보다 전통 순정 음정의 일치를 더 잘 근사한다. 매우 정확한 완전 5도는 이를 확장 피타고라스 조율과 동일하게 만든다.
58평균율(58 EDO): 29 EDO의 복제본이며, 포함된 음계로 포함하고 있다.
72평균율(72 EDO): 많은 순정 음정을 잘 근사하며, 3, 5, 7, 11번째 배음에 대한 순정에 가까운 등가물을 제공한다. 조 매너리와 그의 학생들에 의해 가르치고, 쓰고, 실제로 연주되었다.
96평균율(96 EDO): 모든 음정을 6.25센트 이내로 근사하며, 이는 거의 구별 불가능하다. 훌리안 카리요가 옹호했다.^[34]

13 EDO, 15 EDO, 17 EDO, 55 EDO를 포함하여 옥타브의 다른 동일 분할도 가끔 사용되었다.

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200, ... 은 완전 5도를 점점 더 잘 근사하는 옥타브 분할 시퀀스이다.

4. 1. 5, 7, 9음 평균율

5평균율과 7평균율은 인도네시아 가믈란 음악(슬렌드로, 펠로그), 태국 전통 음악 등에서 사용된다. 펠로그는 9음 평균율로 분석되기도 한다.^[26]

5음 평균율과 7음 평균율은 각각 240센트 및 171센트 간격으로 비교적 흔하게 사용된다.

쿤스트(1949)에 따르면, 인도네시아 가믈란은 5음계로 조율되지만, 후드(1966)와 맥피(1966)에 따르면 조율이 매우 다양하며, 텐저(2000)에 따르면 늘어난 옥타브를 포함한다. 현재 가믈란 음악의 두 가지 주요 조율 체계인 슬렌드로와 펠로그 중 슬렌드로만이 5음 평균율과 어느 정도 유사하며, 펠로그는 매우 불균등하다는 것이 받아들여지고 있다. 그러나 1972년 수르조디닝라트, 수다르자나, 수산토는 펠로그를 9음계와 동일한 것으로 분석했다(133센트 간격).^[26]

1974년 모튼(Morton)이 측정한 태국 실로폰은 7음 평균율에서 "플러스 또는 마이너스 5센트" 정도의 편차를 보였다.^[27]

4. 2. 기타 평균율

19, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 31, 34, 41, 46, 53, 58, 72, 96 평균율 등 다양한 평균율 체계가 존재한다. 각 평균율은 고유한 음정 근사치와 특징을 가진다.

19음 평균율(19 EDO): 많은 악기가 19 EDO 조율을 사용한다. ⅓ 콤마 벱톤과 같으며, 완전 5도는 약간 낮지만(695센트) 단 3도와 장 6도는 순정에서 1/5센트 미만이다. 232 EDO가 19 EDO보다 더 나은 단 3도와 장 6도를 생성하는 가장 낮은 EDO이다. 완전 4도(505센트)는 순정 음정보다 7센트 높고, 12 EDO보다 5센트 높다.

22음 평균율(22 EDO): 22 EDO는 superpyth 음계(7:4와 16:9가 동일)를 표현하는 가장 정확한 EDO 중 하나이며, 고슴도치 음계에 최적 생성자에 가깝다. 5도가 높아 장 3도와 단 3도는 supermajor 3도(9/7)와 subminor 3도(7/6)가 된다. 고전적인 장 3도와 단 3도(5/4 및 6/5)는 서로 더 가깝다.

23음 평균율(23 EDO): 23 EDO는 3, 5, 7, 11 배음(3:2, 5:4, 7:4, 11:8)을 20센트 이내로 근사하지 못하는 가장 큰 EDO이지만, 그 사이의 일부 비율(예: 6:5 단 3도)을 매우 잘 근사하여 독특한 화성 영역을 찾는 마이크로톤 음악가에게 매력적이다.

24음 평균율(24 EDO): 4분음 음계라고도 불리는 24 EDO는 표준 서양 12 EDO 음높이 및 표기법에 익숙하면서 마이크로톤에 관심 있는 작곡가에게 편리하다. 24 EDO에는 12 EDO의 모든 음높이가 포함되어 12음 화성을 유지하며 추가 음색을 사용할 수 있다. 24가 12의 배수이므로 두 대의 12 EDO 악기를 4분음 간격으로 조율하는 등(예: 두 대의 피아노) 악기적으로 쉽게 얻을 수 있다. 찰스 아이브스를 포함한 다양한 작곡가들이 4분음 피아노 음악을 실험했다. 24 EDO는 12 EDO와 달리 11번째와 13번째 배음을 매우 잘 근사한다.

26 EDO: 26은 log₂(7)에 대한 수렴의 분모이며, 7번째 배음(7:4)을 0.5센트 미만 오차로 조율한다. 벱톤 음계이지만, 5도 4개가 장 3도를 17센트 플랫(11:9 중립 3도와 동일)하게 만드는 매우 플랫한 음계이다. 26 EDO에는 두 개의 단 3도와 두 개의 단 6도가 있으며 바버샵 하모니의 대체 음계가 될 수 있다.

27 EDO: 27은 처음 8개 배음을 포함하는 모든 음정을 고유하게 나타내는 옥타브의 동일 분할 수 중 가장 낮다. 셉티멀 콤마는 감하지만, 신토닉 콤마는 감하지 않는다.

29음 평균율(29 EDO): 29는 완전 5도가 12 EDO보다 순정에 더 가까운 옥타브의 동일 분할 수 중 가장 낮다(5도는 1.5센트 샤프 대신 2센트 플랫). 고전 장 3도는 12 EDO와 대략 비슷하게 부정확하지만, 14센트 샤프 대신 14센트 플랫으로 조율된다. 7, 11, 13번째 배음을 대략 같은 양으로 플랫하게 조율하여 7:5, 11:7, 13:11과 같은 음정을 매우 정확하게 맞출 수 있다. 29음정을 반으로 나누면 58 EDO가 되어 일부 순정 음에 대한 오차가 줄어든다.

31음 평균율(31 EDO): 크리스티안 호이겐스와 아드리안 포커가 옹호했으며 4분 콤마 벱톤을 평균율로 수정한 것이다. 31 EDO는 12 EDO만큼 정확한 완전 5도를 가지지 않지만(19 EDO와 유사), 장 3도와 단 6도는 순정에서 1센트 미만이다. 7번째 배음이 특히 정확한 11까지의 배음에 대한 좋은 일치를 제공한다.

34음 평균율(34 EDO): 34 EDO는 3:2, 5:4, 6:5 및 그 역에 대한 근사치 총 결합 오차가 31 EDO보다 약간 낮다(5:4에 대한 일치가 약간 덜 정확함에도 불구). 34 EDO는 7번째 배음 또는 7을 포함하는 비율을 정확하게 근사하지 않으며, 5도가 플랫 대신 샤프이므로 벱톤이 아니다. 34는 짝수이므로 600센트 트라이톤을 가능하게 한다.

41음 평균율(41 EDO): 41은 29 EDO 및 12 EDO보다 더 나은 완전 5도를 가진 다음 EDO이다. 고전 장 3도도 6센트 플랫으로 더 정확하다. 벱톤 음계가 아니므로, 31 EDO와 달리 10:9와 9:8을 고전적, 피타고라스적 장 3도와 함께 구별한다. 13 제한에서 31 EDO보다 더 정확하다.

46 EDO: 46 EDO는 장 3도와 완전 5도를 모두 순정에서 약간 샤프하게 제공하며, 많은 사람들이 이것이 장 3화음에 특징적인 밝은 소리를 준다고 말한다. 17까지 주요 배음은 모두 6센트 이내 정확도를 가지며, 10:9와 9:5는 순정에서 1/5센트 떨어져 있다. 벱톤 시스템이 아니므로 10:9와 9:8을 구별한다.

53음 평균율(53 EDO): 53 EDO는 가끔 사용되었지만, 12, 19 또는 31 EDO보다 전통 순정 음정의 일치를 더 잘 근사한다. 매우 정확한 완전 5도는 이를 확장 피타고라스 조율과 동일하게 만든다. 53은 log₂(3)에 대한 수렴의 분모이다. 정확한 5도 주기와 다목적 콤마 단계를 사용하여 53 EDO는 터키 음악 이론에 사용되었다. 벱톤 음계가 아니므로, 5도를 쌓아 좋은 3도를 쉽게 얻을 수 없다. 대신, 모든 분열적 조율법과 마찬가지로, 매우 일치하는 3도는 8개의 완전 4도를 쌓아 얻는 피타고라스 감음 4도(C-F)로 표현된다. 또한 클라이스마를 감하여 6개의 단 3도(6:5)를 쌓아 5도를 얻을 수 있다.

58음 평균율(58 EDO): 58 EDO는 29 EDO의 복제본이며, 포함된 음계로 포함하고 있다. 29 EDO와 마찬가지로 7:4, 7:5, 11:7, 13:11과 같은 음정을 매우 정확하게 일치시킬 수 있으며, 순정 3도와 6도를 더 잘 근사할 수도 있다.

72음 평균율(72 EDO): 72 EDO는 많은 순정 음정을 잘 근사하며, 3, 5, 7, 11번째 배음에 대한 순정에 가까운 등가물을 제공한다. 조 매너리와 그의 학생들(무조적 경향이 있는 사람들은 일반적으로 순정 음정에 대한 언급을 피함)에 의해 가르치고, 쓰고, 실제로 연주되었다. 12의 배수이므로 72 EDO는 12 EDO의 확장으로 간주할 수 있으며, 다른 음높이에서 시작하는 12 EDO의 6개 복사본, 24 EDO의 3개 복사본 및 36 EDO의 2개 복사본을 포함한다.

96음 평균율(96 EDO): 96 EDO는 모든 음정을 6.25센트 이내로 근사하며, 이는 거의 구별 불가능하다. 12의 8배수이므로 일반 12 EDO와 완전히 동일하게 사용 가능하다. 훌리안 카리요가 옹호했다.^[34]

13 EDO, 15 EDO, 17 EDO, 55 EDO를 포함하여 옥타브의 다른 동일 분할도 가끔 사용되었다.

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 및 15601은 log₂(3)의 첫 번째 수렴의 분모이므로, 해당 평균율에서 정수 옥타브 수와 같다. 따라서 더 적은 음을 가진 평균율보다 순정 12음/5도의 더 나은 근사치이다.^[35]^[36]

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200, ... 은 완전 5도를 점점 더 잘 근사하는 옥타브 분할 시퀀스이다.

참조

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