하이패스 필터

1. 개요

하이패스 필터는 특정 주파수 이상의 신호는 통과시키고, 그 이하의 신호는 감쇠시키는 필터이다. 가장 간단한 형태는 저항과 콘덴서로 구성되며, 연산 증폭기를 사용한 능동 필터로도 구현할 수 있다. 하이패스 필터는 스피커의 트위터 보호, 오디오 럼블 필터, AC 커플링, 믹싱 콘솔 등 오디오 분야와 이미지 처리, DC 블로킹 필터 등 다양한 분야에 활용된다.

2. 역사적 배경

하이패스 필터는 특정 주파수보다 낮은 주파수 성분을 감쇠시키고 더 높은 주파수 성분은 통과시키는 전자 회로이다. 이는 특정 주파수보다 높은 주파수를 감쇠시키는 로우패스 필터와 대조되며, 특정 주파수 대역을 통과시키고 대역보다 높거나 낮은 주파수를 모두 감쇠시키는 대역 통과 필터와도 대조된다.

광학에서 하이패스 필터는 특정 파장보다 긴 빛을 통과시키고 더 짧은 파장의 빛은 감쇠시키는 유색 물질로 만들어진 창이다. 빛은 주파수 대신 파장으로 측정되는 경우가 많기 때문에, 차단 주파수보다 낮은 빛의 주파수를 감쇠시키는 하이패스 광학 필터는 종종 쇼트패스 필터라고 불리며, 더 긴 파장을 감쇠시킨다.

3. 종류 및 회로 구성

하이패스 필터는 회로 구성 방식에 따라 다양한 종류로 나뉜다.

크게 수동 필터와 능동 필터로 구분되며, 1차 필터와 고차 필터로도 분류할 수 있다. 1차 필터는 저항(R)과 커패시터(C)를 직렬 연결한 RC 회로나 저항(R)과 인덕터(L)를 직렬 연결한 RL 회로로 구현 가능하다. 연산 증폭기를 활용하면 능동형 하이패스 필터를 만들 수 있다. 1차 하이패스 필터는 차단 주파수보다 현저히 낮은 주파수 대역에서 미분기처럼 동작한다.

고차 필터는 차단 대역에서 더 가파른 기울기(20n dB/decade, n은 필터 차수)를 가진다. 1차 필터를 직렬 연결하여 구현할 수 있는데, 수동 필터는 임피던스 정합을 고려해야 하지만 능동 필터는 연산 증폭기가 신호를 복원하므로 연결이 쉽다. 다양한 전자 필터 토폴로지와 네트워크 합성 필터가 존재한다.

연속 시간 하이패스 필터를 이산 시간으로 샘플링하여 디지털 필터 형태로 구현할 수도 있다.

3.1. 1차 연속시간 회로

1차 연속시간 회로는 가장 기본적인 하이패스 필터 형태로, 저항(R)과 커패시터(C)를 직렬로 연결하거나(RC 회로), 저항(R)과 인덕터(L)를 직렬로 연결하여(RL 회로) 구현할 수 있다.

RC 회로로 구현된 수동 하이패스 필터는 커패시터와 저항을 직렬로 연결하고, 저항 양단의 전압을 출력으로 사용한다. 연산 증폭기를 사용하면 능동형 하이패스 필터를 구현할 수 있는데, 이 경우 고주파 신호가 R₂/R₁에 의해 반전 및 증폭된다.

이러한 1차 하이패스 필터는 필터의 차단 주파수보다 훨씬 낮은 주파수 대역의 신호에 대해 미분을 수행하기 때문에 미분기라고 불리기도 한다.

3.1.1. 수동 필터 (Passive Filter)

RC 회로를 이용한 수동 하이패스 필터는 커패시터와 저항의 직렬 조합에 입력 전압을 가하고 저항 양단의 전압을 출력으로 사용한다. 이 선형 시불변 시스템의 전달 함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{V\_\{\backslash rm\; out\}(s)\}\{V\_\{\backslash rm\; in\}(s)\}=\backslash frac\{sRC\}\{1+sRC\}.$

저항과 커패시턴스의 곱(R×C)은 시정수(τ)이며, 이는 차단 주파수 f_c에 반비례한다.

:$f\_c\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\; \backslash tau\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\; R\; C\},\backslash ,$

여기서 f_c는 헤르츠, τ는 초, R는 옴, C는 패럿이다. 필터의 주파수 응답은 차단 주파수에서 무한 주파수를 기준으로 -3dB에 도달한다.

가장 간단한 형태의 하이패스 필터는 입력 신호에 병렬로 연결된 저항과 입력 신호와 직렬로 연결된 콘덴서로 구성된다. 차단 주파수의 신호를 입력했을 때 출력 전압은 입력 전압의 절반(-3 dB)이 된다. 차단 주파수 f[Hz], 시정수 τ[s], 저항값 R[Ω], 용량값 C[F]의 관계는 다음과 같다.

:$f\; =\{1\; \backslash over\; 2\; \backslash pi\; \backslash tau\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\; \backslash pi\; R\; C\}$

전압 이득의 주파수 특성은 다음과 같다.

:$\backslash frac$

3.1.2. 능동 필터 (Active Filter)

연산 증폭기를 사용한 1차 능동 하이패스 필터는 오른쪽 그림과 같다. 이 필터는 능동 회로이므로 필터의 이득이 상수형이 아닐 수 있다. 즉, 고주파 신호가 반전되어 R₂/R₁만큼 증폭될 수 있다.

이 선형 시불변 시스템의 전달 함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{V\_\{\backslash rm\; out\}(s)\}\{V\_\{\backslash rm\; in\}(s)\}=\backslash frac\{-sR\_2C\}\{1+sR\_1C\}.$

필터는 통과 대역에서 -R₂/R₁의 이득을 가지며, 차단 주파수는 다음과 같다.

:$f\_c\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\; \backslash tau\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\; R\_1\; C\},\backslash ,$

3.2. 고차 필터

고차 필터는 차단 대역에서 더 가파른 기울기를 가지며, n차 필터의 기울기는 20n dB/decade(데시벨/디케이드)이다. 고차 필터는 1차 필터를 직렬로 연결하여 구현할 수 있다. 수동 필터를 연결할 때는 임피던스 정합 및 부하를 고려해야 하지만, 능동 필터는 각 단계에서 연산 증폭기의 출력으로 신호가 복원되므로 쉽게 연결할 수 있다. 설계를 용이하게 하는 다양한 전자 필터 토폴로지와 고차 필터용 네트워크 합성 필터가 존재한다.

3.3. 이산 시간 해석

연속 시간 하이패스 필터를 이산 시간으로 샘플링하여 디지털 필터 형태로 구현할 수 있다. 우선, RC 회로에서 키르히호프의 전기회로 법칙과 전기용량을 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:$\backslash begin\{cases\}$
V_{\text{out}}(t) = I(t)\, R &\text{(V)}\\
Q_c(t) = C \, \left( V_{\text{in}}(t) - V_{\text{out}}(t) \right) &\text{(Q)}\\
I(t) = \frac{\operatorname{d} Q_c}{\operatorname{d} t} &\text{(I)}
\end{cases}

여기서 $Q\_c(t)$는 $t$ 시간에 축전지에 충전되어 있는 전하량이다. 위 식에서 (Q) 식을 (I) 식에, (I) 식을 (V) 식에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

:$V\_\{\backslash text\{out\}\}(t)\; =\; \backslash overbrace\{C\; \backslash ,\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{d\}\; V\_\{\backslash text\{in\}\}\}\{\backslash operatorname\{d\}t\}\; -\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{d\}\; V\_\{\backslash text\{out\}\}\}\{\backslash operatorname\{d\}t\}\; \backslash right)\}^\{I(t)\}\; \backslash ,\; R\; =\; R\; C\; \backslash ,\; \backslash left(\; \backslash frac\{\; \backslash operatorname\{d\}\; V\_\{\backslash text\{in\}\}\}\{\backslash operatorname\{d\}t\}\; -\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{d\}\; V\_\{\backslash text\{out\}\}\}\{\backslash operatorname\{d\}t\}\; \backslash right)$

이 방정식을 이산화하면 다음과 같은 점화식 형태를 얻을 수 있다.

:$y\_i\; =\; \backslash overbrace\{\backslash frac\{RC\}\{RC\; +\; \backslash Delta\_T\}\; y\_\{i-1\}\}^\{\backslash text\{이전\; 입력의\; 감쇠\; 기여\}\}\; +\; \backslash overbrace\{\backslash frac\{RC\}\{RC\; +\; \backslash Delta\_T\}\; \backslash left(\; x\_i\; -\; x\_\{i-1\}\; \backslash right)\}^\{\backslash text\{입력\; 변화의\; 기여\}\}$

이를 정리하면, 1차 연속시간 RC 필터의 이산 시간 구현은 다음과 같다.

:$y\_i\; =\; \backslash alpha\; y\_\{i-1\}\; +\; \backslash alpha\; (x\_\{i\}\; -\; x\_\{i-1\})\; \backslash qquad\; \backslash text\{여기서\}\; \backslash qquad\; \backslash alpha\; \backslash triangleq\; \backslash frac\{RC\}\{RC\; +\; \backslash Delta\_T\}$

정의에 따라 $0\; \backslash leq\; \backslash alpha\; \backslash leq\; 1$이다. 여기서 $\backslash alpha$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$RC\; =\; \backslash Delta\_T\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{1\; -\; \backslash alpha\}\; \backslash right)$

또한,

:$f\_c=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; RC\}$ 이므로 $RC=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; f\_c\}$

따라서, $\backslash alpha$와 차단 주파수 $f\_c$는 다음과 같은 관계를 가진다.

:$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; \backslash Delta\_T\; f\_c\; +\; 1\}$
:$f\_c=\backslash frac\{1-\backslash alpha\}\{2\backslash pi\; \backslash alpha\; \backslash Delta\_T\}$

알고리즘 구현

다음은 일정한 간격의 샘플을 가정하여, 디지털 샘플에 대한 하이패스 필터의 효과를 시뮬레이션하는 의사 코드 알고리즘이다.

```
// 입력 샘플, 시간 간격 dt, 시정수 RC가 주어졌을 때 RC 하이패스 필터 출력 샘플 반환
function highpass(real[1..n] x, real dt, real RC)
var real[1..n] y
var real α := RC / (RC + dt)
y[1] := x[1]
for i from 2 to n
y[i] := α × y[i−1] + α × (x[i] − x[i−1])
return y
```

위 코드는 다음과 같이 리팩토링할 수 있다.

```
for i from 2 to n
y[i] := α × (y[i−1] + x[i] − x[i−1])
```

여기서 α 값에 따라 필터의 특성이 달라진다.

* 큰 α: 출력은 매우 느리게 감소하지만, 입력의 작은 변화에도 큰 영향을 받는다. 이는 필터의 코너 주파수가 낮고, 정지 대역이 좁은 하이패스 필터에 해당한다.
* 작은 α: 출력은 빠르게 감소하고, 출력을 크게 변화시키려면 입력에 큰 변화가 필요하다. 이는 필터의 코너 주파수가 높고, 정지 대역이 넓은 하이패스 필터에 해당한다.

4. 전달 함수

RC 회로로 구현한 하이패스 필터는 입력 전압에 저항기와 축전기를 직렬로 연결하고 저항기의 전압을 출력 전압으로 사용한다. 이 선형 시불변 시스템의 전달 함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{V\_\{\backslash rm\; out\}(s)\}\{V\_\{\backslash rm\; in\}(s)\}=\backslash frac\{sRC\}\{1+sRC\}.$

저항과 캐패시턴스(정전 용량)의 곱(R×C)은 시간 상수(τ)이며, 이는 차단 주파수 f_c와 반비례한다.

:$f\_c\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\; \backslash tau\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\; R\; C\},\backslash ,$

차단 주파수는 필터의 극점이 필터의 주파수 응답을 벗어나는 지점의 주파수이다.

연산 증폭기를 사용한 능동 하이패스 필터의 전달 함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{V\_\{\backslash rm\; out\}(s)\}\{V\_\{\backslash rm\; in\}(s)\}=\backslash frac\{-sR\_2C\}\{1+sR\_1C\}.$

이 필터는 통과 대역에서 -R₂/R₁의 이득을 가지며, 차단 주파수는 다음과 같다.

:$f\_c\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\; \backslash tau\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\; R\_1\; C\},\backslash ,$

이 회로는 능동 회로이므로 필터의 이득이 상수형이 아닐 수 있다. 고주파 신호는 반전되고 R₂/R₁만큼 증폭될 수 있다.

연속 시간 필터는 라플라스 변환을 사용하여 입출력의 이득과 위상 특성을 전달 함수로 나타낼 수 있다. 하이패스 필터의 전달 함수는 다음과 같다.

:$$
H(s) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = K \frac{s \tau}{1 + s \tau}


여기서 $s\; =\; j\; \backslash omega$는 라플라스 변환의 변수이고, τ는 필터의 시정수, K는 통과 대역에서의 이득이다.

5. 응용 분야

전기 공학에서 필터는 입력 신호에서 특정 주파수 성분을 제거하는 전자 회로이다. 하이패스 필터는 특정 주파수(차단 주파수) 이하의 주파수 성분을 감쇠시키고, 더 높은 주파수 성분은 통과시킨다. 이는 로우패스 필터나 대역 통과 필터와는 다른 특성을 가진다.

광학에서 하이패스 필터는 특정 파장보다 긴 빛을 통과시키고 더 짧은 파장의 빛을 감쇠시키는 투명 또는 반투명 창이다. 빛은 주파수 대신 파장으로 측정되는 경우가 많으므로, 하이패스 광학 필터는 종종 쇼트패스 필터라고 불리기도 한다.

하이패스 필터는 다음과 같이 다양한 분야에서 활용된다.

* 오디오: 스피커를 보호하고, 럼블 필터, AC 커플링, 믹싱 콘솔 등에 사용된다.
* 이미지 처리: 이미지 수정, 개선, 노이즈 감소 등에 사용되며, 언샵 마스킹과 같은 기법에 활용된다.
* 기타: 스피커에서 트위터를 보호하고, 직류(DC) 성분을 제거하는 데 사용된다.

5.1. 오디오

고역 통과 필터는 오디오 분야에서 다음과 같이 다양하게 활용된다.

* 스피커: 고주파수를 트위터로 보내고, 저음 신호를 막아 스피커를 보호한다. 오디오 크로스오버의 일부로 사용되며, 스피커 캐비닛에 내장될 경우 우퍼용 저역 통과 필터와 함께 커패시터 및 인덕터를 사용하여 구성한다. 직렬 커패시터만으로도 간단한 고역 통과 필터를 만들 수 있다. 바이 앰프를 액티브 RC 필터나 각 스피커에 별도 전력 증폭기를 사용하는 액티브 디지털 필터와 결합하면 인덕터 없이도 고품질 사운드를 얻을 수 있다. 이러한 저전류 및 저전압 라인 레벨 크로스오버를 액티브 크로스오버라고 부른다.

* 럼블 필터: 가청 주파수 범위 하단 근처 또는 그 이하의 원치 않는 소리(예: 발소리, 레코드 플레이어 및 테이프 데크 모터 소음)를 제거하는 데 사용된다.

* AC 커플링: 많은 오디오 파워 앰프 입력단에서 AC 커플링을 통해 DC 전류 증폭을 막는다. DC 전류는 앰프 손상, 헤드룸 감소, 스피커 보이스 코일의 폐열 발생을 유발할 수 있다.

* [[믹싱 콘솔]]: 각 채널 스트립에 포함되어 저주파 간섭을 줄이는 역할을 한다. 일부 모델은 80 또는 100 Hz에서 고정 기울기와 고정 주파수를 갖는 고역 통과 필터를 사용한다. Midas Heritage 3000 (20~400 Hz)이나 야마하 M7CL 디지털 믹싱 콘솔 (20~20,000 Hz)처럼 지정된 주파수 범위 내에서 조절 가능한 스위프형 고역 통과 필터를 사용하는 모델도 있다.

* 마이크: 근접 효과 (오디오) (마이크와 음원 간 거리가 가까울 때 저주파가 증폭되는 현상)를 조절하기 위해 사용된다.

5.2. 이미지 처리

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고역 통과 필터와 저역 통과 필터는 디지털 영상 처리에서 이미지 수정, 개선, 노이즈 감소 등을 수행하기 위해 사용되며, 공간 영역 또는 주파수 영역에서 설계된다. 이미지 편집 소프트웨어에서 사용되는 언샵 마스킹(선명하게 하기)은 고부스트 필터(고역 통과 필터의 일반화된 형태)이다.

5.3. 기타

스피커에서 트위터의 간섭 또는 손상을 방지하기 위해 저역을 차단하는 데 사용된다. 오디오에서 파워 앰프 앞에서 분리하는 필터 장치를 채널 디바이더라고 하고, 파워 앰프 후 스피커 바로 앞에서 분리하는 것을 네트워크라고 한다.

대부분의 하이패스 필터는 직류(0Hz)에서 제로 이득이 된다. 이러한 특징을 이용하여 교류 신호에 직류가 중첩된 신호(오프셋이 있는 신호)에서 오프셋을 제거하기 위해 사용되는 하이패스 필터를 DC blocking filter^영어라고 부른다.