델토이드 곡선

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1. 개요
2. 방정식
3. 성질
4. 넓이와 둘레
5. 역사
- 5.1. 초기 연구
- 5.2. 슈타이너 델토이드
6. 응용
참조

1. 개요

델토이드 곡선은 매개변수 방정식으로 표현되는 사이클로이드의 일종으로, 굴러가는 원의 반지름과 굴러가는 원이 굴러가는 원의 반지름에 따라 결정된다. 복소수 좌표계, 데카르트 좌표계, 극좌표계 등 다양한 방식으로 표현 가능하며, 특이점, 종수, 쌍대 곡선 등의 성질을 갖는다. 델토이드 곡선 내부의 넓이는 굴러가는 원의 넓이의 두 배이며, 둘레는 16a이다. 1674년 올레 뢰머에 의해 처음 고안되었으며, 슈타이너 델토이드 또는 슈타이너의 하이포사이클로이드로도 불린다. 행렬 이론, 기하학, 카케야 바늘 문제 등 다양한 수학 분야에서 응용된다.

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델토이드 곡선
개요
델토이드 곡선
종류	루렛
방정식	x = 2a cos(t) + a cos(2t), y = 2a sin(t) - a sin(2t)
특성	대수 곡선 유리 곡선
관련	스타인하우스 곡선
상세 정보
다른 이름	트라이커스포이드
정의	고정된 원 안에서 반지름이 1/3인 원을 굴릴 때 원 둘레의 한 점이 그리는 자취
매개변수 방정식	x = (b - a)cos(t) + a cos((b - a)t/a), y = (b - a)sin(t) - a sin((b - a)t/a) (b = 3a)
대수 방정식	(x^2 + y^2)^2 + 18a^2(x^2 + y^2) - 27a^4 = 8a(x^3 - 3xy^2)
첨점	(a, 0), (-a/2, ±a√3/2)
넓이	πa^2
호 길이	16a
접선	3t = 상수
관련 곡선
일반화	스타인하우스 곡선
특별한 경우	하이포사이클로이드

2. 방정식

델토이드 곡선은 매개변수 방정식으로 다음과 같이 나타내어진다.

:x=2a cos(t)+a cos(2t)

:y=2a sin(t)-a sin(2t)

여기서 ''a''는 굴리는 원의 반지름이다.

사이클로이드의 일종인 델토이드 곡선은 ( 회전 및 평행이동까지 고려하면) 다음의 매개 변수 방정식으로 표현할 수 있다.

:x=(b-a) cos(t)+a cos((b-a)t/a)

:y=(b-a) sin(t)-a sin((b-a)t/a)

여기서 ''a''는 구르는 원의 반지름이고, ''b''는 이 원이 굴러가는 원의 반지름이며, ''t''는 0에서 6π까지의 범위를 갖는다. (위의 그림에서 ''b = 3a''로 델토이드를 그린다.)

복소수 좌표계에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:z=2ae^it+ae^-2it.

이 방정식에서 변수 ''t''를 제거하면 다음과 같은 데카르트 방정식을 얻을 수 있다.

:(x²+y²)²+18a²(x²+y²)-27a⁴ = 8a(x³-3xy²)

따라서 델토이드는 4차 평면 대수 곡선이다. 극좌표에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:r⁴+18a²r²-27a⁴=8ar³cos 3θ.

이 곡선은 t=0, ±2π/3에 해당하는 세 개의 특이점(첨점)을 갖는다. 위의 매개변수화는 이 곡선이 유리 곡선임을 의미하며, 이는 종수가 0임을 의미한다.

2. 1. 매개변수 방정식

델토이드 곡선은 일반적으로 다음과 같은 매개변수 방정식으로 표현된다.

:

x=2a\cos(t)+a\cos(2t) \,

:

y=2a\sin(t)-a\sin(2t)\,

여기서 ''a''는 굴리는 원(작은 원)의 반지름이다.

사이클로이드의 일종인 델토이드 곡선은 ( 회전 및 평행이동까지 고려하면) 다음의 매개 변수 방정식으로 표현할 수 있다.

:

x=(b-a)\cos(t)+a\cos\left(\frac{b-a}at\right) \,

:

y=(b-a)\sin(t)-a\sin\left(\frac{b-a}at\right) \, ,

여기서 ''a''는 구르는 원의 반지름이고, ''b''는 이 원이 굴러가는 원의 반지름이며, ''t''는 0에서 6까지의 범위를 갖는다.

복소 평면에서는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

z=2ae^{it}+ae^{-2it}

.

2. 2. 데카르트 방정식

델토이드 곡선은 매개변수 ''t''를 제거하면 다음과 같은 데카르트 방정식으로 표현된다.

:

(x^2+y^2)^2+18a^2(x^2+y^2)-27a^4 = 8a(x^3-3xy^2),\,

이는 델토이드가 4차 평면 대수 곡선임을 나타낸다. 극좌표에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

r^4+18a^2r^2-27a^4=8ar^3\cos 3\theta\,.

2. 3. 극좌표 방정식

극좌표에서는 다음과 같은 방정식으로 델토이드 곡선을 나타낼 수 있다.

:

r^4+18a^2r^2-27a^4=8ar^3\cos 3\theta\,.

3. 성질

3. 1. 특이점

3. 2. 종수

3. 3. 쌍대 곡선

델토이드의 쌍대 곡선은 다음과 같다.

:

x^3-x^2-(3x+1)y^2=0\,

이 곡선은 원점에 이중점을 가진다.

4. 넓이와 둘레

델토이드 곡선 내부의 넓이는 $2\pi a^2$ 이며, 이는 굴리는 원의 넓이의 두 배이다.^[5]^[2] 델토이드 곡선의 둘레는 16''a''이다.^[5]^[2]

5. 역사

일반적인 사이클로이드는 1599년경 갈릴레오 갈릴레이와 마랭 메르센에 의해 연구되었지만, 사이클로이드 곡선은 1674년 올레 뢰머가 기어 이빨의 최적 형태를 연구하면서 처음으로 고안했다. 레온하르트 오일러는 1745년 광학 문제와 관련하여 델토이드를 처음으로 고려했다고 주장한다. 1856년 야코프 슈타이너는 주어진 삼각형의 모든 심슨선(Simson line) 집합이 델토이드 형태의 포락선(envelope)을 형성한다는 것을 발견하고, 이 곡선의 형태와 대칭성을 설명했다. 이 곡선은 그의 이름을 따서 슈타이너 델토이드 또는 슈타이너의 하이포사이클로이드라고 불린다.

5. 1. 초기 연구

일반적인 사이클로이드는 1599년경 갈릴레오 갈릴레이와 마랭 메르센에 의해 연구되었지만, 사이클로이드 곡선은 1674년 올레 뢰머가 기어 이빨의 최적 형태를 연구하면서 처음으로 고안했다. 레온하르트 오일러는 1745년 광학 문제와 관련하여 델토이드를 처음으로 고려했다고 주장한다.

5. 2. 슈타이너 델토이드

레온하르트 오일러는 1745년 광학 문제와 관련하여 델토이드를 처음으로 고려했다고 주장한다. 1856년 야코프 슈타이너는 주어진 삼각형의 모든 심슨선(Simson line) 집합이 델토이드 형태의 포락선(envelope)을 형성한다는 것을 발견하고, 이 곡선의 형태와 대칭성을 설명했다. 이 곡선은 그의 이름을 따서 슈타이너 델토이드 또는 슈타이너의 하이포사이클로이드라고 불린다.

6. 응용

델토이드는 여러 수학 분야에서 나타난다. 예를 들어:

3차 유니스토캐스틱 행렬의 복소 고유값 집합은 델토이드를 형성한다.
3차 유니스토캐스틱 행렬 집합의 단면은 델토이드를 형성한다.
군 SU(3)에 속하는 유니터리 행렬의 가능한 트레이스 집합은 델토이드를 형성한다.
두 델토이드의 교차점은 6차 복소 아다마르 행렬의 집합을 매개변수화한다.
주어진 삼각형의 모든 심슨선 집합은 델토이드 형태의 포락선을 형성한다. 이는 1856년 이 곡선의 형태와 대칭성을 설명한 야코프 슈타이너의 이름을 따서 슈타이너 델토이드 또는 슈타이너의 하이포사이클로이드라고 알려져 있다.^[3]
삼각형의 면적 이등분선의 포락선은 중선의 중점에 꼭지점을 가진 델토이드(위에서 정의된 더 넓은 의미)이다. 델토이드의 변은 삼각형의 변에 점근선인 쌍곡선의 호이다.^[4]
카케야 바늘 문제의 해답으로 델토이드가 제안되었다.

6. 1. 행렬 이론

델토이드는 여러 수학 분야에서 나타난다.

3차 유니스토캐스틱 행렬의 복소 고유값 집합은 델토이드를 형성한다.
3차 유니스토캐스틱 행렬 집합의 단면은 델토이드를 형성한다.
군 SU(3)에 속하는 유니터리 행렬의 가능한 트레이스 집합은 델토이드를 형성한다.
두 델토이드의 교차점은 6차 복소 아다마르 행렬의 집합을 매개변수화한다.

6. 2. 기하학

델토이드는 여러 수학 분야에서 나타난다.^[3]^[4] 3차 유니스토캐스틱 행렬의 복소 고유값 집합은 델토이드를 형성하며, 3차 유니스토캐스틱 행렬 집합의 단면, 군 SU(3)에 속하는 유니터리 행렬의 가능한 트레이스 집합 또한 델토이드를 형성한다. 두 델토이드의 교차점은 6차 복소 아다마르 행렬의 집합을 매개변수화한다. 주어진 삼각형의 모든 심슨선 집합은 델토이드 형태의 포락선을 형성하는데, 이는 1856년 이 곡선의 형태와 대칭성을 설명한 야코프 슈타이너의 이름을 따서 슈타이너 델토이드 또는 슈타이너의 하이포사이클로이드라고 알려져 있다.^[3] 삼각형의 면적 이등분선의 포락선은 중선의 중점에 꼭지점을 가진 델토이드이다. 델토이드의 변은 삼각형의 변에 점근선인 쌍곡선의 호이다.^[4] 카케야 바늘 문제의 해답으로 델토이드가 제안되기도 했다.

6. 3. 기타

델토이드는 여러 수학 분야에서 나타난다.

3차 유니스토캐스틱 행렬의 복소 고유값 집합은 델토이드를 형성한다.
3차 유니스토캐스틱 행렬 집합의 단면은 델토이드를 형성한다.
군 SU(3)에 속하는 유니터리 행렬의 가능한 트레이스 집합은 델토이드를 형성한다.
두 델토이드의 교차점은 6차 복소 아다마르 행렬의 집합을 매개변수화한다.
주어진 삼각형의 모든 심슨선 집합은 델토이드 형태의 포락선을 형성한다. 이는 1856년 이 곡선의 형태와 대칭성을 설명한 야코프 슈타이너의 이름을 따서 슈타이너 델토이드 또는 슈타이너의 하이포사이클로이드라고 알려져 있다.^[3]
삼각형의 면적 이등분선의 포락선은 중선의 중점에 꼭지점을 가진 델토이드이다. 델토이드의 변은 삼각형의 변에 점근선인 쌍곡선의 호이다.^[4]
카케야 바늘 문제의 해답으로 델토이드가 제안되었다.

참조

_[1] 웹사이트 Area bisectors of a triangle http://www.se16.info[...] 2017-10-26
_[2] 웹사이트 Deltoid http://mathworld.wol[...]
_[3] 문서 Lockwood
_[4] 간행물 Halving a triangle Mathematical Gazette 1972-05
_[5] 웹사이트 Deltoid http://mathworld.wol[...]

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