할바흐 배열

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1. 개요
2. 선형 배열
3. 원통형 배열
4. 구형 배열
참조

1. 개요

할바흐 배열은 자석을 특정한 방식으로 배열하여 한 면에 자기장을 집중시키는 기술이다. 선형, 원통형, 구형 등 다양한 형태로 구현되며, 각 형태는 특정 응용 분야에 적합하도록 설계된다. 할바흐 배열은 자기장을 한쪽으로 집중시키는 특성 때문에 냉장고 자석, DC 모터, 자기 부상 열차, MRI 스캐너 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히, 가변 선형 배열은 자기장을 켜고 끄는 래치를 만들 수 있으며, 원통형 배열은 내부 자기장을 균일하게 유지하고 외부 자기장을 차단하는 데 유용하다. 구형 배열은 균일한 자기장을 생성하는 데 특화되어 있으며, MRI와 같은 의료 기기에도 사용된다.

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할바흐 배열
개요
종류	특수 영구자석 배열
발명가	J. C. 맬린슨
발명일	1973년
상세 정보
특징	자기장이 한쪽 면에는 강화되고 다른 면에는 상쇄됨.
응용 분야	영구 자석 모터 스피커 자기 부상 열차 자석 고정 장치
유형
선형 배열	자기장이 한쪽 면에는 존재하고 다른 면에는 없음.
원통형 배열	외부 Halbach 원통: 원통 내부에 자기장이 존재하지 않음. 내부 Halbach 원통: 원통 외부에 자기장이 존재하지 않음.
활용 예시
선형 Halbach 배열	영구 자석 자기 부상 열차 선형 모터 조향 장치
회전 Halbach 배열	교류 발전기 전동기
추가 정보
관련 연구	Halbach 실린더를 사용한 플라이휠 에너지 저장 시스템 연구

2. 선형 배열

선형 할바흐 배열은 자석을 배열하여 한쪽 면에 강한 자기장을 집중시키는 방식이다. 1980년대 로렌스 버클리 국립 연구소의 물리학자 클라우스 할바흐(Klaus Halbach)가 입자 가속기에서 빔을 수렴시킬 목적으로 개발하였다.^[29]

최근에는 영구 자석식 MRI, 전동기, 리니어 모터, 자기 부상 열차, 자유 전자 레이저 발생용 언듈레이터 등에 활용되며, 하이퍼루프의 자기 부상에도 사용될 예정으로 실용화를 위한 연구가 진행되고 있다.^[29]^[30]^[31]^[32]^[33]^[34]^[35]

2. 1. 자화

이러한 자기 선속 분포는 단순한 막대 자석이나 솔레노이드에 익숙한 사람들에게는 다소 직관적이지 않게 보일 수 있지만, 이러한 자속 분포의 이유는 Mallinson의 원래 다이어그램을 사용하여 직관적으로 시각화할 수 있다. (Mallinson의 기사에서 다이어그램과 달리 음의 ''y'' 성분을 사용한다는 점에 유의해야 한다.) 다이어그램은 ''y'' 방향으로 교번 자화(왼쪽 위)와 ''x'' 방향으로 교번 자화(오른쪽 위)를 갖는 강자성체 스트립의 필드를 보여준다. 평면 위의 필드는 두 구조 모두에서 ''동일한'' 방향이지만, 평면 아래의 필드는 ''반대'' 방향이다. 이 두 구조를 중첩한 효과가 그림에 나와 있다.

핵심은 자속이 ''평면 아래에서는 상쇄되고 평면 위에서는 강화된다는 것''이다. 실제로 자화 성분이 서로 ${\displaystyle \pi /2}$ 위상차가 있는 모든 자화 패턴은 편측 자속을 생성한다. 어떤 함수의 모든 성분의 위상을 ${\displaystyle \pi /2}$만큼 이동시키는 수학적 변환은 힐베르트 변환이라고 한다. 따라서 자화 벡터의 성분은 힐베르트 변환 쌍이 될 수 있다. (가장 간단한 예는 위에 표시된 다이어그램과 같이 단순히 ${\displaystyle \sin(x)\cos(y)}$이다.)

이상적인 연속 가변 무한 배열의 상쇄되지 않는 쪽의 필드는 다음과 같다.^[4]

: ${\displaystyle F(x,y)=F_{0}e^{ikx}e^{-ky}}$

여기서

: ${\displaystyle F(x,y)}$는 ${\displaystyle F_{x}+iF_{y}}$ 형태의 필드이고,

: ${\displaystyle F_{0}}$는 배열 표면에서의 필드 크기이고,

: ${\displaystyle k}$는 파수 (즉, 공간 주파수) ${\displaystyle 2\pi /\lambda }$이다.

2. 2. 응용 분야

할바흐 배열은 평면 냉장고 자석에서부터 DC 모터, 보이스 코일, 자기 약물 표적화, 입자 가속기, 자유 전자 레이저 등 다양한 분야에 응용된다.^[29]

Inductrack 자기 부상 열차 및 Inductrack 로켓 발사 시스템은 할바흐 배열을 사용하여 트랙의 전선 루프를 반발시켜 열차를 들어 올린다. 평평한 냉장고 자석은 할바흐 자화 패턴으로 제작되어 강한 유지력을 가진다. 이는 유연한 바인더에 혼합된 분말 페라이트를 압출할 때 할바흐 자화장 패턴에 노출시켜 자기 화합물 내 페라이트 입자에 단면 플럭스 분포를 영구적으로 제공하기 때문이다.

자유 전자 레이저의 위글러 자석은 할바흐 배열 설계를 활용한다. 위글러 자석은 자기장에 수직으로 전자 빔을 흔들어 전자가 가속되면서 전자기 에너지를 방출하고, 이미 방출된 빛과 상호 작용하여 "레이저와 같은" 단색성 및 간섭성 빔을 생성한다.

할바흐 위글러는 자화된 시트의 자화 벡터가 서로 반대 방향으로 회전하는 설계이다. 상단 시트의 자화 벡터는 시계 방향, 하단 시트의 자화 벡터는 시계 반대 방향으로 회전하여 자기장의 ''x'' 성분이 상쇄되고 ''y'' 성분이 강화된다.

최근에는 영구 자석식 MRI, 전동기, 리니어 모터, 자기 부상 열차, 자유 전자 레이저 발생용 언듈레이터 등에서의 활용이 늘고 있다.^[29]

현재 개발 중인 하이퍼루프에서는 자기 부상에 사용될 예정이며^[30], 실용화를 위한 연구가 진행되고 있다.^[31]^[32]^[33]^[34]^[35]

2. 3. 가변 선형 배열

자신의 축에 수직으로 자화된 일련의 자성 막대는 할바흐 배열로 배열될 수 있다. 각 막대가 90°씩 번갈아 회전하면, 결과적인 자기장은 막대 평면의 한쪽에서 다른 쪽으로 이동한다.

이 배열을 통해 막대의 회전에 따라 자기장을 막대 평면 위 또는 아래에서 효과적으로 켜고 끌 수 있다. 이러한 장치는 전력을 필요로 하지 않는 효율적인 기계적 자기 래치를 만든다. 이 배열에 대한 상세한 연구에 따르면 각 막대는 인접한 막대로부터 강력한 토크를 받으므로 기계적 안정화가 필요하다.^[26] 그러나 각 막대를 번갈아 회전할 수 있는 능력과 안정화를 모두 제공하는 간단하고 효율적인 해결책은 각 막대에 등기어 장치를 제공하는 것이다.

3. 원통형 배열

'''할바흐 배열'''은 강자성체로 구성된 자화된 원통으로, (이상적인 경우) 원통 내부에만 강한 자기장을 생성하고 외부에는 자기장이 거의 없는 특징을 갖는다. 자기장이 원통 외부에 완전히 위치하고 내부에 자기장이 없도록 자화할 수도 있다.

원통 축에 수직인 평면에서 강자성 재료 내의 자화 방향은 다음과 같이 표현된다.

:

M = M_r\left[\cos\left((k - 1)\left(\varphi - \frac{\pi}{2}\right)\right) \widehat{\rho} + \sin\left((k - 1)\left(\varphi - \frac{\pi}{2}\right)\right) \widehat{\varphi}\right],

여기서 ''M_r''은 강자성 잔류 자화 (A/m)이다. ''k'' − 1 값이 양수이면 내부 자기장이, 음수이면 외부 자기장이 생성된다.

이상적인 경우, 자화 방향이 지속적으로 변하는 무한 길이의 자기 재료 원통으로 만들어진다. 이때 생성된 자기 선속은 완벽하게 균일하며, 원통 내부 또는 외부에 완전히 국한된다. 그러나 실제로는 원통의 유한한 길이 때문에 ''종단 효과''가 발생하여 자기장에 불균일성이 생긴다.^[19]^[20] 또한, 자화가 지속적으로 변하는 원통을 제조하기 어려워, 실제로는 설계를 세그먼트로 분할하는 경우가 많다.

1980년대 로렌스 버클리 국립 연구소의 클라우스 할바흐(Klaus Halbach)가 입자 가속기에서 빔을 수렴시키기 위해 개발했다. 최근에는 영구 자석식 MRI, 전동기, 리니어 모터, 자기 부상 열차, 자유 전자 레이저 발생용 언듈레이터 등 다양한 분야에서 활용되고 있다.^[29]

하이퍼루프에서 자기 부상에 사용될 예정이며,^[30] 실용화를 위한 연구가 진행되고 있다.^[31]^[32]^[33]^[34]^[35]

3. 1. 응용 분야

할바흐 배열은 무브러시 교류 전동기, 자기 커플링, 고자장 실린더와 같은 장치에 사용된다. 무브러시 모터와 커플링 장치는 모두 다극 필드 배열을 사용한다.

무브러시 모터 또는 교류 발전기: 일반적으로 모든 자속이 보어의 중심에 갇히는 원통형 설계를 사용하며(예: 위의 ''k'' = 4, 6극 로터), 교류 코일도 보어 내에 포함된다. 이러한 자체 차폐 모터 또는 교류 발전기 설계는 기존 설계보다 더 효율적이며 더 높은 토크 또는 출력을 생성한다.
자기 커플링 장치: 자기적으로 투명한 장벽(즉, 장벽이 비자성체이거나 자기체이지만 가해진 자기장에 영향을 받지 않음)을 통해 토크를 전달한다. 예를 들어 밀폐된 용기 또는 가압 용기 사이에서 토크를 전달한다. 최적의 토크 커플링은 반대 +''k'' 및 −''k'' 자속 자화 패턴을 가진 한 쌍의 동축 중첩 실린더로 구성된다. 이 구성은 무한히 긴 실린더에 대해 토크를 생성하는 유일한 시스템이기 때문이다.^[21] 최소 에너지 상태에서 내부 실린더의 외부 자속은 외부 실린더의 내부 자속과 정확히 일치한다. 이 상태에서 한 실린더를 다른 실린더에 대해 회전시키면 복원 토크가 발생한다.
휴대용 MRI 스캐너: 원통형 할바흐 배열은 휴대용 MRI 스캐너에 사용된다.^[7] 이는 극저온 냉각 없이, 작고 주변 자기장이 적으며, 전력 요구 사항이나 열 발산 요구 사항이 없는 상대적으로 가볍고 저자장 \~ 중자장 시스템을 사용할 수 있는 가능성을 제공한다.^[8] 또한, 감소된 누설 자장은 안전성을 향상시키고 주변 전자 장치와의 간섭을 최소화한다.^[9]

1980년대 로렌스 버클리 국립 연구소의 물리학자 클라우스 할바흐(Klaus Halbach)가 입자 가속기에서 빔을 수렴시키기 위해 개발했으며, 최근에는 영구 자석식 MRI, 전동기, 리니어 모터, 자기 부상 열차, 자유 전자 레이저 발생용 언듈레이터 등에서 활용이 늘고 있다.^[29]

현재 개발 중인 하이퍼루프에서는 자기 부상에 사용될 예정이며^[30], 실용화를 위한 연구가 진행되고 있다.^[31]^[32]^[33]^[34]^[35]

3. 2. 균일 자기장

''k'' = 2인 특수한 경우, 할바흐 실린더 내부에는 균일한 자기장이 형성된다. 이 자기장(H)은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

H = M_r \ln\left(\frac{R_\text{o}}{R_\text{i}}\right) \widehat{y},

여기서 ''R''_i 와 ''R''_o는 각각 실린더의 내부 및 외부 반지름을 나타내며, ''H''는 ''y'' 방향을 가리킨다. 이는 할바흐 실린더의 가장 간단한 형태이다. 만약 외부 반지름이 내부 반지름의 ''e''배보다 크다면, 보어 내부의 자속은 실린더 제작에 사용된 자기 재료의 잔류 자화를 초과할 수 있다. 그러나 이 경우 실린더의 자기 탈자 현상 및 의도보다 낮은 자기장 생성을 유발할 수 있으므로, 영구 자석의 보자력을 넘어서는 자기장이 발생하지 않도록 주의해야 한다.^[22]^[23]

균일한 자기장을 생성하는 디자인은 원통형 외에도 다양하게 존재한다. 아벨레(Abele)와 옌센(Jensen)이 제안한 쐐기 디자인(A)은 자화된 재료의 쐐기를 배열하여 디자인 내부 공동에 균일한 자기장을 제공한다. 쐐기의 자화 방향은 아벨레가 제시한 규칙에 따라 계산되며, 공동 형태에 대한 자유도가 높다. 코에이(Coey)와 쿠가(Cugat)가 제안한 자기 만돌(B)은 균일하게 자화된 막대를 배열하여 할바흐 실린더의 자화와 일치시키는 방식이다.^[24]^[25] 이 디자인은 균일 자기장 영역에 대한 접근성이 높지만, 균일 자기장 부피는 원통형 디자인보다 작다. (A)와 (B) 디자인은 ''k'' = 2 할바흐 실린더와 밀접하게 관련되어 있다. 이 외에도 연자성 철 반환 경로가 있는 분리된 자석(C)을 이용한 간단한 디자인도 존재한다.

최근에는 이러한 할바흐 쌍극자가 저자기장 핵자기 공명 (NMR) 실험에 활용되고 있다.^[10] 이는 상용 (브루커) Minispec 영구 자석의 표준 플레이트 형상(C)에 비해, 합리적으로 균일한 자기장을 제공하면서도 큰 보어 직경을 가질 수 있기 때문이다.

3. 2. 1. 이상적인 경우의 유도

원통형 할바흐 배열에 의해 생성되는 자기장을 찾는 방법은 균일하게 자화된 구를 조사하는 방법과 수학적으로 매우 유사하다.^[11]

원통 축을 따른 배열의 대칭성 덕분에, 이 문제는 2차원으로 단순화될 수 있다. 평면-극좌표

(r, \theta)

를 사용하여 원통의 반경 범위를

r_\mathrm{i} < r < r_\mathrm{o}

로 설정한다. 이때, 크기가

M_0

인 원통 벽의 자화는 다음과 같이 부드럽게 회전한다.

:

\mathbf{M}_\mathrm{cyl} = M_0 (\cos\theta\, \hat\mathbf{r} + \sin\theta\, \hat\boldsymbol{\theta}),

여기서

\hat\mathbf{r}

과

\hat\boldsymbol{\theta}

는 단위 벡터이다. 벽 외부, 즉 구멍(

r < r_\mathrm{i}

)과 주변(

r > r_\mathrm{o}

)에서는 자화가 사라진다.

보조 자기장 세기

\mathbf{H}

는 정의에 따라 자화 및 자속 밀도

\mathbf{B}

와

\mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M})

의 관계를 가진다. 가우스의 법칙

\nabla\cdot\mathbf{B} = 0

을 사용하면,

:

\nabla\cdot\mathbf{H} = -\nabla\cdot\mathbf{M}.

이 된다. 문제는 정적이므로 자유 전류가 없고 모든 시간 도함수가 사라진다. 따라서 앙페르의 법칙에 의해

\nabla\times\mathbf{H}=0 \implies \mathbf{H} = \nabla\varphi

가 성립하며, 여기서

\varphi

는 자기 스칼라 전위이다. 이를 위의

\mathbf{H}

및

\mathbf{M}

을 지배하는 방정식에 대입하면,

:

\nabla^2\varphi = -\nabla\cdot\mathbf{M},

를 풀어야 함을 알 수 있다. 이 방정식은 푸아송 방정식의 형태를 띤다.

이제 원통-공기 경계면

r = r_\mathrm{i}

와

r = r_\mathrm{o}

에서의 경계 조건을 고려한다. 경계를 가로지르는 작은 루프에서

\nabla \times \mathbf{H} = 0

을 적분하고 스토크스 정리를 적용하면,

\mathbf{H}

의 평행 성분이 연속적이어야 한다. 이는

\varphi

가 경계를 가로질러 연속적임을 의미한다. 두 번째 조건은 경계를 가로지르는 작은 부피에 대해 위의 식을 적분하고 발산 정리를 적용하여 얻는다.

:

\left[\frac{\partial \varphi}{\partial r}\right] = \pm \mathbf{M} \cdot \hat{\mathbf{r}},

여기서

[f]

는 경계를 가로지르는 양

f

의 급격한 변화를 나타내며, 부호는

r = r_\mathrm{i}

에서 음수,

r = r_\mathrm{o}

에서 양수이다. 부호 차이는 원통 벽 내부 적분 부피의 자화와 표면 법선 사이의 상대적인 방향이 안쪽과 바깥쪽 경계에서 반대이기 때문이다.

평면 극좌표에서 벡터장

\mathbf{F} = F_r\hat\mathbf{r} + F_\theta \hat\boldsymbol{\theta}

의 발산은

:

\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r F_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}.

이고, 스칼라장

f

의 기울기는

:

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\hat\mathbf{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}\hat\boldsymbol{\theta}.

이다. 이 두 관계를 결합하면 라플라시안

\nabla^2 f = \nabla\cdot(\nabla f)

는

:

\nabla^2 f = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\theta^2}.

가 된다.

원통 벽의 자화 발산은

:

\begin{align}\nabla \cdot \mathbf{M}_\mathrm{cyl} &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r M_0 \cos\theta) + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial\theta}(M_0 \sin\theta)\\[5pt]&= \frac{M_0 \cos\theta}{r} + \frac{M_0 \cos\theta}{r}\\[5pt]&= \frac{2M_0 \cos\theta}{r}.\end{align}

이므로, 풀어야 할 방정식은

:

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial\theta^2} =\begin{cases}0 & r < r_\mathrm{i}, \\

\frac{2M_0 \cos\theta}{r} & r_\mathrm{i} < r < r_\mathrm{o}, \\

0 & r > r_\mathrm{0}.\end{cases}

가 된다.

원통 벽에서 이 방정식의 특수 해를 찾기 위해

\varphi_\mathrm{p} = r \ln r \cos\theta

를 고려하면,

:

\begin{align}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial\varphi_\mathrm{p}}{\partial r}\right) &= \frac{\cos\theta}{r}(\ln r + 1 + 1) = \frac{\ln r\cos\theta}{r} + \frac{2 \cos\theta}{r}\end{align}

이고,

:

\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \varphi_\mathrm{p}}{\partial\theta^2} =  -\frac{\ln r \cos\theta}{r}

이다. 따라서

\nabla^2 \varphi_\mathrm{p} = \frac{2 \cos\theta}{r}

이므로,

-M_0 \varphi_\mathrm{p} = - M_0 r \ln r \cos\theta

가 적절한 특수 해임을 알 수 있다.

이제 동차 방정식

\nabla^2 \varphi_\mathrm{h} = 0

(라플라스 방정식)을 고려한다. 변수 분리 방법을 통해, 기울기가

\theta

에서 주기적인 일반적인 동차 해는

:

\varphi_\mathrm{h} = A_0 + B_0 \theta + C_0 \ln r + \sum_{n=1}^\infty \left(A_n r^n + B_n r^{-n}\right)\cos n\theta + \sum_{n=1}^\infty \left(C_n r^n + D_n r^{-n}\right)\sin n\theta,

로 나타낼 수 있다. 여기서

A_i,\ B_i,\ C_i,\ D_i

는 임의의 상수이다.

원하는 해는 경계 조건을 만족하는 특수 해와 동차 해의 합이다. 대부분의 상수를 0으로 설정하고 다음과 같은 해를 가정한다.

:

\varphi =\begin{cases}\alpha r \cos\theta & r < r_\mathrm{i}, \\\beta r \cos \theta - M_0 r \ln r \cos\theta & r_\mathrm{i} < r < r_\mathrm{o}, \\0 & r > r_\mathrm{o},\end{cases}

여기서

\alpha,\ \beta

는 결정해야 할 상수이다.

연속성 조건은 내부 경계에서

:

\alpha = \beta - M_0 \ln r_\mathrm{i}

, 외부 경계에서

:

\beta - M_0 \ln r_\mathrm{o} = 0

를 제공한다.

전위 기울기는 원통 벽에서

\beta\cos\theta - M_0 \ln r \cos\theta - M_0 \cos\theta

, 구멍에서

\alpha\cos\theta

의 반경 방향 성분을 가지므로, 전위 도함수에 대한 조건은 내부 경계와 외부 경계에서 각각

:

\alpha = \beta - M_0 \ln r_\mathrm{i}

:

\beta - M_0 \ln r_\mathrm{o} = 0

이다.

따라서

\beta = M_0 \ln r_\mathrm{o}

이고

\alpha = M_0 \ln\left(\frac{r_\mathrm{o}}{r_\mathrm{i}}\right)

이며, 최종 해는

:

\varphi =\begin{cases}M_0 \ln\left(\frac{r_\mathrm{o}}{r_\mathrm{i}}\right) r \cos\theta & r < r_\mathrm{i},\\M_0 \ln\left(\frac{r_\mathrm{o}}{r}\right) r \cos\theta & r_\mathrm{i} < r < r_\mathrm{o},\\0 & r > r_\mathrm{o}.\end{cases}

이다.

결과적으로 자기장은

:

\mathbf{H} = \nabla\varphi =\begin{cases}M_0 \ln\left(\frac{r_\mathrm{o}}{r_\mathrm{i}}\right) \cos\theta\,\hat\mathbf{r} - M_0 \ln\left(\frac{r_\mathrm{o}}{r_\mathrm{i}}\right) \sin\theta\,\hat\boldsymbol{\theta} & r < r_\mathrm{i},\\M_0 \cos\theta \left[\ln\left(\frac{r_\mathrm{o}}{r}\right)-1\right]\,\hat\mathbf{r} - M_0 \ln\left(\frac{r_\mathrm{o}}{r}\right) \sin\theta\,\hat\boldsymbol{\theta} & r_\mathrm{i} < r < r_\mathrm{o},\\0 & r > r_\mathrm{o},\end{cases}

이다.

자속 밀도는

\mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M})

를 사용하여 계산할 수 있다. 자화가 사라지는 구멍에서는

\mathbf{B}_\mathrm{bore} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{H}_\mathrm{bore}

로 단순화된다. 따라서 자속 밀도의 크기는

:

B_\mathrm{bore} = \left|\mathbf{B}_\mathrm{bore}\right| =  \frac{M_0}{\mu_0} \ln\left(\frac{r_\mathrm{o}}{r_\mathrm{i}}\right),

로 위치에 관계없이 일정하다. 원통 외부에서도 자화가 사라지고 자기장이 사라지기 때문에 자속 밀도도 사라진다.

결론적으로, 이상적인 할바흐 원통 내부에서는 장이 균일하고 외부에서는 0이며, 그 크기는 물리적 치수에 따라 달라진다.

3. 3. 자기장 가변

할바흐 배열은 정적장을 생성한다. 하지만 실린더를 중첩하고 한 실린더를 다른 실린더에 상대적으로 회전시킴으로써 자기장의 소멸과 방향 조절을 할 수 있다.^[12] 실린더의 외부 자기장은 매우 낮기 때문에 상대적인 회전에는 강한 힘이 필요하지 않다. 무한히 긴 실린더의 이상적인 경우, 다른 실린더에 대해 하나의 실린더를 회전시키는 데 힘이 전혀 필요하지 않다.

4. 구형 배열

할바흐 실린더의 2차원 자기 분포 패턴을 3차원으로 확장하면 할바흐 구가 된다. 이러한 디자인은 유한 길이 실린더 디자인에서 흔히 나타나는 "단부 효과"의 영향을 받지 않기 때문에 디자인 내부에 극도로 균일한 자기장을 갖는다. 구의 균일한 자기장의 크기는 동일한 내부 및 외부 반지름을 가진 이상적인 원통형 디자인의 양보다 4/3배 증가한다. 그러나 구형 구조의 경우 균일한 자기장 영역에 대한 접근은 일반적으로 디자인의 상단과 하단에 있는 좁은 구멍으로 제한된다.^[13]

할바흐 구의 자기장 방정식은 다음과 같다.

: $B = \frac{4}{3} B_0 \ln\left(\frac{R_\text{o}}{R_\text{i}}\right).$

점 쌍극자(선 쌍극자가 아님)로 구성되어 있다는 사실을 고려하여 구형 설계를 최적화하면 더 높은 자기장을 얻을 수 있다. 이는 구가 타원형으로 늘어나고 구성 요소 부품에 자화의 불균일한 분포를 갖는 결과를 낳는다. 이 방법을 사용하고 설계 내부에 연자성 폴 피스를 사용하면 20mm³의 작동 부피에서 4.5 T가 달성되었으며,^[15] 2002년에는 0.05mm³의 더 작은 작동 부피에서 5 T로 더 증가했다.^[14] 경자성 재료는 온도에 따라 달라지므로 전체 자석 배열을 냉각하면 작업 영역 내의 자기장을 더 증가시킬 수 있다. 이 그룹은 또한 2003년에 5.16 T 할바흐 쌍극자 실린더 개발을 보고했다.^[16]

참조

_[1] 웹사이트 Electromagnetic Transducer, James Winey, Figure 29; United States Patent 3,674,946, filed Dec. 23, 1970 https://worldwide.es[...]
_[2] 논문 One-Sided Fluxes — A Magnetic Curiosity?
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