해밀턴 행렬

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1. 개요
2. 성질
3. 복소 행렬 확장
4. 해밀턴 연산자
참조

1. 개요

해밀턴 행렬은 특정 블록 행렬 구조를 가지며, 행렬 b와 c가 대칭 행렬이고 a + d^T = 0을 만족하는 2n × 2n 행렬이다. 해밀턴 행렬은 전치 행렬, 합, 선형 결합, 교환자 연산에 닫혀 있으며, 리 대수를 형성한다. 실수 해밀턴 행렬의 특성 다항식은 짝함수이며, 고윳값은 대칭성을 갖는다. 해밀턴 행렬의 제곱은 왜곡 해밀턴 행렬이며, 왜곡 해밀턴 행렬은 해밀턴 행렬의 제곱으로 표현 가능하다. 해밀턴 행렬은 두 가지 방식으로 복소 행렬로 확장될 수 있으며, 심플렉스 형식에 대한 해밀턴 연산자와 관련이 있다.

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행렬 - 스핀 (물리학)
스핀은 양자역학적 각운동량으로, 양자화된 값을 가지며 자기 쌍극자 모멘트를 유발하여 다양한 분야에 응용되고 스핀트로닉스 기술 발전에 기여하지만, 전자의 스핀 기원은 아직 완전히 밝혀지지 않았다.
행렬 - 파울리 행렬
파울리 행렬은 양자역학에서 스핀을 나타내는 데 사용되는 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬로, 행렬식은 -1이고 대각합은 0이며, 리 대수의 생성원이자 파울리 벡터로 정의되어 다양한 물리학 분야에서 활용된다.

해밀턴 행렬
개요
유형	정사각행렬
성분	실수 또는 복소수
대칭	에르미트 행렬
관련 항목	심플렉틱 행렬, 해밀토니안 함수
정의
설명	크기가 2n × 2n인 행렬 가 있을 때, 만약 JA가 에르미트 행렬이라면 해밀토니안 행렬이라고 한다. 여기서
J의 정의	J = ,}}
I_n의 정의	× 단위행렬이다. 다시 말해, 가 해밀토니안 행렬일 필요충분조건은 이다. 여기서 ()^T는 전치 행렬을 나타낸다.
특징
설명	두 해밀토니안 행렬의 합과 교환자는 해밀토니안 행렬이다. 해밀토니안 행렬 에 대해, e^t는 모든 t에 대해 심플렉틱 행렬이다. 두 행렬이 동시에 해밀토니안 행렬과 skew-Hamiltonian 행렬이면, 이는 영행렬이다.
응용
설명	해밀토니안 행렬은 LQR(Linear Quadratic Regulator) 문제에서 발생한다. 또한 해밀턴 역학에서도 나타난다. 행렬이 skew-Hamiltonian 행렬이 되는 것과 그 행렬이 해밀토니안 행렬의 곱인 것은 필요충분조건이다.

2. 성질

만약 2''n'' × 2''n'' 행렬 ''A''가 다음과 같은 블록 행렬로 표현된다고 가정해 보자.

: $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

여기서 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''는 ''n'' × ''n'' 행렬이다. 그러면 ''A''가 해밀턴 행렬이라는 조건은 행렬 ''b''와 ''c''가 대칭 행렬이고, $a + d^T = 0$ 을 만족하는 것과 같다.^[1]^[2] 또 다른 동치 조건은 ''A''가 $A = JS$ 형태이며, ''S''가 대칭 행렬이라는 것이다.^[2]

정의로부터 해밀턴 행렬의 전치 행렬 또한 해밀턴 행렬이라는 것을 쉽게 알 수 있다. 또한, 두 해밀턴 행렬의 합(및 임의의 선형 결합)은 다시 해밀턴 행렬이며, 그들의 교환자 또한 해밀턴 행렬이다. 이로부터 모든 해밀턴 행렬의 공간은 리 대수이며, sp(2''n'')으로 표기된다는 것을 알 수 있다. sp(2''n'')의 차원은 2''n''² + ''n''이다. 이에 해당하는 리 군은 심플렉틱 군 Sp(2''n'')이다. 이 군은 심플렉틱 행렬, 즉 $A^TJA = J$ 를 만족하는 행렬 ''A''로 구성된다. 따라서, 해밀턴 행렬의 행렬 지수는 심플렉틱 행렬이다. 그러나 심플렉틱 행렬의 로그는 반드시 해밀턴 행렬일 필요는 없는데, 이는 리 대수에서 군으로의 지수 맵이 전사적이지 않기 때문이다.^[2]

실수 해밀턴 행렬의 특성 다항식은 짝 함수이다. 따라서 해밀턴 행렬이 λ를 고유값으로 가지면, −λ, λ^* 및 −λ^* 또한 고유값이다.^[2] 이로부터 해밀턴 행렬의 대각합은 0임을 알 수 있다.

해밀턴 행렬의 제곱은 왜곡 해밀턴 행렬이다(행렬 ''A''가 $(JA)^T = -JA$ 를 만족하면 왜곡 해밀턴 행렬이다). 반대로, 모든 왜곡 해밀턴 행렬은 해밀턴 행렬의 제곱으로 나타낼 수 있다.^[4]

3. 복소 행렬 확장

해밀턴 행렬의 정의는 복소 행렬로 확장될 수 있는데, 두 가지 방법이 있다. 첫 번째는 ( JA )^T = JA 인 경우 행렬 A를 해밀토니안이라고 정의하는 것이다.^[6]^[7] 두 번째는 ( JA )^* = JA 조건을 사용하는 것으로, 여기서 ( □ )^*는 공액 전치를 의미한다.^[8]

4. 해밀턴 연산자

$V$ 를 심플렉스 형식 $\Omega$ 가 갖춰진 벡터 공간이라고 하자. 선형 사상 $A : \; V \mapsto V$ 는 형식 $x, y \mapsto \Omega(A(x), y)$ 가 대칭일 경우 $\Omega$ 에 대한 '''해밀턴 연산자'''라고 한다. 즉, 다음을 만족해야 한다.

: $\Omega(A(x), y) = -\Omega(x, A(y))$

$\Omega$ 가 $\sum_i e_i \wedge e_{n+i}$ 로 표현되도록 하는 기저 $e_1, …, e_{2n}$ 을 $V$ 에서 선택한다. 이 기저에서 연산자의 행렬이 해밀턴 행렬일 경우에만 해당 선형 연산자는 $\Omega$ 에 대해 해밀턴 연산자이다.^[4]

참조

_[1] 논문 Hamiltonian square roots of skew-Hamiltonian matrices revisited
_[2] 서적 Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the {{math|N}}-body problem Springer Science+Business Media|Springer
_[3] 논문 The symplectic group and classical mechanics
_[4] 논문 The structure of alternating-Hamiltonian matrices
_[5] 논문 A Schur decomposition for Hamiltonian matrices
_[6] 논문 Hamiltonian square roots of skew-Hamiltonian matrices revisited
_[7] 논문 The structure of alternating-Hamiltonian matrices
_[8] 논문 A Schur decomposition for Hamiltonian matrices

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