심플렉틱 행렬

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1. 개요

심플렉틱 행렬은 2n×2n 실수 정사각 행렬 M으로, M^TΩM=Ω를 만족한다. 여기서 Ω는 특정 형태의 행렬이며, 심플렉틱 행렬은 고정된 비특이 왜대칭 행렬 Ω에 대해 정의된다. 심플렉틱 행렬은 가역 행렬이며, 두 심플렉틱 행렬의 곱 또한 심플렉틱 행렬이 되어 심플렉틱 군을 형성한다. 심플렉틱 행렬의 행렬식은 항상 1이며, 블록 행렬 형태, 생성원, 분해 등 다양한 성질을 갖는다. 심플렉틱 행렬은 심플렉틱 벡터 공간의 심플렉틱 변환을 나타내며, 양자 광학 및 연속 변수 양자 정보 이론에서 가우스 변환을 설명하는 데 응용된다.

심플렉틱 행렬

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 복소수 행렬의 경우
3. 성질
4. 심플렉틱 변환
5. 행렬 Ω
6. 응용

2. 정의

2n×2n차 실수 심플렉틱 행렬은 다음 조건을 만족하는 2n×2n 정사각행렬 $M$ 이다.

: $M^\top \Omega M=\Omega$

여기서 $\Omega$ 는 다음과 같다.

: $\Omega =\begin{bmatrix}0 & I_n \\-I_n & 0 \\\end{bmatrix}$

여기서 $I_n$ 은 n×n 단위행렬이고, $\det\Omega=1$ , $\Omega^{-1}=\Omega^\top=-\Omega$ 을 만족한다. 모든 심플렉틱 행렬은 가역 행렬이며, 역행렬은 $M^{-1} = \Omega^{-1}M^\top\Omega$ 으로 주어진다. 또한, 두 심플렉틱 행렬의 곱은 심플렉틱 행렬이다.

심플렉틱 행렬의 행렬식은 항상 +1이다. 이는 파피안(Pfaffian)과 다음 항등식을 통해 확인할 수 있다.

: $Pf(M^\top\Omega M) = \det(M)Pf(\Omega)$

$M^\top\Omega M = \Omega$ 이고 $Pf(\Omega) \ne 0$ 이므로, $\det(M) = 1$ 을 얻는다.

표준적인 $\Omega$ 를 사용하고, $M$ 을 다음과 같이 나타낼 때,

: $M = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix}$

여기서 A, B, C, D는 n×n 행렬이다. M이 심플렉틱 행렬이 될 필요충분조건은 다음과 같다.

: ${}^{t}AD - {}^{t}CB = I_n \\{}^{t}AC = {}^{t}CA \\{}^{t}BD = {}^{t}DB$

n = 1일 때, 이 조건은 $\det(M) = 1$ 로 단순화된다. 즉, 2×2 행렬은 행렬식이 1일 때 심플렉틱 행렬이다.

2.1. 복소수 행렬의 경우

복소수 성분을 가진 2n × 2n 행렬 M의 경우, 정의는 문헌에 따라 다를 수 있다. 많은 저자들은 다음과 같이 정의를 수정한다.

: $M^* \Omega M = \Omega\,.$

여기서 M^*는 M의 켤레 전치를 나타낸다. 이 경우, 행렬식은 1이 아닐 수 있지만 절댓값은 1을 갖는다. 2×2 경우 (n=1)에서, M은 실수 심플렉틱 행렬과 절댓값이 1인 복소수의 곱이 된다.

다른 저자들은 복소수 행렬에 대해 원래 정의를 유지하고, 위의 조건을 만족하는 행렬을 '켤레 심플렉틱'이라고 부른다.

3. 성질

심플렉틱 행렬의 행렬식은 항상 1이다. 이는 파프 행렬식을 이용하여 증명할 수 있다. 심플렉틱 행렬은 가역 행렬이며, 그 역행렬은 다음과 같다.

: $M^{-1} = \Omega^{-1} M^\text{T} \Omega$ .

심플렉틱 행렬들은 행렬곱과 역행렬에 대하여 닫혀 있어, 실수 리 군 Sp(2n,ℝ)을 이룬다. 이는 복소 단순 리 군 Sp(2n,ℂ)의 콤팩트하지 않은 실수 형태이며, 심플렉틱 군으로 불린다. 심플렉틱 군은 n(2n+1) 차원이다. 심플렉틱 행렬의 로그는 해밀턴 행렬이다.

심플렉틱 군은 위상수학적으로 연결 공간이며 비컴팩트 공간인 실 리 군이고, $\mathrm{Sp}(2n;\mathbb{R})$ 로 표기한다. 심플렉틱 군은 실수 심플렉틱 벡터 공간의 심플렉틱 형식을 보존하는 선형 변환의 집합으로 정의할 수 있다.

3.1. 블록 행렬 형태

Ω가 표준 형식으로 주어지고 M이 2n x 2n 블록 행렬 $M = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}$ (여기서 A, B, C, D는 n x n 행렬)이라고 할 때, M이 심플렉틱 행렬일 조건은 다음과 같다.

1. $A^\text{T}C$ 와 $B^\text{T}D$ 는 대칭 행렬이고, $A^\text{T} D - C^\text{T} B = I$
2. $AB^\text{T}$ 와 $CD^\text{T}$ 는 대칭 행렬이고, $AD^\text{T} - BC^\text{T} = I$

두 번째 조건은 M이 심플렉틱 행렬이면 $M^T$ 도 심플렉틱 행렬이라는 사실에서 비롯된다. n=1일 때, 이 조건은 단일 조건 $\det(M)=1$ 로 축소된다. 따라서 2x2 행렬은 행렬식이 1일 때 동치이다.

Ω가 표준 형식일 때, M의 역행렬은 다음과 같이 주어진다.

: $M^{-1} = \Omega^{-1} M^\text{T} \Omega=\begin{pmatrix}D^\text{T} & -B^\text{T} \\-C^\text{T} & A^\text{T}\end{pmatrix}$ .

3.2. 생성원

심플렉틱 군은 다음 행렬들의 집합으로 생성된다.^{p. 2}

: $\begin{align}D(n) =& \left\{\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & (A^T)^{-1}\end{pmatrix} : A \in \text{GL}(n;\mathbb{R})\right\} \\N(n) =& \left\{\begin{pmatrix}I_n & B \\0 & I_n\end{pmatrix} : B \in \text{Sym}(n;\mathbb{R})\right\}\end{align}$

여기서 $\text{Sym}(n;\mathbb{R})$ 는 $n\times n$ 대칭 행렬의 집합이다. 즉, 모든 심플렉틱 행렬은 $D(n)$ 과 $N(n)$ 의 행렬과 $\Omega$ 의 거듭제곱을 곱하여 구성할 수 있다.

3.3. 대각화 및 분해

모든 양의 정부호 대칭 실수 심플렉틱 행렬 $S$ 에 대해, $\mathrm{U}(2n,\mathbb{R}) = \mathrm{O}(2n)$ 에 속하는 $U$ 가 존재하여 다음과 같이 표현 가능하다.
: $S = U^\text{T} D U \quad \text{for} \quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n,\lambda_1^{-1},\ldots,\lambda_n^{-1}),$
여기서 $D$ 의 대각선 요소는 $S$ 의 고유값이다.

모든 실수 심플렉틱 행렬 $S$ 는 다음과 같은 형태의 극 분해를 갖는다.
: $S = UR \quad$ 여기서 $\quad U \in \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R})\cap\operatorname{U}(2n,\mathbb{R})$ 이고 $R \in \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{R})\cap\operatorname{Sym}_+(2n,\mathbb{R}).$

모든 실수 심플렉틱 행렬은 세 행렬의 곱으로 분해될 수 있다.
: $S = O\begin{pmatrix}D & 0 \\ 0 & D^{-1}\end{pmatrix}O',$
여기서 $O$ 와 $O'$ 는 모두 심플렉틱하고 직교하며, $D$ 는 양의 정부호이고 대각이다. 이 분해는 행렬의 특이값 분해와 밀접한 관련이 있으며 '오일러' 또는 '블로흐-메시아' 분해로 알려져 있다.

4. 심플렉틱 변환

선형대수학의 추상적인 공식화에서 행렬은 유한 차원 벡터 공간의 선형 변환으로 대체된다. 심플렉틱 행렬의 추상적인 형태는 심플렉틱 벡터 공간의 심플렉틱 변환이다. 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\omega)$ 는 비퇴화 왜대칭 쌍선형 형식 $\omega$ 를 갖춘 $2n$ 차원 벡터 공간 $V$ 이며, 이를 심플렉틱 형식이라고 한다.

심플렉틱 변환은 $\omega$ 를 보존하는 선형 변환 $L:V\to V$ 이다. 즉, 다음이 성립한다.
: $\omega(Lu, Lv) = \omega(u, v).$
$V$ 에 대한 기저를 고정하면, $\omega$ 는 행렬 $\Omega$ 로, $L$ 은 행렬 $M$ 으로 쓸 수 있다. $L$ 이 심플렉틱 변환이라는 조건은 M이 심플렉틱 행렬이라는 조건과 같다.
: $M^\text{T} \Omega M = \Omega.$

5. 행렬 Ω

심플렉틱 행렬은 고정된 비특이 행렬이자 왜대칭 행렬인 $\Omega$ 에 대해 정의된다. $\Omega$ 는 비퇴화 왜대칭 쌍선형 형식의 좌표 표현으로 생각할 수 있다. 이러한 행렬들은 모두 기저 변환에 의해 서로 다르다는 것은 선형대수학의 기본 결과이다.

위에 주어진 표준 $\Omega$ 에 대한 가장 일반적인 대안은 다음과 같은 블록 대각 행렬 형태이다.

: $\Omega = \begin{bmatrix}\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\& \ddots & \\0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}\end{bmatrix}.$

이 선택은 기저 벡터의 순열에 의해 이전 선택과 다르다.

때로는 왜대칭 행렬에 대해 $\Omega$ 대신 $J$ 표기가 사용되기도 한다. 이는 $\Omega$ 와 동일한 좌표 표현을 가지지만 매우 다른 구조를 나타내는 선형 복소 구조의 개념과 혼동을 야기하기 때문에 특히 불행한 선택이다. 복소 구조 $J$ 는 제곱하면 $-I_n$ 이 되는 선형 변환의 좌표 표현인 반면, $\Omega$ 는 비퇴화 왜대칭 쌍선형 형식의 좌표 표현이다. $J$ 가 왜대칭이 아니거나 $\Omega$ 가 제곱하여 $-I_n$ 이 되지 않는 기저를 쉽게 선택할 수 있다.

벡터 공간에 대한 에르미트 구조가 주어지면, $J$ 와 $\Omega$ 는 다음과 같이 관련된다.

: $\Omega_{ab} = -g_{ac}{J^c}_b$

여기서 $g_{ac}$ 는 계량 텐서이다. $J$ 와 $\Omega$ 가 일반적으로 동일한 좌표 표현 (전체 부호 제외)을 갖는 것은 계량 g가 일반적으로 항등 행렬이라는 사실의 결과일 뿐이다.

6. 응용

심플렉틱 행렬로 설명되는 변환은 양자 광학과 연속 변수 양자 정보 이론에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 심플렉틱 행렬은 빛의 양자 상태에 대한 가우스 (보고리보프) 변환을 설명하는 데 사용될 수 있다. 결과적으로 블로흐-메시아 분해는 임의의 가우스 변환이 일련의 두 개의 수동 선형 광학 간섭계(직교 행렬 O 및 O' '에 해당)로 표현될 수 있으며, 능동적 비선형 압착 변환 계층(행렬 D로 제공)에 의해 간섭을 받는다는 것을 의미한다. 사실, 2-모드 압착 진공 상태를 사전 자원으로 사용할 수 있다면 이러한 인라인'' 능동적 압착 변환의 필요성을 피할 수 있다.