행렬식 다양체
1. 개요
행렬식 다양체는 주어진 m, n과 r < min{m, n}에 대해 체 k의 원소를 성분으로 갖는 계수 r 이하의 모든 m x n 행렬들의 집합이다. 이는 (r+1) x (r+1) 부분 행렬식들의 근으로 주어지는 대수다양체이며, 이러한 부분행렬식들에 의해 생성된 k[x_{i,j}]의 이데알은 행렬식 이데알이다. 행렬식 다양체는 아핀 다양체 또는 사영 다양체로 볼 수 있으며, 차원은 r(m+n-r)이다. 이 다양체는 일반 선형 군의 곱의 군 작용을 가지며, 퇴화 궤적의 연구와 관련이 있다.
| 설명 | 대수기하학에서, 체 K 위의 크기 m × n의 행렬의 집합에서 계수가 r보다 작은 행렬들의 집합. |
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| 특이점 | 행렬식 다양체는 일반적으로 특이점을 갖는다. K가 대수적으로 닫혀 있고 m ≤ n일 때, 행렬식 다양체 Vr은 기약적이고, 차원은 mn − (m − r)(n − r)이다. Vr의 특이점 집합은 Vr−1이다. Vr의 특이점은 Vr−1의 점이다. |
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대수다양체 -
유리 함수
유리 함수는 체 K 위의 n변수 다항식환의 분수체 원소로서 다항식의 비로 표현되는 함수이며, 분모가 0이 되는 지점에서 정의되지 않을 수 있고, 복소해석학에서는 복소수 계수를 갖는 두 다항식의 비율로 정의되어 다양한 수학적 성질과 응용을 가진다. -
대수다양체 -
대수 다양체
대수 다양체는 대수기하학에서 연구되는 기하학적 대상이며, 타원 곡선과 그라스마니안이 그 예시이다. -
대수기하학 -
타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다. -
대수기하학 -
매끄러운 함수
매끄러운 함수는 함수의 미분 가능성을 나타내는 척도로, k번 미분 가능하고 그 미분 함수가 연속일 경우 C<sup>k</sup>로 표기하며, 무한히 미분 가능한 함수를 의미하고, 곡선의 부드러움을 측정하는 데 활용된다.
2. 정의
주어진 과 에 대해 행렬식 다양체 은 체 의 원소를 성분으로 갖는 계수 이하의 모든 행렬들의 집합이다. 이것은 행렬이 계수 이하를 갖는 조건으로서 부분 행렬식들의 근들로 자연스럽게 주어지는 대수다양체이다. 성분들이 대수적으로 독립인 변수 들인 행렬을 고려하면, 이 행렬의 부분 행렬식들은 차 다항식이다. 이러한 다항식들에 의해 생성된 의 이데알은 행렬식 이데알이다. 부분 행렬식을 정의하는 방정식이 동차이기 때문에 를 차원 아핀 공간에서 아핀 다양체로, 또는 차원 사영 공간에서 사영 다양체로 볼 수 있다.
3. 성질
행렬식 다양체 을 정의하는 반소 아이디얼은 크기가 인 모든 소행렬식들로 생성된다(Bruns-Vetter, Theorem 2.10).
을 아핀 공간 의 아핀 다양체로 간주할 때, 그 차원은 이다. 이 차원은 의 비특이화인 부분 공간 를 이용하여 확인할 수 있다. 여기서 은 차원 벡터 공간 속 차원 부분 공간들의 그라스만 다양체이다. 는 위의 벡터 다발이며, 과 동형이다 (여기서 은 그라스만 다양체 위의 tautological 다발이다). 과 은 쌍유리 동치이므로 차원이 같고, 의 올(fiber)의 차원이 이므로 로 계산된다.
계수가 보다 작은 행렬들의 집합은 의 특이점 궤적과 정확히 일치한다. 이 사실은 반소 아이디얼이 소행렬식들로 생성된다는 점과 비특이성에 대한 야코비 판별법을 사용하여 확인할 수 있다.
다양체 은 일반선형군의 곱 의 자연스러운 군 작용을 가진다. 체 의 표수가 0일 때, 의 syzygies를 결정하는 문제는 알랭 라스코가 이 자연스러운 -작용을 사용하여 해결하였다.