행렬식 다양체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 관련 주제
참조

1. 개요

행렬식 다양체는 주어진 m, n과 r < min{m, n}에 대해 체 k의 원소를 성분으로 갖는 계수 r 이하의 모든 m x n 행렬들의 집합이다. 이는 (r+1) x (r+1) 부분 행렬식들의 근으로 주어지는 대수다양체이며, 이러한 부분행렬식들에 의해 생성된 k[x_{i,j}]의 이데알은 행렬식 이데알이다. 행렬식 다양체는 아핀 다양체 또는 사영 다양체로 볼 수 있으며, 차원은 r(m+n-r)이다. 이 다양체는 일반 선형 군의 곱의 군 작용을 가지며, 퇴화 궤적의 연구와 관련이 있다.

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행렬식 다양체
정의
설명	대수기하학에서, 체 K 위의 크기 m × n의 행렬의 집합에서 계수가 r보다 작은 행렬들의 집합.
성질
특이점	행렬식 다양체는 일반적으로 특이점을 갖는다. K가 대수적으로 닫혀 있고 m ≤ n일 때, 행렬식 다양체 Vr은 기약적이고, 차원은 mn − (m − r)(n − r)이다. Vr의 특이점 집합은 Vr−1이다. Vr의 특이점은 Vr−1의 점이다.

2. 정의

주어진 $m, n$ 과 $r < \min\{m, n\}$ 에 대해 '''행렬식 다양체''' $Y_r$ 은 체 $\mathbb k$ 의 원소를 성분으로 갖는 계수 $r$ 이하의 모든 $m \times n$ 행렬들의 집합이다. 이것은 행렬이 계수 $r$ 이하를 갖는 조건으로서 $(r+1) \times (r+1)$ 부분 행렬식들의 근들로 자연스럽게 주어지는 대수다양체이다. 성분들이 대수적으로 독립인 변수 $x_{i,j}$ 들인 $m \times n$ 행렬을 고려하면, 이 행렬의 부분 행렬식들은 $r+1$ 차 다항식이다. 이러한 다항식들에 의해 생성된 $\mathbb k[x_{i,j}]$ 의 이데알은 '''행렬식 이데알'''이다. 부분 행렬식을 정의하는 방정식이 동차이기 때문에 $Y_r$ 를 $mn$ 차원 아핀 공간에서 아핀 다양체로, 또는 $mn-1$ 차원 사영 공간에서 사영 다양체로 볼 수 있다.

3. 성질

행렬식 다양체 $Y_r$ 을 정의하는 반소 아이디얼은 크기가 $(r+1)\times(r+1)$ 인 모든 소행렬식들로 생성된다(Bruns-Vetter, Theorem 2.10).

$Y_r$ 을 아핀 공간 $\mathbf{A}^{mn}$ 의 아핀 다양체로 간주할 때, 그 차원은 $r(m+n-r)$ 이다. 이 차원은 $Y_r$ 의 비특이화인 부분 공간 $Z_r = \{ (A, W) \in \mathbf{A}^{mn} \times \mathbf{Gr}(r,m) \mid A(k^n) \subseteq W \}$ 를 이용하여 확인할 수 있다. 여기서 $\mathbf{Gr}(r,m)$ 은 $m$ 차원 벡터 공간 속 $r$ 차원 부분 공간들의 그라스만 다양체이다. $Z_r$ 는 $\mathbf{Gr}(r,m)$ 위의 벡터 다발이며, $\mathrm{Hom}(k^n, \mathcal{R})$ 과 동형이다 (여기서 $\mathcal{R}$ 은 그라스만 다양체 위의 tautological 다발이다). $Y_r$ 과 $Z_r$ 은 쌍유리 동치이므로 차원이 같고, $\mathrm{Hom}(k^n, \mathcal{R})$ 의 올(fiber)의 차원이 $nr$ 이므로 $\dim Z_r = \dim \mathbf{Gr}(r,m) + nr = r(m-r) + nr = r(m+n-r)$ 로 계산된다.

계수가 $r$ 보다 작은 행렬들의 집합은 $Y_r$ 의 특이점 궤적과 정확히 일치한다. 이 사실은 반소 아이디얼이 소행렬식들로 생성된다는 점과 비특이성에 대한 야코비 판별법을 사용하여 확인할 수 있다.

다양체 $Y_r$ 은 일반선형군의 곱 $G = \mathbf{GL}(m) \times \mathbf{GL}(n)$ 의 자연스러운 군 작용을 가진다. 체 $\mathbb k$ 의 표수가 0일 때, $Y_r$ 의 syzygies를 결정하는 문제는 알랭 라스코가 이 자연스러운 $G$ -작용을 사용하여 해결하였다.

4. 관련 주제

대수적 다양체 위의 두 벡터 다발 사이의 선형 사상 공간을 고려하여 행렬식 다양체의 개념을 전역적으로 확장할 수 있다. 이 경우 행렬식 다양체는 퇴화 궤적 연구의 한 분야로 볼 수 있다. 이러한 퇴화 궤적의 코호몰로지 류는 톰-포르투스 공식으로 표현된다.

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