일반선형군

1. 개요

일반선형군은 체 F 위의 벡터 공간 V의 자기 동형 사상, 즉 전단사 선형 변환의 집합으로, GL(V) 또는 Aut(V)로 표기한다. V가 유한 차원 n을 가지면 GL(V)와 GL(n, F)는 군 동형 사상 관계에 있다. 실수 일반선형군은 리 군이며, 연결 성분과 리 대수를 갖는다. 복소수 일반선형군은 연결 공간이며, 유니타리 군을 극대 콤팩트 부분군으로 갖는다. 유한체 위의 일반선형군은 유한군이며, 그 크기는 (qⁿ - 1)(qⁿ - q) ... (qⁿ - qⁿ⁻¹)으로 계산된다. 일반선형군은 특수선형군, 대각 부분군, 고전군 등의 부분군과 사영 선형군, 아핀 군, 일반 반선형군 등의 관련 군을 갖는다. 무한 일반선형군은 대수적 K-이론에서 중요한 역할을 하며, 갈루아가 1832년 일반 방정식의 갈루아 군을 연구하는 과정에서 처음 구성했다.

2. 정의

체 $K$에 대한 벡터 공간 $V$의 일반선형군 $\operatorname{GL}(V)$는 $V$에서 $V$로의 가역 선형 변환들의 집합이며, 함수의 합성을 연산으로 갖는 군이다. $V$가 유한 차원 $n$을 갖는 경우, $\operatorname{GL}(V)$는 $n \times n$ 가역행렬들의 군으로 표현될 수 있으며, $\operatorname{GL}(n; K)$ 또는 $\operatorname{GL}_n(K)$로 표기한다.

행렬식을 사용하여 일반선형군을 정의할 수 있다. 체 $F$ 위에서, 행렬식이 0이 아닌 행렬들의 집합이 $\operatorname{GL}(n, F)$를 이룬다. 가환환 $R$ 위에서는, 행렬식이 $R$에서의 단원인 행렬들의 군으로 $\operatorname{GL}(n, R)$을 정의할 수 있다.

2.1. 벡터 공간의 일반선형군

체 $K$에 대한 벡터 공간 $V$의 일반선형군 $\operatorname{GL}(V)$는 가역 선형 변환 $M\colon V\to V$들의, 함수의 합성에 대한 군이다.

만약 $V$가 유한 차원 $V=K^n$일 경우, $\operatorname{GL}(V)$를 $\operatorname{GL}(n;K)$라고 쓴다. 이는 $n\times n$ $K$-가역행렬들의 군으로 여길 수 있다.

V가 체 F상의 벡터 공간이라면, GL(V) 또는 Aut(V)로 표기되는 V의 일반 선형군은 V의 모든 자기 동형 사상의 군, 즉, 함수 합성 연산을 갖춘 모든 전단사 선형 변환 V → V의 집합이다. V가 유한 차원 n을 갖는다면, GL(V)와 GL(n, F)는 군 동형 사상이다. 이 동형 사상은 자연스럽지 않으며, V에서 기저를 선택하는 것에 의존한다. V의 기저 (e₁, ..., e_n)와 GL(V)의 자기 동형 사상 T가 주어지면, 모든 기저 벡터 e_i에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$T(e\_i)\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; a\_\{ji\}\; e\_j$

여기서 F의 상수 a_ij가 있다; T에 해당하는 행렬은 a_ji에 의해 주어진 항목을 갖는 행렬이다.

체 $F$를 가환체로 한다. $F$ 선형 공간 $V$ 상의 일반 선형군은 $V$ 상의 선형 사상 전체 End(V) 중 전단사인 사상 전체가 사상의 합성에 관해 이루는 군을 말하며, GL(V) 또는 Aut(V)로 표기한다.

또는 $n$ 차원 $F$ 선형 공간 $V$의 기저 $B$ = (v₁, …, v_n)를 하나 선택하여 고정하고, 수 벡터 공간 $F$ⁿ의 원소 (a₁, …, a_n)와 선형 공간 $V$의 원소 a₁v₁ + … + a_nv_n를 동일시함으로써, $n$차 정사각 행렬 전체 M_n(F) 중 가역인 행렬 전체가 행렬의 곱셈에 관해 이루는 군을 일반 선형군이라고 하는 경우가 많다. 이 경우에는 GL_n(F) 또는 GL(n, F)로 표기한다. 행렬식이 0이 아닌 행렬 전체라고 바꿔 말할 수도 있다.

:$$
\operatorname{GL}(V)
= \{\, f \in \operatorname{End}(V) \mid \exists g \in \operatorname{End}(V) \ f \circ g = \operatorname{id}_V = g \circ f \,\}

:$\backslash begin\{align\}$
\operatorname{GL}_n(F)
&= \{\, A \in \operatorname{M}_n(F) \mid \exists B \in \operatorname{M}_n(F) \ AB = I_n = BA \,\} \\
&= \{\, A \in \operatorname{M}_n(F) \mid \det A \neq 0 \,\}
\end{align}

어느 정의든 같은 대상을 정의한다고 생각해도 좋다. 실제로, $n$ 차원 $F$ 선형 공간 $V$ 상의 일반 선형군 GL(V)와 $n$ 차 정칙 행렬 전체 GL_n(F) 사이에는 다음으로 정의되는 동형 사상이 있다.

:$$
\operatorname{GL}(V) \to \operatorname{GL}_n(F),\ f \mapsto A = (a_{ij})

:$$
f(v_i) = \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j

2.2. 행렬 표현

체 $F$의 벡터 공간 $V$가 유한 차원 $n$을 갖는다면, $\backslash operatorname\{GL\}(V)$와 $\backslash operatorname\{GL\}(n,\; F)$는 군 동형 사상이다. $V$의 기저 $(e\_1,\; \backslash dots,\; e\_n)$와 $\backslash operatorname\{GL\}(V)$의 자기 동형 사상 $T$가 주어지면, 모든 기저 벡터 $e\_i$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$T(e\_i)\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; a\_\{ji\}\; e\_j$

여기서 $a\_\{ji\}$는 $F$의 상수이다. $T$에 해당하는 행렬은 $a\_\{ji\}$에 의해 주어진 항목을 갖는 행렬이다. 즉, $n$차원 $F$ 선형 공간 $V$의 기저 $B\; =\; (v\_1,\; \backslash dots,\; v\_n)$를 하나 선택하여 고정하고, 수 벡터 공간 $F^n$의 원소 $(a\_1,\; \backslash dots,\; a\_n)$와 선형 공간 $V$의 원소 $a\_1v\_1\; +\; \backslash dots\; +\; a\_nv\_n$를 동일시함으로써, $n$차 정사각 행렬 전체 $\backslash operatorname\{M\}\_n(F)$ 중 가역 행렬인 행렬 전체가 행렬의 곱셈에 관해 이루는 군을 일반 선형군이라고 할 수 있다.

이때, 일반 선형군 $\backslash operatorname\{GL\}\_n(F)$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$
\operatorname{GL}_n(F)
&= \{\, A \in \operatorname{M}_n(F) \mid \exists B \in \operatorname{M}_n(F) \ AB = I_n = BA \,\} \\
&= \{\, A \in \operatorname{M}_n(F) \mid \det A \neq 0 \,\}
\end{align}

이는 행렬식이 0이 아닌 행렬 전체와 같다.

$n$ 차원 $F$ 선형 공간 $V$ 상의 일반 선형군 $\backslash operatorname\{GL\}(V)$와 $n$ 차 정칙 행렬 전체 $\backslash operatorname\{GL\}\_n(F)$ 사이에는 다음으로 정의되는 동형 사상이 있다.

:$$
\operatorname{GL}(V) \to \operatorname{GL}_n(F),\ f \mapsto A = (a_{ij})

:$$
f(v_i) = \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j

2.3. 가환환 위의 일반선형군

가환환 R에 대해 군 GL(n, R)은 계수 n의 자유 R-가군 M의 자기 동형 사상 군으로 해석될 수 있다. 또한 임의의 R-가군에 대해 GL(M)을 정의할 수 있지만, 일반적으로 이것은 GL(n, R)과 동형이지 않다 (어떤 n에 대해서도).

3. 성질

체 F 상에서, 행렬이 가역 행렬이 될 필요충분조건은 그 행렬식이 0이 아닌 것이다. 따라서, 일반선형군 는 0이 아닌 행렬식을 가진 행렬의 군으로 정의할 수 있다.

가환환 R 상에서는, R 위의 행렬이 그 행렬식이 R에서 가역적인 단원일 경우에만 가역적이다. 따라서, 일반선형군 은 행렬식이 단원인 행렬의 군으로 정의할 수 있다.

비가환환 R 상에서는, 행렬식이 잘 정의되지 않으므로, 일반선형군 은 행렬환 의 단위군으로 정의할 수 있다.

3.1. 실수 일반선형군

실수 일반선형군 $\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; R)$은 $n^2$차원 실수 리 군이다. 그 리 대수 $\backslash mathfrak\{gl\}(n;\backslash mathbb\; R)$는 $n\backslash times\; n$ 실수 행렬들의 리 대수이다.

다양체로서, 실수 일반선형군 $\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; R)$은 콤팩트 공간 또는 연결 공간이 아니며, 행렬식이 양수인 성분과 음수인 성분, 이렇게 두 개의 연결 성분을 갖는다. 단위원을 포함하는, 행렬식이 양수인 부분공간 $\backslash operatorname\{GL\}^+(n;\backslash mathbb\; R)$은 정규 부분군을 이루며, 이에 대한 몫군은 $\backslash mathbb\; Z/2$이다.

일반 선형군 GL(n, R)^영어은 실수 체 위의 실수 리 군이며, 차원은 n²이다. 모든 n×n^영어 실수 행렬의 집합 M_n(R)이 차원이 n²인 실 벡터 공간을 형성한다는 점을 통해 알 수 있다. 부분 집합 GL(n, R)^영어은 행렬식이 0이 아닌 행렬로 구성된다. 행렬식은 다항식 사상이므로 GL(n, R)^영어은 M_n(R)의 열린 아핀 부분 다양체이며, 따라서 동일한 차원의 매끄러운 다양체이다.

GL(n, R)^영어의 리 대수는 $\backslash mathfrak\{gl\}\_n$로 표기하며, 교환자를 리 브래킷으로 사용하는 모든 n×n^영어 실수 행렬로 구성된다.

다양체로서 GL(n, R)^영어는 연결 공간이 아니며, 양의 행렬식을 가진 행렬과 음의 행렬식을 가진 행렬의 두 개의 연결 성분을 갖는다. 항등 성분은 GL⁺(n, R)^영어로 표기하며, 양의 행렬식을 가진 실수 n×n^영어 행렬로 구성된다. 이것 또한 차원이 n²인 리 군이며, GL(n, R)^영어과 동일한 리 대수를 갖는다.

극 분해는 가역 행렬에 대해 유일하며, GL(n, R)^영어과 O(n)과 양의 정부호 대칭 행렬의 집합의 데카르트 곱 사이의 위상 동형 사상이 있음을 보여준다. 유사하게, GL⁺(n, R)^영어과 SO(n)과 양의 정부호 대칭 행렬의 집합의 데카르트 곱 사이의 위상 동형 사상이 있음을 보여준다. 후자는 수축 가능하므로, GL⁺(n, R)^영어의 기본군은 SO(n)의 기본군과 동형이다.

이 위상 동형 사상은 또한 군 GL(n, R)^영어이 비콤팩트임을 보여준다. GL(n, R)^영어의 극대 콤팩트 부분군은 직교군 O(n)이고, GL⁺(n, R)^영어의 극대 콤팩트 부분군은 특수 직교군 SO(n)이다. SO(n)과 마찬가지로 군 GL⁺(n, R)^영어은 단일 연결이 아니며 (1=n = 1^영어인 경우 제외), 1=n = 2^영어에 대해서는 Z와 동형이거나 n > 2^영어에 대해서는 Z₂와 동형인 기본군을 갖는다.

3.2. 복소수 일반선형군

복소수 일반선형군 $\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; C)$은 복소 $n^2$차원 (실수 $2n^2$차원) 리 군이다. 그 리 대수 $\backslash mathfrak\{gl\}(n;\backslash mathbb\; C)$는 $n\backslash times\; n$ 복소 행렬들의 리 대수이다.

다양체로서, 복소 일반선형군 $\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; C)$은 연결 공간이며, 콤팩트하지 않다. 그 기본군은 다음과 같다.
:$\backslash pi\_1(\backslash operatorname\{GL\}(n,\backslash mathbb\; C)\backslash cong\backslash mathbb\; Z$

복소수 체 위의 일반 선형군 GL(n, C)^영어는 복소수 차원이 n²인 복소수 리 군이다. 실수 리 군(실수화를 통해)으로서, 차원은 2n²이다. 모든 실수 행렬의 집합은 실수 리 부분군을 형성한다. 이는 포함 관계
:GL(n, R) < GL(n, C) < GL(2n, R)
에 해당하며, 실수 차원은 각각 n², 2n², 4n² = (2n)²이다. 복소수 n차원 행렬은 선형 복소 구조를 보존하는 실수 2n차원 행렬로 특징지을 수 있으며, 구체적으로는 J² = −I인 행렬 J와 교환하며, 여기서 J는 허수 단위 i를 곱하는 것에 해당한다.

GL(n, C)^영어에 해당하는 리 대수는 교환자를 리 괄호로 사용하는 모든 n×n 복소수 행렬로 구성된다.

실수 경우와 달리, GL(n, C)^영어는 연결 공간이다. 이는 부분적으로 복소수의 곱셈군 C^∗가 연결되어 있기 때문이다. 군 다양체 GL(n, C)^영어는 콤팩트하지 않으며, 대신 그 극대 콤팩트 부분군은 유니타리 군 U(n)이다. U(n)과 마찬가지로, 군 다양체 GL(n, C)^영어는 단순 연결되어 있지 않지만 기본군은 Z와 동형이다.

3.3. 유한체 일반선형군

유한체 ℱ_q 위의 일반선형군 GL(n; ℱ_q)는 GL(n;q)로 쓰기도 하며, 유한군이다. 그 크기는 다음과 같다.

:(qⁿ - 1)(qⁿ - q)(qⁿ - q²) ... (qⁿ - qⁿ⁻¹)

p가 소수일 때, GL(n, p)는 군 Z_pⁿ의 자기 동형 사상 군이다.(Z_pⁿ은 아벨 군이므로 내부 자기 동형 사상 군은 자명하다.)

GL(n, q)의 차수는 다음과 같다.

:$\backslash prod\_\{k=0\}^\{n-1\}(q^n-q^k)=(q^n\; -\; 1)(q^n\; -\; q)(q^n\; -\; q^2)\backslash \; \backslash cdots\backslash \; (q^n\; -\; q^\{n-1\}).$

이는 행렬의 가능한 열을 세어 나타낼 수 있다. 첫 번째 열은 영 벡터가 아니어야 하고, 두 번째 열은 첫 번째 열의 배수가 아니어야 하며, 일반적으로 k번째 열은 처음 k − 1열의 선형 덮개에 속하지 않는 벡터일 수 있다. q-아날로그 표기법으로는 $[n]\_q!(q-1)^n\; q^\{n\; \backslash choose\; 2\}$이다.

예를 들어 GL(3, 2)는 차수가 168( = (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4))이며, 파노 평면과 그룹 Z₂³의 자기 동형 사상 군이다. 이 그룹은 PSL(2, 7)과도 동형이다.

원소 1개 체의 철학에서는 대칭군을 원소 1개 체 위의 일반 선형군으로 해석한다(S_n ≅ GL(n, 1)).

이원체 F₂ {{=}} Z/2Z^영어 상의 2차 정칙 행렬 전체 GL₂(F₂)는 3차 대칭군과 동형이며, 다음 6개의 행렬로 구성된다.

:$$
\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2)
= \left \{
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix},\
\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix},\
\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix},\
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix},\
\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix},\
\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\right \}


q원체 F_q^영어 위의 일반선형군 GL_n(F_q)^영어의 위수는 다음과 같다.

:$$
\vert \operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q) \vert
= (q^n -1)(q^n - q) \dotsm (q^n - q^{n - 1})
= q^{n(n - 1)/2} \prod_{m = 1}^n (q^m - 1)


특히 주대각 성분이 모두 1인 위쪽 또는 아래쪽 삼각 행렬로 구성된 부분군 U는 위수가 q^{n(n − 1)/2영어}이므로, 유한체의 위수 q를 나누는 소수 p에 관한 실로 부분군이다.

일반선형군은 브뤼아 분해된다. 즉, B를 보렐 부분군^한국어(상 또는 하 삼각 행렬로 구성된 부분군), W를 바일 군(치환 행렬로 구성된 부분군)이라 할 때, 일반선형군 G = GL_n(F)는 양쪽 잉여류로 다음과 같이 분해된다.

: G = BWB = ∪_{w ∈ W} BwB

일반선형군은 BN 쌍을 갖는다. G의 대각 행렬로 구성된 부분군 T의 G에서의 정규화 부분군을 N = N_G(T)라고 하면, N은 단항 행렬로 구성된 부분군이고, (B, N)은 BN 쌍을 이룬다.

4. 부분군

행렬식이 1인 모든 행렬의 군은 특수선형군(SL)이라고 불리며, 일반선형군의 정규 부분군이다. 특수선형군은 다항식 방정식을 만족하는 대수적 다양체를 이룬다. 행렬식은 군 준동형 사상 det: GL(n, F) → F^× (여기서 F^×는 F의 곱셈군)을 정의하며, 이 사상의 커널이 특수선형군이다. 제1 동형 정리에 따라 GL(n, F)/SL(n, F)는 F^×와 동형이며, GL(n, F)는 SL(n, F)와 F^×의 반직접곱으로 표현할 수 있다.

F가 실수체(R) 또는 복소수체(C)인 경우, SL(n, F)는 GL(n, F)의 리 부분군이며 차원은 $n^2\; -\; 1$이다. SL(n, F)의 리 대수는 트레이스가 0인 F 위의 모든 $n\; \backslash times\; n$ 행렬로 구성되며, 리 괄호는 교환자로 주어진다. SL(n, R)은 Rⁿ의 부피와 방향을 보존하는 선형 변환의 군으로 특징지을 수 있다.

가역 대각 행렬의 집합은 (F^×)ⁿ과 동형인 일반선형군의 부분군을 형성한다. 실수체와 복소수체에서 이는 공간의 크기 조절(팽창과 수축)에 해당한다. 항등 행렬에 상수를 곱한 스칼라 행렬들의 집합은 F^×와 동형인 부분군을 형성하며, 이는 군의 중심이자 정규 아벨 부분군이다.

고전군은 벡터 공간 V 상의 특정 쌍선형 형식을 보존하는 GL(V)의 부분군이다. 여기에는 직교군(O(V)), 심플렉틱 군(Sp(V)), 유니타리 군(U(V)) 등이 포함되며, 이들은 리 군의 중요한 예시이다.

4.1. 특수선형군

행렬식이 1인 모든 행렬의 군이다. 이들은 하위 대수적 다양체에 속한다는 점에서 특별하다. 즉, 다항식 방정식을 만족한다 (행렬식이 성분에 대한 다항식이므로). 이러한 유형의 행렬은 두 행렬의 곱의 행렬식이 각 행렬의 행렬식의 곱이므로 군을 형성한다. SL^영어(n, F)는 GL^영어(n, F)의 정규 부분군이다.

F^×를 F의 곱셈군(0 제외)으로 표기하면, 행렬식은 다음과 같은 군 준동형 사상이다.
:det: GL^영어(n, F) → F^×.
이는 전사이며, 커널은 특수선형군이다. 따라서 제1 동형 정리에 의해 GL^영어(n, F)/SL^영어(n, F)는 F^×와 동형이다. 사실, GL^영어(n, F)는 다음과 같이 반직접곱으로 표현할 수 있다.
:GL^영어(n, F) = SL^영어(n, F) ⋊ F^×

특수선형군은 $n\; \backslash ne\; 2$이거나 k가 유한체의 원소인 체가 아닌 경우 GL^영어(n, F) (체 또는 나눗셈환 F)의 도출군(교환자 부분군이라고도 함)이다.

F가 R 또는 C일 때, SL^영어(n, F)는 GL^영어(n, F)의 리 부분군이며 차원은 $n^2\; -\; 1$이다. SL^영어(n, F)의 리 대수는 F 위의 모든 $n\; \backslash times\; n$ 행렬로 구성되며 트레이스는 0이다. 리 괄호는 교환자에 의해 주어진다.

특수선형군 SL^영어(n, R)은 Rⁿ의 부피와 방향을 보존하는 선형 변환의 군으로 특징지을 수 있다.

군 SL^영어(n, C)는 단일 연결되어 있지만, SL^영어(n, R)은 그렇지 않다. SL^영어(n, R)은 GL^영어+(n, R)과 동일한 기본군을 가지며, 즉 $n\; =\; 2$인 경우 Z이고 $n\; >\; 2$인 경우 Z₂이다.

4.2. 대각 부분군

가역 대각 행렬의 집합은 (F^×)ⁿ과 동형인 의 부분군을 형성한다. 체 R(실수)과 C(복소수)에서, 이는 공간의 크기 조절, 즉 팽창과 수축에 해당한다.

스칼라 행렬은 항등 행렬에 상수를 곱한 대각 행렬이다. 모든 0이 아닌 스칼라 행렬의 집합은 F^×와 동형인 의 부분군을 형성한다. 이 군은 의 중심이다. 특히, 정규 아벨 부분군이다.

4.3. 고전군

고전군은 벡터 공간 V 상의 어떤 종류의 쌍선형 형식을 보존하는 GL(V)^영어의 부분군이다. 여기에는 다음이 포함된다.

* 직교군(O(V)^영어)은 V상의 비퇴화 이차 형식을 보존한다.
* 심플렉틱 군(Sp(V)^영어)은 V상의 심플렉틱 형식(비퇴화 교대 형식)을 보존한다.
* 유니타리 군(U(V)^영어)은 F = C^영어일 때, V상의 비퇴화 에르미트 형식을 보존한다.

이러한 군들은 리 군의 중요한 예시를 제공한다.

5. 관련 군

사영 선형군 PGL(n, F)와 사영 특수 선형군 PSL(n, F)는 GL(n, F)과 SL(n, F)을 중심(항등 행렬의 상수배로 구성됨)으로 나눈 몫군이다. 이들은 관련된 사영 공간에 대한 유도된 작용이다.

아핀 군 Aff(n, F)는 GL(n, F)의 군 확장이며, Fⁿ에서의 평행이동 군에 의해 확장된다. 이는 다음과 같은 반직접곱으로 표현될 수 있다.

:Aff(n, F) = GL(n, F) ⋉ Fⁿ

여기서 GL(n, F)는 자연스러운 방식으로 Fⁿ에 작용한다. 아핀 군은 벡터 공간 Fⁿ을 밑으로 하는 아핀 공간의 모든 아핀 변환들의 군으로 볼 수 있다. 특수 아핀 군은 반직접곱 SL(n, F) ⋉ Fⁿ에 의해 정의되는 부분군이며, 푸앵카레 군은 로렌츠 군 O(1, 3, F) ⋉ Fⁿ과 관련된 아핀 군이다.

일반 반선형군 ΓL(n, F)은 모든 가역 반선형 변환의 군이며, GL을 포함한다. 반선형 변환은 "스칼라 곱셈 하에서 체 자기 동형 사상을 제외하고" 선형인 변환, 즉 "왜곡을 제외하고" 선형인 변환을 의미한다. 이는 다음과 같은 반직접곱으로 나타낼 수 있다.

:ΓL(n, F) = Gal(F) ⋉ GL(n, F)

여기서 Gal(F)는 F의 갈루아 군(소체 위에서)이며, 항목에 대한 갈루아 작용으로 GL(n,F)에 작용한다. ΓL(n, F)의 주요 관심사는 연관된 사영 반선형군 PΓL(n, F) (PGL(n, F)를 포함)이 사영 공간의 공선형 변환군이며, n > 2인 경우 반선형 사상은 사영 기하학에서 중요하게 사용된다.

5.1. 사영 선형군

사영 선형군 PGL(n, F)와 사영 특수 선형군 PSL(n, F)는 GL(n, F)과 SL(n, F)을 중심(항등 행렬의 상수배로 구성됨)으로 나눈 몫군이다. 이들은 관련된 사영 공간에 대한 유도된 작용이다.

5.2. 아핀 군

아핀 군 Aff(n, F)는 GL(n, F)의 군 확장이며, Fⁿ에서의 평행이동 군에 의해 확장된다. 이는 다음과 같은 반직접곱으로 표현될 수 있다.

:Aff(n, F) = GL(n, F) ⋉ Fⁿ

여기서 GL(n, F)는 자연스러운 방식으로 Fⁿ에 작용한다. 아핀 군은 벡터 공간 Fⁿ을 밑으로 하는 아핀 공간의 모든 아핀 변환들의 군으로 볼 수 있다.

일반 선형 군의 다른 부분군에 대해서도 유사한 구성을 가질 수 있다. 예를 들어, 특수 아핀 군은 반직접곱 SL(n, F) ⋉ Fⁿ에 의해 정의되는 부분군이며, 푸앵카레 군은 로렌츠 군 O(1, 3, F) ⋉ Fⁿ과 관련된 아핀 군이다.

5.3. 일반 반선형군

일반 반선형군 ΓL(n, F)은 모든 가역 반선형 변환의 군이며, GL을 포함한다. 반선형 변환은 "스칼라 곱셈 하에서 체 자기 동형 사상을 제외하고" 선형인 변환, 즉 "왜곡을 제외하고" 선형인 변환을 의미한다. 이는 다음과 같은 반직접 곱으로 나타낼 수 있다.
:ΓL(n, F) = Gal(F) ⋉ GL(n, F)
여기서 Gal(F)는 F의 갈루아 군(소체 위에서)이며, 항목에 대한 갈루아 작용으로 GL(n,F)에 작용한다.

ΓL(n, F)의 주요 관심사는 연관된 사영 반선형군 PΓL(n, F) (PGL(n, F)를 포함)이 사영 공간의 공선형 변환군이며, n > 2인 경우 반선형 사상은 사영 기하학에서 중요하게 사용된다는 것이다.

6. 무한 일반선형군

무한 일반 선형군 또는 군의 직접 극한인 안정 일반 선형군은 GL(n, F) → GL(n + 1, F)^영어의 포함 관계의 직접 극한이며, 이는 왼쪽 위 블록 행렬로 나타낼 수 있다. 이는 GL(F) 또는 GL(∞, F)^영어로 표기하며, 유한 개의 위치에서만 항등 행렬과 다른 가역 무한 행렬로 해석할 수도 있다.

이는 대수적 K-이론에서 K₁을 정의하는 데 사용되며, 실수상에서는 보트 주기성에 의해 잘 이해된 위상을 갖는다.

이는 힐베르트 공간 상의 (유계) 가역 연산자 공간과 혼동해서는 안 되는데, 이는 더 큰 군이며, 위상적으로 훨씬 간단하며, 즉 수축 가능성을 갖는다. 쿠이퍼의 정리를 참조하라.

7. 역사

에바리스트 갈루아는 1832년 그의 마지막 편지에서 소수체(prime field) 위의 일반선형군 $GL(\backslash nu,\; p)$를 처음으로 구성하였다. 그는 $p^\backslash nu$ 차수 일반 방정식의 갈루아 군을 연구하면서 이 군을 사용하였고, 그 차수를 계산하였다.