대수적 독립 집합

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 대수적 매트로이드
6. 역사
참조

1. 개요

대수적 독립 집합은 체 L의 부분체 K에 대해, L의 부분 집합 S가 특정 조건을 만족할 때 이를 지칭하는 용어이다. S의 임의의 원소가 K와 S에서 해당 원소를 제외한 집합으로 생성된 체의 초월원일 때, 또는 다항식의 근과 관련된 조건을 만족할 때 대수적 독립 집합이라고 정의된다. 린데만-바이어슈트라스 정리는 대수적 독립 집합의 존재를 보여주는 예시이며, 샤누엘 추측은 대수적 독립성을 확립하는 강력한 도구로 여겨진다. ℝ/ℚ에서 x가 초월수일 때 {x}는 대수적 독립 집합이 되며, π와 e는 대수적 독립 집합의 예시이다. 대수적 독립 집합은 매트로이드의 독립 집합을 정의하며, 이를 대수적 매트로이드라고 한다. 카를 바이어슈트라스는 1885년에 린데만-바이어슈트라스 정리를 증명했다.

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대수적 독립 집합
대수적 독립 집합
정의
대수적 독립	K[x₁, ..., x_n] 안의 모든 0이 아닌 다항식 f에 대해 f(α₁, ..., α_n) ≠ 0이면, S의 원소 α₁, ..., α_n은 K 위에서 대수적으로 독립이다.
대수적 종속	그렇지 않으면, 즉, f(α₁, ..., α_n) = 0인 0이 아닌 다항식 f가 존재하면, α₁, ..., α_n은 대수적으로 종속이다.
대수적 독립 집합	S의 모든 유한 부분집합이 대수적으로 독립이면, S는 K 위에서 대수적으로 독립이다.
성질
기저	L 안의 모든 원소가 S에 대수적인 K 위에서 대수적으로 독립인 집합 S를 L/K의 초월 기저라고 한다. 모든 확장에는 초월 기저가 존재한다.
초월 차수	모든 초월 기저는 동일한 카디널리티를 가지며, 이를 확장의 초월 차수라고 한다.
벡터 공간과의 유사성	초월 기저는 벡터 공간의 기저와 유사하다.
예시	실수 집합 R은 유리수 집합 Q에 대해 연속체의 초월 차수를 가진다. 다항식 환 K[x₁, ..., x_n]의 원소 x₁, ..., x_n은 K에 대해 대수적으로 독립이다.

2. 정의

체 $L$ 의 부분환인 체 $K$ 가 주어졌다고 하자. 이는 $L/K$ 가 체의 확대임을 의미한다.

$L$ 의 부분 집합 $S\subseteq L$ 가 다음 두 조건을 만족하면, $S$ 를 $L/K$ 에 대한 '''대수적 독립 집합'''이라고 한다. 이 두 조건은 서로 동치이다.

집합 $S$ 안의 임의의 원소 $s$ 에 대해, $s$ 는 $K$ 와 $S$ 에서 $s$ 를 제외한 나머지 원소들( $K\cup S\setminus \{s\}$ )로 생성되는 체 $\tilde K$ ( $K\le \tilde K \le L$ ) 위에서 초월원이다. 즉, $s$ 는 계수가 $\tilde K$ 에 속하는 어떤 0이 아닌 다항식의 해도 되지 않는다.
$S$ 에서 서로 다른 원소 $s_1, s_2, \dots, s_n$ 을 뽑고, 계수가 $K$ 에 속하는 0이 아닌 다항식 $p(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 에 대해 $p(s_1, s_2, \dots, s_n) = 0$ 이 성립하지 않는다.

예를 들어, 실수

\sqrt{\pi}

와

2\pi+1

은 각각 초월수이다. 이는 계수가 유리수인 0이 아닌 다항식의 해가 될 수 없다는 의미이다. 따라서 각각의 단일 집합

\{\sqrt{\pi}\}

와

\{2\pi+1\}

는 유리수 체

\mathbb{Q}

위에서 대수적으로 독립이다.

하지만, 두 원소를 포함하는 집합

\{ \sqrt{\pi}, 2\pi+1 \}

는 유리수 체

\mathbb{Q}

위에서 대수적으로 독립이 ''아니다''. 왜냐하면 계수가 유리수인 0이 아닌 다항식

P(x,y)=2x^2-y+1

에 대해,

x=\sqrt{\pi}

이고

y=2\pi+1

를 대입하면

P(\sqrt{\pi}, 2\pi+1) = 2(\sqrt{\pi})^2 - (2\pi+1) + 1 = 2\pi - 2\pi - 1 + 1 = 0

이 성립하기 때문이다. 이는 두 원소 사이에 유리수 계수를 가지는 대수적 관계가 존재함을 의미한다.

3. 성질

$\mathbb R/\mathbb Q$ 에 대한 대수적 독립 유한 집합 $S$ 가 주어졌으며, $S$ 가 $\mathbb Q$ 에 대하여 선형 독립 집합이라고 하자. '''린데만-바이어슈트라스 정리'''(Lindemann–Weierstrass theorem^영어)에 따르면, $\{\exp s\colon s\in S\}$ 역시 $\mathbb R/\mathbb Q$ 에 대한 대수적 독립 집합이다.

린데만-바이어슈트라스 정리는 어떤 집합이 $\mathbb{Q}$ 상에서 대수적으로 독립임을 증명하는 데 자주 사용될 수 있다. 이 정리는 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 이 $\mathbb{Q}$ 상에서 선형 독립인 대수적 수일 때, $e^{\alpha_1},\ldots,e^{\alpha_n}$ 도 $\mathbb{Q}$ 상에서 대수적으로 독립임을 말한다.

$\pi$ 와 $e$ 는 모두 초월수임이 알려져 있지만, 이들의 집합이 $\mathbb{Q}$ 상에서 대수적으로 독립적인지는 알려져 있지 않다.^[1] 사실, $\pi+e$ 가 무리수인지조차 알려져 있지 않다.^[2]

네스테렌코는 1996년에 다음을 증명했다.

$\pi$ , $e^\pi$ , $\Gamma(1/4)$ 는 $\mathbb{Q}$ 상에서 대수적으로 독립적이다. 여기서 $\Gamma$ 는 감마 함수이다.^[3]
$e^{\pi\sqrt{3}}$ 와 $\Gamma(1/3)$ 는 $\mathbb{Q}$ 상에서 대수적으로 독립적이다.
모든 양의 정수 $n$ 에 대해, $e^{\pi\sqrt{n}}$ 는 $\mathbb{Q}$ 상에서 대수적으로 독립적이다.^[4]

더 강력한 도구는 현재 증명되지 않은 샤누엘 추측인데, 이 추측이 증명된다면

\pi

와

e

를 포함한 많은 수의 대수적 독립성을 확립할 것이다. 이 추측은 다음과 같다.

\{z_1,...,z_n\}

을

\mathbb Q

상에서 선형 독립인

n

개의 복소수 집합이라고 하자. 체 확장

\mathbb Q (z_1,...,z_n,e^{z_1},...,e^{z_n})

은

\mathbb Q

상에서 최소한

n

의 초월 차수를 갖는다.

4. 예

체의 확대 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 에서, 정의에 따라 한원소 집합 $\{x\}$ 가 대수적 독립 집합일 필요충분조건은 $x$ 가 초월수인 것이다.

$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 에 대해 대수적으로 독립인 집합의 예는 다음과 같다.

$\{ \pi \}$ (π는 초월수이다.)
$\{ e \}$ (e는 초월수이다.)

\mathbb{R}/\mathbb{Q}

에 대해 대수적으로 독립이 아닌 집합의 예는 다음과 같다.

$\{ \sqrt{3} + 3/4 \}$ ( $\sqrt{3} + 3/4$ 는 대수적 수이다.)
$\{ \pi, \sqrt{3} + 3/4 \}$ (집합의 원소 중 $\sqrt{3} + 3/4$ 가 대수적이므로, 전체 집합은 대수적으로 독립이 아니다.)
$\{ \sqrt{\pi}, 2\pi+1 \}$ . 두 실수 $\sqrt{\pi}$ 와 $2\pi+1$ 은 각각 초월수이다. 즉, 계수가 유리수인 비자명 다항식의 근이 아니다. 따라서 두 단일 집합 $\{\sqrt{\pi}\}$ 와 $\{2\pi+1\}$ 는 유리수 체 $\mathbb{Q}$ 에 대해 각각 대수적으로 독립이다. 그러나 집합 $\{ \sqrt{\pi}, 2\pi+1 \}$ 는 유리수에 대해 대수적으로 독립이 '''아니다'''. 왜냐하면 비자명 다항식 $P(x,y)=2x^2-y+1$ 에 대해 $x=\sqrt{\pi}$ 이고 $y=2\pi+1$ 일 때 $P(\sqrt{\pi}, 2\pi+1) = 2(\sqrt{\pi})^2 - (2\pi+1) + 1 = 2\pi - 2\pi - 1 + 1 = 0$ 이 성립하기 때문이다.
$\{ \pi, e^{\pi\sqrt{3}}, \Gamma(1/3) \}$
임의의 양의 정수 $n$ 에 대하여, $\{ \pi, e^{\pi\sqrt{n}} \}$

2018년 기준으로,

\mathbb{R}/\mathbb{Q}

에 대해 다음 집합들이 대수적 독립 집합인지 여부는 알려지지 않았다. (2023년 현재까지도 미해결 문제이다.)

$\{ \pi + e \}$ ( $\pi+e$ 가 무리수인지조차 알려져 있지 않다.^[2])
$\{ \pi, e \}$ (π와 e는 각각 초월수이지만, 이 둘로 이루어진 집합이 대수적으로 독립인지는 알려지지 않았다.^[1])

유리 네스테렌코(Yuri Nesterenko)는 1996년에 다음 집합들이

\mathbb{Q}

상에서 대수적으로 독립임을 증명했다.

집합 $\{ \pi, e^\pi, \Gamma(1/4) \}$ . 여기서 $\Gamma$ 는 감마 함수이다.^[3]
집합 $\{ e^{\pi\sqrt{3}}, \Gamma(1/3) \}$ .
모든 양의 정수 $n$ 에 대해, 집합 $\{ e^{\pi\sqrt{n}} \}$ .^[4] (이는 $e^{\pi\sqrt{n}}$ 가 초월수임을 의미한다.)

5. 대수적 매트로이드

대수적이지 않은 체 확대 L/K가 주어지면, 초른의 보조정리를 사용하여 K 위에 L의 최대 대수적 독립 부분 집합이 항상 존재함을 보일 수 있다. 또한, 모든 최대 대수적 독립 부분 집합은 기수가 같으며, 이를 확대의 초월 차수라고 한다.

L의 원소 집합 S에 대해, S의 대수적 독립 부분 집합은 매트로이드의 독립 집합을 정의하는 공리를 만족한다. 이 매트로이드에서, 원소 집합의 랭크는 그 초월 차수이고, 원소 집합 T에 의해 생성된 평면은 L과 체 K[T]의 교집합이다. 이런 방식으로 생성될 수 있는 매트로이드를 대수적 매트로이드라고 한다. 대수적 매트로이드에 대한 좋은 특성화는 알려져 있지 않지만, 특정 매트로이드가 대수적이지 않은 것으로 알려져 있으며, 그중 가장 작은 것은 바모스 매트로이드이다.^[5]

많은 유한 매트로이드는 체 K 위의 행렬로 표현될 수 있으며, 여기서 매트로이드 원소는 행렬 열에 해당하고, 원소 집합은 해당 열 집합이 선형 독립이면 독립적이다. 이 유형의 선형 표현을 갖는 모든 매트로이드는 행렬의 각 행에 대해 미지수를 선택하고 각 열 내의 행렬 계수를 사용하여 각 매트로이드 원소에 이러한 초월수의 선형 조합을 할당함으로써 대수적 매트로이드로 표현될 수도 있다. 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 모든 대수적 매트로이드가 선형 표현을 갖는 것은 아니다.^[6]

6. 역사

린데만-바이어슈트라스 정리는 카를 바이어슈트라스가 1885년에 증명하였다.^[7]

참조

_[1] 서적 Field and Galois Theory https://books.google[...] Springer 2008-04-11
_[2] 간행물 The Princeton Companion to Mathematics Princeton University Press
_[3] 서적 Introduction to Modern Number Theory
_[4] 논문 Modular Functions and Transcendence Problems
_[5] 간행물 Non-algebraic matroids exist
_[6] 간행물 Applied Discrete Structures https://books.google[...] New Age International
_[7] 저널 Zu Lindemann’s Abhandlung “Über die Ludolph’sche Zahl”

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