행렬 이론

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1. 개요
2. 역사와 어원
3. 유도
4. 정의
참조

1. 개요

행렬 이론은 M이론을 나타내는 BFSS 행렬 이론, IIB종 초끈 이론을 나타내는 IKKT 행렬 이론, 평면파 배경에서의 M이론을 나타내는 BMN 행렬 이론 등이 있다. IIA종 초끈 이론에서 끈 결합 상수가 매우 작을 때, 11번째 차원의 반지름이 커져 M이론으로 다룰 수 있으며, 11번째 차원에 로런츠 변환을 취하면 운동량의 11번째 차원 크기가 양자화된다. 특정 극한에서 유한한 에너지를 가진 상태들은 N개의 D0-막과 여기에 붙은 바닥 상태 열린 끈 뿐이며, 이를 통해 11차원 M이론을 N개의 겹친 D0-막의 세계선 위에 존재하는 양자역학적 모형으로 나타낼 수 있는데, 이것이 행렬 이론이다. N개의 겹친 D0-막의 해밀토니언을 가지는 양자역학계를 행렬 이론이라고 한다.

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행렬 이론
개요
유형	물리학 이론
분야	끈 이론
설명	끈 이론을 비섭동적으로 정의하는 일련의 방정식
상세 정보
관련 개념	행렬 끈 이론 M이론 BFSS 행렬 모형 양자장론
참고 문헌	Banks, T.; Fischler, W.; Shenker, S. H.; Susskind, L. (1997). 《M Theory As A Matrix Model: A Conjecture》. Physical Review D. 55 (8): 5112–5128. arXiv:hep-th/9610043. doi:10.1103/PhysRevD.55.5112.
외부 링크	트위스트 칠판: M(atrix) 이론 끈 이론

2. 역사와 어원

1996년에 토머스 뱅크스(Thomas Banks^eng)와 빌리 피스흘러르(Willy Fischler^nld), 스티븐 하트 솅커(Stephen Hart Shenker^eng)와 레너드 서스킨드가 발견하였다.^[1] 영어명인 M(atrix)^eng는 행렬을 뜻하는 matrix|메이트릭스^eng의 머릿글자가 M이론과 같은 "M"임을 농으로 딴 것이다. 발견자들의 이름을 따 '''BFSS 행렬 이론'''(BFSS matrix theory^eng)이라고 하기도 한다.

민코프스키 공간에서의 M이론을 나타내는 BFSS 행렬 이론 뒤에, IIB종 초끈 이론을 나타내는 '''IKKT 행렬 이론'''^[2]이나, 평면파 배경에서의 M이론을 나타내는 '''BMN 행렬 이론'''^[3] 등이 발견되었다.

3. 유도

IIA종 초끈 이론에서, 끈 결합 상수 $g_\text{s}$ 가 매우 작은 경우를 생각한다. 이 경우, 11번째 차원의 반지름 $R=g_\text{s}\sqrt{\alpha'}$ 이 매우 커지므로, IIA종 초끈 이론은 11차원에 존재하는 M이론으로 다룰 수 있다.

11번째 차원으로 로런츠 변환을 취하면, 11번째 차원이 축소화되어 있으므로 운동량의 11번째 차원 성분은 $1/R$ 의 단위로 양자화된다. 즉,

: $p_{11}=N/R$ ( $N\in\mathbb Z$ )

이다. 여기서 다음과 같은 극한을 취한다.

: $R\to\infty$

: $N/R\to\infty$

이 극한에서 유한한 에너지를 가진 상태들은 ''N''개의 D0-막과 여기에 붙은 바닥 상태의 열린 끈 뿐이다.^[1] 이는 로런츠 변환을 통해 얻어진 결과이므로, 11차원 M이론을 ''N''개의 겹친 D0-막의 세계선 위에 존재하는 양자역학적 모형으로 나타낼 수 있음을 의미한다. 이를 '''행렬 이론'''이라고 부른다.

4. 정의

빛의 속력보다 매우 느린, ''N''개의 겹친 D0-막의 해밀토니언은 다음과 같이 주어진다.

: $H=\operatorname{tr}\left(\frac{g_\text{s}\ell_\text{s}}2\sum_{i=1}^9P_iP_i-\sum_{i,j=1}^9\frac1{16\pi^2g_\text{s}\ell_\text{s}^5}[X^i,X^j]^2-\sum_{i=1}^9\frac1{4\pi\ell_\text{s}^2}\lambda\Gamma^0\Gamma^i[X^i,\lambda]\right)$

여기서 $\ell_\text{s}=\sqrt{\alpha'}$ 는 끈 길이이고, $g_\text{s}=\exp(\langle\Phi\rangle)$ 는 닫힌 끈 결합 상수이다. D0-막의 정지 질량 항 $N/(g_\text{s}\ell_\text{s})$ 은 편의상 생략되었다.

이 해밀토니언에서 $X^i$ 와 $P_i$ 는 각각 $N\times N$ 에르미트 행렬이며, 다음과 같은 정준 교환 관계를 만족한다.

: $[(X^i)^a{}_b,(P_j)^c{}_d]=i\delta^i_j\delta^a_c\delta^b_d$

$\lambda$ 또한 $N\times N$ 에르미트 행렬이며, 이 행렬의 각 성분은 마요라나-바일 스피너이다.

이러한 해밀토니언을 가지는 양자역학계를 행렬 이론이라고 한다.

M이론의 변수인 11차원 플랑크 반지름 $R=g_\text{s}\ell_\text{s}$ 와 플랑크 길이 $\ell_\text{p}=g_\text{s}^{1/3}\ell_\text{s}$ 를 사용하여 해밀토니언을 다시 표현하면 다음과 같다.

: $H=R\operatorname{tr}\left(\frac12\sum_{i=1}^9P_iP_i-\sum_{i,j=1}^9\frac1{16\pi^2\ell_\text{p}^6}[X^i,X^j]^2-\sum_{i=1}^9\frac 1{4\pi\ell_\text{p}^2}\lambda\Gamma^0\Gamma^i[X^i,\lambda]\right)$

참조

_[1] 논문 M Theory As A Matrix Model: A Conjecture 1997-04
_[2] 논문 IKKT관련
_[3] 논문 BMN관련

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