축소화

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1. 개요
2. 끈 이론과 축소화
3. 칼라비-야우 다양체와 축소화
4. 다발 축소화
5. F이론
참조

1. 개요

축소화는 끈 이론과 M-이론에서 관측 가능한 4차원 물리를 얻기 위해 고차원 시공간을 4차원으로 줄이는 과정을 의미한다. 끈 이론은 10차원, M-이론은 11차원에서 존재하며, 추가 차원은 칼라비-야우 다양체와 같은 내부 공간에 "감겨" 있는 것으로 간주한다. 이러한 축소화는 칼루차-클라인 이론의 일반화이며, 플럭스 축소화, T-쌍대성, F-이론과 같은 다양한 방식으로 이루어진다. 축소화를 통해 얻어지는 4차원 이론은 호지 수와 같은 내부 공간의 위상적 성질에 의해 결정되며, 모듈러스 안정화와 같은 문제와 관련된다.

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축소화
개요
칼라비-야우 다양체는 6차원 축소화의 일반적인 기하학적 구조입니다.
정의	고차원 공간의 차원을 줄여 낮은 차원의 공간으로 만드는 방법
분야	이론 물리학 수학
상세 내용
관련 이론	끈 이론 초끈 이론
목적	고차원 물리 이론을 낮은 차원에서 설명하기 위함
방법	여분의 차원을 작은 크기로 압축 낮은 에너지에서는 관측되지 않도록 함
중요성	끈 이론에서 표준 모형과 유사한 물리 모형을 구축하는 데 필수적임 칼라비-야우 다양체와 같은 복잡한 수학적 구조와 관련됨
수학적 배경
관련 개념	다양체 리만 기하학 위상수학
칼라비-야우 다양체	축소화 과정에서 중요한 역할을 하는 특별한 종류의 복소다양체
응용
끈 이론 모형 구축	6차원 공간을 칼라비-야우 다양체로 축소하여 4차원 시공간에서 물리 현상을 설명
거울 대칭	서로 다른 칼라비-야우 다양체가 동일한 물리 현상을 나타내는 현상
참고
관련 용어	차원 시공간 표준 모형
추가 정보
관련 연구자	에드워드 위튼 앤드루 스트로밍거 컴런 바파

2. 끈 이론과 축소화

초끈 이론은 10차원, M이론은 11차원에서 존재하므로, 우리가 관측하는 4차원의 물리를 얻으려면 10차원 또는 11차원을 4차원으로 축소해야 한다. 대개 $\mathbb R^4\times K$ 와 같은 꼴의 곱공간이라는 가정을 사용한다. 여기서 K는 내부공간을 나타낸다.

4차원에 초대칭이 하나 남아 있고, 비틀림이 없다고 가정한다. 비틀림은 2차 미분 형식 캘브-라몽 장 $B_2$ 의 3차 미분 형식 장세기 $H_3$ 을 의미한다. 이러한 가정 하에서는 초대칭을 나타내는 평행(parallel, covariantly constant) 바일 스피너장(킬링 스피너)이 존재해야 한다. 이는 축소하는 내부공간 $K$ 가 (복소 3차원) 칼라비-야우 다양체일 때만 가능하다. 즉, 내부공간은 초대칭에 의해 자연스럽게 복소 구조 및 켈러 구조를 지니고, 그 계량 텐서는 리치 곡률이 0이다.

칼루차-클라인 이론에 따르면, 추가 공간은 내부공간에서 복소 미분 형식을 이룬다. 복소 형식의 무질량 모드는 라플라스 방정식을 만족하므로, 조화 형식을 이룬다. $(p,q)$ -조화 형식은 호지 이론에 의해 돌보 코호몰로지 $H^{p,q}$ 에 대응하며, 따라서 특정 형식의 무질량 모드의 수는 돌보 코호몰로지의 차원, 즉 호지 수 $h^{p,q}$ 와 같다. 호지 수는 위상적으로 결정되므로, 내부공간의 호지 수를 알면 (계량형식 등을 몰라도) 4차원에서 등장하는 무질량 입자의 스펙트럼을 알 수 있다.

이렇게 하여 얻는 해는 대개 실제 관측되지 않는 무질량 스칼라(모듈러스)를 포함한다. 이를 '''모듈러스 안정화'''(stabilization of moduli) 문제라고 부른다.

2. 1. 여분 차원

현대 끈 이론에서, 축소화는 칼루차-클라인 이론의 일반화이다.^[1] 이는 관측 가능한 4차원 시공간에 기반한 우리 우주에 대한 개념과, 이론적 방정식이 우주가 10, 11, 또는 26차원으로 이루어져 있다고 가정하는 것 사이의 간극을 조화시키려 한다.

이 목적을 위해 여분 차원이 자체적으로 "감겨져" 있거나, 칼라비-야우 다양체 또는 오비폴드 위에 "말려" 있다고 가정한다. 축소된 방향이 플럭스를 지원하는 모델은 ''플럭스 축소화''로 알려져 있다. 끈이 분리되고 재결합할 확률을 결정하는 끈 이론의 결합 상수는 딜라톤이라고 불리는 장으로 설명될 수 있다. 이는 다시 축소된 추가 (11번째) 차원의 크기로 설명될 수 있다. 이러한 방식으로, 10차원 IIA형 끈 이론은 11차원의 M-이론의 축소화로 설명될 수 있다. 또한, 끈 이론의 다양한 버전은 T-쌍대성으로 알려진 절차에서 서로 다른 축소화에 의해 관련된다.

이 맥락에서 축소화의 의미에 대한 더 정확한 버전의 공식화는 신비로운 쌍대성과 같은 발견에 의해 촉진되었다.

2. 2. 플럭스 축소화

비틀림이 없다는 가정을 생략하면, 다발 축소화(flux compactification)라고 불리는 4차원 진공을 얻는다.^[3]^[4]^[5] 이러한 경우에는 모듈러스를 안정화시키는 것이 더 용이할 때가 많다.

축소된 방향이 플럭스를 지원하는 모델은 ''플럭스 축소화''로 알려져 있다.

'''플럭스 축소화'''는 끈 이론에서 요구되는 추가 차원을 다루는 특정한 방식이다.

내부 다양체의 모양이 칼라비-야우 다양체 또는 일반화된 칼라비-야우 다양체이며, 이는 전자기장의 개념을 일반화하는 미분 형식인 플럭스의 0이 아닌 값을 갖는다고 가정한다(p-형식 전기역학 참조).

인간 원리적 풍경에 대한 가설적 개념은 끈 이론의 규칙을 위반하지 않으면서 플럭스를 특징짓는 정수를 선택할 수 있는 많은 가능성에서 비롯된다. 플럭스 축소화는 F-이론 진공 또는 IIB형 끈 이론 진공으로, D-브레인을 갖거나 갖지 않는 것으로 설명할 수 있다.

2. 3. 딜라톤과 끈 결합 상수

현대 끈 이론에서 축소화는 칼루차-클라인 이론의 일반화이다.^[1] 끈이 분리되고 재결합할 확률을 결정하는 끈 이론의 결합 상수는 딜라톤이라고 불리는 장으로 설명될 수 있다. 이는 다시 축소된 추가 (11번째) 차원의 크기로 설명될 수 있다. 이러한 방식으로, 10차원 IIA형 끈 이론은 11차원의 M-이론의 축소화로 설명될 수 있다. 또한, 끈 이론의 다양한 버전은 T-쌍대성으로 알려진 절차에서 서로 다른 축소화에 의해 관련된다.

2. 4. T-쌍대성

현대 끈 이론에서는 T-쌍대성으로 알려진 과정을 통해 끈 이론의 다양한 버전이 서로 다른 축소화와 관련되어 있다.^[1]

3. 칼라비-야우 다양체와 축소화

초끈 이론과 M이론에서 우리 우주의 4차원 시공간을 설명하기 위해 추가 차원을 축소하는 방법 중 하나는 칼라비-야우 다양체를 이용하는 것이다. 칼라비-야우 다양체는 초대칭을 보존하고, 리치 곡률이 0인 복소 구조 및 켈러 구조를 가지는 특별한 공간이다.

II종 끈 이론을 3차원 칼라비-야우 다양체에 축소화하면, 호지 수에 따라 결정되는 4차원 초중력 이론을 얻는다. IIA종 이론과 IIB종 이론은 서로 다른 수의 벡터 초다중항과 하이퍼 초다중항을 가지는데, 이는 거울 대칭으로 설명할 수 있다.^[1]

칼루차-클라인 이론에 따르면, 축소화 과정에서 추가 공간은 내부공간에서 복소 미분 형식을 이룬다. 이 복소 형식의 무질량 모드는 조화 형식을 이루며, 그 수는 돌보 코호몰로지의 차원, 즉 호지 수와 같다. 따라서 내부공간의 호지 수를 알면 4차원에서 나타나는 무질량 입자의 스펙트럼을 예측할 수 있다. 그러나 이 과정에서 실제 관측되지 않는 무질량 스칼라, 즉 모듈러스가 발생하는 '''모듈러스 안정화''' 문제가 발생한다.^[2]

이 외에도, 플럭스를 고려하여 추가 차원을 다루는 '''플럭스 컴팩트화''' 방법도 있다. 플럭스 컴팩트화는 인간 원리적 풍경과 관련하여 다양한 가능성을 제시하며, F-theory|F-이론^영어 진공 또는 IIB종 끈 이론 진공으로 설명할 수 있다.

3. 1. 곱공간 가설 풀이

초끈 이론은 10차원에서, M이론은 11차원에서 존재하므로, 우리가 관측하는 4차원의 물리를 얻으려면 10(11)차원을 4차원으로 축소하여야 한다. 대개 이는

\mathbb R^4\times K

와 같은 꼴의 곱공간이라는 가설 풀이를 쓴다. 여기에, 4차원에 초대칭이 하나 남아 있다고 가정한다. (이를 가정하지 않으면 운동 방정식을 손으로 풀어야 하는데, 이는 몹시 어렵다.) 또한, 비틀림이 없다고 가정한다. 여기서 "비틀림"이란 2차 미분 형식 캘브-라몽 장

B_2

의 3차 미분 형식 장세기

H_3

을 일컫는다.

이 경우, 초대칭을 나타내는 평행(parallel|패럴렐^영어) 바일 스피너장(킬링 스피너, Killing spinor|킬링 스피너^영어)이 존재하여야 하는데, 이는 축소하는 내부공간

K

가 (복소 3차원) 칼라비-야우 다양체일 때에만 가능하다. 즉 내부공간은 초대칭에 의하여 자연스럽게 복소 구조 및 켈러 구조를 지니고, 또한 그 계량 텐서는 리치 곡률이 0이다.

이 경우, 칼루차-클라인 이론에 의하여 나타나는 추가 공간은 내부공간에서 복소 미분 형식을 이룬다. 복소 형식의 무질량 모드는 라플라스 방정식을 만족하므로, 조화 형식을 이룬다.

(p,q)

-조화 형식은 호지 이론에 의하여 그 돌보 코호몰로지

H^{p,q}

에 대응하며, 따라서 특정 형식의 무질량 모드의 수는 돌보 코호몰로지의 차원, 즉 호지 수

h^{p,q}

와 같다. 호지 수는 위상적으로 결정되므로, 내부공간의 호지 수를 알면 (계량형식 등을 몰라도) 4차원에서 등장하는 무질량 입자의 스펙트럼을 알 수 있다.

이렇게 하여 얻는 해는 대개 실제 관측되지 않는 무질량 스칼라(모듈러스)를 포함한다. 이를 '''모듈러스 안정화'''(stabilization of moduli|모듈러스 안정화^영어) 문제라고 부른다.

3. 2. 초대칭과 칼라비-야우 다양체

초끈 이론은 10차원, M이론은 11차원에 존재하므로, 우리가 사는 4차원의 물리를 얻으려면 10차원 또는 11차원을 4차원으로 축소해야 한다. 보통

\mathbb R^4\times K

와 같은 형태의 곱공간을 사용한다. 여기서 4차원에 초대칭이 하나 남는다고 가정하면, 축소하는 내부공간

K

는 칼라비-야우 다양체(복소 3차원)가 된다. 즉, 내부공간은 초대칭 때문에 자연스럽게 복소 구조와 켈러 구조를 가지며, 계량 텐서는 리치 곡률이 0이다.

이때, 칼루차-클라인 이론에 따라 추가 공간은 내부공간에서 복소 미분 형식을 이룬다. 복소 형식의 무질량 모드는 라플라스 방정식을 만족하여 조화 형식이 된다.

(p,q)

-조화 형식은 호지 이론에 의해 돌보 코호몰로지

H^{p,q}

에 대응하며, 따라서 특정 형식의 무질량 모드 수는 돌보 코호몰로지의 차원, 즉 호지 수

h^{p,q}

와 같다. 호지 수는 위상적으로 결정되므로, 내부공간의 호지 수를 알면 4차원에 나타나는 무질량 입자의 스펙트럼을 알 수 있다. 이렇게 얻는 해는 보통 실제 관측되지 않는 무질량 스칼라 모듈러스를 포함한다. 이를 '''모듈러스 안정화'''(stabilization of moduli^영어) 문제라고 한다.

플럭스 컴팩트화는 끈 이론에서 추가 차원을 다루는 방법 중 하나이다. 플럭스 컴팩트화에서 내부 다양체는 0이 아닌 플럭스 값을 갖는 칼라비-야우 다양체 또는 일반 칼라비-야우 다양체이다. 플럭스는 전자기장 개념을 일반화한 미분 형식을 말한다(p-형식 전자기학).

끈 이론의 인간 원리 랜드스케이프^[2]는 아주 많은 가능성에서 나온다. 플럭스를 특징짓는 정수는 끈 이론의 규칙을 어기지 않고 선택된다. 플럭스 컴팩트화는 F-theory|F-이론^영어 진공, 또는 D-브레인 유무에 따른 타입 IIB 초끈 이론의 진공으로 나타낼 수 있다.

3. 3. 호지 수와 무질량 모드

초끈 이론은 10차원에서, M이론은 11차원에서 존재하므로, 우리가 관측하는 4차원의 물리를 얻으려면 10차원 또는 11차원을 4차원으로 축소해야 한다. 이 경우, 칼루차-클라인 이론에 따라 추가 공간은 내부공간에서 복소 미분 형식을 이룬다. 복소 형식의 무질량 모드는 라플라스 방정식을 만족하므로, 조화 형식을 이룬다. (p,q)-조화 형식은 호지 이론에 따라 그 돌보 코호몰로지

H^{p,q}

에 대응하며, 따라서 특정 형식의 무질량 모드 수는 돌보 코호몰로지의 차원, 즉 호지 수

h^{p,q}

와 같다. 호지 수는 위상적으로 결정되므로, 내부공간의 호지 수를 알면 (계량형식 등을 몰라도) 4차원에서 등장하는 무질량 입자의 스펙트럼을 알 수 있다. 이렇게 하여 얻는 해는 대개 실제 관측되지 않는 무질량 스칼라(모듈러스)를 포함한다. 이를 '''모듈러스 안정화'''(stabilization of moduli|모듈러스 안정화^영어) 문제라고 부른다.

3. 4. 모듈러스 안정화 문제

초끈 이론과 M이론은 각각 10차원과 11차원에서 존재하므로, 우리가 관측하는 4차원 물리를 얻기 위해서는 10차원 또는 11차원을 4차원으로 축소해야 한다. 이 과정에서 칼루차-클라인 이론에 따라 추가적인 공간이 발생하며, 이 공간은 내부공간에서 복소 미분 형식을 이룬다. 복소 형식의 무질량 모드는 라플라스 방정식을 만족하여 조화 형식을 이룬다. 이렇게 얻어지는 해는 일반적으로 실제 관측되지 않는 무질량 스칼라, 즉 모듈러스를 포함한다. 이러한 현상을 '''모듈러스 안정화'''(stabilization of moduli^영어) 문제라고 한다.^[2]

3. 5. II종 끈 이론의 축소화

II종 끈 이론을 3차원 칼라비-야우 다양체에 축소화하면, 호지 수

h^{1,1}

과

h^{2,1}

에 의해 특징지어지는, 물질을 포함하는 4차원

\mathcal N=2

초중력을 얻는다. 이 이론에서 게이지 및 물질 초다중항은 다음과 같다.

IIA종 이론: $h^{1,1}$ 개의 (아벨 게이지 군) 벡터 초다중항과 $h^{2,1}+1$ 개의 하이퍼 초다중항을 포함한다.
IIB종 이론: $h^{2,1}$ 개의 벡터 초다중항과 $h^{1,1}+1$ 개의 하이퍼 초다중항을 포함한다.

이 두 이론은 호지 수가 서로 "반대"이며, 이는 거울 대칭을 사용하여 설명할 수 있다.^[1]

4. 다발 축소화

비틀림이 없다는 가정을 생략하면, '''다발 축소화'''(flux compactification^영어)라고 불리는 4차원 진공을 얻는다.^[3]^[4]^[5] 이러한 경우에는 모듈러스를 안정화시키는 것이 더 용이할 때가 많다.

5. F이론

F이론은 II종 초끈 이론의 축소화를 나타내는 이론이다. 이 경우, F이론은 12차원에 존재하므로, 8차원 (복소 4차원) 칼라비-야우 다양체에 축소화하게 된다. 끈 이론의 진공들(string landscape|스트링 랜드스케이프^영어)의 대부분은 F이론 축소화들로 이루어진다.

'''플럭스 컴팩트화'''는 끈 이론에서 요구되는 추가 차원을 다루는 특정한 방식이다. 내부 다양체의 모양이 칼라비-야우 다양체 또는 일반화된 칼라비-야우 다양체이며, 이는 전자기장의 개념을 일반화하는 미분 형식인 플럭스의 0이 아닌 값을 갖는다고 가정한다(p-형식 전기역학 참조).

인간 원리적 풍경에 대한 가설적 개념은 끈 이론의 규칙을 위반하지 않으면서 플럭스를 특징짓는 정수를 선택할 수 있는 많은 가능성에서 비롯된다. 플럭스 컴팩트화는 F-이론 진공 또는 IIB형 끈 이론 진공으로, D-브레인을 갖거나 갖지 않는 것으로 설명할 수 있다.^[2]

참조

_[1] 서적 A Brief History of String Theory: From Dual Models to M-Theory Springer 2014
_[2] 문서 弦理論のランドスケープ
_[3] 저널 Flux compactifications in string theory: A comprehensive review 2006-01
_[4] 저널 Flux compactification 2007-05-25
_[5] 저널 Generalized Calabi–Yau compactifications with D-branes and fluxes http://www.desy.de/~[...] 2005

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