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호지-라플라스 연산자

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목차

1. 개요

호지-라플라스 연산자는 콤팩트 리만 다양체 위의 미분 형식에 대해 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이다. 이 연산자는 외미분과 그 에르미트 수반을 사용하여 정의되며, 그 핵은 조화 미분 형식이라고 불린다. 조화 미분 형식들의 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지와 동형이다. 호지-라플라스 연산자의 스펙트럼은 음이 아닌 실수이며, 라플라스-벨트라미 연산자와 밀접한 관련이 있다.

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2. 정의

콤팩트 리만 다양체 (M,g) 위의 미분 형식 공간에 정의되는 호지-라플라스 연산자와 조화 미분 형식은 다음과 같이 정의된다.

우선, 콤팩트 리만 다양체 (M,g) 위의 미분 형식의 실수 벡터 공간 \Omega^\bullet(M)을 생각한다. n차 미분 형식의 벡터 다발은 리만 계량 g|_x로 인해 실수 내적 공간을 이루며, 이를 통해 미분 형식의 공간에 내적을 줄 수 있다.

이러한 구조를 사용하여, 미분 형식의 외미분 \mathrm d의 에르미트 수반 \mathrm d^\dagger을 정의할 수 있다.

호지-라플라스 연산자는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이며, 다음과 같다.

:\Delta_{\text{dR}} = \mathrm d \mathrm d^\dagger + \mathrm d^\dagger \mathrm d = (\mathrm d + \mathrm d^\dagger)^2

그 핵은 '''조화 미분 형식'''이라고 한다.

2. 1. 호지-라플라스 연산자

콤팩트 리만 다양체 (M,g) 위의 미분 형식의 실수 벡터 공간

:\Omega^\bullet(M)

을 생각하자. 임의의 n\in\{0,1,\dotsc,\dim M\}에 대하여, n차 미분 형식의 벡터 다발의 x\in M에서의 올공간

:\bigwedge^n\mathrm T^*_xM

은 \textstyle\binom{\dim M}n차원 실수 벡터 공간이며, 리만 계량 g|_x로 인하여 이는 실수 내적 공간을 이룬다. 즉, n차 미분 형식의 벡터 다발은 양의 정부호 내적을 가지게 되며, 이를 통하여 미분 형식의 공간에 다음과 같은 내적을 줄 수 있다.

:\langle \alpha|\beta\rangle = \frac1{(n!)^2}\int_M \alpha_{i_1i_2\dotsb i_n}\beta_{j_1j_2\dotsb j_n}g^{i_1j_1}\dotsm g^{i_nj_n}\sqrt{\det g}\,\mathrm d^{\dim M}x\qquad\forall \alpha,\beta\in\Omega^n(M)

이에 따라 \Omega(M)의 완비화 \bar\Omega(M)를 취할 수 있으며, 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다.

이 구조를 사용하여, 미분 형식의 외미분

:\mathrm d\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet+1}(M)

의 에르미트 수반

:\mathrm d^\dagger\colon\operatorname{dom}(\mathrm d^\dagger)\to\bar\Omega(M)

:\langle\alpha|\mathrm d^\dagger\beta\rangle = \langle \mathrm d\alpha|\beta\rangle\qquad\forall\alpha,\beta\in\Omega(M)

:\operatorname{dom}\mathrm d^\dagger \subseteq\bar\Omega^\bullet(M)

을 \bar\Omega(M)의 조밀 집합 위에 정의할 수 있다. 마찬가지로 (\mathrm d^\dagger)^2 = 0이다.

'''호지-라플라스 연산자'''는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이며, 다음과 같다.

:\Delta_{\text{dR}} = \mathrm d \mathrm d^\dagger + \mathrm d^\dagger \mathrm d = (\mathrm d + \mathrm d^\dagger)^2

그 핵은 '''조화 미분 형식'''이라고 한다.

2. 2. 조화 미분 형식

콤팩트 리만 다양체 위에서 정의되는 호지-라플라스 연산자의 핵은 '''조화 미분 형식'''이라고 한다.

3. 성질

호지-라플라스 연산자는 다음과 같은 성질을 갖는다.


  • \Delta = (\mathrm d + \mathrm d^\dagger)^2이므로, 라플라스-드람 연산자의 스펙트럼은 모두 음이 아닌 실수이다.
  • 레비치비타 접속을 사용하여 리만 다양체 M 위의 임의의 (p,q)차 텐서장에 대하여 라플라스-벨트라미 연산자를 정의할 수 있다.
  • 스칼라 함수의 경우 (p=q=0), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 −1배)와 같다.
  • \Delta_{\text{dR}}가 타원형 미분 연산자이므로, 조화 미분 형식들의 실수 벡터 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지와 표준적으로 동형이다.


이 관계를 '''바이첸뵈크 항등식'''(Weitzenböck identity영어)이라고 한다.

3. 1. 스펙트럼

\Delta_} = (\mathrm d+\mathrm d^\dagger)^2이므로, 라플라스-드람 연산자의 스펙트럼은 모두 음이 아닌 실수이다.

3. 2. 라플라스-벨트라미 연산자와의 관계

레비치비타 접속을 사용하여 리만 다양체 M 위의 임의의 (p,q)차 텐서장 X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q}에 대하여 다음과 같은 '''라플라스-벨트라미 연산자'''를 정의할 수 있다.

:(\Delta X)X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q} = g^{kl}\nabla_k\nabla_l X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q}

만약 p = 0일 경우, (0,q)차 텐서장은 q차 미분 형식과 같다. 이 경우, 일반적으로 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자와 다르며, 그 차는 리만 곡률에 비례하는 (0차 미분) 국소 선형 연산자이다. 이 관계를 '''바이첸뵈크 항등식'''(Weitzenböck identity영어)이라고 한다.

다만, 스칼라 함수의 경우 (p=q=0), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 −1배)와 같다.

:g^{ij}\nabla_j\partial_i f = -\mathrm d^\dagger\mathrm d f = - \Delta_{\text{dR}} f

3. 3. 조화 미분 형식과 드람 코호몰로지

\Delta_{\text{dR}}가 타원형 미분 연산자이므로, 조화 미분 형식들의 실수 벡터 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지 \operatorname{H}(M;\mathbb R)와 표준적으로 동형이다.

구체적으로, 닫힌 미분 형식 \alpha\in\Omega^k(M)의 동치류

:[\alpha] = \{\beta\in\Omega^k(M)\colon\exists \gamma\in\Omega^{k-1}(M)\colon \alpha-\beta = \mathrm d\gamma\}

를 생각하자. 이 위에 힐베르트 공간 노름은 함수

:\|-\| \colon [\alpha] \to [0,\infty)

를 정의하며, 조화 미분 형식은 이 함수를 최소화한다. 이러한 대표원은 각 동치류 속에서 유일하게 존재함을 보일 수 있다.


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