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히르체브루흐-리만-로흐 정리

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1. 개요

히르체브루흐-리만-로흐 정리는 콤팩트 복소다양체 X 위의 해석적 벡터 다발 E의 코호몰로지를 통해 정의되는 오일러 지표를 천 지표와 토드 특성류를 사용하여 계산하는 정리이다. 이 정리는 리만 곡면, 대수 곡면 등 다양한 특수한 경우를 포함하며, 리만-로흐 정리와 뇌터 공식을 포함한다. 또한, 점근적 리만-로흐 정리는 충분 선다발의 단면 공간의 차원에 대한 정보를 제공한다.

히르체브루흐-리만-로흐 정리
개요
분야대수기하학
상세 내용
최초 증명프리드리히 히르체브루흐
최초 증명 날짜1954년
일반화아티야-싱어 지표 정리
결과리만-로흐 정리
관련 항목리만-로흐 정리 (곡면)
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목차

2. 정의

콤팩트 복소다양체 X 위에 해석적 벡터다발 E\to X가 있다고 하자. 그렇다면 E의 코호몰로지와, 이에 대응하는 오일러 지표 \chi(E)를 정의할 수 있다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따르면, 이는 다음과 같다.

:\chi(E)=\int_X\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(X)

여기서 \operatorname{ch}(E)는 E의 천 지표, \operatorname{Td}(X)는 X의 접다발의 토드 특성류다.

좀 더 일반적으로, 콤팩트 복소다양체 X 위의 임의의 정칙 벡터 다발 E에 대해, 층 코호몰로지에서 E의 정칙 오일러 지표는 다음과 같은 교대 합이다.

: \chi(X,E) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} \dim_{\Complex} H^{i}(X,E)

여기서 차원은 복소 벡터 공간으로서, n은 X의 복소 차원이다.

히르체브루흐의 정리는 χ(X, E)가 E의 천 클래스 ck(E)와 X의 정칙 접다발의 토드 클래스 \operatorname{td}_{j}(X)를 사용하여 계산할 수 있다고 말한다. 이들은 모두 X의 코호몰로지 환에 속한다. 기본 클래스를 사용함으로써 (또는, 다른 말로, X에 대한 적분을 통해) H^{2n}(X)에 있는 클래스에서 숫자를 얻을 수 있다. 히르체브루흐 공식은 다음과 같다.

: \chi(X,E) = \sum \operatorname{ch}_{n-j}(E) \operatorname{td}_{j}(X),

여기서 합은 모든 관련 j에 대해 취해지며 (0 ≤ j ≤ n), 천 지표 ch(E)를 코호몰로지에서 사용한다. 즉, 곱은 2n으로 더해지는 모든 '일치하는' 차수의 코호몰로지 환에서 형성된다. 다르게 공식화하면, 다음과 같은 등식을 제공한다.

: \chi(X,E) = \int_X \operatorname{ch}(E) \operatorname{td}(X)

여기서 \operatorname{td}(X)는 X의 접다발의 토드 클래스이다.

콤팩트한 복소다양체 X 위의 임의의 정칙 벡터 번들 E에 대한 층 계수 코호몰로지의 차수의 교대 합

: \chi(X,E) = \sum_{i=0}^{\dim_{\mathbb{C}} X} (-1)^{i} \dim_{\mathbb{C}} H^{i}(X,E)

는 E의 오일러 수라고 부른다. 히르체브루흐의 정리는 오일러 수 χ(X, E)를 E의 천류와 X의 토드류 (정확히는 X의 접벡터 다발의 토드류)로부터 계산할 수 있다는 정리이다. E의 천 지표를 ch(E)라고 하고, X의 토드류를 td(X)라고 하면, 정리는

: \chi(X,E) = \int_X \operatorname{ch}(E) \operatorname{td}(X)

로 쓸 수 있다. 여기서 ch(E)td(X)는 X의 코호몰로지 환에서의 곱이며, 이 코호몰로지류와 X의 기본류와의 페어링을 X 위에서의 적분으로 나타낸 것이다.

3. 역사

프리드리히 히르체브루흐가 1954년에 증명하였다.

4. 리만-로흐 정리 (특수한 경우)

히르체브루흐-리만-로흐 정리는 다양한 특수한 경우를 포함한다. 그 중 대표적인 예로 리만 곡면과 대수 곡면에서의 정리가 있다.

* 리만 곡면 (1차원 복소다양체): 리만-로흐 정리는 리만 곡면에서 인자와 관련된 함수 공간의 차원을 계산하는 데 사용되는 중요한 정리이다.
* 대수 곡면 (2차원 복소다양체): 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 대수 곡면에서 인자의 차원과 관련된 정보를 제공하며, 뇌터 공식과 결합하여 곡면의 기하학적 성질을 연구하는 데 사용된다.

4.1. 리만 곡면 (1차원 복소다양체)

X가 리만 곡면이고, E\to X가 인자류 [D]에 대응하는 해석적 선다발일 때, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라 다음이 성립한다.

:h^0(E)-h^1(E)=\int_X(c_1(E)+c_1(X)/2)

여기서 c_1(X)는 X의 오일러 지표와 같고, 그 값은 \int_Xc_1(X)=\chi(X)=2-2g이다. (g는 X의 종수)

또한, \int_Xc_1(E)=\deg D이고, h^0(E)=I(D)이며, 세르 쌍대성에 의하여 h^1(E)=h^0(\mathcal O(K)\otimes E^{-1})=I(K-D)이다. (K는 표준 선다발의 인자)

따라서, 다음의 고전적인 리만-로흐 정리를 얻을 수 있다.

:I(D)-I(K-D)=\deg D+1-g

이 정리는 곡선 위의 각 인자 D에 대해 O(D)라는 가역층(선다발에 해당)이 존재하여 D의 선형계가 O(D)의 단면 공간과 거의 같다는 사실을 바탕으로 한다.

h0(O(D))는 l(D)이며, D의 선형계의 차원이고, 세르 쌍대성에 의해 h1(O(D)) = h0(O(K − D)) = l(K − D)이며, 여기서 K는 표준 인자이다. X에 대해 적분된 c1(O(D))는 D의 차수이고, X에 대해 적분된 c1(T(X))는 곡선 X의 오일러 지표 2 − 2g이다.

이를 통해 다음과 같은 고전적인 리만-로흐 정리를 유도할 수 있다.

:\ell(D)-\ell(K-D) = \text{deg}(D)+1-g.

벡터 다발 V에 대해서는 천 특성이 rank(V) + c1(V)이므로, 다음의 베유의 리만-로흐 정리를 얻는다.

:h^0(V) - h^1(V) = c_1(V) + \operatorname{rank}(V)(1-g).

4.2. 대수 곡면 (2차원 복소다양체)

대수 곡면(2차원 복소다양체)의 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리는 기본적으로 곡면에 대한 리만-로흐 정리와 같다.

:\chi(D) = \chi(\mathcal{O}) + ((D.D)-(D.K))/2.

이것은 뇌터 공식과 결합된다.

필요하다면, 세르 쌍대성을 사용하여 h2(O(D))를 h0(O(K − D))로 표현할 수 있지만, 곡선의 경우와 달리 일반적으로 층 코호몰로지를 포함하지 않는 형태로 h1(O(D)) 항을 쉽게 쓸 수 있는 방법은 없다(실제로 이 항은 종종 사라진다).

X를 곡면으로 하고, D를 X 위의 인자로 하여 직선 묶음 E = O(D)의 오일러 수를 계산한다. E의 천 지표는 ch(E) = 1 + D + D²/2이다. 또한 X의 토드 유는 td(X) = 1 - K/2 + (K² + c₂(X))/12가 된다. 여기서 K는 X의 표준 인자이고 c₂(X)는 X의 접번들의 제2천류를 나타낸다. 이때, 히르체브루흐-리만-로흐 정리는 다음과 같다.

:\chi(\mathcal{O}(D))=\frac{1}{2}D(D-K)+\frac{1}{12}(K^2+c_2(X))

여기서 D = 0으로 하면, 뇌터 공식을 얻을 수 있다.

:\chi(\mathcal{O})=\frac{1}{12}(K^2+c_2(X))

위의 식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:\chi(\mathcal{O}(D)) = \chi(\mathcal{O}) + \frac{1}{2}D(D-K)

4.3. 오일러 지표

복소수 n차원 콤팩트 켈러 다양체 M의 경우, 오일러 지표는 돌보 코호몰로지를 통해 계산할 수 있다. 구체적으로,
:\chi(M)=\sum_{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(M)=\sum_n(-1)^p\chi\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)
이다. 여기서 h^{p,q}(M)는 호지 수이며, T_{\mathbb C}^*M은 M의 복소수 공변접다발이다.

분할 원리(splitting principle)에 따라, T_{\mathbb C}M을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류가
:(x_i)_{i=1,\dots,n}
라고 하자. 공변접다발을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류는 -x_i이다. 그렇다면,
:\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M
의 천 지표는 다음과 같다.
:\operatorname{ch}\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)=\sum_{I\subseteq\{1,2,\dots,n\}}^{|I|=p}\prod_{i\in I}\exp(-x_i)
즉,
:\sum_{p=0}^n(-1)^p\operatorname{ch}\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)=\prod_{i=1}^n(1-\exp(-x_i))
이다. 따라서, M의 오일러 지표는 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.
:\chi(M)=\int_M\operatorname{Td}(TM)\sum_{p=0}^n(-1)^p\operatorname{ch}\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)
=\int_M\prod_{i=1}^n\frac{x_i}{1-\exp(-x_i)}(1-\exp(-x_i))
=\int_M\prod_{i=1}^nx_i=\int_Mc_n(TM)
즉, M의 최고차 천 수이다. 복소다양체의 경우 최고차 천 특성류는 오일러 특성류와 같으므로, 이는 오일러 지표를 올바르게 계산한다.

5. 점근적 리만-로흐 정리 (Asymptotic Riemann–Roch)

차원 n인 기약 사영 대수다양체 X 위의 충분 선다발인 카르티에 제수 D가 주어졌다고 하자. 그러면 다음과 같다.

:h^0 \left (X,\mathcal O_X(mD) \right )=\frac{(D^n)}{n!}.m^n+O(m^{n-1}).

더 일반적으로, \mathcal F가 X 위의 임의의 가환층이면 다음과 같다.

:h^0 \left (X,\mathcal F\otimes \mathcal O_X(mD) \right )=\operatorname{rank}(\mathcal F)\frac{(D^n)}{n!}.m^n+O(m^{n-1}).