트위스터 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 역사
참조

1. 개요

트위스터 공간은 다양한 시공간 차원에서 정의될 수 있으며, 특히 4차원 민코프스키 공간에 대한 트위스터 공간이 널리 연구된다. 4차원 트위스터 공간은 2차원 복소 벡터 공간의 텐서곱으로 구성되며, 민코프스키 시공간의 등각군에 불변인 에르미트 형식을 갖는다. 트위스터 공간은 시공간과 기하학적 관계를 가지며, 펜로즈 변환을 통해 시공간 위의 영질량장과 트위스터 공간 위의 선다발 사이에 일대일 대응을 제공한다. 또한, 양-밀스 이론의 순간자를 트위스터 공간 위의 정칙 주다발로 변환하는 펜로즈-워드 변환도 존재한다. 트위스터 공간은 로저 펜로즈에 의해 처음 도입되었으며, 파동 방정식의 해와 층 코호몰로지 사이의 펜로즈 변환, 그리고 양-밀스 이론의 순간자를 트위스터 공간으로 나타내는 펜로즈-워드 변환 등의 연구가 이루어졌다.

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트위스터 공간
개요
트위스터 다이어그램
유형	수학적 구조
분야	수학 물리학
상세 정보
창시자	로저 펜로즈
창시 시기	1960년대
관련 개념	펜로즈 변환 기호 미적분 모듈라이 공간
응용
응용 분야	양자장론 끈 이론 일반 상대성이론

2. 정의

트위스터 공간은 다양한 시공간 차원에 대하여 정의될 수 있지만, 주로 4차원 민코프스키 시공간에 대한 트위스터 공간이 가장 널리 연구된다.

'''설명:'''

\Delta_\pm

에 임의의 심플렉틱 벡터 공간 구조

\omega^\pm

를 주었을 때 비퇴화 쌍선형 형식

:

g \colon V \otimes V \to K

:

g_{\alpha\dot\alpha\beta\dot\beta} = \omega^+_{\alpha\beta}\omega^-_{\dot\alpha\dot\beta}

를 정의할 수 있다.

\Delta_\pm

위의 심플렉틱 벡터 공간 구조들은 모두 서로 비례하며, 이에 따라 등각 계량 동치류

[g] = \{\lambda g\colon \lambda\in K^\times\}

는 잘 정의된다.

반대로,

V

위에 등각 계량이 주어졌을 때, 이를 사용하여 직교군

\operatorname{SO}(V)

을 정의할 수 있다. 리 군 표현론에 의하여

\operatorname{SO}(V)

의 4차원 표현

V

는 두 바일 스피너 표현의 텐서곱으로 주어지며, 이 두 공간이

\Delta_\pm

에 해당한다.

2. 1. 4차원 트위스터 공간

4차원 트위스터 공간은 2차원 복소 벡터 공간인 바일 스피너 공간

\Delta_+

와

\Delta_-

의 텐서곱(

V = \Delta_+ \otimes_K \Delta_-

)으로 정의되는 복소 4차원 벡터 공간이다. 이 공간은 물리학적으로 (복소화한) 시공간에 해당한다. 4차원 트위스터 공간에는 비퇴화 이차 형식

Q(v) = \det v

가 존재하며, 이는 부호수 (2,2)를 갖는다.

V

위에는

\operatorname{GL}(\Delta_+) \times \operatorname{GL}(\Delta_-)

가 작용하며, 이 가운데

\operatorname{SL}(\Delta_+) \times \operatorname{SL}(\Delta_-)

의 작용은

Q

를 보존한다. 이는 다음과 같은 동형 사상을 정의한다.

:

\operatorname{SO}(V,Q) \cong \frac{\operatorname{SL}(\Delta_+) \times \operatorname{SL}(\Delta_-)}{\{(1,1),(-1,-1)\}}

4차원 벡터 공간

V

를 2차원 벡터 공간의 텐서곱으로 나타내는 구조는

V

위의 선형 등각 구조와 동치이다.

5차원 비특이 대수다양체

F=\mathbb P(\Delta_+^\vee) \times V = \mathbb P(\Delta_+^\vee) \times \Delta_+ \otimes \Delta_-

는 '''대응 공간'''(correspondence space^영어)이라고 하며, 국소 좌표는

(x^{\alpha\dot\alpha},[\lambda_\alpha])

로 쓸 수 있다. 여기서

\alpha

는

\Delta_+

의 지표이며,

\dot\alpha

는

\Delta_-

의 지표이다.

\Delta_+

와 그 쌍대 공간

\Delta_+^\vee

사이의 쌍대성으로 인해 유도되는 사영 사상은 다음과 같다.

:

\mathbb P(\Delta_+^\vee) \times (\Delta_+ \otimes \Delta_-) \to \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_+^\vee) \cong \mathbb P^3_K

:

(x^{\alpha\dot\alpha},[\lambda_\alpha])\mapsto\left[\sum_\alpha \lambda_\alpha x^{\alpha\dot\alpha}:\lambda_\alpha\right]

이 함수의 상은 3차원 복소수 사영 공간 속의 열린 부분 스킴을 이루는 3차원 준사영 대수다양체

T = \{[\psi:\lambda] \colon \psi\in \Delta_-,\;\lambda\in\Delta_+^\vee,\;\lambda \ne 0 \} \subsetneq  \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_+^\vee)

이며, 그 여집합은

\{[\psi:0]\colon \psi \in \Delta_- \} \cong \mathbb P(\Delta_-)

이다.

T

를 '''트위스터 공간'''이라고 하며, 그 속의 임의의 원소

[\psi:\lambda]

를 '''트위스터'''(twistor^영어)라고 한다.

트위스터 공간은 사영 사상

:

T \to \mathbb P(\Delta_+^\vee)

:

[\psi:\lambda] \mapsto [\lambda]\qquad(\psi\in\Delta_-,\;\lambda\in\Delta_+^\vee)

을 가지며, 이 사영 아래

T

는

\mathbb P(\Delta_+^\vee) \cong \mathbb P^1_K

위의 2차원 벡터 다발

:

\mathcal O(1) \oplus \mathcal O(1)

의 전체 공간과 동형이다.

대응 공간

F

는 (복소화) 시공간과 트위스터 공간 둘 다 위의 올다발을 이룬다.

:

\mathbb P(\Delta_+^\vee)\twoheadleftarrow T \twoheadleftarrow \mathbb P(\Delta_+^\vee) \times V \twoheadrightarrow V

자크 아다마르는 "실수 영역에서 두 진실 사이의 가장 짧은 경로는 복소수 영역을 통과한다."라고 하였다. 4차원 공간

\mathbb{R}^4

를 연구할 때,

\mathbb{C}^2

와 동일시하는 것이 유용할 수 있다. 복소 사영 3-공간

\mathbb{CP}^3

는 복소 좌표와 함께 동형사상을 매개변수화한다.

\mathbb{R}^4

에서 자기 쌍대 연결을 가진 벡터 다발(인스턴턴)은 복소 사영 3-공간

\mathbb{CP}^3

의 정칙 벡터 다발에 일대일 대응된다.

민코프스키 공간

\mathbb{M}

에 대한 트위스터 방정식의 해는 다음과 같다.

:

\Omega^A(x)=\omega^A-ix^{AA'}\pi_{A'}

여기서

\omega^A

와

\pi_{A'}

는 두 개의 상수 바일 스피너이며,

x^{AA'}=\sigma^{AA'}_\mu x^{\mu}

는 민코프스키 공간의 점이다.

\sigma_\mu=(I,\vec\sigma)

는 파울리 행렬이며,

A,A^\prime=1,2

는 행렬의 지표이다. 이 트위스터 공간은 4차원 복소 벡터 공간이며, 그 점은

Z^{\alpha}=(\omega^{A},\pi_{A'})

로 표시되며, 에르미트 형식

:

\Sigma(Z)=\omega^{A}\bar\pi_{A}+\bar\omega^{A'}\pi_{A'}

을 갖는다.

이것은 콤팩트화된 민코프스키 시공간의 등각군 C(1,3)을 4겹으로 덮는 군 SU(2,2)에 불변이다.

민코프스키 공간의 점들은 사건 관계식

:

\omega^{A}=ix^{AA'}\pi_{A'}.

을 통해 트위스터 공간의 부분 공간과 관련된다.

사건 관계식은 트위스터의 전체 재조정 하에서 보존되므로, 일반적으로

\mathbb{PT}

로 표시되는 사영 트위스터 공간에서 작업하며, 이는 복소 다양체로서

\mathbb{CP}^3

와 동형이다.

주어진 점

x\in M

은 사영 트위스터 공간에서

\pi_{A'}

로 매개변수화된

\mathbb{CP}^1

의 선형 매립을 제공하는 사건 관계식으로 볼 수 있는 선과 관련된다.

사영 트위스터 공간과 복소화된 콤팩트화된 민코프스키 공간 사이의 기하학적 관계는 트위스터 공간에서 선과 2차원 평면 사이의 관계와 동일하다. 트위스터 공간은 다음과 같다.

:

\mathbb{T} := \mathbb{C}^4.

여기에는 플래그 다양체의 이중 섬유화

\mathbb{P}\xleftarrow{\mu} \mathbb{F} \xrightarrow{\nu} \mathbb{M}

가 관련되어 있으며, 여기서

\mathbb{P}

는 사영 트위스터 공간이다.

:

\mathbb{P}=F_1(\mathbb{T})=\mathbb{CP}^3=\mathbf{P}(\mathbb{C}^4)

\mathbb{M}

은 콤팩트화된 복소화된 민코프스키 공간이다.

:

\mathbb{M}=F_2(\mathbb{T})=\operatorname{Gr}_2(\mathbb{C}^4)= \operatorname{Gr}_{2,4}(\mathbb{C})

\mathbb{P}

와

\mathbb{M}

사이의 대응 공간은 다음과 같다.

:

\mathbb{F}=F_{1,2}(\mathbb{T})

위에서,

\mathbf{P}

는 사영 공간을 나타내고,

\operatorname{Gr}

은 그래스만 다양체를 나타내며,

F

는 플래그 다양체를 나타낸다. 이중 섬유화는 두 개의 1:1 대응 (펜로즈 변환 참조)

c=\nu\circ\mu^{-1}

및

c^{-1}=\mu\circ\nu^{-1}.

을 생성한다.

콤팩트화된 복소화된 민코프스키 공간

\mathbb{M}

은 플뤼커 매립에 의해

\mathbf{P}_5 \cong\mathbf{P}(\wedge^2\mathbb{T})

에 매립된다. 그 이미지는 클라인 이차곡면이다.

2. 1. 1. 앰비트위스터

왼쪽·오른쪽 바일 스피너를 모두 사용하여 더 큰 트위스터 공간을 얻을 수 있는데, 이를 '''앰비트위스터 공간'''(ambitwistor space^영어)이라고 한다.

구체적으로, '''대응 공간'''

:

F = \Delta_+ \otimes \Delta_- \oplus \mathbb P(\Delta_+^\vee) \oplus \mathbb P(\Delta_-^\vee)

을 생각하자. 그렇다면, 이는 사상

:

F \to \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_+^\vee) \times \mathbb P(\Delta_- \oplus \Delta_-^\vee)

:

(x,\lambda^+,\lambda^-) \mapsto ([x^{ij}\lambda^+_i,\lambda^+], [x^{ij}\lambda^-_j,\lambda_-]) = ([\xi_+,\lambda^+],[\xi_-,\lambda^-])

을 정의한다. 그 상은

:

\lambda^+ \ne 0

:

\lambda^- \ne 0

:

\xi_+^\alpha\lambda^+_\alpha = \xi_-^{\dot\alpha}\lambda^-_{\dot\alpha}

를 따른다. 즉, 이는 두 3차원 사영 공간의 곱공간 속의 이차 초곡면이다. 이 5차원 초곡면

T_5

를 '''앰비트위스터 공간'''이라고 한다. 앰비트위스터 공간은 왼쪽 또는 오른쪽 트위스터 공간

T_3

으로의 사영 사상

:

T_5 \twoheadrightarrow T_3

을 갖는다.

2. 2. 6차원 트위스터 공간

6차원에서의 트위스터 공간은 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, 체

K

가 주어졌다고 하고, 4차원

K

-벡터 공간

\Delta

(6차원 마요라나-바일 스피너)를 생각하자.

그러면

:

V = \bigwedge^2\Delta

를 정의할 수 있다. 여기서

V

위에는

\operatorname{SL}(\Delta) \times \operatorname{SL}(\Delta)

가 작용한다. 또한

V

위에는 비퇴화 이차 형식

:

Q(v) = \epsilon_{ijkl}v^{ij}v^{kl}

이 작용하며, 이 이차 형식은 저 작용에 대해 불변이다. (여기서

\epsilon_{ijkl}

은 레비치비타 기호이다.

K = \mathbb R

일 때 이는 부호수 (3,3)을 가진다.) 이 성질은 동형 사상

:

\operatorname{SO}(3,3) \cong \frac{\operatorname{SL}(4)} {\{1,-1\}}

에서 유래한다.

이 경우, 공간

:

\left(\bigwedge^2\Delta\right) \times \mathbb P(\Delta^\vee)

은 다음과 같은 사영 사상을 갖는다.

:

\bigwedge^2\Delta \times\mathbb P(\Delta^\vee)\to \mathbb P(\Delta\oplus\Delta^\vee)

:

(v^{ij},[\lambda_i]) \mapsto \left[\sum_iv^{ij}\lambda_i:\lambda_i\right]

이는

\mathbb P(\Delta^\vee \oplus \Delta) \cong \mathbb P^7

의 부분 집합이다. 그런데

:

\sum_{i,j}(v^{ij}\lambda_i)\lambda_j = 0

이므로, 그 상은

:

T = \{[\xi:\lambda]\colon \xi^i\lambda_i = 0,\;\lambda \ne 0 \} \subsetneq \mathbb P(\Delta\oplus\Delta^\vee)

이다. 이 공간

T

는 6차원 준사영 대수다양체이며, 3차원 사영 공간

\mathbb P(\Delta^\vee)

위의 3차원 벡터 다발을 이룬다. 이

T

를 6차원 공간의 '''트위스터 공간'''이라고 하고, 그 원소

[\xi:\lambda]

를 '''트위스터'''라고 한다.^[8]

2. 3. 3차원 트위스터 공간 (미니트위스터)

3차원에서도 트위스터 공간을 정의할 수 있다. 이 경우의 트위스터 공간은 '''미니트위스터 공간'''(minitwistor space^영어)이라고 한다.

다음과 같이 주어졌다고 하자.

체 $K$
2차원 $K$ -벡터 공간 $\Delta$ (3차원 [마요라나-]바일 스피너의 공간)

그렇다면 3차원 벡터 공간

:

V = \operatorname{Sym}^2\Delta

를 정의할 수 있다.

\dim\Delta=2

이므로,

\Delta

위의 심플렉틱 벡터 공간 구조는 모두 서로 비례한다. 임의의 심플렉틱 벡터 공간 구조

\omega\colon\Delta\to\Delta^\vee

를 고른다면,

V

는 딸림표현

\mathfrak{sl}(\Delta)

와 동형이며, 이는 킬링 형식을 갖춘다. 이는 2×2 행렬의 행렬식에 비례한다. (

K = \mathbb R

일 때,

V

위의 이차 형식의 부호수는 (2,1)이므로, 이는 3차원 민코프스키 공간이다.) 즉, 이는 동형 사상

:

\operatorname{SL}(\Delta) \cong \operatorname{SO}(V,\det) / \{\pm1\}

을 실현한다. 물론, 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조를

\omega \mapsto \lambda\omega

와 같이 바꾸더라도, 우변에서 이는 이차 형식을 스칼라배 재정의하는 것에 불과하므로, 우변은 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조에 불변이다.

이 경우, 대응 공간

:

F = V \times \mathbb P(\Delta^\vee)

으로부터, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

:

F \to \mathbb P(K[1]\oplus\Delta^\vee)\cong\mathbb P(2,1,1)

:

(x^{ij},\lambda_i) \mapsto [x^{ij}\lambda_i\lambda_j : \lambda_1 : \lambda_2]

여기서

K[1] \oplus \Delta^\vee

는 1등급 성분이

\Delta^\vee

이며 2등급 성분이

K

인 등급 벡터 공간이며, 이에 대하여 가중 사영 공간을 취할 수 있다. 이 사상의 상을 '''트위스터 공간'''

T

라고 한다. 이는 2차원 준사영 대수다양체이다.

즉, 이는 가중 사영 공간의 열린집합을 정의한다. 사실, 사영 사상

:

\mathbb P(K[1]\oplus\Delta^\vee) \to \mathbb P(\Delta^\vee) \cong \mathbb P^1

:

[\xi:\lambda_1 : \lambda_2 ] \mapsto [\lambda_1 : \lambda_2]

에 대하여, 이는 선다발을 이룬다. 그 단면

\xi = x^{ij}\lambda_i\lambda_j

는

(\lambda_1,\lambda_2)

에 대한 2차 함수이므로, 이는 선다발

\mathcal O(2)

에 해당한다. 이는 사실 사영 직선 위의 접다발에 해당한다. 즉,

T \cong \mathrm T\mathbb P(\Delta^\vee)

이다.

가중 사영 공간은 물론 다음과 같이 4차원 사영 공간으로 매장된다.

:

\mathbb P(K[1]\oplus\Delta^\vee) \to \mathbb P(K\oplus\operatorname{Sym}^2\Delta^\vee) \cong \mathbb P^4

:

[\xi:\lambda_i] \mapsto [\xi:\lambda_i \lambda_j]

즉,

T

는 4차원 사영 공간 속의 2차원 준사영 대수다양체이다.

:

\begin{matrix}\operatorname{Sym}^2\Delta&\twoheadleftarrow & (\operatorname{Sym}^2\Delta) \times \mathbb P(\Delta^\vee) & \twoheadrightarrow & \mathcal O_{\mathbb P(\Delta^\vee)}(2) & \twoheadrightarrow & \mathbb P(\Delta^\vee) \\&&& & \cap \\&&& & \mathbb P(K[1] \oplus\Delta^\vee) \\&&& & \cap \\&&& & \mathbb P(K\oplus\operatorname{Sym}^2\Delta^\vee)\end{matrix}

3. 성질

트위스터 공간은 시공간의 기하학적, 물리적 성질을 복소 공간의 구조로 변환하여 표현하는 독특한 방법을 제공한다. 민코프스키 공간에서 트위스터 방정식의 해는 다음과 같다.^[5]

: $\Omega^A(x)=\omega^A-ix^{AA'}\pi_{A'}$

여기서 $\omega^A$ 와 $\pi_{A'}$ 는 두 개의 상수 바일 스피너이고, $x^{AA'}=\sigma^{AA'}_\mu x^{\mu}$ 는 민코프스키 공간의 점이다. $\sigma_\mu=(I,\vec\sigma)$ 는 파울리 행렬이며, $A,A^\prime=1,2$ 는 행렬의 지표이다. 이 트위스터 공간은 4차원 복소 벡터 공간이며, 그 점은 $Z^{\alpha}=(\omega^{A},\pi_{A'})$ 로 표시되며, 다음의 에르미트 형식을 갖는다.^[6]

: $\Sigma(Z)=\omega^{A}\bar\pi_{A}+\bar\omega^{A'}\pi_{A'}$

이는 콤팩트화된 민코프스키 시공간의 등각군 C(1,3)을 4겹으로 덮는 군 SU(2,2)에 불변이다.

민코프스키 공간의 점들은 사건 관계식을 통해 트위스터 공간의 부분 공간과 관련된다.

: $\omega^{A}=ix^{AA'}\pi_{A'}.$

이 사건 관계식은 트위스터의 전체 크기 조정 하에서 보존되므로, 일반적으로 $\mathbb{PT}$ 로 표시되는 사영 트위스터 공간에서 작업하며, 이는 복소 다양체로서 $\mathbb{CP}^3$ 와 동형이다.

주어진 점 $x\in M$ 은 사영 트위스터 공간에서 $\pi_{A'}$ 로 매개변수화된 $\mathbb{CP}^1$ 의 선형 매립을 제공하는 사건 관계식으로 볼 수 있는 선과 관련된다.

사영 트위스터 공간과 복소화된 콤팩트화된 민코프스키 공간 사이의 기하학적 관계는 트위스터 공간에서 선과 2차원 평면 사이의 관계와 동일하다. 더 정확하게는, 트위스터 공간은 다음과 같다.

: $\mathbb{T} := \mathbb{C}^4.$

여기에는 플래그 다양체의 이중 섬유화 $\mathbb{P}\xleftarrow{\mu} \mathbb{F} \xrightarrow{\nu} \mathbb{M}$ 가 관련되어 있으며, 여기서 $\mathbb{P}$ 는 사영 트위스터 공간이다.

: $\mathbb{P}=F_1(\mathbb{T})=\mathbb{CP}^3=\mathbf{P}(\mathbb{C}^4)$

$\mathbb{M}$ 은 콤팩트화된 복소화된 민코프스키 공간이다.

: $\mathbb{M}=F_2(\mathbb{T})=\operatorname{Gr}_2(\mathbb{C}^4)= \operatorname{Gr}_{2,4}(\mathbb{C})$

$\mathbb{P}$ 와 $\mathbb{M}$ 사이의 대응 공간은 다음과 같다.

: $\mathbb{F}=F_{1,2}(\mathbb{T})$

위에서, $\mathbf{P}$ 는 사영 공간을, $\operatorname{Gr}$ 은 그래스만 다양체를, $F$ 는 플래그 다양체를 나타낸다. 이중 섬유화는 두 개의 일대일 대응 (펜로즈 변환 참조) $c=\nu\circ\mu^{-1}$ 및 $c^{-1}=\mu\circ\nu^{-1}$ 을 생성한다.

콤팩트화된 복소화된 민코프스키 공간 $\mathbb{M}$ 은 플뤼커 매립에 의해 $\mathbf{P}_5 \cong\mathbf{P}(\wedge^2\mathbb{T})$ 에 매립되며, 그 이미지는 클라인 이차곡면이다.

3. 1. 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계

자크 아다마르는 "실수 영역에서 두 진실 사이의 가장 짧은 경로는 복소수 영역을 통과한다"고 말했다. 이처럼 4차원 공간

\mathbb{R}^4

를 연구할 때, 이를

\mathbb{C}^2

와 동일시하는 것이 유용할 수 있다. 그러나 이를 위한 표준적인 방법이 없으므로, 대신 두 공간 사이의 방향성과 메트릭을 존중하는 모든 동형사상을 고려한다. 그 결과 복소 사영 3-공간

\mathbb{CP}^3

는 복소 좌표와 함께 그러한 동형사상을 매개변수화한다. 여기서 하나의 복소 좌표는 식별을 설명하고, 다른 두 좌표는

\mathbb{R}^4

의 한 점을 설명한다.

\mathbb{R}^4

에서 자기 쌍대 연결을 가진 벡터 다발(인스턴턴)은 복소 사영 3-공간

\mathbb{CP}^3

의 정칙 벡터 다발과 일대일 대응된다는 것이 밝혀졌다.

민코프스키 공간

\mathbb{M}

에 대한 트위스터 방정식의 해는 다음과 같다.

:

\Omega^A(x)=\omega^A-ix^{AA'}\pi_{A'}

여기서

\omega^A

와

\pi_{A'}

는 두 개의 상수 바일 스피너이고,

x^{AA'}=\sigma^{AA'}_\mu x^{\mu}

는 민코프스키 공간의 점이다.

\sigma_\mu=(I,\vec\sigma)

는 파울리 행렬이며,

A,A^\prime=1,2

는 행렬의 지표이다. 이 트위스터 공간은 4차원 복소 벡터 공간이며, 그 점은

Z^{\alpha}=(\omega^{A},\pi_{A'})

로 표시되며, 다음의 에르미트 형식을 갖는다.

:

\Sigma(Z)=\omega^{A}\bar\pi_{A}+\bar\omega^{A'}\pi_{A'}

이는 콤팩트화된 민코프스키 시공간의 등각군 C(1,3)을 4겹으로 덮는 군 SU(2,2)에 불변이다.

민코프스키 공간의 점들은 사건 관계식을 통해 트위스터 공간의 부분 공간과 관련된다.

:

\omega^{A}=ix^{AA'}\pi_{A'}.

이 사건 관계식은 트위스터의 전체 크기 조정 하에서 보존되므로, 일반적으로

\mathbb{PT}

로 표시되는 사영 트위스터 공간에서 작업하며, 이는 복소 다양체로서

\mathbb{CP}^3

와 동형이다.

주어진 점

x\in M

은 사영 트위스터 공간에서

\pi_{A'}

로 매개변수화된

\mathbb{CP}^1

의 선형 매립을 제공하는 사건 관계식으로 볼 수 있는 선과 관련된다.

사영 트위스터 공간과 복소화되고 콤팩트화된 민코프스키 공간 사이의 기하학적 관계는, 트위스터 공간에서 선과 2차원 평면 사이의 관계와 같다. 더 정확하게는, 트위스터 공간은 다음과 같다.

:

\mathbb{T} := \mathbb{C}^4.

여기에는 플래그 다양체의 이중 섬유화

\mathbb{P}\xleftarrow{\mu} \mathbb{F} \xrightarrow{\nu} \mathbb{M}

가 관련되어 있다. 여기서

\mathbb{P}

는 사영 트위스터 공간

:

\mathbb{P}=F_1(\mathbb{T})=\mathbb{CP}^3=\mathbf{P}(\mathbb{C}^4)

이고,

\mathbb{M}

은 콤팩트화된 복소화된 민코프스키 공간

:

\mathbb{M}=F_2(\mathbb{T})=\operatorname{Gr}_2(\mathbb{C}^4)= \operatorname{Gr}_{2,4}(\mathbb{C})

이며,

\mathbb{P}

와

\mathbb{M}

사이의 대응 공간은 다음과 같다.

:

\mathbb{F}=F_{1,2}(\mathbb{T})

위에서,

\mathbf{P}

는 사영 공간을,

\operatorname{Gr}

은 그래스만 다양체를,

F

는 플래그 다양체를 나타낸다. 이중 섬유화는 두 개의 일대일 대응(펜로즈 변환 참조)

c=\nu\circ\mu^{-1}

및

c^{-1}=\mu\circ\nu^{-1}

을 생성한다.

콤팩트화된 복소화된 민코프스키 공간

\mathbb{M}

은 플뤼커 매립에 의해

\mathbf{P}_5 \cong\mathbf{P}(\wedge^2\mathbb{T})

에 매립되며, 그 이미지는 클라인 이차곡면이다.

4차원 및 3차원 시공간과 트위스터 공간 사이의 대응 관계에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

3. 1. 1. 4차원

4차원 시공간과 트위스터 공간 사이에는 다음과 같은 대응 관계가 성립한다.

시공간	트위스터 공간
점	복소수 사영 직선
영평면	점
등각 구조 (빛원뿔 집합)	복소구조 (사영 직선의 집합)
$x$ 와 $y$ 의 차의 노름이 0	두 사영 직선이 서로 교차

점과 사영 직선: 복소화된 시공간의 임의의 점 $x^{\alpha\dot\alpha}\in V$ 에 대응하는 트위스터 공간의 부분 공간은 트위스터 공간의 한 사영 직선 $\mathbb P^1\hookrightarrow T$ 에 해당한다. 즉, 시공간의 점은 트위스터 공간에서의 직선에 대응한다.

영평면과 점: 복소화 시공간의 임의의 두 점 $x^{\alpha\dot\alpha},y^{\alpha\dot\alpha}\in V$ 이 트위스터 공간의 같은 점 $[\xi^{\dot\alpha}:\lambda_\alpha]$ 에 대응된다면, $(x-y)^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = 0$ 이다. $\lambda \ne 0$ 이므로, 어떤 $\lambda' \in \Delta_-$ 에 대하여 $(x-y)^{\alpha\dot\alpha}=\epsilon^{\alpha\beta}{\lambda'}^{\dot\alpha}\lambda_\beta$ 가 성립한다. $[\xi:\lambda]$ 에 대응하는 시공간의 점들은 $x^{\alpha\dot\alpha} + \epsilon^{\alpha\beta}{\lambda'}^{\dot\alpha}\lambda_\beta$ 의 꼴이며, 이는 영평면을 이룬다.

등각 구조와 복소 구조: 시공간의 등각 구조는 빛원뿔의 집합으로 정의되며, 이는 트위스터 공간의 복소 구조, 즉 사영 직선의 집합에 대응된다.

노름과 교차: 시공간의 두 점 $x,y\in V$ 에 대응하는 직선이 서로 교차할 필요충분조건은 $\exists \lambda \in \Delta_+^\vee \colon x^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = y^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha$ 이다. $(x-y)^{\alpha\dot\alpha}\lambda_\alpha = 0$ 이 되려면, $(x-y)^{\alpha\dot\alpha} = \psi^{\dot\alpha} \epsilon^{\alpha\beta}\lambda_\beta$ 가 되어야 하며, 이는 $\det (x-y) = 0$ 인 것과 동치이다. 물리학적으로 이는 $x$ 가 $y$ 의 빛원뿔 위에 위치함을 뜻한다.

위 표에서 '''영평면'''(零平面, null plane^영어)은 2차원 평면

X

가운데, 임의의 두 점

x,y\in X

에 대하여

(x-y)^2 = 0

인 것이다.

3. 1. 2. 3차원

3차원에서도 트위스터 공간을 정의할 수 있으며, 이를 '''미니트위스터 공간'''(minitwistor space^영어)이라고 한다.

3차원 시공간의 점, 빛원뿔과 접하는 평면, 벡터의 스피너 분해는 미니트위스터 공간에서 다음과 같이 대응된다.

3차원 시공간	미니트위스터 공간
점	사영 직선 위의 대수적 벡터장
빛원뿔과 접하는 평면	점
벡터의 스피너로의 분해	두 벡터장이 같은 점을 갖게 되는 두 점
노름이 0인 벡터	같은 점을 갖게 되는 점이 이중점

3차원 시공간에서 벡터는 스피너의 대칭화 텐서곱으로 표현될 수 있다. 특히, 두 점 사이의 벡터의 노름이 0일 필요충분조건은 대응되는 스피너가 비례하는 것이다.

3차원 시공간에서 빛원뿔과 접하는 평면(영평면)은 미니트위스터 공간의 한 점에 대응된다.

3. 2. 펜로즈 변환

펜로즈 변환은 트위스터 공간 위의 선다발(line bundle)의 정칙 단면과 시공간 위의 영질량장 사이의 일대일 대응을 제공한다. 펜로즈 변환은 파동 방정식의 해를 트위스터 공간의 층 코호몰로지를 이용하여 구하는 데 사용될 수 있다.^[1]

4차원 트위스터 공간

:

\mathbb P(\Delta_-\oplus\Delta_+^\vee) \,\overset{\pi_T}\leftarrow\, \Delta_+ \otimes \Delta_- \times \mathbb P(\Delta_+^\vee) \,\overset{\pi_V}\twoheadrightarrow\, \Delta_+ \otimes \Delta_-

을 생각하자.^[2] 임의의 열린집합

:

U \subseteq \mathbb P(\Delta_-\oplus\Delta_+^\vee)

에 대하여,

:

\pi_V(\pi_T^{-1}(U)) = U'

라고 하자.^[3] 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.

:

\operatorname H^1(U,\mathcal O(2h-2)) \cong V_h

즉, 트위스터 공간 위의

2h-2

차 선다발의 정칙 단면은 시공간 위의, 나선도

h

의 영질량장과 일대일 대응한다. 이를 '''펜로즈 변환'''(Penrose transform^영어)이라고 한다.^[4]

민코프스키 공간

\mathbb{M}

에 대한 트위스터 방정식의 해는 다음과 같은 형태를 갖는다.^[5]

:

\Omega^A(x)=\omega^A-ix^{AA'}\pi_{A'}

여기서

\omega^A

와

\pi_{A'}

는 두 개의 상수 바일 스피너이며,

x^{AA'}=\sigma^{AA'}_\mu x^{\mu}

는 민코프스키 공간의 점이다.

\sigma_\mu=(I,\vec\sigma)

는 파울리 행렬이며,

A,A^\prime=1,2

는 행렬의 지표이다.^[6]

자크 아다마르는 "실수 영역에서 두 진실 사이의 가장 짧은 경로는 복소수 영역을 통과한다"라고 하였다.^[7] 따라서 4차원 공간

\mathbb{R}^4

를 연구할 때, 이를

\mathbb{C}^2

와 동일시하는 것이 가치 있을 수 있다.^[8] 그러나 그렇게 하는 정식적인 방법이 없으므로, 대신 두 공간 사이의 방향성과 메트릭을 존중하는 모든 동형사상을 고려한다.^[9] 결과적으로 복소 사영 3-공간

\mathbb{CP}^3

는 복소 좌표와 함께 그러한 동형사상을 매개변수화한다.^[10] 따라서 하나의 복소 좌표는 식별을 설명하고 다른 두 개의 좌표는

\mathbb{R}^4

의 한 점을 설명한다.^[11]

\mathbb{R}^4

에서 자기 쌍대 연결을 가진 벡터 다발(인스턴턴)은 복소 사영 3-공간

\mathbb{CP}^3

의 정칙 벡터 다발에 일대일 대응된다는 것이 밝혀졌다.^[12]

3. 3. 순간자 모듈러스 공간

펜로즈-워드 변환은 4차원 유클리드 공간 위의 양-밀스 이론의 순간자를 트위스터 공간 위의 정칙 주다발로 변환하는 방법을 제공한다.^[9] 펜로즈-워드 변환은 순간자 모듈러스 공간을 연구하는 데 중요한 도구로 활용된다.

임의의 콤팩트 반단순 리 군

G

에 대하여, 4차원 유클리드 공간

M

위의

G

-양-밀스 이론의 순간자 (

F=*F

)를 생각하자. 유클리드 공간을 복소화하여 4차원 복소수 벡터 공간

V = M \otimes_{\mathbb R} \mathbb C

을 취하면, 자기 쌍대성 조건은 여전히 유효하다.

이 경우,

V

위의 순간자의 모듈라이 공간은 순간자 공간

T

위의 정칙

G

-주다발 가운데 다음 두 조건을 만족하는 것들의 모듈라이 공간과 표준적으로 동형이다.^[9]

① 위상적으로 자명
② 임의의 포함 사상 $\mathbb P^1_{\mathbb C} \hookrightarrow T$ 에 제한하였을 때 정칙적으로 자명

이 대응을 펜로즈-워드 변환(Penrose–Ward transform^영어)이라고 한다.

구체적으로, 사영 직선

\mathbb P^1(\Delta_+^\vee)

는 두 개의 아핀 직선으로 구성된 열린 덮개를 가지며, 따라서 그 위의 벡터 다발

T

는 두 개의 3차원 아핀 공간

U

,

V

로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 위의 조건들을 따르는

G

-주다발

P

는 전이 함수

:

g\colon U\cap V \to G

로 주어진다.

사영 사상

\pi\colon V \times \mathbb P(\Delta_+^\vee) \twoheadrightarrow T

아래,

\pi^{-1}(U)

와

\pi^{-1}(V)

는

F=V \times \mathbb P(\Delta_+^\vee)

의 열린 덮개를 이룬다.

\{\pi^{-1}(U),\pi^{-1}(V)\}

가

F

의 열린 덮개를 이루므로, 항상

:

\pi^*g = h^{-1}k

:

h\colon \pi^{-1}(U) \to G

:

k\colon \pi^{-1}(V) \to G

으로 표현될 수 있다.

V \times \mathbb P(\Delta_+^\vee)

위에는 표준적인 벡터장

:

X_{\dot\alpha}=\lambda^\alpha\partial_{\alpha\dot\alpha}

:

X \in \Gamma(\mathrm TF \otimes \Delta_-^\vee)

이 존재하며, 이에 따라

:

\pi^*g \colon \pi^{-1}(U) \cap \pi^{-1}(V) \to G

는

:

0 = X(\pi^*g) = X(h^{-1}k) = (Xh^{-1})k - h^{-1}k(Xk^{-1})k = h^{-1}\left(hXh^{-1} - kXk^{-1} \right)k

를 따른다. 즉,

:

hXh^{-1} \restriction (\pi^{-1}(U)\cap\pi^{-1}(V)) = kXk^{-1} \restriction (\pi^{-1}(U)\cap\pi^{-1}(V))

이다. 이를 짜깁기하여

\tilde A_{\dot\alpha}

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\tilde A \colon F \to \mathfrak{lie}(G) \otimes \Delta_-^\vee

\tilde A

는

X

에 비례하며,

X

는

\lambda

에 비례하므로,

V

위의 리 대수 값의 1차 미분 형식

:

A \in \Omega(V) \otimes \mathfrak{lie}(G)

:

\tilde A_{\dot\alpha} = A_{\alpha\dot\alpha}\lambda^\alpha

을 정의할 수 있다. 그렇다면 이는

V

위의 순간자를 정의하는 주접속을 이룬다.

4. 역사

트위스터 공간 이론은 1967년 로저 펜로즈가 4차원 시공간의 트위스터 공간을 최초로 도입하면서 시작되었다.^[10] 이후 펜로즈는 파동 방정식의 해와 트위스터 공간 위의 선다발의 층 코호몰로지 사이의 관계를 나타내는 펜로즈 변환을 발견하였다.^[11]^[12] 1977년에는 리처드 새뮤얼 워드(Richard Samuel Ward|리처드 새뮤얼 워드^영어, 1951~)가 양-밀스 이론의 순간자를 트위스터 공간으로 나타내는 펜로즈-워드 변환을 발견하였다.^[13]

참조

_[1] 논문 Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time https://dx.doi.org/1[...] 1973-02
_[2] 서적 One to Nine: The Inner Life of Numbers https://books.google[...] Doubleday Canada 2010
_[3] 논문 Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time.
_[4] 저널 A first course on twistors, integrability and gluon scattering amplitudes 2010-10-01
_[5] 저널 Twistor theory and differential equations 2009-10-09
_[6] 저널 Lectures on twistors
_[7] 서적 One to Nine: The Inner Life of Numbers https://books.google[...] Doubleday Canada 2010-05-14
_[8] 저널 On twistors and conformal field theories from six dimensions 2013
_[9] 저널 Lectures on higher structures in M-theory 2016
_[10] 저널 Twistor Algebra 1967
_[11] 저널 Twistor quantisation and curved space-time 1968-05
_[12] 저널 Solutions of the zero-rest-mass equations 1969
_[13] 저널 On self‐dual gauge fields

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