1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
1. 개요
1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯는 하켄부쉬 게임 및 초현실수와 관련된 급수이다. 이 급수는 하켄부쉬 게임에서 값 0을 갖는 보드를 의미하며, 두 번째로 움직이는 플레이어에게 승리 전략이 있다. 이 급수는 초현실수를 나타내는 데 사용될 수 있으며, 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯의 오일러 변환은 1 − 2 + 4 − 8 + …이다. 또한, 이 급수의 항을 짝짓기하면 또 다른 기하 급수를 얻을 수 있으며, 아르키메데스는 포물선 면적 계산에 이 급수를 사용했다.
2. 하켄부쉬와 초현실수
이 급수를 약간 변경하면 다음과 같은 급수가 된다.
:
이 급수는 양의 정수에 양 또는 음의 부호를 붙인 모든 2의 음의 거듭제곱을 포함하는 급수를 더한 형태이므로, 초현실수 1/3을 나타내는 무한의 파란색과 빨간색의 해켄부쉬 열로 표현할 수 있다.
더 간단한 해켄부쉬 열은 R이 이어지는 부분을 제거한 것이다.
:LRLRLRL… = 2/3
Hackenbush영어 게임 구조 측면에서, 이 등식은 오른쪽에 묘사된 보드의 값이 0임을 의미하며, 두 번째 플레이어에게 승리 전략이 있다.
2.1. 하켄부쉬 게임을 통한 표현
수열을 약간 재배열하면 다음과 같다.
:
이 수열은 양의 정수와 양수 또는 음수 부호를 갖는 모든 음수 2의 거듭제곱을 포함하는 수열의 형식을 취하므로, 초현실수 1/3을 나타내는 무한한 청색-적색 해켄부쉬 문자열로 변환할 수 있다.
:LRRLRLR... = 1/3
좀 더 간단한 Hackenbush 문자열은 반복되는 R을 제거한 것이다.
:LRLRLRL... = 2/3
Hackenbush 게임 구조 측면에서, 이 방정식은 오른쪽에 묘사된 보드의 값이 0임을 의미한다. 어느 쪽 플레이어가 움직이든, 두 번째 플레이어에게 승리 전략이 있다.
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3. 관련 급수
1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 급수는 절대 수렴하며, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯와 같이 항을 짝지어 새로운 기하 급수를 만들거나, 오일러 변환을 통해 다른 발산 급수와 연결할 수 있다.
3.1. 절대 수렴 및 이진법 전개
1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯는 절대 수렴한다. 이는 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯가 1로 수렴하기 때문이며, 1의 이진법 전개 중 하나가 0.111...임을 보여준다.
3.2. 항의 짝짓기를 통한 기하 급수
1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + …한국어의 항들을 짝지으면 같은 합을 갖는 또 다른 기하 급수인 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯가 된다. 이 급수는 수학사에서 처음으로 합이 계산된 급수 중 하나이며, 약 기원전 250년~기원전 200년 경 아르키메데스가 사용했다.
3.3. 오일러 변환
발산 급수 1−2+4−8+…의 오일러 변환은 − + − + ⋯이다. 따라서 전자의 급수는 일반적인 의미에서는 합을 갖지 않지만, 에 오일러 합산이다.