1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

1. 개요

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯는 1/4, 1/16, 1/64, 1/256, ... 와 같이 공비가 1/4인 무한 등비급수이다. 이 급수는 정사각형이나 정삼각형을 시각적으로 분할하여 그 합을 1/3으로 증명할 수 있다. 아르키메데스는 소진법을 사용하여 이 급수를 다루었으며, 명제 23을 통해 그 합이 4/3임을 보였다. 또한, 극한을 이용하여 부분합의 극한을 계산하여 그 합이 1/3임을 증명할 수 있다. 이 개념은 대한민국의 고등학교 수학 교육 과정에서 무한 등비급수와 극한을 이해하는 데 중요한 예시로 활용된다.

2. 시각적 증명

급수 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯는 정사각형과 삼각형 같은 기하학적 도형을 사용하여 시각적으로 증명할 수 있다. 이 급수는 특히 정사각형과 삼각형 모두 원래 넓이의 1/4에 해당하는 네 개의 닮음 조각으로 나눌 수 있기 때문에 시각적 증명에 적합하다.

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큰 정사각형이나 큰 삼각형의 넓이가 1이라고 가정하면, 가장 큰 검은색 정사각형이나 삼각형의 넓이는 1/4이 된다. 이와 같은 방식으로 작은 도형들을 계속해서 나누어 나가면, 모든 검은색 도형들의 넓이의 합은 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 이 된다.

이 급수의 합을 3배하면 1이 된다. 즉, 3(1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯) = 1 이다.

2.1. 정사각형을 이용한 증명

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급수 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯^영어는 정사각형이나 삼각형을 원래 도형과 닮음인 4개의 부분으로 나누어 각 부분의 면적이 원래의 이 되도록 할 수 있기 때문에 매우 단순한 시각적 증명을 할 수 있다.

왼쪽 그림에서 큰 정사각형의 면적이 1이라고 하면, 가장 큰 검은 정사각형의 면적은 ()² = 이다. 마찬가지로, 두 번째로 큰 검은 정사각형의 면적은 이고, 세 번째로 큰 검은 정사각형의 면적은 이다. 따라서 모든 검은 정사각형을 더한 면적은 + + + ⋯이며, 이는 또한 회색 정사각형과 흰색 정사각형을 더한 면적이기도 하다. 이 세 영역은 단위 정사각형을 덮고 있으므로, 그림에서 다음을 알 수 있다.

:$3\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; +\backslash frac\{1\}\{4^2\}\; +\backslash frac\{1\}\{4^3\}\; +\backslash frac\{1\}\{4^4\}\; +\backslash cdots\; \backslash right)\; =\; 1$

2.2. 삼각형을 이용한 증명

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삼각형을 이용한 증명은 다음과 같다. 큰 삼각형의 넓이를 1이라고 하면, 가장 큰 검은색 삼각형의 넓이는 이 된다. 이와 같은 방식으로 작은 삼각형들을 계속해서 나누어 나간다. 이 그림은 전체적으로 큰 삼각형과 그 상단의 삼각형 사이에서 자기 유사성을 보인다. 각 부분의 세 곳 모두에 대해 마찬가지로 구성하면, 시에르핀스키 삼각형이 된다.

3. 아르키메데스의 증명

고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 포물선의 구적법을 연구하면서 이 급수를 발견했다. 그는 소진법을 사용하여 포물선 내부의 면적을 구하고 일련의 삼각형을 얻었다. 각 단계의 구성은 이전 단계 면적의 배의 면적을 추가했다. 아르키메데스가 원했던 결과는 총 면적이 첫 번째 단계 면적의 배가 된다는 것이었다. 이를 위해 그는 대수적 보조 정리를 소개했다.

3.1. 포물선의 구적법

아르키메데스는 자신의 저서 포물선의 구적법에서 소진법을 사용하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구했다. 그는 포물선 내부에 여러 개의 삼각형을 내접시켰는데, 각 삼각형의 넓이는 이전 삼각형 넓이의 1/4이 되도록 하였다.

3.2. 명제 23

아르키메데스는 그의 저서 포물선의 구적법에서 다음과 같은 명제를 제시했다.

명제 23. 면적 A, B, C, D, ... , Z^영어의 급수가 주어졌고, 여기서 A^영어가 가장 크고 각각 다음 것의 4배와 같으면,

4. 극한을 이용한 증명

무한 등비급수의 합은 부분합의 극한으로 정의된다. 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯의 합은 부분합의 극한으로 구한다.

n번째 항까지의 부분합은 다음과 같이 표현된다.

:$S\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; +\backslash frac\{1\}\{16\}\; +\backslash frac\{1\}\{64\}\; +\backslash frac\{1\}\{256\}\; +\; \backslash cdots$

이 수열은 $\backslash frac\{1\}\{3\}$으로 수렴한다. n이 무한대로 갈 때, (1/4)ⁿ은 0으로 수렴하므로, S_n의 극한은 다음과 같이 계산된다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{1-\backslash left(\backslash frac14\backslash right)^\{n+1\}\}\{1-\backslash frac14\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac14\}\; =\; \backslash frac43.$

4.1. 부분합 공식

다른 급수와 마찬가지로, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯의 무한합은 최초 n항까지의 합으로 표현된다.

:$S\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; +\backslash frac\{1\}\{16\}\; +\backslash frac\{1\}\{64\}\; +\backslash frac\{1\}\{256\}\; +\; \backslash cdots$

이 수열은 $\backslash frac\{1\}\{3\}$으로 수렴한다. 아르키메데스는 이중 귀류법을 통해 포물선 내부 영역에 이 결과를 적용했다. 현대 미적분학에서는 이 극한을 다음과 같이 쉽게 구할 수 있다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{1-\backslash left(\; \backslash frac14\; \backslash right)^\{n+1\}\}\{1-\backslash frac14\}\; =\backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac14\}\; =\backslash frac43$

4.2. 극한 계산

n이 무한대로 갈 때, (1/4)ⁿ은 0으로 수렴한다. 따라서, S_n의 극한은 다음과 같다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{1-\backslash left(\backslash frac14\backslash right)^\{n+1\}\}\{1-\backslash frac14\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac14\}\; =\; \backslash frac43.$

무한 급수의 합은 부분합의 극한으로 정의되므로,

:$1+\backslash frac14\; +\backslash frac\{1\}\{4^2\}\; +\backslash frac\{1\}\{4^3\}\; +\backslash cdots\; =\backslash frac43.$

따라서, 무한 등비급수 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯의 합은 1/3이다.

5. 추가적인 관점: 한국의 교육 과정

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... 와 같은 무한 등비급수는 대한민국의 고등학교 수학 교육 과정에서 중요한 개념으로 다루어진다. 학생들은 등비수열의 일반항과 부분합 공식을 배우고, 이를 이용하여 무한 등비급수의 수렴과 발산을 판정하는 방법을 배운다. 특히, 이 급수는 극한 개념을 시각적으로 이해하고, 무한의 개념을 탐구하는 좋은 예시로 활용될 수 있다.