초현실수

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1. 개요

초현실수는 수학자 존 콘웨이가 바둑 연구에서 영감을 받아 개발한 수 체계이다. 이는 실수, 무한대, 무한소 등을 포함하며, 1974년 도널드 커누스의 저서에서 처음 소개되었다. 초현실수는 단계별로 구성되며, 각 수는 이미 구성된 수의 정렬된 두 부분 집합으로 정의된다. 초현실수는 조합 게임 이론, 특히 바둑 끝내기 분석에 활용되며, 비표준 해석학의 모델로도 사용되어 미적분학의 엄밀한 기초를 제공한다.

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초현실수
초현실수
정의	모든 초현실수는 두 집합 L과 R에 의해 구성되며, L과 R은 이미 구성된 초현실수들의 집합이고 L의 모든 원소는 R의 모든 원소보다 작다.
창조 규칙	모든 초현실수는 두 집합 L과 R로 만들어지며, L과 R 각각은 이전에 만들어진 초현실수들의 집합이고 L의 모든 수는 R의 모든 수보다 작아야 한다. { L \| R }
유래	존 호턴 콘웨이
최초 발견	베르너 마이스너

2. 역사

존 콘웨이는 바둑을 연구하던 중 영감을 받아 새로운 수 구성 방식인 초현실수를 만들었다. 도널드 크누스는 저서 "Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness"에서 초현실수를 소개했으며, 여기서 '초현실수(surreal number)'라는 명칭이 처음 쓰였다.^[2]

이후 Alling 등에 의해 일반 수학론과의 접점이 찾아지고 자세한 기초론적 연구가 이루어졌다.^[4]

2. 1. 초현실수 개념의 등장

1907년, 한스 한이 형식적 멱급수의 일반화로서 한 급수를 도입했고, 펠릭스 하우스도르프는 -집합을 소개하며 순서체 구조와의 관련성을 질문했다.^[4] 1962년, 노먼 앨링(Norman Alling)은 수정된 한 급수를 이용하여 특정 순서수 에 대한 순서체를 구성하고, 를 모든 순서수의 집합으로 취하면 초현실수와 동형인 순서체가 됨을 보였다.^[4]

존 콘웨이는 바둑의 끝내기를 연구하던 중 초현실수의 구성과 정의를 유도했다.^[2] 도널드 커누스는 1974년 저서 ''초현실수: 두 명의 전직 학생들이 순수 수학에 심취하여 완전한 행복을 찾은 방법''에서 콘웨이의 구성을 소개하고 '초현실수'라는 용어를 만들었다.^[3] 콘웨이는 커누스의 용어를 채택하여 1976년 저서 ''수와 게임에 관하여''에서 게임 분석에 초현실수를 사용했다.

초현실수 발견에 대한 현대적인 관점에서는 콘웨이의 기여가 중요하게 평가받고 있으며, 앨링 또한 이 주제에 대한 연구에 공헌했다.^[5]

2. 2. 한국에서의 연구 및 활용

존 콘웨이는 바둑을 연구하던 중 영감을 받아 새로운 수 체계인 초현실수를 만들었다. 도널드 크누스는 "Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness"라는 책에서 초현실수를 소개했으며, 이 책에서 '초현실수(surreal number)'라는 명칭이 처음 사용되었다.^[1]

이후 Alling 등에 의해 초현실수는 일반 수학론과의 접점이 찾아졌고, 자세한 기초론적 연구가 이루어졌다.^[1]

3. 구성

초현실수의 구성은 귀납적인 방법을 통해 이루어진다. 각 수는 이미 구성된 수들의 집합 쌍 {L | R} 형태로 표현되는데, 여기서 L은 해당 수보다 작은 수들의 집합이고, R은 해당 수보다 큰 수들의 집합이다.^[6]

구성의 첫 단계에서는 이전에 존재하는 수가 없으므로, 유일한 표현은

이다. 이를 0이라고 정의한다. 이후 단계를 거치면서 다음과 같이 정수, 이진 유리수, 실수, 무한대, 무한소 등이 순차적으로 구성된다.^[6]

정수: {0 | } = 1, {1 | } = 2, { | 0} = -1, { | -1} = -2
이진 유리수: {0 | 1} = 1/2, {0 | 1/2} = 1/4

무한히 많은 단계를 거치면 무한한 부분 집합을 사용할 수 있게 되어, 모든 실수를 표현할 수 있다. 실수 a는 a보다 작은 모든 이진 유리수의 집합 L_a와 a보다 큰 모든 이진 유리수의 집합 R_a를 사용하여 {L_a | R_a}로 표현할 수 있다. 이는 데데킨트 컷과 유사하다.

또한, 모든 정수보다 큰 초한수 ω ({0, 1, 2, 3, ... | })와 0보다 크지만 모든 양의 실수보다 작은 무한소 ε ({0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...})도 구성할 수 있다.

초현실수는 순서체이므로, 2ω나 ω - 1과 같은 무한대를 포함하는 수에 대한 사칙연산도 가능하다.

초현실수는 귀납적 정의에 따라 귀납적으로 정의되며, 구성 규칙, 비교 규칙, 동치 규칙의 세 가지 상호 의존적인 부분으로 구성된다. 이 정의는 재귀적이며, 수학적 귀납법을 통해 정의된다. 유한 귀납법으로는 이진 유리수만 얻을 수 있지만, 초한 귀납법을 사용하면 더 넓은 범위를 얻을 수 있다.

3. 1. 표기법

초현실수는 surreal number^영어 집합의 순서쌍으로 표현된다. 보통 처럼 표기하지만, 초현실수에서는 과 같이 각 괄호 옆에 공백을 넣어 표기한다. 집합이 비어 있을 때는 생략하기도 한다. 집합을 원소로 명시할 때는 원소를 둘러싸는 중괄호를 생략하는 경우가 많다. 예를 들어, 대신, 와 같이 표기한다.

''형식''은 초현실수 집합의 쌍으로, '왼쪽 집합'과 '오른쪽 집합'으로 구성된다. 왼쪽 집합 과 오른쪽 집합 을 갖는 형식은 로 표기한다. 과 이 원소 목록으로 주어질 때는 괄호를 생략한다.

형식의 왼쪽 집합과 오른쪽 집합은 공집합일 수 있다. 양쪽 모두 공집합인 형식 은 }라고도 한다.

3. 2. 구성 규칙

형식 는 ''L''과 ''R''의 교집합이 공집합이고, ''R''의 각 요소가 순서 관계 ≤에 따라 ''L''의 모든 요소보다 클 때 수치적이다.

수치적 형식은 동치류에 배치되며, 각 동치류는 ''초현실수''이다. 형식의 왼쪽 및 오른쪽 집합의 요소는 초현실수 전체 집합에서 가져온다.

'''동치 규칙'''

두 수치적 형식 와 는 와 가 모두 참일 경우에만 동일한 수의 형식(동일한 동치류에 속함)이다.

순서 관계는 반대칭이어야 한다. 즉, 이고 라는 의미로 인 것은, 와 가 같은 것일 때에 한정된다. 이것은 초현실수를 형식으로 파악했을 때는 옳지 않지만, 그 동치류를 취해서 만든 것이라면 참이 된다.

빈 형식 에 속하는 동치류를 으로 라벨링한다. 즉, 초현실수의 은 형식 로 표현된다.

3. 3. 순서

두 수치 형식 및 가 주어졌을 때, 는 다음 두 가지 조건을 모두 만족할 경우에만 성립한다.

을 만족하는 가 없다. 즉, 의 왼쪽 부분의 모든 요소는 보다 작다.
를 만족하는 가 없다. 즉, 의 오른쪽 부분의 모든 요소는 보다 크다.

초현실수는 각 초현실수를 나타내기 위해 동치 클래스에서 수치 형식을 선택하여 서로 비교할 수 있다. 초현실수의 구성법은 크고 작음의 관계를 나타내는 순서 (두 초현실수 , 에 대해 또는 가 성립한다. 이고 가 모두 성립할 때 와 는 동치라고 말하며, 같은 수를 나타내는 것으로 이해한다.)을 동반하여 단계를 밟아 구성된다. 각 단계에서의 수는 이미 구성된 기지의 초현실수로 이루어진 부분집합의 쌍의 형태를 하고 있으며, 그러한 수로 이루어진 부분집합 , 이 주어지고, 의 모든 원소가 의 모든 원소보다 작을 때, 쌍 는 의 모든 원소와 의 모든 원소 사이에 값을 갖는 중간수를 나타내는 것이 된다.

이때, 전혀 다른 부분집합의 쌍이 결국 같은 수를 정의한다는 것이 일어날 수 있다. 즉, 이고 이 되는 경우에도 두 쌍 , 이 같은 수를 정의할 수 있다(유사한 현상은 유리수를 정수의 몫으로 정의할 때에도 있었다. 예를 들어 와 는 같은 유리수의 다른 표현이다). 따라서 엄밀하게 말하면, 초현실수는 그러한 같은 수를 나타내는 형식의 표현으로 이루어진 동치류라고 해야 한다.

순서 관계는 반대칭이어야 한다. 즉 이고 라는 의미로 인 것은, 와 가 같은 것일 때에 한정된다. 이것은 초현실수를 형식으로 파악했을 때는 옳지 않지만, 그 동치류를 취해서 만든 것이라면 참이 된다.

수치적 형식을 동치류로 나눌 때, 각 동치류는 "초현실수"가 된다. 형식의 왼쪽 집합과 오른쪽 집합은 (형식이 아닌 그 동치류로서의) 초현실수가 이루는 우주에서 가져올 수 있다.

; 동치 규칙: 두 수 형식 , 가 같은 수를 나타내는 (같은 동치류에 속하는) 필요충분 조건은 및 가 동시에 만족되는 것이다.

초현실수의 재귀적 정의는 아래에 정의하는 비교 규칙에 대해 완전하다.

; 비교 규칙: 수치 형식 , 에 대해, 가 성립한다는 것은

:* 에서 가 되는 것이 존재하지 않는다(의 왼쪽 집합의 원소는 모두 보다 작다).

:* 에서 를 만족하는 것이 존재하지 않는다(의 오른쪽 집합의 원소는 모두 보다 크다).

:라는 조건이 모두 성립하는 것을 말한다.

형식 와 초현실수 사이의 비교 는, 동치류 의 대표가 되는 형식 를 취해 를 평가한다면 의미를 가진다. 마찬가지로 형식 와의 비교 나 초현실수끼리의 비교 도 정의할 수 있다.

3. 4. 귀납

초현실수 구성은 귀납적 정의에 따라 귀납적으로 이루어지며, 구성 규칙, 비교 규칙, 동치 규칙의 세 가지 상호 의존적인 부분으로 구성된다. 이 정의는 재귀적이며, 포함된 객체의 범위를 정의하기 위해 수학적 귀납법이 필요하다. ''유한 귀납법''으로는 이진 유리수만 얻을 수 있지만, 초한 귀납법을 사용하면 더 넓은 범위를 얻을 수 있다.

귀납 규칙에 따라 세대가 정의된다. 생성 n에서 발생하는 형태 {L | R}은 이전 세대 i (i < n)에서 상속된 숫자를 나타낸다. 단, L의 모든 요소보다 크고 R의 모든 요소보다 작은 S_i의 숫자가 있는 경우에만 해당된다. x가 n보다 이전 세대의 숫자를 나타내는 경우, 가장 작은 세대 i가 존재하며, 이를 생일이라 하고 L과 R 사이에 있는 숫자는 정확히 하나 c이다. x는 이 c의 형태이다. 즉, S_n에서 세대 i의 c 표현의 상위 집합인 동치 클래스에 있다.

초현실수는 초현실수로 이루어진 집합의 쌍(단, 한쪽 집합의 각 원소가 다른 쪽 집합의 임의의 원소보다 작다는 제약 조건이 있음)에 대한 동치류로서 귀납적으로 정의된다.

4. 연산

초현실수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 재귀적으로 정의된다.

Conway^영어의 저서에서, 초현실수의 사칙연산은 다음과 같은 의미에서 "잘 작동한다"(consistent):

덧셈 및 부호 반전은 각 귀납법에서 "더 단순한" 귀납 단계의 덧셈 및 부호 반전으로부터 재귀적으로 정의되므로, 생일이 인 수에 대한 연산은 결국 생일이 보다 작은 수에 대한 동일한 연산으로 완전히 표현된다.
곱셈은 덧셈, 부호 반전과 "더 단순한" 곱셈 단계로부터 재귀적으로 정의되므로, 생일이 인 수에 대한 연산은 결국 생일이 보다 작은 수로 이루어진 곱의 합이나 차로 완전히 표현된다.
피연산자가 모순 없이 정의된 초현실수 형식(왼쪽 집합의 각 원소가 오른쪽 집합의 각 원소보다 작음)인 한, 이러한 연산의 결과는 다시 모순 없이 정의된 수 형식이 된다.
형식에 대한 이러한 연산을 초현실수(형식의 동치류)로 "확장"할 수 있다. 즉, 초현실수 를 부호 반전하거나, 초현실수의 쌍 를 더하거나 곱한 결과는 나 를 나타내는 형식의 선택과 관계없이 동일한 초현실수를 제공한다.
이러한 연산은 덧셈 단위원 및 곱셈 단위원 과 함께, 체의 정의에서 교환율·결합율·반수율 및 분배율의 각 공리를 따른다.

이러한 규칙을 사용하면, 처음 몇 세대에 대해 그것이 완전히 라벨링되었는지 확인할 수 있다. 구성 규칙을 반복하면, 초현실수의 더 많은 세대에 대해서도 마찬가지이다.

4. 1. 덧셈

두 초현실수 에 대한 합 는 및 에 대한 귀납법에 의해 다음과 같이 정의된다.

},
}.

덧셈 항등원은 } (즉, 초현실수 은 정의역이 서수 인 유일한 함수)이다. 초현실수 의 덧셈 역원은 이고, 에 대해

(-x)(\alpha) := \begin{cases} -1 & (x(\alpha) = +1)\\ +1 & (x(\alpha) = -1)\end{cases}

로 주어지는 초현실수 이다.

초현실수 가 양수가 되기 위한 필요충분 조건은 이고 인 것이며, 가 음수가 되기 위한 필요충분 조건은 이고 인 것이다.

4. 2. 뺄셈

초현실수의 뺄셈은 덧셈과 덧셈에 대한 역원을 통해 정의된다. 주어진 수 x의 부호 반전(음수)은 다음과 같이 정의된다.

:

-x = - \{ X_L \mid X_R \} = \{ -X_R \mid -X_L \},

여기서 숫자 집합 S의 부호 반전은 S의 부호 반전된 원소들의 집합으로 주어지며 다음과 같다.

:

-S = \{ -s: s \in S \}.

이 공식은 x의 왼쪽 집합과 오른쪽 집합에 나타나는 초현실수들의 부호 반전을 포함하며, 이는 수의 형식을 선택하고, 이 형식의 부호 반전을 평가하고, 결과 형식의 동치류를 취함으로써 이해할 수 있다. 이것은 결과가 피연산자의 형식 선택에 관계없이 동일한 경우에만 의미가 있다. 이는 X_L과 X_R에 나타나는 숫자들은 x 형식이 처음 나타나는 시대보다 이전 세대에서 가져온다는 사실과 다음 특수한 경우를 사용하여 귀납적으로 증명할 수 있다.

:

-0 = - \{ {}\mid{} \} = \{ {}\mid{} \} = 0.

뺄셈은 덧셈과 음수로 정의된다.

:

x - y = \{ X_L \mid X_R \} + \{ -Y_R \mid -Y_L \} = \{ X_L - y, x - Y_R \mid X_R - y, x - Y_L \}\,.

4. 3. 곱셈

곱셈은 0, 곱셈 항등원 1, 그리고 그 가법적 역원 -1을 포함하는 특수한 경우에서 시작하여 재귀적으로 정의될 수 있다.

\begin{align}xy & = \{ X_L \mid X_R \} \{ Y_L \mid Y_R \} \\& = \left\{ X_L y + x Y_L - X_L Y_L, X_R y + x Y_R - X_R Y_R \mid X_L y + x Y_R - X_L Y_R, x Y_L + X_R y - X_R Y_L \right\} \\\end{align}

이 공식은 피연산자와 그들의 왼쪽 및 오른쪽 집합을 포함하는 산술 표현식을 포함한다. 예를 들어

x

와

y

의 곱의 왼쪽 집합에 나타나는

X_R y + x Y_R - X_R Y_R

와 같은 표현식이다. 이것은

\left\{ x' y + x y' - x' y' : x' \in X_R,~ y' \in Y_R \right\}

으로 이해된다.

X_R

과

Y_R

의 멤버들의 모든 가능한 조합을 선택하고 그들을 표현식에 대입하여 생성된 숫자 집합이다.

두 수

x

와

y

의 곱

xy

는

dom(x)

와

dom(y)

에 대한 귀납법으로 정의되며,

xy = σ(L, R)

이고, 여기서

$L = \{ uy + xv - uv : u \in L(x), v \in L(y) \} \cup \{ uy + xv - uv : u \in R(x), v \in R(y) \}$
$R = \{ uy + xv - uv : u \in L(x), v \in R(y) \} \cup \{ uy + xv - uv : u \in R(x), v \in L(y) \}$

곱셈 항등원은 수

1 = \{(0, +1)\}

로 주어지며, 즉 수

1

은 도메인이 서수

1

과 같고,

1=1(0) = +1

이다.

초현실수의 곱셈 정의식에는 피연산자와 좌집합 및 우집합에 대한 산술이 포함된다(예를 들어

X_R y + x Y_R - X_R Y_R

와 같은 식이

x, y

의 곱의 좌집합에 나타난다). 이것은 식에 나타나는 각 집합에서 수를 임의로 선택하고, 그 수에 대한 연산(각 계산 시점에서는 각 집합에서 선택되는 수는 단 하나이며, 원래 식의 집합이 쓰여 있는 장소에 그 때 선택한 수를 대신하여 얻어지는 식을 평가한다)을 시행하여 얻어지는 초현실수 전체로 구성된 집합으로 한다. 단, 이것이 모순이 없는 정의라는 것을 위해,

(a): $x, y$ 의 좌우 집합에서 취한 초현실 "수"의 쌍을 곱하여 초현실수를 얻거나 그것의 반수를 취할 때;
(b): $x, y$ 와 그들의 좌우 집합에서 취한 초현실 "수"를 곱하여 초현실수를 얻을 때;
(c): 정의식으로 결정되는 형식으로부터 수를 얻을 때

각각 형식의 선택에 의존할 가능성이 없는지 확인해야 한다. 이것도 역시 그 특별한 경우, 이번에는

0 = \{\mid\}\

, 곱셈 단위원

1 = \{0 \mid \}

및 그 반수

-1 = \{\mid 0\}

의 존재는 확정되므로

\begin{align}xy ={} &\{ X_L\mid X_R \} \{ Y_L\mid Y_R \} \\:={} &\{ X_L y + x Y_L - X_L Y_L, X_R y + x Y_R - X_R Y_R\midX_L y + x Y_R - X_L Y_R, x Y_L + X_R y - X_R Y_L\}\end{align}

로 귀납적으로 곱셈이 모순 없이 정의됨을 (역시 귀납적으로) 확인할 수 있다.

두 초현실수

x, y

의 곱

xy

는

dom(x)

및

dom(y)

에 대한 귀납법에 의해

xy = σ(L, R)

로 정의된다. 단,

$L = \{uy + xv - uv : u \in L(x), v \in L(y)\} \cup \{uy + xv - uv : u \in R(x), v \in R(y)\}$ ,
$R = \{uy + xv - uv : u \in L(x), v \in R(y)\} \cup \{uy + xv - uv : u \in R(x), v \in L(y)\}$ .

곱셈 항등원은

1 = \{(0, +1)\}

로 주어진다 (즉, 초현실수

1

은 정의역이 서수

1

이고

1=1(0) = +1

을 만족하는 함수를 말한다).

4. 4. 나눗셈

나눗셈은 곱셈과 곱셈에 대한 역원을 통해 정의된다.^[6]

:

\frac xy = x \cdot \frac 1y

여기서

y

가 양수인 경우에 한하여, 역원은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

:

\frac 1y = \left\{\left.0, \frac{1+(y_R-y)\left(\frac1y\right)_L}{y_R}, \frac{1+\left(y_L-y\right)\left(\frac1y\right)_R}{y_L} \,\,\right|\,\, \frac{1+(y_L-y)\left(\frac1y\right)_L}{y_L}, \frac{1+(y_R-y)\left(\frac1y\right)_R}{y_R} \right\}

이 공식에서는

y

의 왼쪽 집합(

y_L

)에서는 양수만 허용되며, 음수나 0은 무시된다 (오른쪽 집합

y_R

의 원소는 항상 양수이다). 이 공식은

y

의 왼쪽 및 오른쪽 집합뿐만 아니라,

\frac{1}{y}

자체의 왼쪽 및 오른쪽 집합의 원소들을 사용한다는 점에서 재귀적이다. 0은 항상

\frac{1}{y}

의 왼쪽 집합의 원소이며, 이를 이용하여 재귀적으로 더 많은 항을 찾을 수 있다.

예를 들어,

y = 3 = \{ 2 | \}

이면,

\frac{1}{3}

의 왼쪽 항은 0이다. 이를 통해

\frac{1 + (2 - 3) \cdot 0}{2} = \frac{1}{2}

이

\frac{1}{3}

의 오른쪽 항임을 알 수 있다. 다시,

\frac{1+(2-3)\left(\frac12\right)}2=\frac14

은 왼쪽 항이 된다. 마찬가지로,

\frac{1+(2-3)\left(\frac14\right)}2 = \frac 38

은 오른쪽 항이 된다. 이 과정을 반복하면 다음과 같다.

:

\frac13 = \left\{\left. 0, \frac14, \frac5{16}, \ldots \,\right|\, \frac12, \frac38, \ldots\right\}

y

가 음수일 경우,

\frac{1}{y}

는 다음과 같이 주어진다.

:

\frac1y=-\left(\frac1{-y}\right)

y = 0

이면,

\frac{1}{y}

는 정의되지 않는다.

5. 무한대와 무한소

Surreal numbers^영어 체계는 무한대와 무한소를 포함한다. 고유한 무한대 양수가 $\omega = \{ S_* \mid{} \} = \{ 1, 2, 3, 4, \ldots \mid{} \}.$ 에 나타난다.

$S_{\omega}$ 는 또한 유리수로 식별될 수 있는 객체를 포함한다.

$S_{\omega}$ 의 유일한 무한대는 $\omega$ 와 $-\omega$ 이지만, 실수 내에는 $S_{\omega}$ 에 다른 비실수도 있다. $S_{\omega}$ 에서 가장 작은 양수를 고려해 보자.

$\varepsilon = \{ S_- \cup S_0 \mid S_+ \} = \left\{ 0 \mid 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \ldots \right\} = \{ 0 \mid y \in S_* : y > 0 \}$

이 숫자는 0보다 크지만 모든 양의 이진 분수보다 작다. 따라서 이는 무한소이며, 종종 $\varepsilon$ 로 표시된다. $S_{\omega}$ 의 유일한 "순수" 무한소는 $\varepsilon$ 와 그 덧셈 역수 $-\varepsilon$ 이며, 이들을 임의의 이진 분수 $y$ 에 더하면 $y \pm \varepsilon$ 가 생성되며, 이는 또한 $S_{\omega}$ 에 속한다.

특정 형태를 곱하여 $\omega$ 와 $\varepsilon$ 간의 관계를 결정할 수 있다.

: $\omega\cdot\varepsilon = \{\varepsilon\cdot S_+ \mid \omega\cdot S_+ + S_* + \varepsilon S_*\}$ .

이 식은 $S_{\omega^2}$ 까지의 초한 귀납법을 허용하는 집합론에서만 잘 정의된다. 그러한 시스템에서 $\omega\cdot\varepsilon$ 의 왼쪽 집합의 모든 원소가 양의 무한소이고 오른쪽 집합의 모든 원소가 양의 무한대이므로 $\omega\cdot\varepsilon$ 가 가장 오래된 양의 유한수인 1임을 증명할 수 있다. 결과적으로, ${1\over \varepsilon} = \omega$ . 일부 저자는 기호 $\varepsilon$ 대신 체계적으로 $\omega^{-1}$ 를 사용한다.

초한 귀납법을 $S_{\omega}$ 이상으로 계속 수행하면 더 많은 서수 $\alpha$ 가 생성되며, 각 서수는 생일이 $\alpha$ 인 가장 큰 초현실수로 표현된다. (이것은 본질적으로 초한 귀납법의 결과로 얻어진 서수의 정의이다.) 첫 번째 서수는 $\omega + 1$ 이다. $\omega + 1$ 세대에는 또 다른 양의 무한수가 있다.

: $\omega - 1$ .

초현실수 $\omega - 1$ 은 서수가 아니다. 서수 $\omega$ 는 어떤 서수의 후계자가 아니다. 이것은 생일이 $\omega + 1$ 인 초현실수로, $\omega =$ 와 $-1 =$ 의 합과 일치한다는 것을 기반으로 $\omega - 1$ 로 표시된다. 마찬가지로, $\omega + 1$ 세대에는 두 개의 새로운 무한소 숫자가 있다.

: $2\varepsilon \varepsilon + \varepsilon =$ 그리고

: $\frac{\varepsilon}{2} \varepsilon\cdot\frac12 =$ .

초한 귀납법의 후기 단계에서, 모든 자연수 $k$ 에 대해 $\omega + k$ 보다 큰 숫자가 있다.

: $2\omega \omega + \omega =$

이 숫자는 생일이 $\omega + \omega$ (즉, $\omega$ 에서 후계자 연산을 통해 도달할 수 없는 첫 번째 서수)이고 $\omega$ 와 $\omega$ 의 초현실 합과 일치하기 때문에 $\omega + \omega$ 로 표시할 수 있다. 또한, $2\omega$ 로 표시할 수 있는데, 그 이유는 $\omega =$ 와 $2 =$ 의 곱과 일치하기 때문이다. 그것은 두 번째 극한 서수이다. $\omega$ 에서 구조 단계를 통해 여기에 도달하려면 다음 초한 귀납법이 필요하다.

$\bigcup_{k < \omega} S_{\omega + k}$

이것은 이전 초한 귀납법보다 "강력한" 집합론적 연산인 무한 집합들의 무한 합을 포함한다.

서수의 ''전통적인'' 덧셈과 곱셈은 항상 이러한 초현실 표현에 대한 연산과 일치하지 않는다는 점에 유의해야 한다. 서수 $1 + \omega$ 의 합은 $\omega$ 와 같지만, 초현실 합은 교환 가능하며 $1 + \omega = \omega + 1 > \omega$ 을 생성한다. 서수와 관련된 초현실수의 덧셈과 곱셈은, 서수의 자연 합과 자연 곱과 일치한다.

$2\omega$ 가 임의의 자연수 $n$ 에 대해 $\omega + n$ 보다 큰 것과 마찬가지로, 임의의 자연수 $n$ 에 대해 $\omega - n$ 보다 무한하지만 작은 초현실수 $\frac{\omega}{2}$ 가 있다. 즉, $\frac{\omega}{2}$ 는 다음으로 정의된다.

: $\frac{\omega}{2} }$

여기서 오른쪽 항의 표기법 $x - Y$ ( $x$ 는 수, $Y$ 는 집합)는 의 의미로 사용했다. 이것은 $\omega$ 와 $\frac12$ 를 나타내는 형식 과의 곱과 동일시할 수 있다. $\frac{\omega}{2}$ 의 생일은 극한 서수 $\omega2$ 이다.

6. 조합 게임 이론과의 관계

초현실수는 조합 게임 이론, 특히 바둑과 같은 게임의 끝내기 분석에 유용하게 사용된다.^[2] 초현실수는 "L의 각 원소는 R의 각 원소보다 작다"는 제약 조건을 가진다. 이 조건을 제거하면 더 일반적인 개념인 '''게임'''을 얻을 수 있다.

모든 게임은 다음 구성 규칙을 따른다.

; 구성 규칙: L과 R이 게임의 집합이면, {L | R}은 게임이다.

덧셈, 부정(뺄셈), 비교는 초현실수와 게임 모두에 대해 동일한 방식으로 정의된다.

모든 초현실수는 게임이지만, 모든 게임이 초현실수인 것은 아니다. 예를 들어, 게임 별()은 초현실수가 아니다. 게임은 초현실수보다 일반적이며, 정의는 더 간단하지만 초현실수가 가지는 체를 이루거나 전순서를 가지는 등의 좋은 성질은 일부 가지지 않는다. 게임은 부분 순서만을 가지므로, 서로 같지도 않고 어느 한쪽이 크지도 않은 게임 쌍이 존재할 수 있다.

각 초현실수는 양수, 음수, 또는 0이지만, 각 게임은 양수, 음수, 영, 또는 퍼지(0과 비교할 수 없는 게임, 예: {1 | -1}) 중 하나이다.

게임에서 한 번의 이동은 이동할 차례인 플레이어가 L (왼쪽 플레이어) 또는 R (오른쪽 플레이어)에서 가능한 게임을 선택하고, 선택된 게임을 상대 플레이어에게 넘기는 것이다. 선택할 수 있는 게임이 없어 이동할 수 없는 플레이어는 패배한다. 양의 게임은 왼쪽 플레이어, 음의 게임은 오른쪽 플레이어, 영 게임은 두 번째로 이동하는 플레이어, 퍼지 게임은 첫 번째로 이동하는 플레이어가 승리한다.

x, y, z가 초현실수이고 x = y 이면 xz = yz 이지만, x, y, z가 게임이고 x = y 일 때는 xz = yz 가 항상 참이 되는 것은 아니다. 여기서 "="는 동일성이 아니라 값이 같음을 의미한다.

6. 1. 게임의 표현

두 명의 플레이어가 번갈아 가며 진행하는 결정론적 게임에서, 각 보드 위치는 초현실수 또는 게임으로 표현될 수 있다. 게임의 값은 왼쪽(Left) 플레이어가 한 번의 이동으로 도달할 수 있는 모든 위치의 값 집합인 과 오른쪽(Right) 플레이어가 한 번의 이동으로 도달할 수 있는 모든 위치의 값 집합인 을 사용하여 로 표현된다.^[2]

이러한 방식으로 게임을 분석하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. 두 명의 완벽한 플레이어가 게임을 할 때, 초기 위치에 해당하는 게임 값을 라고 하면, 모든 게임은 다음 네 가지 클래스로 분류할 수 있다.^[2]

: 왼쪽 플레이어가 먼저 시작하든, 오른쪽 플레이어가 먼저 시작하든 관계없이 항상 왼쪽 플레이어가 이긴다.
: 왼쪽 플레이어가 먼저 시작하든, 오른쪽 플레이어가 먼저 시작하든 관계없이 항상 오른쪽 플레이어가 이긴다.
: 두 번째로 플레이하는 플레이어가 항상 이긴다.
: 먼저 플레이하는 플레이어가 항상 이긴다.

여기서 표시는 가 0과 비교 불가능하다는 의미이다. 즉, , , 중 어느 것도 성립하지 않는다.^[2]

6. 2. 게임의 분류

초현실수의 정의에 있는 제약 조건("L의 각 원소는 R의 각 원소보다 진정으로 작다")을 제거하면 더 일반적인 클래스인 '''게임'''을 얻을 수 있다. 모든 게임은 다음 규칙에 따라 구성된다.

; 게임의 구성 규칙: L과 R이 모두 게임으로 구성된 집합일 때, {L | R}은 게임이다.

덧셈, 뺄셈, 크기 비교는 초현실수와 게임에 공통적으로 정의된다.

모든 초현실수는 게임이지만, 모든 게임이 초현실수인 것은 아니다. 예를 들어 게임 star (game theory)|별|star^영어 (star (game theory)|별|star^영어 = {0 | 0})은 초현실수가 아니다. 게임 전체의 클래스는 초현실수 전체보다 일반적이며, 더 간단한 정의를 갖지만 초현실수가 갖는 좋은 성질 중 일부는 갖지 않는다. 예를 들어, 초현실수 전체는 체를 이루지만, 게임 전체는 그렇지 않다. 또한 초현실수는 전순서를 갖지만, 게임은 반순서만을 가지며, 같지도 않고 어느 한쪽이 크다고도 할 수 없는 경우가 존재한다. 각 초현실수는 양수, 음수, 0 중 하나이지만, 각 게임은 양수, 음수, 영(0) 외에 0과 비교할 수 없는 퍼지({1 | -1} 등)가 존재한다.

게임에서의 한 수(move)는 플레이어가 L (선공) 또는 R (후공)에서 가능한 게임을 선택하여 상대에게 넘기는 것이다. 선택할 수 있는 것이 없어 손을 쓸 수 없는 플레이어는 패배한다. 양의 게임은 선공의 승리, 음의 게임은 후공의 승리, 영 게임은 후공의 차례, 퍼지 게임은 선공의 차례를 의미한다.

x, y, z가 초현실수일 때, x = y이면 xz = yz가 성립하지만, 게임일 때는 x = y여도 xz = yz가 성립하지 않을 수 있다. 여기서 등호 "="는 "값이 같다"는 의미이며, "동일"하다는 의미는 아니다.

초현실수는 원래 바둑 연구에서 동기 부여를 받았으며,^[14] 일반적인 게임과 초현실수 사이에는 다양한 관련성이 있다. 이 섹션에서는 수학적 대상 {L | R}을 게임(Game)으로, 체스나 바둑과 같은 놀이를 유희(game)로 구분한다.

고려할 유희는 다음 성질을 갖는다:

플레이어는 두 명(Left와 Right)이다.
결정론적이다(각 턴은 무작위 요소 없이 플레이어의 선택으로 결정된다).
숨겨진 정보가 없다.
플레이어는 차례로 턴을 가진다(유희에 따라 한 턴에 여러 수를 허용할 수도 있다).
유한한 수의 수로 종료되어야 한다.
정규적인 수가 남지 않으면 즉시 종료되고 해당 플레이어가 패배한다.

대부분의 유희에서 초기 판 배치는 한쪽 플레이어에게 큰 유리함을 주지 않지만, 진행 과정에서 한쪽이 승리에 가까워질수록 판은 해당 플레이어에게 유리해진다. 유희 분석을 위해, 게임을 임의의 판면에 연결하는 것이 유효하다. 주어진 판면의 값이 게임 {L | R}이라는 것은, L은 Left가 단독으로 달성 가능한 판면 값 전체의 집합, R은 Right가 단독으로 달성 가능한 판면 값 전체의 집합이 되도록 부여하는 것이다.

영 게임 0은 L과 R이 모두 공집합인 게임이므로, 다음 수를 두는 플레이어가 즉시 패배한다. 두 게임 G = {L₁ | R₁}, H = {L₂ | R₂}의 합은 G + H = {L₁ + H, G + L₂ | R₁ + H, G + R₂}라는 게임으로 정의되며, 이는 각 플레이어가 턴마다 시도(play)를 하는 게임을 선택할 수 있지만, 정규적인 수를 둘 수 없게 된 플레이어가 패배하는 것은 변함이 없다. 예를 들어, 두 명의 플레이어가 체스판을 두 개 사용하여 둔다고 상상해보자. 플레이어는 차례로 수를 두지만, 각 턴에서 어느 판에서 둘지는 완전히 플레이어의 자유에 맡겨진다. 게임 G = {L | R}에 대해, -G는 {-R | -L}이 되는 게임으로, 이는 두 플레이어가 그 역할을 바꾼 것이다. 임의의 게임 G에 대해 G - G = 0이 됨을 쉽게 알 수 있다(여기서 게임의 차 G - H는 G + (-H)로 정의한다).

게임과 유희를 연결하는 이 방법은 흥미로운 결과를 낳는다. 두 명의 완벽한 플레이어가 유희를 주어진 판면에서 시작할 때, 해당 초기 판면에 부수하는 게임이 x라면, 게임은 다음 네 종류로 분류할 수 있다.

x > 0이면 Left가 승리한다(누가 선, 후수를 잡든).
x < 0이면 Right가 승리한다(누가 선, 후수를 잡든).
x = 0이면 후수가 승리한다.
x || 0이면 선수가 승리한다.

더 일반적으로, G > H는 G - H > 0이 되는 것으로 정의하며, <, =, ||에 대해서도 마찬가지이다. 여기서 표기 G || H는 G와 H가 비교 불가능하다는 의미이며, G > H, G < H, G = H 중 어떤 것도 성립하지 않는다는 것과 같다. 비교 불가능한 유희는 놓인 수에 따라 어느 플레이어가 우세해지는지가 바뀌기 때문에 서로 혼란스러운(''confused'') 경우도 있다. 영 게임과 혼란스러운 게임을 퍼지라고 하며, 양수, 음수, 영과 대립한다. 퍼지 게임의 예로는 star (game theory)|별|star^영어이 있다.

유희의 종반 부근은 종종 서로 간섭하지 않는 여러 작은 유희로 분해된다. 예를 들어, 바둑에서 판은 점차 바둑돌로 채워져 가고, 플레이어가 수를 둘 수 있는 빈 공간은 여러 작은 섬으로 나뉠 것이다. 각 섬은 작은 판면 위의 하나의 바둑처럼 보인다. 이러한 작은 유희 각각을 분석하고 그 결과를 결합하여 유희 전체를 분석하는 것은 유용하다. 예를 들어, 선수가 반드시 이기는 두 개의 작은 유희가 있었다고 해도, 그것들을 결합하여 하나의 큰 유희로 만들었을 때, 그것이 선수가 반드시 이기는 유희인지 알 수 없다. 다행히, 이를 분석하는 방법이 있으며, 다음 정리를 사용한다.

:정리: 하나의 큰 유희를 두 개의 더 작은 유희로 분해할 때, 그 작은 유희에 부수하는 게임을 x 및 y라고 하면, 원래의 큰 유희에 부수하는 게임은 x + y이다.

작은 유희의 조합이 되는 유희는, 그 작은 유희의 disjunctive sum이라고 불리며, 정리는 여기서 정의한 게임의 가법이, 그 유희의 선택적 합을 취하는 것과 등가임을 말하고 있다.

콘웨이는 바둑의 종국을 분석하고, 상호 간섭하지 않는 소유희의 분석을 연결하여 그것들의 선택적 합의 분석을 하는 방법이 유용하다는 것을 깨달았다. 이를 통해 게임의 개념과 가법 연산을 발명했다. 더 나아가 부호 반전 및 대소 비교의 정의로 개발이 진행되었고, 게임으로 이루어진 어떤 종류의 클래스가 흥미로운 성질을 갖는다는 것을 지적했다. 그것이 초현실수 전체이다. 최종적으로 곱셈 연산을 개발하여 초현실수 전체가 체를 이루고 실수와 서수를 모두 포함하는 체계임을 증명했다.

6. 3. 게임의 합

두 게임의 합은 각 플레이어가 번갈아 가며 두 게임 중 하나를 선택하여 진행하는 새로운 게임을 의미한다. 큰 게임이 두 개의 작은 게임으로 분해될 때, 작은 게임의 값을 알면 큰 게임의 값을 계산할 수 있다.^[14]

예를 들어 두 명의 플레이어가 두 개의 체스판을 사용한다고 가정해 보자. 각 플레이어는 차례가 되면 두 체스판 중 하나를 선택하여 말을 움직일 수 있다. 이때 어느 쪽 체스판을 선택하는지는 플레이어의 자유이다. 이러한 상황은 게임의 합을 나타내는 예시 중 하나이다.

만약 게임 G가 이고, 게임 H가 라면, 두 게임의 합 G + H는 다음과 같이 정의된다.

: }

여기서 이동할 플레이어는 각 단계에서 어떤 게임을 플레이할지 선택하고, 더 이상 합법적인 이동을 할 수 없는 플레이어가 패배한다.

어떤 게임 G가 이면, 는 인데, 이는 두 플레이어의 역할을 바꾼 것이다. 모든 게임 G에 대해 이 성립한다(여기서 는 로 정의된다).

바둑의 종반전과 같이 게임이 끝나갈 때, 각 플레이어는 여러 개의 작은 게임 중 하나에서만 이동할 수 있고, 이 작은 게임들은 서로 상호작용하지 않는 경우가 있다. 이러한 경우, 각 하위 게임을 별도로 분석한 다음 결과를 결합하여 전체 게임을 분석하는 것이 유용하다. 이때 다음 정리가 적용될 수 있다.

큰 게임이 두 개의 작은 게임으로 분해되고, 작은 게임이 각각 x와 y의 값을 가질 때, 큰 게임은 x + y의 값을 가진다.

작은 게임으로 구성된 게임을 해당 작은 게임의 비분리적 합이라고 하며, 위 정리는 우리가 정의한 덧셈 방법이 가산의 비분리적 합을 취하는 것과 동일함을 보여준다.

7. 다른 표현법

초현실수는 게임 관점에서 코웨이의 설명을 보완하는 다른 표현법으로도 나타낼 수 있다.

7. 1. 부호 전개

초현실수는 순서수를 정의역으로, 를 공역으로 하는 함수로 표현될 수 있다.^[8] 이것은 콘웨이(Conway)의 L-R 시퀀스와 동일하다.^[6]

숫자에 대한 이진 술어 "더 간단하다"는 다음과 같이 정의한다. 가 의 진 부분 집합이면 는 보다 더 간단하다. 즉, 이고 모든 에 대해 인 경우이다.

초현실수에 대해 이진 관계 를 사전식 순서로 정의한다(단, "정의되지 않은 값"은 보다 크고 보다 작다는 규칙을 사용한다). 따라서 다음 중 하나가 참이면 이다.

가 보다 더 간단하고 이다.
가 보다 더 간단하고 이다.
가 존재하여 는 보다 더 간단하고, 는 보다 더 간단하며, 이고 이다.

동등하게, 라고 하자.

따라서 는 인 경우에만 해당한다. 그런 다음 숫자 와 에 대해, 다음 중 하나가 참이면 이다.

;}}

숫자 와 에 대해, 는 인 경우에만 해당하며, 는 인 경우에만 해당한다. 또한 는 인 경우에만 해당한다.

관계 는 추이적이며, 모든 숫자 와 에 대해 정확히 , , 중 하나가 성립한다(삼분법의 법칙). 이는 가 선형 순서임을 의미한다(단, 는 고유한 클래스이다).

인 숫자 집합 과 에 대해, 다음을 만족하는 고유한 숫자 가 존재한다.

인 숫자 에 대해, 이거나 는 보다 더 간단하다.

게다가, 는 초한 귀납법에 의해 과 에서 구성될 수 있다. 는 과 사이에서 가장 간단한 숫자이다. 고유한 숫자 를 로 표기한다.

숫자 에 대해, 그의 왼쪽 집합 과 오른쪽 집합 를 다음과 같이 정의한다.

그런 다음 .

이러한 대안적 실현의 한 가지 장점은 등식이 귀납적으로 정의된 관계가 아닌 항등이라는 것이다. 그러나 초현실수의 콘웨이(Conway)의 실현과 달리, 부호 확장은 서수의 사전 구성을 필요로 하는 반면, 콘웨이(Conway)의 실현에서는 서수가 초현실수의 특수한 경우로 구성된다.

7. 2. 공리적 접근

초현실수는 명시적인 구성 없이 공리계를 통해 정의될 수도 있다. Alling은 초현실수가 만족해야 하는 일련의 공리를 제시했다.^[11] 이 공리들은 동형까지의 유일성을 보장한다.

삼중항

\langle \mathbb{No}, \mathrm{<}, b \rangle

가 다음 조건을 만족하면 초현실수 시스템이다.

'<'는 $\mathbb{No}$ 에 대한 전순서이다.
'b'는 모든 서수 클래스를 $\mathbb{No}$ 로 사상하는 함수이다. ('b'는 $\mathbb{No}$ 에 대한 "생일 함수"라고 불린다.)
$\mathbb{No}$ 의 부분 집합 A, B에 대해, 모든 x ∈ A, y ∈ B가 x < y를 만족하면, b(z)가 최소이고 모든 x ∈ A, y ∈ B에 대해 x < z < y가 되는 고유한 $z \in \mathbb{No}$ 가 존재한다. (이 공리는 "Conway의 단순성 정리"라고 불린다.)
서수 α가 모든 x ∈ A, B에 대해 b(x)보다 크면, b(z) ≤ α이다. (Alling은 이 공리를 만족하는 시스템을 "완전한 초현실수 시스템"이라고 불렀다.)

Conway의 원래 구성과 초현실수의 부호-확장 구성 모두 이러한 공리를 만족한다.

Alling은^[11] 이러한 공리를 바탕으로 '

\leq

'의 Conway의 원래 정의를 도출하고 초현실수 산술을 개발했다.

7. 3. 단순성 계층

필립 에를리히(Philip Ehrlich)에 따르면 초현실수는 단순성(조상) 관계와 순서 관계를 갖는 최대 이진 유사 트리로 구성된다.^[12] 일반적인 트리와 다르게 정점의 조상 집합은 정렬 집합이지만 최대 원소(직전 원소)를 가질 수 없다. 즉, 조상 집합의 순서형은 자연수뿐만 아니라 일반적인 서수도 될 수 있다. 이 구성은 앨링(Alling)의 공리도 충족하며 부호-수열 표현으로 쉽게 바꿀 수 있다. 에를리히는 컨웨이(Conway)의 최대 초현실수 체와 폰 노이만-괴델 집합론의 최대 초실수 간의 동형사상을 구성했다.^[12]

7. 4. 한 급수

초현실수는 실수 계수를 갖는 한 급수(Hahn series)의 체와 (순서체로서) 동형임이 증명되었다.^[11] 이는 초현실수와 순서체 이론에 대한 보다 전통적인 수학적 접근 방식 간의 연결을 제공한다.

이 동형성에 의해 초현실수가 사상된 체는 콘웨이 정규 형식에서 최고차항 지수의 가법 역원을 값으로 갖는 부치환체이다. 값 매김 환은 유한 초현실수(실수 또는 실수에 무한소 성분을 더한 것) 전체로 구성된다. 여기서 부치환으로 지수의 부호를 반전시키는 것은 콘웨이 정규 형식에서 지수가 역 정렬 집합을 이루고 있고, 그에 반해 한 급수가 값 군의 (정순의) 정렬 부분 집합에 의해 공식화되어 있기 때문이다.

모든 초현실수 는 컨웨이 정규형에 의하여 다음과 같이 유일하게 표현될 수 있다.

:

여기서 모든 는 0이 아닌 실수이고 는 엄격히 감소하는 초현실수 열이다. 그러나 이 "합"은 무한히 많은 항을 가질 수 있으며, 일반적으로 임의의 서수의 길이를 갖는다.

이러한 방식으로 보면 초현실수는 멱급수체와 유사하지만, 감소하는 지수 열은 서수에 의해 길이 제한을 받아야 하며 서수 클래스만큼 길어서는 안 된다. 이것이 초현실수를 한 급수로 공식화하는 기반이다.

8. 비표준 해석학으로의 응용

초현실수는 무한소와 무한대를 포함하여 미적분학을 엄밀하게 다룰 수 있는 비표준 해석학의 모델을 제공한다. 이를 통해 극한, 미분, 적분 등의 개념을 직관적으로 이해하고, 표준 해석학에서 복잡하게 다루어지는 문제들을 간결하게 해결할 수 있다.^[8]

크루스칼의 미출판 연구를 바탕으로 곤쇼르는 실수 지수 함수 (밑 e^영어)를 초현실수에 확장하는 구성을 수행했다.^[8] 이 정의를 사용하면 다음이 성립한다.

exp^영어는 엄격하게 증가하는 양의 함수이며, 이다.
exp^영어는 를 만족한다.
exp^영어는 전사 함수이고 ( $\mathbb{No}_+$ 에 대한) 잘 정의된 역함수 를 갖는다.
exp^영어는 실수에 대한 일반적인 지수 함수와 일치하며 (따라서 )이다.
x^영어가 무한소일 때, 의 형식적 멱급수(테일러 전개)의 값은 잘 정의되어 있으며 귀납적 정의와 일치한다.
양의 무한대 x^영어에 대해, 도 무한대이다.
모든 초현실수는 순수한 무한대 부분, 실수 부분, 무한소 부분의 합으로 쓸 수 있으며, 지수는 위에 주어진 부분 결과의 곱이다.
지수 함수는 어떤 유한 거듭제곱보다 훨씬 크다.
exp^영어는 실 지수 필드에 대한 모든 Ressayre 공리를 만족한다.^[7]

초현실 지수 함수는 본질적으로 ω^영어의 양의 거듭제곱에서의 동작, 즉 g(a)^영어 함수와 유한한 수에서의 잘 알려진 동작에 의해 주어진다.

일반적인 거듭제곱은 , 와 같이 정의할 수 있으며, 와 같은 표현에 대한 해석을 제공한다.

9. 같이 보기

참조

_[1] 서적 An Invitation to Abstract Mathematics https://books.google[...] Springer
_[2] 간행물 John Horton Conway http://www-history.m[...] University of St Andrews, Scotland 2008-01-24
_[3] 웹사이트 Surreal Numbers https://www-cs-facul[...] Stanford 2020-05-25
_[4] 간행물 On the existence of real-closed fields that are {{math|''η''{{sub|''α''}}}}-sets of power {{math|ℵ{{sub|''α''}}}}.
_[5] 간행물 Conway's Field of surreal numbers https://www.ams.org/[...] 2019-03-05
_[6] 서적 On Numbers and Games https://books.google[...] CRC Press 2000-12-11
_[7] 학술지 Fields of surreal numbers and exponentiation Institute of Mathematics of the Polish Academy of Sciences 2001-01
_[8] 서적 An Introduction to the Theory of Surreal Numbers Cambridge University Press
_[9] arXiv Analysis on Surreal Numbers 2015-05-19
_[10] 문서 Surreal vectors and the game of Cutblock http://jamespropp.or[...] 1994-08-22
_[11] 서적 Foundations of Analysis over Surreal Number Fields North-Holland
_[12] 학술지 The absolute arithmetic continuum and the unification of all numbers great and small http://www.ohio.edu/[...] 2017-06-08
_[13] 서적 An Invitation to Abstract Mathematics
_[14] 간행물 Conway Biography http://www-history.m[...] 2008-01-24
_[15] arXiv Analysis on Surreal Numbers 2015-05-19
_[16] 문서 Surreal vectors and the game of Cutblock http://jamespropp.or[...] 1994-08-22

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