1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

1. 개요

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯는 각 항이 이전 항의 절반인 무한 등비 급수로, 1에 수렴한다. 이 급수는 부분합의 극한, 또는 극한의 개념을 사용하여 증명할 수 있다. 이 급수는 제논의 역설인 아킬레우스와 거북이의 역설을 설명하는 데 사용되었으며, 호루스의 눈과 중국 도교 서적인 장자의 구절과도 관련이 있다.

2. 증명

무한 급수 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 은 수학적 귀납법 등 다양한 방법을 통해 그 합이 1임을 증명할 수 있다.

2.1. 부분합을 이용한 증명

다른 급수와 마찬가지로, 무한합 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 은 최초 n항의 합 s_n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ + 1/2ⁿ 의 n이 무한히 커질 때의 극한으로 정의된다.

s_n (위 등식의 양변)에 2를 곱하면 유용한 관계를 알 수 있다.

:2s_n = 2/2 + 2/4 + 2/8 + 2/16 + ⋯ + 2/2ⁿ = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ + 1/2^n-1 = 1 + s_n - 1/2ⁿ

양변에서 s_n을 빼면 다음과 같은 식이 된다.

:s_n = 1 - 1/2ⁿ

n이 무한으로 커지면 s_n은 1에 수렴한다.

2.2. 극한을 이용한 증명

다른 급수와 마찬가지로, 무한합
:$\backslash frac12+\backslash frac14+\backslash frac18+\backslash frac\{1\}\{16\}+\backslash cdots$
은 처음 n개 항의 합
:$s\_n=\backslash frac12+\backslash frac14+\backslash frac18+\backslash frac\{1\}\{16\}+\backslash cdots+\backslash frac\{1\}\{2^n\}$
에서 n이 무한히 커질 때의 극한으로 정의된다.

s_n (위 식의 양변)에 2를 곱하면 유용한 관계를 얻을 수 있다.
:$2s\_n\; =\backslash frac22\; +\backslash frac24\; +\backslash frac28\; +\backslash frac\{2\}\{16\}\; +\backslash cdots\; +\backslash frac\{2\}\{2^n\}\; =\; 1+\backslash frac12\; +\backslash frac14\; +\backslash frac18\; +\backslash cdots\; +\backslash frac\{1\}\{2^\{n-1\}\}\; =\; 1+s\_n\; -\backslash frac\{1\}\{2^n\}$

양변에서 s_n을 빼면 다음 식이 된다.
:$s\_n\; =1-\backslash frac\{1\}\{2^n\}$

n을 무한으로 크게 하면, s_n은 1에 수렴한다. 즉, n이 ∞(무한)이면 $\backslash frac\{1\}\{2^n\}$은 0이 되고 s_n은 1이 된다.

3. 역사

이 급수는 여러 문화권에서 다양한 방식으로 나타난다. 제논의 역설의 한 표현으로 사용되었고, 호루스의 눈은 이 급수의 초반 6개 항을 나타낸 것으로 여겨졌다. 도교 서적 《장자》 〈잡편(雜篇) 제33 천하(天下)〉의 "한 자 길이의 회초리를 매일 부러뜨려도 만년이 지나도록 없어지지 않으리라."(一尺之捶(일척지추), 日取其半(일취기반), 萬世不竭(만세불갈))라는 구절도 이 급수와 관련이 있는 것으로 여겨진다.

3.1. 제논의 역설

이 급수는 제논의 역설 가운데 하나인 아킬레우스와 거북이의 역설을 표현하는 데에 사용되었다. 아킬레우스와 거북이의 역설에서 전사 아킬레스는 거북이와 경주를 했다. 경주 트랙은 100m였다. 아킬레스는 10m/s의 속도로 달릴 수 있었지만, 거북이는 5m/s의 속도로 달렸다. 제논은 거북이가 10m의 이점을 가지고 있기 때문에 이길 것이라고 주장했다. 아킬레스는 거북이를 따라잡기 위해 10m를 이동해야 하지만, 그 동안 거북이는 이미 5m를 더 이동했을 것이다. 아킬레스는 그 다음 5m를 이동해야 하고, 그 동안 거북이는 2.5m를 이동하는 식이다. 제논은 거북이가 항상 아킬레스보다 앞서 있을 것이라고 주장했다. 마찬가지로, 제논의 분할의 역설은 특정 거리를 이동하기 위해서는 그 거리의 절반을 이동하고, 그 다음 남은 거리의 절반을 이동하는 식으로 무한히 많은 시간 간격을 가져야 한다는 가정에서 비롯된다.

두 경우 모두, 각 시간 간격은 이 무한 등비 수열의 항이며, 무한한 항의 극한에서도 유한한 총 시간에 합산된다. 이것은 때때로 제논의 역설을 해결하는 것으로 여겨진다. 그러나 제논이 이러한 부분들의 합의 문제가 아니라 실무한으로의 연속체의 분할 문제에 관심을 가졌던 한, 그것은 제논 주장의 철학적 핵심을 다루지 못할 수도 있다.

3.2. 호루스의 눈

호루스의 눈은 이 급수의 초반 6개 항을 나타낸 것으로 여겨졌다.

3.3. 장자

도교 서적 《장자》 〈잡편(雜篇) 제33 천하(天下)〉에 "한 자 길이의 회초리를 매일 부러뜨려도 만년이 지나도록 없어지지 않으리라."(一尺之捶(일척지추), 日取其半(일취기반), 萬世不竭(만세불갈))라는 구절이 나오는데, 이는 이 급수와 관련이 있는 것으로 여겨진다.