수학사
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1. 개요
수학사는 인류 역사와 함께 시작되어 고대부터 현대에 이르기까지 다양한 시대와 문명에서 발전해 온 학문 분야이다. 선사 시대부터 기하학적 지식과 수 개념이 존재했으며, 고대 이집트, 메소포타미아, 인도, 중국 등에서 산술, 기하학, 대수학 등이 발전했다. 고대 그리스에서는 연역적인 논리를 바탕으로 수학이 체계화되었으며, 에우클리드의 《원론》은 수학의 중요한 기반이 되었다. 중세에는 이슬람 세계에서 수학이 발전했으며, 유럽에서는 12세기 이후 아랍 수학의 번역을 통해 수학 연구가 부흥했다. 17세기에는 미적분학이 등장하고, 18세기에는 해석학이 발전했다. 19세기에는 비유클리드 기하학, 추상대수학, 집합론 등이 등장하며 수학이 더욱 추상화되었고, 20세기에는 수학이 전문화되고 컴퓨터의 발전과 함께 다양한 문제들이 해결되었다. 21세기에는 수학이 더욱 전문화되고 컴퓨터의 발전과 함께 다양한 문제들이 해결되었으며, 빅데이터와 생명정보학 등 새로운 분야에 수학이 응용되고 있다.
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기하학사는 고대 문명의 실용적 필요에서 발생한 기하학이 그리스에서 연역적 체계를 갖춘 학문으로 발전하고 해석기하학, 비유클리드 기하학, 위상수학 등으로 확장되어 현대에 이르기까지의 변천 과정을 다룬다. - 수학사 - 베르누이가
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천문학사는 인류 문명 초기의 달력 제작과 별자리 그림 기술에서 기원하여 그리스 철학자들의 지구중심설, 이슬람 문화권의 관측 천문학 발전, 코페르니쿠스, 갈릴레이, 케플러, 뉴턴 등의 태양중심설 확립과 천체역학 발전을 거쳐 현대 천문학의 기틀을 마련하고 우주론, 천체물리학 등 다양한 분야로 확장되었으며 한국 천문학 또한 독자적인 발전을 이루어 온 학문이다.
| 수학사 | |
|---|---|
| 역사 | |
| 기원 | 기원전 3000년기 ~ 기원전 1800년기: 바빌로니아 수학 기원전 3000년기: 이집트 수학 |
| 주요 인물 | 탈레스 피타고라스 유클리드 아르키메데스 알콰리즈미 피보나치 아이작 뉴턴 라이프니츠 레온하르트 오일러 가우스 베른하르트 리만 앙리 푸앵카레 다비트 힐베르트 알란 튜링 존 폰 노이만 노엄 촘스키 알렉산더 그로텐디크 앤드루 와일스 |
| 분야별 역사 | |
| 수학기초론의 역사 | 수학기초론 |
| 기하학의 역사 | 기하학사 |
| 대수학의 역사 | 대수학사 |
| 해석학의 역사 | 해석학사 |
| 정수론의 역사 | 수론사 |
| 위상수학의 역사 | 위상수학사 |
| 이산 수학의 역사 | 이산수학사 |
| 기타 | |
| 영향 | 과학사 기술사 |
| 관련항목 | |
| 수학의 연대기 | 수학연표 |
| 유클리드 원론 | 유클리드 원론 |
2. 원시 시대부터 고대의 수학적 개념
수학은 인류의 역사와 함께 시작되었다고 할 만큼 오래되었다. 선사 시대 유적에는 문자가 없던 시기에도 별을 이용한 측량과 같은 수학적 지식이 있었음을 보여주는 그림이 남아있다. 2002년 고생물학자들은 남아프리카의 동굴에서 약 7만 년 전에 기하학적인 무늬를 새긴 돌을 발견하였다.[294] 또한 아프리카에서는 3만 5천 년 전에 제작된 것으로 추정되는 기초적인 셈이 표기된 유물이 발굴되기도 하였다.[295]
이상고 뼈와 같이 뼈나 돌에 28 - 30개의 줄을 새긴 유물들은 여성이 월경 주기를 계산하거나, 사냥꾼이 자신이 잡은 동물의 수를 표시하기 위해 사용한 것으로 보인다.[296] 이상고 뼈는 1960년 콩고와 인접한 나일강 발원지 부근에서 발견되었는데, 2만 년 전에 만들어진 것으로 추정되며, 소수를 이용한 고대 이집트의 구구법과 같은 수열이 새겨져 있다.
수학적 사고의 기원은 수, 자연의 패턴, 크기, 형태의 개념에 있다.[12] 동물 인지 능력에 대한 현대 연구는 이러한 개념이 인간에게만 고유한 것이 아님을 보여준다. "수" 개념이 점차 진화했다는 것은 "하나", "둘", "많음"은 구별하지만, 둘보다 큰 수는 구분하지 않는 언어의 존재로 뒷받침된다.[12]
피터 루드만은 소수 개념은 분할 개념 이후에야 가능하며, 분할 개념은 기원전 10,000년 이후로, 소수는 기원전 500년경까지 이해되지 않았을 것이라고 주장한다. 그는 또한 "무언가의 표시가 2의 배수, 10과 20 사이의 소수, 그리고 10의 거의 배수인 숫자를 나타내는 이유를 설명하려는 시도는 없었다"고 적고 있다.[15]
기원전 5천년의 선왕조 이집트인들은 기하학적 디자인을 그림으로 표현했다. 기원전 3천년의 영국과 스코틀랜드의 거석 기념물은 원, 타원, 피타고라스 수와 같은 기하학적 아이디어를 디자인에 포함하고 있다고 주장되어 왔다.[17]
2. 1. 수 개념, 계수
선사 시대에는 수렵과 채집 생활을 하면서 수를 세는 개념이 필요했다. 2002년 남아프리카의 동굴에서는 약 7만 년 전의 것으로 추정되는 기하학적 무늬가 새겨진 돌이 발견되었다.[294] 아프리카에서는 이보다 앞선 3만 5천 년 전의 유물에서 기초적인 셈을 표기한 흔적이 발견되기도 하였다.[295]여성들이 월경 주기를 계산하기 위해 뼈나 돌에 28 - 30개의 줄을 새긴 유물도 있다. 이상고 뼈가 대표적인데, 1960년 콩고와 인접한 나일강 발원지 부근에서 발견되었다. 2만 년 전에 만들어진 이 뼈에는 소수를 이용한 고대 이집트 구구법과 같은 수열이 새겨져 있다.[296] 사냥꾼들은 자신이 잡은 동물의 수를 기록하기 위해 비슷한 방식으로 금을 새겼다.[296]
이러한 유물들을 통해, 고대인들이 수를 세고 기록하는 과정에서 '하나', '둘', '많음'을 구분하고, 더 나아가 '무(無)' 또는 '영(0)'의 개념을 사용했음을 알 수 있다.[12]
2. 2. 산술, 기하학의 시작
2002년 고생물학자들은 남아프리카의 동굴에서 암석을 연구하다가 약 7만 년 전에 기하학적인 무늬를 새긴 돌을 발견하였다.[294] 아프리카에서는 3만 5천 년 전에 제작된 것으로 추정되는 기초적인 셈이 표기된 유물도 발굴되었다.[295]나일강 발원지 근처(콩고 민주 공화국 북동부)에서 발견된 이상고 뼈는 20,000년 이상 되었을 수 있으며, 뼈의 길이를 따라 세 개의 열에 새겨진 일련의 표시로 구성되어 있다. 일반적인 해석은 이샹고 뼈가 소수 수열의 가장 초기에 알려진 증명이거나[13] 6개월 달력을 보여준다는 것이다.[14] 학자 알렉산더 마르샤크는 이샹고 뼈가 이집트 수학 발전에 영향을 미쳤을 수 있다고 보았으나, 이샹고 뼈의 일부 항목이 이집트 산술처럼 2의 곱셈을 사용했기 때문이며, 이에 대한 논쟁도 있다.[16]
기원전 5천년 경 전왕조 시대의 이집트에서는 기하학을 이용하여 공간을 분할하기 시작하였다. 한편, 기원전 3천년경 만들어진 잉글랜드와 스코틀랜드의 거석 구조물에는 원, 타원, 피타고라스 수와 같은 수학적 지식이 사용되었다.[297]
고대 인도 수학에서 알려진 가장 오래된 사료는 기원전 3000~2600년경 북인도 및 파키스탄에 위치한 인더스 문명(하라파 문화)에 있다. 하라파 문화는 십진법을 사용한 무게·거리 계량법을 발달시켰고, 놀랍도록 정밀하고 수학적인 비율의 치수를 가진 벽돌을 만들었다. 도로는 완전한 직각을 이루도록 포설되었다. 그들이 사용한 디자인에는 입방체·원통형·원뿔·원기둥 등을 포함하는 기하학적 형태와, 동심 또는 교차하는 원이나 삼각형 등의 의장이 있다. 발견된 수학 용구에는 십진 눈금이 새겨져 있고 세밀한 눈금이 있는 정확한 자와, 지평 좌표에서의 각도를 40도 또는 360도법으로 측정하기 위해 사용된 조개 나침반, 천구를 8 내지 12분하여 계측하기 위한 조개로 만든 계측기, 항법을 위해 별의 위치를 계측하는 계측기 등이 있다. 인더스 문자는 아직 해독되지 않았기 때문에, 하라파의 문자에 의한 수학에 대해서는 거의 알려진 바가 없다. 고고학적 증거에 따르면, 이 문명은 8을 기수로 하는 기수법을 사용했고, 원주율의 값을 알고 있었다는 설이 있다.
중국 상나라 시대(기원전 1600년경~1046년)에는 현재도 사용되는 한자 숫자의 초기 형태가 거북이 등껍질에 새겨져 있다. 주나라 시대에 이미 사용되었던 산주(算籌) 표기법은 대나무 막대기를 늘어놓아 숫자를 나타내는 방법을 글자로 옮겨 놓은 것이지만, 이는 자리값 표기법의 역사상 가장 오래된 형태로 볼 수 있다.
2. 3. 법칙성의 발견
고대에는 수학적 발견이 제한된 지역에서 이루어졌다. 발견된 오래된 수학 문서로는 다음과 같은 것들이 있다.| 문서 | 지역 | 시기 | 주요 내용 |
|---|---|---|---|
| 플림턴 322 | 바빌로니아 수학 | 기원전 1900년경 | 피타고라스 수 |
| 모스크바 수학 파피루스 | 이집트 수학 | 기원전 1850년경 | 피타고라스 수 |
| 린드 파피루스 | 이집트 수학 | 기원전 1650년경 | 피타고라스 수 |
| 술바 수트라 | 인도 수학 | 기원전 800년경 | 피타고라스 수 |
이 문서들은 모두 피타고라스 수를 언급하며, 피타고라스 정리는 가장 빠르고 널리 퍼진 수학적 법칙 중 하나로 간주된다.[294][295][296][297][298] 이 예들은 피타고라스 수 중 일부의 행동을 조사하거나 그 법칙성에 주목하는 것에 불과하다. 보편성을 가정하는 정리 (증명된 참된 명제)라는 개념은 그리스 문명 이후에 나타나게 된다.
3. 고대부터 중세의 수학 발전
청화 간은 현존하는 가장 오래된 십진법 곱셈표로, 기원전 305년경 전국 시대에 제작되었다. 이는 중국에서 가장 오래된 수학 텍스트일 가능성이 높다.[106] 초기 중국 수학은 다른 지역과 비교하여 독자적으로 발전했으며, 학자들은 완전히 독립적인 발전으로 추정한다.[104]
중국 수학에서 주목할 만한 특징은 "산대 숫자"라고 불리는 십진법 위치 표기 시스템이다. 이 시스템은 1부터 10 사이의 숫자에 서로 다른 기호를 사용하고, 10의 거듭제곱에 대한 추가 기호를 사용하여 숫자를 표현했다.[107] 예를 들어, 숫자 123은 "1", "100", "2", "10", "3"에 대한 기호를 순서대로 작성하여 표현했다. 이는 당시 세계에서 가장 발전된 숫자 체계였으며, 인도 숫자 체계가 개발되기 훨씬 전에 사용되었다.[108] 산대 숫자를 사용하면 큰 숫자를 표현하고, 산판에서 계산을 수행할 수 있었다. 허유의 《수형술보주》(서기 190년)에 산판에 대한 초기 기록이 있다.
진 시황의 분서갱유(기원전 212년)로 인해 이전 시기의 고대 중국 수학에 대한 자료는 부족하다. 한나라 (기원전 202년–서기 220년) 시대에 만들어진 구장산술은 농업, 상업, 기하학, 공학, 측량 등 다양한 분야의 246개 문제를 다루며, 직각 삼각형과 원주율에 대한 내용을 포함한다.[105] 이 책은 피타고라스 정리의 증명,[111] 가우스 소거법 공식을 제시하고,[112] π의 값을 초기에 3으로 근사했으나, 이후 유흠 (사망 23)이 3.1457, 장형 (78–139)이 3.1724 또는 10의 제곱근인 3.162로 근사했다.[113][114][115] 유휘는 3세기에 ''구장산술'' 주석에서 π의 값을 3.14159로 제시했다.[116][117] 5세기에 조충지는 π의 값을 3.1415926과 3.1415927 사이로 계산했으며, 이는 거의 1000년 동안 가장 정확한 값이었다.[116][118] 그는 카발리에리의 원리를 사용하여 구의 부피를 구하는 방법을 확립했다.[119]
송나라 후반(960–1279) 13세기에는 중국 대수학이 발전했다. 주세걸의 사원옥감은 호너의 방법과 유사한 방법으로 연립 고차 대수 방정식을 푸는 방법을 다룬다.[116] 사원옥감에는 파스칼의 삼각형 다이어그램도 포함되어 있다.[120] 중국인들은 마방진과 마법 원과 같은 조합 다이어그램도 사용했다.[120]
일본 수학, 한국 수학, 베트남 수학은 중국 수학에서 파생된 것으로, 유교 기반의 동아시아 문화권에 속한다.[121] 한국과 일본은 중국 송나라 시대 대수학 작품의 영향을 받았고, 베트남은 중국 명나라 (1368–1644) 작품에 크게 의존했다.[122] 베트남 수학 논문은 한자 또는 쯔놈 문자로 작성되었지만, 중국 형식에 따라 문제 제시, 알고리즘을 사용한 해결, 숫자 답 제시 형식을 따랐다.[123] 베트남과 한국 수학은 주로 궁정 관료와 관련되었지만, 일본에서는 사립 학교 분야에서 더 널리 퍼졌다.[124]
에도 시대(1603-1887) 동안 일본에서 발전한 수학은 서양 수학과는 별개로 발전했다. 이 시대에는 와산(전통 일본 수학) 발전에 큰 영향을 미친 수학자 세키 다카카즈가 있는데, 그의 발견(예: 적분학)은 고트프리트 라이프니츠와 같은 동시대 유럽 수학자들의 발견과 거의 동시에 이루어졌다. 이 시대의 일본 수학은 중국 수학에서 영감을 받았으며 본질적으로 기하학적 문제에 집중했다. 산가쿠라고 불리는 나무 패널에는 "기하학적 수수께끼"가 제시되고 해결되었다. 예를 들어, 소디의 육원 정리가 여기서 유래되었다.
3. 1. 개요
수학사는 문명이 생기기 전, 수렵과 채집 생활에 필요한 계수 개념에서 시작되었다. 문명 성립 후, 각 지역에서 다양한 수준으로 수학이 발전했으며, 문명의 교류를 통해 현대 수학으로 이어졌다.
이집트 및 바빌로니아 수학은 헬레니즘 시대 고대 그리스에서 더욱 발전했다. 고대 그리스 수학은 방법과 내용 모두를 혁신하여, 이슬람 수학에서 크게 발전했다.[242] 많은 그리스어 및 아랍어 수학 문헌이 중세 유럽에서 라틴어로 번역되어 더욱 발전했다.
14세기 이탈리아에서 르네상스와 유럽의 대항해 시대가 시작되면서, 수학적 발견은 다른 과학적 발견과 상호 작용하며 발전했다.
3. 2. 중동의 수학 발전
12세기, 유럽 학자들은 알콰리즈미의 대수학(''al-Jabr wa-al-Muqabilah'')과 원론 등 과학 관련 아랍어 문헌을 찾기 위해 스페인과 시칠리아로 이동했다. 체스터의 로버트는 알콰리즈미의 대수학을 라틴어로 번역했고, 베스의 아델라드, 카린티아의 헤르만, 크레모나의 제라르는 원론을 여러 판으로 번역했다.[301][302]
이러한 자료는 유럽에서 수학의 부흥을 이끌었다. 레오나르도 피보나치는 1202년 《계산판의 책》(Liber Abaci)을 저술하고 1254년에 수정하여 에라토스테네스 이후 3천년 만에 유럽에서 중요한 수학적 업적을 이루었다. 이 책은 아라비아 수 체계를 유럽에 소개하고 여러 수학 문제를 논의했다. 14세기에는 위치 이동 분석 등 다양한 문제를 탐구하기 위한 새로운 수학적 개념들이 발전했다.[303]
토마스 브래드워딘은 힘(F)과 저항(R)의 비율이 기하학적 비율로 증가하면 속도(V)는 산술적 비율로 증가한다고 제안했다. 당시 로그 개념이 없었지만, 그의 결론은 V = log (F/R)로 표현할 수 있다(나중에 오류로 밝혀짐).[304] 이는 알킨디와 빌라노바의 아놀드가 혼합 의약품 성분 계량에 사용한 수학적 기교를 다른 물리 문제에 적용한 것이다.[305]
3. 2. 1. 메소포타미아
바빌로니아 수학은 초기 수메르인부터 헬레니즘 시대 초기까지 메소포타미아 (현대의 이라크) 사람들의 수학을 지칭한다. 바빌론이 연구 중심지 역할을 했으며, 헬레니즘 시대에 종결되었기 때문에 바빌로니아 수학이라고 불렸다. 이후 바빌로니아 수학은 그리스 및 이집트 수학과 융합되어 헬레니즘 수학으로 발전하였다. 그 후 이슬람 제국 하에서 이라크/메소포타미아, 특히 바그다드는 이슬람 수학 연구의 중요한 중심지가 되었다.
이집트 수학과 달리, 바빌로니아 수학은 1850년 이후 발굴된 400개 이상의 점토판을 통해 알 수 있다. 점토판은 젖은 상태에서 쐐기 문자로 쓰여졌고, 가마나 햇볕에 말려 굳혔다. 이 중 일부는 숙제를 채점한 것으로 보인다.
수학이 기록된 가장 오래된 증거는 메소포타미아의 가장 오래된 문명을 일으킨 고대 수메르인까지 거슬러 올라간다. 수메르인들은 기원전 3000년부터 복합적인 측정 시스템을 개발했다. 기원전 2500년경 이후, 수메르인들은 점토판에 곱셈표를 쓰고 기하학 학습과 나눗셈 문제를 다루었다. 바빌로니아 문자의 가장 오래된 형태 또한 이 시대에 거슬러 올라간다.[243]
복원된 점토판의 대부분은 기원전 1800~1600년 시대이며, 분수, 대수, 이차 및 삼차 방정식, 그리고 피타고라스 수의 개념이 다루어지고 있다. (플림턴 322 참조)[244] 점토판에는 곱셈표, 삼각법표, 일차 및 이차 방정식의 해법도 포함되어 있다. 바빌로니아의 점토판 YBC 7289는 2의 제곱근을 소수점 5자리까지 정확하게 근사값을 제시한다. 원주율 값으로는 실제 계산을 위해 종종 3이 이용되었지만,[245] 더 정밀한 근사값도 알려져 있었다.
바빌로니아 수학은 육십진법 (60을 밑으로 하는) 위치 기수법을 사용했다. 여기서 현재 1분이 60초, 1시간이 60분, 원이 360도(60 × 6)인 용법이 유래했다. 60은 많은 약수를 가지고 있어 바빌로니아 수학의 발전을 촉진했다. 또한, 이집트, 그리스, 로마 수학과 달리 바빌로니아 수학은 올바른 위치 기수법을 사용하여 왼쪽 열에 쓰여진 숫자가 십진법보다 큰 값을 나타냈다. 그러나 소수점에 해당하는 것이 없었기 때문에 숫자가 실제로 나타내는 값은 문맥에서 추론해야 했다.
3. 2. 2. 이집트
이집트 수학은 이집트어로 쓰인 수학을 가리킨다. 헬레니즘 시대부터 그리스어가 이집트 학자들의 기술 언어로 사용되었고, 이 시기부터 이집트 수학은 헬레니즘 수학이 되었다. 이후 이집트에서의 수학 연구는 이슬람 제국 하에서 이슬람 수학의 일부로 이어졌고, 아랍어가 이집트 학자들의 기술 언어가 되었다.
모스크바 수학 파피루스는 이집트 중왕국 시대(기원전 2000년~1800년)의 파피루스로, 현존하는 가장 오래된 수학 문서 중 하나이다. 이 파피루스는 "단어 문제" 또는 "서술형 문제"로 구성되어 있으며, 오락을 목적으로 한 것으로 보인다. 주목할 만한 내용으로는 절두체 부피를 구하는 방법이 있다. "피라미드를 잘라서 높이 6, 밑변 4, 윗변 2이다. 4를 제곱하면 16. 4를 두 배로 하면 8. 2를 제곱하면 4. 16과 8, 그리고 4를 더하면 28. 6의 3분의 1을 얻으므로 두 번. 28을 두 번 취하므로 56. 결과는 56. 올바른 결과이다."
린드 수학 파피루스(기원전 1650년경)는 또 다른 주요 이집트 수학 문서로, 산술 및 기하학 지침서이다.[246] 여기에는 곱셈, 나눗셈, 단위 분수 공식 해법,[247] 합성수와 소수, 산술, 기하, 조화 평균, 에라토스테네스의 체, 완전수(특히 6에 관한 기술)에 대한 지식이 담겨 있다.[248] 또한, 간단한 일차 방정식의 해법과[249] 등차수열 및 등비 급수도 다루고 있다.[250]
린드 파피루스는 원주율의 근사값(오차 1% 미만)을 얻는 방법과 원의 면적 문제에 대한 노력을 언급하며, 여접 함수의 초기 사용 예시를 보여준다. 이는 해석 기하학의 기초 체계가 이 시대에 확립되었음을 시사한다.
베를린 파피루스(기원전 1300년경)는 고대 이집트인이 이차 연립 방정식 해법을 알고 있었음을 보여준다.[251][252][253]
3. 2. 3. 이슬람 수학 (800년경~1500년경)
이슬람 제국은 중동, 중앙 아시아, 북아프리카, 이베리아 반도, 그리고 8세기 인도의 일부에 걸쳐 성립되었으며, 수학에 중요한 공헌을 했다. 대부분의 이슬람 수학 책은 아랍어로 쓰여졌지만, 모두 아랍인이 쓴 것은 아니다. 헬레니즘 시대의 그리스어와 마찬가지로, 아랍어는 당시 이슬람 세계의 아랍인이 아닌 학자들도 사용했다. 중요한 이슬람 수학자 중에는 페르시아인도 있다.
알콰리즈미는 9세기 바그다드의 페르시아인 수학자이자 천문학자였으며, 인도-아라비아 숫자와 방정식 해법에 관한 중요한 책을 저술했다. 그의 저술 중 서기 825년경에 쓰여진 『인도의 수 계산법』은 아랍인 수학자 알킨디와 함께 작성되었으며, 인도 수학과 인도-아라비아 숫자를 서양에 알리는 데 기여했다. "알고리즘"이라는 단어는 그의 이름의 라틴어화인 "Algoritmi"에서 유래되었으며, "대수학(algebra)은 그의 저작의 명칭 『히사브 알 자브르 왈 무카발라』(약분과 소거의 계산의 서)에서 유래되었다. 알콰리즈미는 고대 대수적 기법의 보존과 이 분야에 대한 독자적인 기여로 인해 "대수학의 아버지"라고 불린다.[254] 대수학의 더 발전된 형태는 알카라지(953년~1029년)의 논문 『알 파흐리』에서 미지수의 정수 거듭제곱과 정수 근을 포함하는 방법론을 확장했다. 10세기에 아부 알와파는 디오판토스의 저작을 아랍어로 번역하고, 탄젠트 함수를 발전시켰다.
수학적 귀납법을 사용한 최초의 수학적 증명은 서기 1000년경 알카라지의 저작에 나타났으며, 이항 정리, 파스칼의 삼각형, 적분입방수 합의 증명에 사용되었다.[245] 수학 역사학자 F. Woepcke[255]는 알카라지를 "최초로 대수적미적분학의 이론을 도입한 자"로 칭찬했다. 이븐 알하이삼은 이중 제곱수의 합의 공식을 추론한 최초의 수학자였으며, 귀납법을 사용하여 임의의 정수의 거듭제곱의 합에 대한 일반 공식을 결정하는 방법을 개발했고, 이는 적분법 발달의 기초가 되었다.[256]
오마르 하이얌은 12세기 시인, 수학자였으며, 『유클리드의 어려운 점에 대한 논의』에서 유클리드 원론의 결함, 특히 '''평행선 공준'''에 대해 언급했으며, 그 결과 해석 기하학 및 비유클리드 기하학의 기초를 다졌다. 또한, 3차 함수의 일반적인 기하학적 해법을 고안했다. 그는 또한 역법 개정에 매우 큰 영향을 미쳤다. 13세기 페르시아인 수학자 나시르 알딘 알투시는 구면 삼각법을 발전시켰다. 그는 또한 유클리드의 '''평행선 공준'''에 관한 유력한 책을 저술했다. 15세기에 알카시는 원주율을 소수점 16자리까지 계산했다. 알카시는 또한 ''n'' 제곱근을 계산하는 알고리즘을 가지고 있었으며, 이는 수세기 후 파올로 루피니 및 호너에 의한 기법의 특수한 예였다. 다른 주목할 만한 이슬람 수학자로는 이븐 야흐야 알마그리비 알사마왈, 사비트 이븐 쿠라, 아부 카밀, 아부 사흘 알쿠히가 있다.
이 시대의 이슬람 수학자들의 성과는 대수학과 알고리즘의 발전 (알콰리즈미 참조), 구면 삼각법의 발전,[257] 아라비아 숫자에 소수점 추가, 사인 외의 현재 삼각 함수의 모든 발견, 알킨디에 의한 암호 해독과 빈도 분석의 도입, 알카라지에 의한 미적분학의 도입과 수학적 귀납법에 의한 증명, 이븐 알하이삼에 의한 해석 기하학과 초기의 무한소 일반 공식과 적분법의 발전, 오마르 하이얌에 의한 대수 기하학의 시작, 나시르 알딘 알투시에 의한 유클리드 기하학의 평행선 공준에 대한 최초의 반증, 비유클리드 기하학의 최초 시도, 그리고 대수학, 산술, 미적분학, 암호 이론, 기하학, 정수론, 삼각법에서의 엄청난 진보가 있었다.
3. 3. 인도의 수학 발전
12세기, 유럽 학자들은 과학 관련 아랍 문헌을 찾기 위해 스페인과 시칠리아를 여행했다. 여기에는 체스터의 로버트가 라틴어로 번역한 알 콰리즈미의 대수학(''al-Jabr wa-al-Muqabilah'')과 베스의 애덜라드, 카린티아의 헤르만, 크레모나의 제라르드가 여러 판으로 번역한 원론 전체 문헌이 포함되어 있었다.[301][302]
3. 3. 1. 초기 인도 수학
베다 수학은 철기 시대 초기에 시작되었고, 『샤타파타 브라마나』(기원전 9세기경)에서 원주율을 소수점 둘째 자리까지 근사했다.[259] 『술바 수트라』(기원전 800~500년경)는 기하학 텍스트로, 무리수, 소수, 귀일산, 세제곱근을 사용했으며, 2의 제곱근을 소수점 다섯째 자리까지 계산하고, 원적 문제의 방법론을 제시했으며, 선형 방정식과 이차 방정식을 풀고, 피타고라스 수의 이론에 대한 대수적 전개와, 피타고라스 정리의 기술 및 수치적인 증명이 주어져 있다.
파니니(기원전 5세기경)는 산스크리트어의 문법 규칙을 정식화했다. 파니니의 표기법은 현재의 수학적 표기법과 유사하며, 메타 규칙, 변환 및 재귀는 세련되었으며, 그 문법 규칙은 튜링 머신과 동등한 계산 능력을 가지고 있었다. 핑갈라(대략 기원전 3~1년)는 운율 논문에서 이진법과 유사한 메커니즘을 사용했다. 그의 박자조합론은 이항 정리와 유사하다. 핑갈라의 작품은 또한 피보나치 수(''mātrāmeru''라고 불림)의 기본 개념을 포함한다. 브라흐미 문자는 최소한 기원전 4세기의 마우리아 제국 이후에 발달했고, 최근의 고고학적 증거에 의해 기원전 600년으로 시대가 거슬러 올라갔다. 브라흐미 숫자는 기원전 3세기이다.
기원전 400년부터 서기 200년 사이에, 자이나교의 수학자들은 수학의 유일한 목적을 위해 연구를 시작했다. 그들은 처음에 초월수, 집합론, 로그, 그리고 지수, 삼차 방정식, 사차 방정식, 수열과 등비 수열, 순열과 조합, 제곱과 제곱근 유도, 유한 및 무한거듭제곱에 대해 기본 법칙을 발전시켰다. 기원전 200년부터 서기 200년 사이에 쓰여진 박샬리 원고에는 최대 5개의 미지수를 포함하는 선형 방정식의 해, 이차 방정식의 해, 등차수열 및 등비수열, 다중 수열, 이차 부정 방정식, 연립 방정식, 및 0과 음수가 기술되었다.[260] 무리수의 정확한 계산이 발견되었고, 100만에서 최소한 소수점 11자리의 제곱근의 계산이 포함되어 있다.
3. 3. 2. 중세 인도 수학 (400년경~1600년경)
『수리야 시단타』(서기 400년경)는 삼각함수, 사인, 코사인, 역사인을 도입하고, 천체의 실제 움직임과 하늘에서의 실제 위치를 결정하는 법칙의 기초를 세웠다. 이 문서에서는 더 오래된 문서의 사본으로, 천체 시간의 주기가 언급되었고, 365.2563627일의 항성년에 해당하며, 현재 공칭값인 365.25636305일보다 1.4초밖에 길지 않다.[301][302] 이 문서는 중세에 아랍어와 라틴어로 번역되었다.
아리아바타는 서기 499년에 정현 함수(:en:Versine, 1 - cos θ)를 도입하고, 사인의 첫 번째 삼각법 표를 만들었으며, 대수학, 무한소, 미분 방정식의 해법과 알고리즘을 개발하고, 현대와 동등한 기법으로 선형 방정식의 해를 구했으며, 또한 만유인력의 지동설에 기초한 정확한 천문학 계산을 수행했다. 그의 저서 『아리아바티야』는 아랍어 번역이 8세기에, 라틴어 번역이 13세기에 이루어졌다. 그는 또한 원주율 값을 소수점 이하 4자리까지 3.1416으로 계산했다. 이후 14세기에, 마다가바는 원주율을 소수점 이하 11자리까지 계산했다.
7세기에, 브라마굽타는 브라마굽타의 정리, 브라마굽타의 제곱 항등식, 브라마굽타의 공식을 정하고, 『브라마스푸타싯단타』에서 처음으로 명확하게 0을 공백 및 숫자로 모두 사용했으며, 인도 아라비아 숫자를 설명했다. 이 인도 수학서(서기 770년경)의 번역에서, 이슬람 수학자는 숫자 체계를 도입하고 아라비아 숫자로 채택했다. 이슬람 학자는 이 숫자 체계의 지식을 12세기까지 유럽에 전파하여, 세계적으로 구 숫자 체계를 대체하고 있다. 10세기에, 핀갈라의 저서에 대한 할라유다의 논평에는 피보나치 수, 파스칼의 삼각형 연구가 포함되어 있으며, 행렬의 계산이 기술되었다.
12세기에, 바스카라 2세는 도함수, 미분 계수, 미분법의 개념과 함께 미분학을 생각해냈다. 그는 또한 롤의 정리 (평균값 정리의 특수한 경우)를 언급하고, 펠 방정식을 연구했으며, 사인 함수의 도함수를 조사했다. 14세기부터 마다가바와 다른 케랄라 학파의 수학자들은 이 개념을 발전시켰다. 그들은 해석학과 부동 소수점, 미적분학의 기초에서 종합적인 개발을 했다. 여기에는 평균값의 정리, 한계점의 적분, 곡선 아래의 영역과 그 부정 적분 또는 적분, 수렴 판정, 비선형 방정식을 풀기 위한 반복법, 그리고 무한 급수, 멱급수, 테일러 급수, 삼각 급수가 포함된다. 16세기에, 자야스타데바가 케랄라 학파의 발전과 정리의 대부분을 『유크티바사』에 통합했다. 이것은 세계 최초의 미분학 교과서이며, 적분법의 개념도 또한 도입했다. 인도에서의 수학의 진보는 16세기 후반의 정치적 혼란 때문에 정체되었다.
3. 4. 중국의 수학 발전
고대부터 중국에서는 산가지라고 불리는 작은 나무나 대나무 등을 이용한 계산이 행해졌다. 이 계산법은 산가지로 나타낸 1부터 9까지의 기수를 자리값 표기법으로 나열하여 여러 숫자를 표현했다. 이를 이용하여 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에서 근 구하기, 방정식 풀이에 이르기까지 다양한 산술이 다루어졌고, 중국 수학은 이 계산술 아래에서 발전했다. 또한, 한자 "산(算)"은 소리를 나타내는 "구(具)"와 뜻을 나타내는 (산가지를 암시하는) "죽(竹)"을 결합한 형성 문자이다.[261][262]
기원전 212년에, 진 시황이 진나라 이외의 서적을 모두 불태우라고 명령했다. 이 명령이 완전히 수행되지는 않았지만, 결과적으로 고대 중국 수학에 관해서는 거의 알려진 바가 없다. 주나라 (기원전 1046년~) 이후, 분서를 면한 가장 오래된 수학 서적은 『주역』이며, 철학, 수학 및 신비적 목적으로 8종 3조 (삼중) 및 64종 6조 (육중)가 사용된다. 각 조는 분할된, 또는 끊어진 직선으로 구성되며, 각각 음(여성) 양(남성)이라고 불린다. (육십사괘 참조)
중국의 기하학의 현존하는 가장 오래된 서적은 기원전 330년경의 묵가의 철학 원리로, 묵자 (기원전 470~390년)의 후계자에 의해 편찬되었다. 『묵경』은 물리 화학에 관한 다양한 분야를 기술하고, 수학에 대해 약간 언급했다.
분서 이후, 한나라 (기원전 202년~서기 220년)는 현재 유실된 서적을 확장한 것으로 추정되는 수학 서적을 만들었다. 가장 중요한 서적은 『구장산술』이며, 전체가 완성된 것은 늦어도 서기 179년으로 여겨진다. 그러나 일부는 다른 서명으로 그 이전부터 존재했다. 이 수학 서적은, 그 이름처럼 아홉 개, 즉 방전, 율미, 쇠분, 소광, 상공, 균수, 영부족, 방정식, 구고의 장으로 나뉘어, 농업, 상업, 기하학, 공학, 측량에 관한 246개의 문제로 구성되어 있으며, 특별한 직각삼각형 및 원주율의 요소를 포함하고 있다. 또한, 부피에 있어서 카발리에리의 원리를, 서양에서 카발리에리가 제안하기 1,000년 이상 전에 사용했다. 피타고라스 정리의 수학적 증명, 및 가우스 소거법의 수식도 포함되어 있다. 방정식 (연립 방정식을 의미)의 장에서는 이익의 수·손실의 수를 나타내는 정산·부산이라는 빨강과 검정 산가지를 구별하여 연립 방정식을 풀고, 정부 계산의 법칙까지 언급하고 있다. 이 서적은 중국과 조선에서 오랜 기간 동안 중요한 수학의 교과서 중 하나로 취급되었다. 이 서적의 연구로는 서기 3세기에 유휘에 의한 논평과 문제 및 해법의 수학적 고찰이 이루어졌다.
한나라의 천문학자, 발명가인 장형 (서기 78~139년)의 수학 서적에는 원주율의 공식화가 있었고, 유휘의 계산과 달랐다. 장형은, 구체의 체적을 구하기 위해 원주율 공식을 사용했다. 또한, 수학자이자 음악 이론가인 경방 (기원전 78~37년)은, 피타고라스 콤마를 사용하여 53개의 완전 5도가 31옥타브에 거의 같다는 것을 말했다. 이것은 후에, 독일의 니콜라스 메르카토르가 17세기에 53 평균율을 발견하기 전까지, 정확하게 계산된 적은 없었다.
남북조 시대의 조충지 (5세기)는, 원주율의 값을 소수점 이하 7자리까지 계산했다. 이것은 이후 1,000년 동안, 가장 정확한 값이었다.
한나라에 이은 당나라의 시작과 송나라의 끝까지 약 1,000년 동안, 유럽의 수학이 존재하지 않는 시대에, 중국 수학은 번성했다. 관료 등용 시험인 과거에서도 수학은 과목에 포함되었고, 초기 중국의 주요 수학 업적을 모은 『산경십서』가 교과서로 추천되었다.
중국에서 최초로 개발되어, 후에 서양에서 많이 알려진 것에는, 음수, 이항 정리, 선형 방정식을 해결하기 위한 행렬 기법, 및 중국인의 나머지 정리가 있다. 중국에서는 또한, 유럽에서 알려지기 전에, 파스칼의 삼각형, 단위법이 개발되었다. 이 시대 크게 발전한 알고리즘에는 천원술이 있다. 이것은 산가지를 사용한 대수 문제의 해법으로, 문제에 주어진 조건으로부터 계산을 가하여, 등식으로부터 일원 다항 방정식을 만드는 알고리즘이다. 주세걸은 이것을 네 개의 미지수까지 확장시켜 고차의 사원 연립 방정식의 해법, 사원술을 창조했다. 또한, 방정식 자체를 풀기 위해, 천원술과 함께, 일반 차수에서의 방정식의 근사 해법인 개방술이 발전했다. 이 천원술을 주된 중국의 알고리즘은 에도 시대의 일본으로 전해져, 와산의 발전에 큰 요인이 되었다. 조충지나 주세걸 외에, 당나라와 송나라 시대의 중요한 인물로서, 일행, 심괄, 가헌, 진구소, 이야 등이 있다. 과학자인 심괄은, 미적분학, 삼각법, 도량형학, 순열에 관한 문제를 사용하여, 특정 전투 대형이 사용될 수 있는 지형의 공간이나, 병량의 양에 대해 지속 가능한 군사 작전의 기간을 계산했다.
중국에서는 또한, 마방진으로 알려진 복잡한 결합 도표가 오래전부터 언급되었고, 양휘 (서기 1238〜1298년)에 의해 완성되었다.
그 후 17세기 초에는, 중국에 자본주의가 싹트고, 상업 산술이 발전하여 주판을 사용한 주산이 보급되어, 초등적인 실용 수학이 중요시되었다. 따라서 고도의 수학 연구는 크게 감소했고, 덧붙여 이 시기에, 마테오 리치 (Matteo Ricci, 이마두) 등 선교사들에 의해 서양 수학이 전래되어, 중국 수학은 서양 과학으로 대체되어, 쇠퇴의 길을 걷게 되었다.
3. 5. 그리스 및 헬레니즘 수학 (기원전 550년경~서기 300년경)
그리스 수학은 기원전 6세기경부터 서기 450년 사이에 그리스어로 쓰여진 수학을 나타낸다.[263] 그리스 수학자들은 동지중해 전체, 이탈리아에서 북아프리카에 걸쳐 있는 도시들에 살았는데, 이 지역들은 문화와 언어로 연결되어 있었다. 그리스 수학은 헬레니즘 수학이라고도 불린다.
그리스 수학은 이전 문화에서 발달한 수학에 비해 훨씬 더 세련되었다. 그리스 이전의 수학은 모두 귀납적 추론을 사용했다. 즉, 반복된 관측으로 경험적 규칙을 증명했다. 반면 그리스 수학은 연역법을 사용했다. 그리스인들은 정의 및 원리로부터 결론을 얻는 논리를 사용했다.[264]
그리스 수학은 탈레스(기원전 624~546년경)와 피타고라스(기원전 582~507년경)가 시작했다고 여겨진다. 영향 범위에 대한 이견은 있지만, 그들은 이집트, 메소포타미아, 그리고 아마도 인도의 지식에 영향을 받았다. 전설에 따르면, 피타고라스는 이집트로 여행하여 수학, 기하학, 천문학을 이집트 지도자들에게서 배웠다고 한다.
탈레스는 기하학을 사용하여 피라미드의 높이나 해안에서 배까지의 거리를 계산하는 등의 문제를 해결했다. 피타고라스 정리에 대해, 피타고라스 이전부터 그 주장에 대한 긴 역사가 있었지만, 정리에 최초의 증명을 제공한 사람이 그라는 명성을 얻었다.[263] 유클리드의 피타고라스 논평에서, 프로클로스는 피타고라스가 그의 이름을 딴 정리를 말했고, 기하학적이 아닌 대수학적으로 피타고라스 수를 구성했다고 언급했다. 아카데메이아는 "기하학에 정통하지 않은 자는 여기 들어오지 말라"는 모토를 가지고 있었다.
피타고라스 학파는 무리수의 존재를 발견했다. 에우독소스(기원전 408~355년경)는 현재의 적분법의 선구인 구진법을 개발했다. 아리스토텔레스(기원전 384~233년경)는 최초로 논리학의 법을 썼다. 유클리드는 오늘날의 수학에서도 사용되는 형식인 정의, 원리, 정리, 증명의 가장 초기의 예이다. 그는 또한 원뿔 곡선 연구도 했다. 그의 책, 유클리드 원론은 20세기 중반까지 서양에서 교육받은 모든 사람에게 알려져 있었다.[263] 피타고라스 정리와 같은 기하학의 잘 알려진 정리 외에도, 『유클리드 원론』에는 2의 제곱근이 무리수라는 것과 소수가 무한히 존재한다는 증명이 기술되어 있다. 소수의 발견에는 에라토스테네스의 체(기원전 230년경)가 사용되었다.
그리스 수학에서 가장 위대한 수학자는 시라쿠사의 아르키메데스(기원전 287~212년)로 여겨진다. 플루타르코스에 따르면, 75세에 땅에 수식을 쓰고 있던 중에 로마 군인에게 창으로 찔려 죽었다고 한다. 고대 로마는 순수 수학에 대한 관심의 증거를 거의 남기지 않았다.
4. 중세 이후 유럽 수학의 발전
중세 유럽에서 수학은 종교적 이해를 돕는다는 믿음에서 발전했다. 이러한 믿음은 플라톤의 《티마이오스》와 성경의 "지혜서" 11장 20절[265]을 근거로 제시되었다.
4. 1. 중세 초기 (500년경~1100년경)
보에티우스는 산술, 기하학, 천문학, 음악을 나타내는 용어인 '사학과'를 만들어 커리큘럼에 수학을 추가했다. 그는 니코마코스의 《산술 입문》을 번역하여 《산수입문 (''De institutione arithmetica'')》을 저술하였고, 유클리드의 "기하학"을 발췌한 총서를 저술하였다. 그의 저작은 실용적이기보다는 이론적이었으며, 그리스와 아랍 수학 문헌이 재등장하기 전까지 수학 연구의 기초였다.[299][300]4. 2. 유럽 수학의 부활 (1100년경~1400년경)
12세기에 유럽의 학자들은 아랍어 과학 문헌을 구하기 위해 스페인과 시칠리아 섬으로 여행했다. 여기에는 체스터의 로버트가 라틴어로 번역한 알콰리즈미의 『히사브 알자브르 왈 무카발라』와 바스의 아델라드, 카린티아의 헤르만, 크레모나의 제라르에 의해 다양한 판본으로 번역된 유클리드의 원론의 완전한 서적이 포함된다.[268][269]이러한 새로운 문헌은 수학의 부활을 가져왔다. 레오나르도 피보나치는 1202년에 『산반서』(Liber Abaci)를 저술했고 (에라토스테네스 시대 이후 1,000년 이상 지나 유럽의 첫 번째 중요한 수학을 가져왔다.) 1254년에 개정판이 나왔다. 이 책은 유럽에 인도-아라비아 숫자를 도입했고, 그 외에도 많은 수학 문제를 논의했다. 14세기에는 폭넓은 문제를 연구하기 위한 새로운 수학 관념의 발전이 보였다.[270] 수학의 발전에 기여한 중요한 분야는 궤적의 움직임 분석에 관한 것이었다.
토머스 브래드워딘은 힘(F)이 저항(R)에 대해 기하학적 비율로 증가하도록 속도(V)가 산술적 비율로 증가한다고 주장했다. 브래드워딘은 이를 특정 예시로 보였고, 대수는 아직 발상되지 않았지만 그의 결론을 시대착오적으로 다음과 같이 표현할 수 있다: ''V'' = log [271] 브래드워딘의 분석은 알킨디와 빌라노바의 아르놀두스의 수학적 기법을 복합 약물의 종류를 다른 물리적 문제에 정량화하기 위해 옮겨온 예이다.[272]
14세기의 옥스퍼드 대학교 머턴 칼리지의 윌리엄 헤이츠버리는 미분법과 극한의 개념을 갖추지 못한 채, 어떤 순간의 속도를 "'''만약'''... 주어진 순간에 움직이는 속도가 같은 정도로 균일하게 움직인다면, [물체가] 그릴'''것''' 궤적에 의해" 측정할 것을 제안했다.[271]
헤이츠버리 등은 균일하게 동작을 가속하는 물체가 이동하는 거리(현대에서는 적분법으로 해결할 수 있다)를 수학적으로 측정하여, "균일하게 [속도의] 증분을 가속 또는 감속하는 물체가, 주어진 시간에 이동하는 [거리]는, 평균 [속도의] 정도로 같은 시간 동안 계속 동작하는 것과 완전히 동일하다"고 말했다.[271]
파리 대학교의 니콜 오렘과 이탈리아인인 카살리의 조반니는 각각 이 관계를 도식화하고, 일정한 가속을 그리는 선 아래의 영역이 총 이동 거리를 나타낸다고 주장했다.[271] 나중에 유클리드의 『원론』의 수학적 해설서에서 오렘은 보다 상세한 전체적 분석을 실시하여, 물체는 각 지속적인 증분의 시간에서 홀수로서 증가하는 특성의 증분을 얻는다는 것을 논증했다. 유클리드는 (일정량 이하의 모든) 홀수의 합은 제곱수가 된다는 것을 증명했기 때문에, 물체의 증분에서 얻는 특성의 총합은 시간의 제곱으로 증가한다.[273]
5. 근대 유럽 수학 (1400년경~1600년경)
르네상스 초기 유럽에서는 수학이 로마 숫자를 사용한 표기법에 제한되어 있었고, 기호를 사용하지 않고 단어로 관계를 설명했다. 더하기 기호, 등호, 미지수를 뜻하는 ''x''는 사용되지 않았다.[260]
16세기 말, 레기오몬타누스(1436년 - 1476년)와 프랑수아 비에트(1540년 - 1603년) 등의 기여로 수학은 현재 사용되는 표기법과 차이가 적은 인도-아라비아 숫자를 사용하여 기술하게 되었다.
16세기 유럽 수학자들은 삼차 함수의 일반 해법을 발견했다. 이는 1510년경 시피오네 델 페로가 처음 발견했다고 알려져 있지만, 지롤라모 카르다노의 책 『위대한 술』(Ars magna)에 루도비코 페라리의 사차 방정식에 대한 일반 해법과 함께 처음 출판되었다.
인쇄술 발전은 수학 발전에 크게 기여했다. 가장 처음 인쇄된 수학 책은 1472년 게오르크 폰 푸어바흐의 "행성에 관한 새로운 이론"이며, 다음은 1478년의 상업 산수에 관한 책 트레비소 산수였고, 1482년 에르하르트 라트돌트에 의해 최초의 수학 책인 유클리드의 원론이 인쇄 및 출판되었다.
항해가 증가하고, 더 넓은 지역의 정확한 지도에 대한 요구가 커짐에 따라, 삼각법은 수학의 주요 부문이 되었다. 바르톨로메오 피티스쿠스는 1595년에 『삼각법』(Trigonometria)이라는 책을 출판하면서 이 용어를 처음 사용하였다. 레기오몬타누스의 사인표와 코사인표는 1533년에 출판되었다.[274]
6. 17세기
17세기에는 유럽 전역에서 수학적, 과학적 개념이 전례 없이 폭발적으로 발전했다. 마랭 메르센을 중심으로 한 수학자 간의 정기적인 모임과 서신 교환은 학문 발전에 큰 역할을 했다.[263]
갈릴레오 갈릴레이는 망원경을 사용하여 목성의 위성이 궤도를 그리는 것을 관측했다. 티코 브라헤는 행성의 하늘에서의 위치를 설명하는 방대한 양의 수치 데이터를 수집했다. 요하네스 케플러는 이 데이터를 연구하여 행성 운동의 수학적 규칙(케플러의 법칙)을 정립했다. 존 네이피어는 케플러의 계산을 돕기 위해 역사상 최초로 자연 로그를 연구했다.
피에르 드 페르마와 르네 데카르트는 해석기하학을 개발하여 행성의 궤도를 직교 좌표계에서 그려낼 수 있게 되었다. 아이작 뉴턴은 케플러의 법칙을 설명하는 물리 법칙을 발견하고, 미적분학 개념을 정리했다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 미적분학 및 현재에도 사용되는 미분적분 표기법의 대부분을 발명했다.
블레즈 파스칼과 페르마는 도박 게임에 관한 논의를 통해 확률론과 관련된 조합론 연구의 토대를 마련했다. 파스칼은 성공 확률이 미미하더라도 보상의 기대값이 무한대인 확률론적 설정을 근거로 인생을 종교에 헌신하는 것의 정당성을 논증하려 시도했다.
17세기 유럽의 대학 교수들은 철학자가 주류였으며, 수학자들은 대부분 왕립 학회 등 군주들에 의해 설립된 아카데미와 관련되어 있었다.
7. 18세기
17세기에 창설된 해석학이 발전한 시대이다. 스위스의 베르누이 일가와 프랑스의 수학자들의 활약이 눈부셨다. 베르누이의 제자인 오일러는 뛰어난 계산력과 독창력으로 해석학의 면목을 일신하였다. 존 네이피어가 개발하고 시몬 스테빈이 완성한 소수와 극한의 개념을 사용하여, 네이피어는 새로운 상수를 연구했고, 오일러는 이를 네이피어 수 '''''e'''''라고 명명했다. 오일러가 저술한 세 권의 해석학 교과서와 달랑베르와 오일러 사이에서 논의된 파동 방정식의 고찰을 통해, 17세기의 기하학적 변분(變分)에 대한 미분 적분학 체계는 더욱 추상적인, 1변수 내지 다변수의 함수에 의해 주어지는 해석적인 대상의 연구로 변모해 갔다.
그 외 오일러와 더불어 변분학을 창시한 라그랑주, 천체의 운동을 수학적으로 규명한 라플라스, 타원함수론의 선구자였던 르장드르, 화법기하학을 창시한 몽주가 있다.
18세기의 확률론은 야코프 베르누이, 드 무아브르, 토머스 베이즈, 피에르시몽 라플라스 등의 손을 거쳐 해석학의 성과를 받아들여 발전했다. 이 시대의 성과에는 개연적 확실성(베르누이), 확률 평가 정밀도 이론(드 무아브르), 통계적 추정(베이즈, 라플라스) 등이 있다.
8. 19세기
19세기 동안 수학은 더욱 추상적으로 변모했다. 19세기는 최고의 수학자 중 한 명으로 꼽히는 카를 프리드리히 가우스(1777년-1855년)의 시대이기도 하다. 그는 자연과학에 대한 다수의 공헌 외에도 순수수학에서 복소해석학, 기하학, 급수의 수렴에 관해 혁신적인 업적을 남겼다. 대수학의 기본 정리와 제곱 잉여의 상호 법칙에 대해 최초로 만족스러운 증명을 제시했다.[1]
19세기에는 유클리드 기하학의 평행선 공준이 성립하지 않는 비유클리드 기하학의 두 가지 형태가 발견되었다. 러시아 수학자 니콜라이 로바체프스키와 그의 경쟁자였던 헝가리 수학자 보야이 야노시는 독립적으로 평행선의 유일성이 성립하지 않는 쌍곡 기하학을 발견했다. 쌍곡 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도 미만이다. 타원 기하학은 19세기 후반에 독일 수학자 베른하르트 리만에 의해 개발되었는데, 타원 기하학에서는 평행선이 존재하지 않으며, 삼각형의 내각의 합은 180도를 초과한다. 리만은 또한 세 가지 형태의 기하학을 통합하여 광범위하게 일반화하는 리만 기하학을 개발하고, 곡선과 표면의 개념을 일반화한 다양체의 개념을 정의했다.[1]
19세기는 새로운 추상대수학이 시작된 시대이기도 하다. 윌리엄 로언 해밀턴에 의해 비가환 대수의 개념이 발전되었으며, 영국의 수학자 조지 불에 의해 불 대수가 개발되었다. 불 대수는 0과 1의 두 가지 수로 이루어진 체계이며, 오늘날의 컴퓨터 과학에서 중요한 응용을 가지고 있다.[1]
오귀스탱 루이 코시, 카를 바이어슈트라스, 베른하르트 리만 등에 의해 미분적분학에 대한 더욱 강력한 기초 이론이 주어졌다.[1]
또한, 19세기에는 수학의 한계가 처음으로 탐구되었다. 노르웨이의 닐스 아벨과 프랑스의 에바리스트 갈루아는 5차 이상의 대수 방정식에는 일반적인 대수적 해법이 없음을 증명했다. 다른 19세기 수학자들은 이 증명을 응용하여 자와 컴퍼스만으로는 임의의 각도를 삼등분할 수 없으며, 주어진 입방체의 2배의 체적을 가진 입방체를 구성할 수 없고, 주어진 원의 면적과 동일한 정사각형을 구성할 수 없다는 것을 증명했다. 고대 그리스 시대부터 많은 수학자들이 이러한 문제들을 해결하려 했던 시도는 수포로 돌아갔다.[1]
아벨과 갈루아의 다항식 해법 연구는 군론 및 추상대수학 관련 분야의 발전을 위한 토대를 마련했다. 20세기의 물리학자와 과학자들은 군론을 대칭성 연구에 이상적인 틀로 간주했다.[1]
19세기 말에 게오르크 칸토어는 집합론을 확립하여 서로 다른 수학 분야에서 공통적인 언어를 제공했다. 무한 집합의 도입은 수학 기초론에서의 논쟁을 야기했다.[1]
19세기에는 최초의 수학 학회가 설립되었다.
| 설립 연도 | 학회 이름 |
|---|---|
| 1865년 | 런던 수학회 |
| 1872년 | 프랑스 수학회 |
| 1884년 | 팔레르모 수학회 |
| 1883년 | 에든버러 수학회 |
| 1888년 | 미국 수학회 |
이전 세기의 수학자들이 아카데미에 소속되었던 것과는 달리, 19세기의 수학자들은 주로 에콜 폴리테크니크와 같은 고등 교육 기관에 소속되어 활동했다. 또한, 이 시대의 수학적 성과는 순수 및 응용 수학 저널(크렐레 저널)을 비롯한 학술지에 발표되었다.[1]
9. 20세기
20세기 들어 수학은 전문적인 영역으로 들어섰다. 20세기 말에는 매년 수천 명씩 수학 박사 학위자가 배출되었고, 교육과 산업 등의 영역에서 수학 관련 직업이 늘어났다.[307]
1900년에 개최된 세계 수학자 대회에서 다비트 힐베르트는 20세기 수학계가 풀어야 할 가장 중요한 문제로 23개의 문제 목록을 제시하였다.[308] 힐베르트 문제로 불리는 이 문제들은 수학의 여러 영역을 아우르며, 현재 10문제가 해결, 7문제가 부분 해결, 2문제가 미해결된 상태이다. 나머지 4문제는 해결 또는 미해결을 판별하기에는 질문이 모호하다.
20세기에는 여러 역사적인 수학 문제들이 해결되었다. 1963년에는 연속체 가설이 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립임이 쿠르트 괴델과 폴 코언에 의해 증명되었다.[309] 1976년 볼프강 하켄과 케네스 아펠은 최초로 컴퓨터를 사용하여 4색 정리를 증명하였다.[310] 1995년에는 페르마의 마지막 정리가 여러 수학자들의 노력 끝에 최종적으로 앤드루 와일스에 의해 증명되었다.[311] 1998년에는 케플러의 추측이 증명되었다.[312]
20세기에 증명된 난제의 예시는 아래와 같다.
| 문제 | 증명 연도 및 내용 |
|---|---|
| 소수 정리 | 자크 아다마르, 드 라 발레푸생 |
| 힐베르트 문제 7번 | 1935년, 겔폰드-슈나이더 정리로 불림 |
| 소수 정리의 초등적 증명 | 1949년, 셀베르그와 에어되시 |
| 베유 추측의 유리성, 함수 방정식, 유한체 위의 아벨 다형체에 대한 리만가설 | 1960년, 1965년, 1974년 |
| 연속체 가설 | 1963년 |
| 힐베르트 문제 10번 | 1970년, 마티야세비치 |
| 4색 문제 | 1976년, 아펠과 하켄 |
| 모델 추측 (※증명 이후의 명칭은 팔팅스 정리) | 1983년, 팔팅스 |
| 페르마의 마지막 정리 | 1995년, 와일스 |
| 케플러의 추측 | 1998년 |
20세기 이전에는 창의적인 수학자가 매우 적었다. 대부분의 수학자는 네이피어와 같이 부유층에 속하거나, 가우스와 같이 부유한 후원자가 있었다. 푸리에처럼 대학교수로 생계를 유지하는 사람은 거의 없었으며, 지위를 얻지 못했던 닐스 헨리크 아벨은 영양 부족과 결핵으로 가난 속에서 26세에 세상을 떠났다.
1910년대, 슈리니바사 라마누잔(1887년-1920년)은 고도 합성수의 고유성, 정수 분할과 그 점화 해석, 유사 테타 함수Ramanujan theta function영어를 포함하여 3,000개 이상의 정리를 개발했다. 그는 또한 감마 함수, 모듈러 형식, 발산 급수, 초기하 급수, 그리고 소수 정리에 대한 큰 진전과 발견을 이루었다.
1930년대 이후, 프랑스의 수학자들에 의해 결성된 "부르바키" 그룹은 니콜라 부르바키라는 가명 하에 일련의 교과서를 출판하여, 집합론에 기초하여 다양한 수학 분야를 통일적으로 기술하려고 시도했다. 그들의 광범위한 분야에 걸친 저술 스타일은 수학 교육 방식에도 영향을 미쳤으며, 논란의 대상이 되었다.[275]
1931년에, 쿠르트 괴델은 수리 논리학에서의 형식적 체계의 한계를 나타내는 2개의 괴델의 불완전성 정리를 발표했다. 이로 인해 다비트 힐베르트가 꿈꿨던, 기초론에 기반한 모든 수학 체계의 모순 없는 기술을 추구하는 시도는 종말을 맞이하게 되었다. 또한, 괴델과 폴 코헨에 의해, 연속체 가설이 체르멜로-프렝켈 공리계Zermelo–Fraenkel set theory영어에서는 증명도 반증도 불가능하다는 것이 밝혀졌다.
볼프강 하켄과 케네스 아펠은 1976년에 컴퓨터를 사용하여 사색 정리를 증명했다. 앤드루 와일스는 수년에 걸친 독자적인 연구를 통해 1995년에 페르마의 마지막 정리를 증명했다. 또한, 20세기에 들어서 수학의 공동 연구는 이전과는 비교할 수 없는 규모로 진행되었다. 유한 단순군의 분류Classification of finite simple groups영어의 이론은 1955년부터 1983년 사이에 발행된, 약 100명의 저자에 의한 500여 개의 잡지 기사로 이루어져 있으며, 그 총합은 수만 페이지에 달한다.
수리 논리학, 위상 기하학, 카오스 이론, 게임 이론과 같은 완전히 새로운 수학 분야가, 수학적 방법으로 답할 수 있는 질문의 종류를 변화시켰다. 20세기 말에, 수학은 예술의 경지에조차 이르렀다. 프랙탈 기하는, 지금까지 보지 못했던 아름다운 프랙탈 아트를 제공한다.
10. 21세기
21세기 초, 많은 교육자들이 수학 및 과학적 지식 부족에 대한 우려를 나타내고 있다.[276] 반면, 수학, 과학, 공학, 그리고 과학 기술은 서로 지식과 정보를 주고받으며 이전에는 상상할 수 없었던 번영을 가져오고 있다.
2003년, 그리고리 페렐만이 밀레니엄 문제 중 하나인 푸앵카레 추측을 증명했다.
2007년 3월 중순, 북미와 유럽의 연구자 팀은 컴퓨터 네트워크를 사용하여, ''E'' (248차원의 예외적 단순 리 대수)의 지표표를 결정했다.[277] 이 ''E''의 이해가 어떻게 응용될 수 있는지는 아직 정확히 알려져 있지 않지만, 이 발견은 현대 수학의 팀워크와 컴퓨터 과학 모두의 큰 업적이다.
2009년, 응오 바오 차우는 랭글랜즈 프로그램의 기본 보조 정리에 대한 수학적 증명을 제시했다.[278]
2013년, 테렌스 타오는 소수가 극단적으로 편향되지 않고 분포한다는 소수의 새로운 정리를 발견했다.[279][280][281]
2019년, 루이스 모델이 제안한 "세 개의 세제곱수를 더하고 빼는 것으로 1~100의 수를 모두 만들 수 있는가"라는 문제에서, 마지막까지 남아있던 42가 전 세계 컴퓨터 50만 대를 연결하는 그리드 컴퓨팅으로 발견되었다.[282]
2019년 12월, 테렌스 타오는 "콜라츠 추측"에 대해 편미분 방정식을 사용하여, "거의 모든 양의 정수에서 옳다"는 논문을 발표했다.[283]
11. 미래
수학에는 관찰 가능한 많은 경향이 있는데, 가장 주목할 만한 점은 컴퓨터가 점점 더 중요하고 강력해짐에 따라 수학의 범위가 점점 더 커지고 있다는 것이다. 컴퓨터에 의해 촉진되는 과학 및 산업에서 생성되는 데이터의 양은 기하급수적으로 계속 증가하고 있다. 그 결과, 이 빅데이터를 처리하고 이해하는 데 도움이 되는 수학에 대한 수요가 그에 따라 증가하고 있다.[229] 수학 과학 분야의 직업도 계속 성장할 것으로 예상되며, 미국 노동 통계청은 (2018년 기준) "수학 과학 직업의 고용이 2016년부터 2026년까지 27.9% 성장할 것으로 예상된다"고 추정했다.[230]
이와 더불어, 수학 분야는 영구적으로 거대해지고, 컴퓨터는 지속적으로 매우 중요해지고 강력해지고 있다. 생명 정보 과학에 대한 수학의 응용이 급속히 확대되고 있으며, 컴퓨터로 촉진된 과학과 산업에서 생성되는 데이터의 양이 폭발적으로 증가하고 있다.
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